数列中的最大项或最小项问题的求解策略---4.23

- 1 - 数列中的最大项或最小项问题的求解策略 在数列、函数、导数以及不等式等知识的交汇处命题，可以很好地考查学生综合运用所 学知识解决问题的能力，已成为高考数列命题的热点，而不等式知识与单调性、最值密切相 关，因而考查数列的单调性与最值成了高考一大亮点，本文试对求数列中的最值问题加以探 讨. 给出数列 的通项公式 的最大项或最小项，有以下解题策略： 策略一 利用差值比较法 若 有 ， 则 ， 则 ，即数列 是单调递增数列，所以数列 的最小项为 ； 若 有 ， 则 ， 则 ，即数列 是单调递减数列，所以数列 的最大项为 . 策略二 利用商值比较法 若有 对于一切 n∈N*成立，且 ，则 ，则 即数列 是单调递增数列，所以数列 的最小项为 ； 若有 对于一切 n∈N*成立，且 ，则 ，则 即数列 是单调递减数列，所以数列 的最小项为 . }{ na )(nfan = 0)()1(1 >−+=−+ nfnfaa nn nn aa >+1  = nfan 1)( )1(1 >+=+ nf nf a a n n nn aa >+1  +121 nn aaaa }{ na }{ na )1(1 fa = - 2 - 策略三 利用放缩法 若进行适当放缩，有 ，则 ， 即数列 是单调递增数列，所以数列 的最小项为 ； 若进行适当放缩，有 ，则 ， 即数列 是单调递减数列，所以数列 的最大项为 . 策略四 利用导数法 为求出 的最大值或最小值，可以转化为求出辅助函数 的导 数，进而求出该函数的单调区间，从而可知数列 的单调性，最后求出数列 的最大 项或最小项. 策略五 先猜后证 通过分析，推测数列 的某项 (k∈N*)最大（或最小），再证明 对于一切 n∈N*都成立即可. 这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题. nn anfnfa =>+=+ )()1(1  +121 nn aaaa }{ na }{ na )1(1 fa = )(nfan = )1)(( ≥= xxfy }{ na }{ na }{ na ka )( knkn aaaa ≥≤ 或 - 3 - 一、一题多解，殊途同归，培养学生思维广阔性 例 1 已知函数 ，Sn 是数列 的前 n 项和，点（n，Sn）（n∈N*） 在曲线 上.（Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）若 ， ， 且 Tn 是数列 的前 n 项和. 试问 Tn 是否存在最大值？若存在，请求出 Tn 的最大值；若不 存在，请说明理由. 解（Ⅰ）因为点（n，Sn）在曲线 上，又 ，所以 . 当 n=1 时， . 当 n>1 时， 所以 . （Ⅱ）因为 ① 所以 ② ③ ②－③得 . 整理得 ， ④ xxxf 63)( 2 +−= }{ na )(xfy = }{ na 1)2 1( −= n nb 6 nn n bac •= }{ nc )(xfy = xxxf 63)( 2 +−= nnSn 63 2 +−= 311 == Sa 1−−= nnn SSa ,69 )]1(6)1(3[)63( 22 n nnnn −= −+−−−+−= nan 69 −= n n bacnb n n nnnn ,)2 1)(23(6 )2 1)(69( 6 1,1)2 1( 1 −= − ==−= − ,)2 1)(23()2 1)(3()2 1)(1(2 1 32 nT n n −++−+−+=  ,)2 1)(23()2 1)(3()2 1()1()2 1(2 1 1432 nT n n +−++−++−+=  132 )2 1)(23()2 1)(2()2 1)(2()2 1)(2(2 1 2 1 +−−−++−+−+= nn n nT  1 12 )2 1)(23( 2 11 ])2 1(1[)2 1( )2(2 1 + − −− − − =−+= n n n 1)2 1)(12( −+= n n nT - 4 - 策略一 利用差值比较法 由④式得 ，所以 因为 ，所以 . 又 ，所以 所以 ， 所以 . 所以 Tn 存在最大值 策略二 利用商值比较法 由④式得 . 因为 所以 ，即 . 所以 / 所以 Tn 存在最大值 . 策略三 利用放缩法 由①式得 ，又因为 Tn 是数列 的前 n 项和，所以 . 所以 所以 Tn 存在最大值 . 1)2 1)(32( 1 1 −+= + + n n nT .)2 1)(2 1()2 1)](12(2 3[ )2 1)](12()2 1)(32[( )2 1)(12()2 1)(32( 1 1 nnn nn nnTT nn nn nn n −=+−+= +−+= +−+=− + + 1≥n 02 1 n 01 >>>> +1321 nn TTTTT .2 1 1 T = 0)2 1)(12(1 >+=+ n n nT ,)12(2 2)12( )12(2 32 )2 1)(12( )2 1)(32( 1 1 1 1 n n n n n n T T n n n n + ++=+ += + + =+ + + + 16 5)12 21(2 1)12 21(2 1 >>> +1321 nn TTTTT 2 1 1 =T 0)2 1)(21()2 1)](1(23[ 11 1 >>>> +1321 nn TTTTT 2 1 1 =T - 5 - 策略四 利用导数江 考查函数 的单调性. 因为 ，所以 ，而 ，所以 又 ， 所以 ，所以 . 又 ，所以 ， 即 ，所以 在 上是单调递减函数，所以当 x=1 时， . 因为 ，所以 ， 所以 存在最大值 . 策略五 先猜后证 通过分析，推测数列 的第一项 最在. 下面证明： . 方法 1 分析法 因为 ，所以只要证明 . 即只要证明 . 只需要证明 . 即只要证明 由二项式定理得 且 时， )1(1)2 1)(12()( ≥−+= xxxg x ,]2 1ln)12(2[)2 1(2 2 1ln)2 1)(12()2 1(2)( x xxg x xx ++= •++=′ 1≥x 312 ≥+x 02 1ln < .2 1ln32 1ln)12( x ≤+ 21ln8 1ln)2 1ln(2 1ln3 2 3 −= 76554321 , aaaaaaaa }{ na 116 30665 =+== aa 65 aa < 5>k 6655 kk +k 3025 >> 76554321 , aaaaaaaa }{ na 555 ka += 665 kaa 且 6655 kk +>+ 3630 >> 76654321 , aaaaaaaa }{ na 666 ka += }{ na 3025 1 的自然数，不等式 恒 成立，试求实数 a 的取值范围. 解：（Ⅰ）因为 ，an(n∈N*)，a=1，所以 an>0. 所 以 . 所 以 . 而 a1=1，所以 . （Ⅱ）设 (n∈N*)，m 由（Ⅰ）知 ，所以 ，所以 ，所以 . 所以数列 是单调递增数列. 所以当 时，bn 的最小值为 . 所以要使对于一切 n>1 的自 然 数 ， 不 等 式 恒 成 立 ， 则 需 且 只 需 ， 则 . 所 以 ， 解 之 得 . )3625()( ≤≤+= kx kxxf [ )∞+,1 kx = x kxxf +=)( kn = ),3,2,1( nn knan =+= k }{ na )1 11(,1 11 +−== + naa n }{ na 3 2)1log(12 1 221 +−>+++ ++ aaaa nnn  nan )1 11(1 +−=+ 1 1 +=+ n n a a n n 111 1 2 2 1 1 1 2 1 1 21 anan n n naa a a a a aa n n n n n =•− −•−=••= − − −  nan 1= nnnn aaab 221 +++= ++  nan 1= nnnbn 2 1 2 1 1 1 +++++=  22 1 12 1 2 1 3 1 2 1 1 +++++++++=+ nnnnnbn  0)22)(12( 1 1 1 12 1 12 1 1 >++=+−+++=−+ nnnnnbb nn }{ nb 2≥n 12 7 22 1 12 1 2 =+++=b 3 2)1(log12 1 221 +−>+++ ++ aaaa annn  )1(log12 1 12 7 −> aa 3 2+ 1)1(log −