平面向量的线性运算基础知识
1.平面向量线性运算的定义及几何意义。
向量的加法与减法中，都有三角形法则，但这两者
之间却有着本质的区别：
如图：将向量 平移至 向量 平移至
使得 与 的首尾相接，这时从 的起
的终点的向量点指向 AO
B如图：将向量 平移至 向量 平移至
使得 与 的起点相同，这时连接
的向量
的终
点并且箭头指向被减向量
与
A
B
O
2.向量共线定理
通过向量共线定理，可以实现三点共线与向量共线
的转化，它是处理有关平行及三点共线问题的一个
重要工具。3.平面向量基本定理
通过在平面内选定一组基底，并结合线性运算的几
何意义，从而可以表示平面内任一向量。这是“基
底法”处理向量问题的基础。4.线性运算的坐标表示
通过在平面内建立了直角坐标系，就得到了向量的
坐标及线性运算的坐标表示，这也为用“坐标法”
解决向量问题创造了条件。
5、一个结论：
在平面内
,
是不共线的三点,设
三点共线
则:注：
(1)上述结论可概括为“起点一致，终点共线，系数
和为1”,利用此结论,可求交点位置向量或者两条线段
长度的比值;
(2) 这里必须强调的是,在正式考试中,如果是解答题 ,
不能直接用此结论解题，应先证明再使用;当然，如
果是填空题，那么可以直接使用.1、已知 分别是 的边 上的点,
若 则
的值为（ ）
解析：选取 为基底,将
用它们线性表示 即可。又因为 所以2.已知O是 所在平面内的一点,且满足
则 的形状为（ ）
解析：利用线性运算的几何意义，对题设中的向量等
式进行化简，得到图形的几何特征，从而判断三角形
ABC 的形状。由已知得
:如图,作出
因此以 为邻边的平行四边形为
的形状为直角三角形.
注:由
两边平方得:
移项得:
故 的形状为直角三角形.
C
矩形,所以3.已知向量
若点A,B,C能构成三角形，则实数m的取值范围是
( )
解析：本题可以先考虑问题的反面.若三点A,B,C不
能构成三角形,则A,B,C三点共线，从而可构造向量
共线,求出m的值，然后求它的补集，得到m的范围.
若三点A,B,C不能构成三角形,则A,B,C三点共线，
所以 与 共线.又
解得:
所以,若A,B,C能构成三角形,则m的范围为
变式:已知在平行四边形 中,
则:解析:要求 的值,关键是求向量 的坐标
.考虑到已知的向量都是平行四边形对角线上的向量
,
故可将
作为基底,将已知向量 用基底
线性表示,并根据 的坐标,反求出 的坐
标即可.解得
:
设 则
C例1.如图,在 中,点 是 的中点,过
的直线分别交直线 于不同的两
点 若
求 的值.
题组一:平面向量线性运算背景下的求值问题解析:
要求 的值，应建立关于 的方程或方程组.为
此,可选取 为一组基底,考虑到 三点共
线及 为线段 的中点,故可以利用向量的线性运
算知识,将 分别用基底表示两次,然后根据平面向
量基本定理,得到一个关于m,n的方程组,进而求出
的值.这个过程就是将向量关系数量化的过程!又因为 三点共线, 设
由
得: 代入(*)式,可得:由平面向量基本定理,并结
合(1)(2)两式,可得:
即:
注:本题中,将 用不同的方法表示两次,再根据对应
的系数相等来解题.这是“算两次”思想的具体体现.由平面向量基本定理,并结
合(1)(2)两式,可得:
即:
注:本题中,将 用不同的方法表示两次,再根据对应
的系数相等来解题.这是“算两次”思想的具体体现.变式一：
如图,在三角形ABC中,D是BC的中点,E在
解析一:由于要求
边AB上, AD与CE交于O点,
若 则 的值是( )
的值,故想到选取 为基底
,将 分别用基底线性表示，然后代入向量等式
进行运算即可.取线段BE的中点F,连接DF
为BE,BC的中点,
又因为F为BE的中点,且 又
所以O点为AD的中点.又 为BC的中点,据例2可知:
又即:
解析二:从解法一可知,解题的关键是
用基底 来表示,解法
际上,也可以利用图中的两个三点共线
将向量
一是通过图形的几何性质来实现的.实
来完成.三点共线,
又因为A,O,D三点共线,
可设 又由(1)(2)得 解得:
以下同解法一变式二：
已知点O是 的外心, 若
且 则
的面积等于( )
解析:
由题设 可知,这里出现的三个向量都
是从A点出发,又由 可联想,只要在原向量等
式中构造出系数 就可得到三点共线的结论,从而使
问题得到解决.如图,取AC的中点D,
三点共线,即 是 的中线, 又点O是
的外心, 也是 边上的高,于是
又 故 是正三角形,感悟：
对于平面向量线性表示背景下的求值问题。解决此类问题
需将题中的向量关系转化为未知元的数量关系，再求出目
标值。而转化的方法是基底法或坐标法。在使用基底法时，
有时需要将相关向量进行多次表示，再利用平面向量基本
定理得到数量关系；
解决问题的关键是灵活运用平面向量基本定理以及三点共
线与向量共线的转化。题组二:平面向量线性运算背景下的最值(范围)问题
例2.如图,在扇形 中,
为弧AB上的一动点,若
求 的范围.
解析一:
对于向量等式 可以通过建立坐标系,
将向量关系数量化.由于点C在圆弧上运动.故可引入
角变量 来刻画点C的坐标,进而将 表示成关于的目标函数,然后求目标函数的范围即可.
以点O为原点,OB所在直线为 轴,建立如
图所示的直角坐标系.
设此扇形的半径为1,则:以下用导数方法求函数t的最值情况.
当 时,
所以函数t在 上单调递减,
所以当 时,当 时,
综上所述, 的取值范围是
解析二:
在解法一中,点 的坐标是用角 刻画的.我们也可
以直接设C(m,n),然后根据向量等式,将 表示为
关于m,n的二元函数,再利用线性规划的方法求二元
函数的范围.建立解法一中的直角坐标系,设此扇形的半径为1.
同理可得 设 因为C为圆弧
AB上的一个动点,则
从而解得:
记
直线 过弧AB上的点.
则当直线 过点B(1,0)时,t取得最大值
当直线 时,t取得最小值过点解析三:
本题也可从向量等式 出发,借助图形,
构造出系数 然后再结合图中三点共线的条件,将
进行转化,接着再求它的范围.
取OB的四等分点D(靠近点O),则
连接AD交OC于点E,则因为A,E,D
三点共线,设 则 又因为
O,E,C三点共线,设 则
当E与D重合时, 取得最小值当E与A重合时, 取得最大值变式:
如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心
AB为半径的圆弧上任意一点,设向量
求 的最小值.解析:
考虑到正方形的特殊性,可以通过建系，将向量关系
数量化，建立 的目标函数即可.
以A为原点,以AB所在直线为 轴,建立
平面直角坐标系,设正方形ABCD的边
长为1,则
设代入
得解得:
记则:
在 上单调递增,
所以当 时,解析二:
都是从点A出发的向量,所以将
也平移至A点, 然后再构造三点共线的条件,将
进行转化,接着再求它的最小值.
考虑到向量设正方形的边长为1,将向量 沿着DA
平移至 则 连接FP并延长交
AC的延长线于点Q.
由于F,P,Q共线,设:
又因为A,C,Q共线,设:
又因为由平面向量基本定理,可得:
当 最大时,
取得最小值.此时,点P与点B重合.
由平几知识可求此时感悟:
对于平面向量线性表示背景下的最值(或范围)问题。解决
此类问题通常是先合理设元,利用基底法或坐标法将向量
关系数量化,进而建立未知元的目标函数(一元或二元函数
)，再依据函数的单调性、线性规划、基本不等式等求目
标函数的最值(或范围)。解决问题的关键是目标的有效选
择与合理表征.课堂小结：
本节课复习了平面向量的线性运算、向量共线定理、平面
向量基本定理及其在解题中的应用；
“基底法”与“坐标法”是解决平面向量问题的两类基本
的方法。它们也实现向量关系向数量关系转化的重要工具。
与平面向量线性表示有关的求值与最值(范围)问题是平面
向量的热点与难点,常以中档小题或压轴小题出现.课堂小结
解决此类问题的关键是将题中的向量关系转化为数量关系,再
建立关于未知元的方程(组）或建立目标函数,然后求出目标
的值或目标函数的范围.
另外,在解决问题的过程中要体会所蕴含的数形结合、化归转
化、算两次、函数、方程等数学思想方法.平面向量的数量积〇、引言一、知识梳理一、知识梳理一、知识梳理二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究二、问题探究三、课堂小结
研究了两个题组
涉及的思想方法有 转化与化归 ……数形结合
定义法 基底法 坐标法
三个数量积求法与平面向量相关的最值问题典例思考
1．典例思考典例思考
1．典例思考典例思考
1．典例思考思路小结方法强化
2．方法强化方法强化专题指要变形拓展变形拓展变形拓展综合运用综合运用方法总结变式训练变式训练
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