绝密★启用前
涿鹿中学 2019——2020 学年度高二年级三月月考
数学试卷
一、单选题：（每小题 5 分，共 12 小题）
1．函数 从 1 到 4 的平均变化率为（ ）
A． B． C．1 D．3
2．设复数 z 满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．2
3．已知 ，那么 （ ）
A．20 B．30 C．42 D．72
4．已知下列四个命题，其中正确的个数有（ ）
① ，② ，③ （ ，且 ），④
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
5．已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么函数 的图象最有可能的是（ ）
( )f x x=
1
3
1
2
1
2
2
2 2
2 15nC = 2
nA =
' 1(2 ) 2x xx −= ⋅ '(sin 2 ) cos2x x= '(log ) lnx
a x a a= 0a > 1a ≠ ' 1(ln 2) 2
=
( )f x ( )f x′ ( )f xA． B． C． D．
6．已知 ， ， 为虚数单位，且 ，则 等于（ ）
A．4 B． C．-4 D．
7．从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不
同的组队方案共有
A．140 种 B．80 种 C．100 种 D．70 种
8．已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 等于（）
A．1 B． C． D．
9．在复平面内，复数 z 的共轭复数为 ，且（1+i）z＝| i|，则 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．设 为曲线 上的点，且曲线 在点 处切线的倾斜角的取值范围为 ，
则点 横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．计算机通常使用若干个数字 0 和 1 排成一列来表示一个物理信号，现有 4 个“0”和 4 个“1”排成
一列，那么用这 8 个数字排成一列能表示的物理信号的个数是（ ）
A．140 B．110 C．70 D．60
12．若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
x y R∈ i ( 2) 1x i y i− − = − + (1 )x yi ++
4 4i+ 2i
( )f x ( )f x′ ( ) 2 ( ) lnf x xf e x′= + ( )f e′
1
e
− 1− e−
z 3 + z
P 2: 2 3C y x x= + + C P 0, 4
π
P
11, 2
− −
[ ]1,0− [ ]0,1 1 ,12
( ) 21 2 ln2f x x x a x= − + aA． B． C． D．
二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题）
13． 已知函数 y＝ 的图像在点 M(1，f(1))处的切线方程是 ，则 ＝
________.
14．已知 ， 为虚数单位，若 为实数，则 的值为__________．
15．1999 年 10 月 1 日，在中华人民共和国建国 50 周年之际，中国人民银行陆续发行了第五套人民
币（1999 年版），第五套人民币纸币共有 1 元、5 元、10 元、20 元、50 元、100 元 6 种面额，现有
这 6 种面额纸币各一张，一共可以组成______种币值.（用数字作答）
16．设 ，当 x∈[﹣1，2]时， 恒成立，则实数 的取值范围为 .
三、解答题（17 题 10 分，18——22 题每题 12 分）
17．已知 ，复数 .
（1）若 为纯虚数，求 的值；
（2）在复平面内，若 对应的点位于第二象限，求 的取值范围.
18．求下列各函数的导数：
1a > 1 0a− < < 1a < 0 1a< <
( )f x 1 22y x= ＋ ( ) ( )1 ' 1f f＋
a R∈ i 2
a i
i
−
+ a
3 21( ) 2 52f x x x x= − − + ( )f x m< m
a R∈
1
a iz i
−= +
z a
z a（1） ；
（2） ；
（3） .
19．已知函数 f（x）＝x3+ax2+bx+c 在 x 与 x＝1 时都取得极值，求 a，b 的值与函数 f（x）的
单调区间．
20． 个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲不在两端；
（2）甲、乙、丙三个必须在一起；
（3）甲、乙必须在一起，且甲、乙都不能与丙相邻．
21．已知函数 f(x)＝xln x＋(a－1)x＋2.
2 lny x x= +
x
xy e
=
y x x=
2
3
= −
7(1)当 a＝2 时，求 f(x)在 x＝1 处的切线方程；
(2)若 f(x)＞0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
22．已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ．
参考答案
选择题答案：1——5 ACBAA 6——10 CDBAA 11——12 CD
填空题答案：13、3 14、-2 15、63 16、（7，+∞）
详细解答：
1． ，故选 A。
2． 由题意， ，所以 . 故选：C.
3． ， 答案选 B
4． ① ，所以①错误；
② ，所以②错误；
( ) ( )2 1 xf x ax x e−= + −
0a ≥ ( )f x
2a ≥ ( ) 0f x e+ ≥
4 1 1
4 1 3
− =−
( )
( )( )
2i 1 i2i 1 i1 i 1 i 1 iz
−= = = ++ + − 2z =
2 15 6nC n= ⇒ = 2 2
6 30nA A= =
'(2 ) 2 lnx x x= ⋅
'(sin 2 ) 2cos2x x=③ （ ，且 ），所以③错误；
④ ，所以④错误.
故选：A
5． 时， ，则 单调递减；
时， ，则 单调递增；
时， ，则 f（x）单调递减．
则符合上述条件的只有选项 A． 故选：A．
6．根据复数相等的概念可知， ，∴ ，∴ ，故选 C
7．直接法：一男两女，有 C51C42=5×6=30 种，
两男一女，有 C52C41=10×4=40 种，共计 70 种
间接法：任意选取 C93=84 种，其中都是男医生有 C53=10 种，
都是女医生有 C41=4 种，于是符合条件的有 84-10-4=70 种． 故选 D
8． ，所以 ，得 ，故选 B。
9． 由（1+i）z＝| i|，
，对应的点坐标为（1，1），在第一象限 故选：A
10．因为 ,又因为曲线 在点 处切线的倾斜角的取值范围为 ，则切线的斜率
，所以 ,解得 ，故选 A.
11． 由题意,用这 个数字排成一列能表示的物理信号的个数是 ，
' 1(log ) lna x x a
= 0a > 1a ≠
'(ln 2) 0=
2x < − ( ) 0f x′ < ( )f x
2 0x− < < ( ) 0f x′ > ( )f x
0x > ( ) 0f x′ <
2 1{ 1
x
y
− =
− = −
3
1
x
y
=
=
4 2(1 ) (2 ) 4i i+ = = −
( ) ( ) 1' 2 'f x f e x
= + ( ) ( ) 1' 2 'f e f e e
= + ( ) 1'f e e
= −
3 + | 3 | 2 2(1 ) 11 1 (1 )(1 )
i iz ii i i i
+ −= = = = −+ + + −
1z i∴ = +
C P 0, 4
π
故选 C.
12． 的定义域是（0，+∞），
，
若函数 有两个不同的极值点，
则 在（0，+∞）由 2 个不同的实数根，
故 ，解得： ， 故选 D．
13 由题意知 ，
所以 f(1)＋f′(1)＝ ＋ ＝3.
14． 为实数，
则 .
15．由题意可知，可分别选取 张纸币来构成不同币值
所有币值的种数为：
种
16． f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝0
解得：x＝1 或
当 x∈ 时，f'（x）＞0，
( )f x
( ) 2 22 a x x af x x x x
− +′ = − + =
( )f x
( ) 2 2g x x x a= − +
1
4 4 0
2 4 4 02
a
ax
∆ = − > − −= >
0 1a< <
( ) ( )1 1 5' 1 1 22 2 2f f＝ ， ＝ ＋ ＝
5
2
1
2
i ( i)(2 i) (2 1) ( 2)i 2 1 2 i2 i (2 i)(2 i) 5 5 5
a a a a a a− − − − − + − += = = −+ + −
2 0, 25
a a
+ = = −
1,2,3,4,5,6
∴
( )1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 6
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 2 1 63C C C C C C C C C C C C C C+ + + + + = + + + + + + − = − =
2
3
−
21 3
− − ，当 x∈ 时，f'（x）＜0，
当 x∈（1，2）时，f'（x）＞0，
∴f（x）max＝{f（ ），f（2）}max＝7
由 f（x）＜m 恒成立，所以 m＞fmax（x）＝7．
17．解：（1） ……………………………2 分
因为 为纯虚数，所以 ，且 ，则 ……………………………4 分
（2）由（1）知， ， ……………………………6 分
则点 位于第二象限，所以 ， ……………………………8 分
得 .
所以 的取值范围是 . ……………………………10 分
18．解：
（1） ； ……………………………4 分
（2） ； ……………………………8 分
（3） . ……………………………12 分
19． 解：（1）f（x）＝x3+ax2+bx+c，f′（x）＝3x2+2ax+b …………………………2 分
由 f′（ ） a+b＝0，f′（1）＝3+2a+b＝0 ……………………………4 分
2 13
− ，
2
3
−
( )( )
( )( )
1 1 1
1 1 1 2 2
a i ia i a az ii i i
− −− − += = = −+ + −
z 1 02
a − = 1 02
a +− ≠ 1a =
1 1
2 2
a az i
− += +
1 1,2 2
a a− +
1 0
1 0
a
a
−
1 1a− < <
a ( )1,1−
( ) ( )2 1ln 2y x x x x
′ ′′ = + = +
( )2
1x x
xx
e xe xy ee
− −′ = =
( ) 3 1
2 23 3
2 2y x x x x x
′ ′′ = = = =
2
3
− 12 4
9 3
= −解得，a ，b＝﹣2． ……………………………5 分
f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数 f（x）的单调区间如下表：
X （﹣∞， ） （ ，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
……………………………10 分
所以函数 f（x）的递增区间是（﹣∞， ）和（1，+∞），递减区间是（ ，1）．
……………………………12 分
20．解：
（1）甲不排头，也不排尾，则甲有 个位置供选择，有 种情况；
将其余 人全排列，安排到其他位置，有 种排法.
共有 种排法； ……………………………4 分
（2）采用捆绑法：先将甲、乙、丙三人看成一个整体，有 种排法，将这个整体与其他四人全排
列，有 种排法； ……………………………8 分
（3）先捆绑法：先将甲、乙二人看成一个整体，有 种排法，再将这个整体与丙插入其他四人所
形成的空中（包括两端），共有 种.
因此，共有 种排法. ……………………………12 分
21,、解：
1
2
= −
2
3
− 2
3
− 2
3
−
2
3
− 2
3
−
5 5
6 6
6A
6
65 3600A =
3
3A
3 5
3 5 720A A =
2
2A
4 2
4 5A A
2 4 2
2 4 5 960A A A =(1)当 a＝2 时，f(x)＝xln x＋x＋2，
求导得，f′(x)＝ln x＋2，∴f′(1)＝2，f(1)＝3，
故 f(x)在 x＝1 处的切线是 2x－y＋1＝0. ……………………………6 分
(2)定义域为(0，＋∞)，导函数 f′(x)＝ln x＋a，
令 f ′(x)＝0，得 x＝e－a，
分析可得 f(x)在(0，e－a)为减函数，在(e－a，＋∞)为增函数，
所以 fmin(x)＝f(e－a)＝e－a(－a)＋(a－1)e－a＋2＝－e－a＋2，
由题意可知 f(x)＞0 恒成立，需要－e－a＋2＞0，解得 a＞－ln 2. ………………………12 分
22． 解：（1） ， ……………2 分
当 时， ．
令 得 ；令 ，得 ；
所以 在 单调递增，在 单调递减
当 时，令 ，得 ；
令 ，得 或 ；
所以 在 单调递增，在 和 单调递减
综上，当 时， 在 单调递增，在 单调递减；
当 时， 在 单调递增，在 和 单调递减…………6 分
( ) ( ) ( )( )2 2 1 2 2 1' x x
ax a x x axf x e e
− + − + − += = −
( )i 0a = ( ) 2' x
xf x e
− +=
( ) 0f x¢ > 2x < ( ) 0f x¢ < 2x >
( )f x ( ),2−∞ ( )2,+¥ .
( )ii 0a > ( ) 0f x¢ > 1 2xa
− < <
( ) 0f x¢ < 1x a
< − 2x >
( )f x 1 ,2a
−
1, a
−∞ − ( )2,+¥ .
0a = ( )f x ( ),2−∞ ( )2,+¥
0a > ( )f x 1 ,2a
−
1, a
−∞ − ( )2,+¥（2）当 时，
令 ，则 ．
当 时， ， 单调递减；
当 时, ， 单调递增；
所以 因此 ……………12 分
2a ≥ ( ) 1
2 22 1 .x xf x e x x e e
+ − + ≥ + − +
( ) 1
2 22 1 x
g x x x e
+= + − + ( ) 1
2' 4 1 x
g x x e
+= + +
2
1x < − ( ) 0g x¢ < ( )g x
1
2x > − ( ) 0g x¢ > ( )g x
( ) 1 0.2g x g ≥ − =
( ) 0.f x e+ ≥
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