1
2020 年春四川省叙州区第一中学高三三诊模拟考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无
效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．已知集合
A． B． C． D．
2．下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是
A．2 B． C． D．
3．命题“ ， ”的否定是
A． B．
C． D．
4．已知等差数列 的前 项和为 ， ，若 ，则
A．10 B．11 C．12 D．13
5．猜商品的价格游戏， 观众甲： 主持人：高了! 观众甲： 主持人：低了! 观众
甲： 主持人：高了! 观众甲： 主持人：低了! 观众甲： 主持人：低了!
则此商品价格所在的区间是
A． B． C． D．
6．“直线 与 互相垂直”是“ ”的
{ } { }20,1,2,3 , | 3 0 =M N x x x M N= = − < ∩，则
{ }0 { }| 0x x < { }| 0 3x x< < { }1,2
i 3 4i+ 1 3
2 2 i− + 1 1
2 2 i+
( 2,0)x∀ ∈ − 2 2 0x x+ <
2
0 0 0( 2,0), 2 0x x x∃ ∉ − +
2
0 0 0( 2,0), 2 0x x x∀ ∈ − +
2
0 0 0( 2,0), 2 0x x x∀ ∉ − + < 2
0 0 0( 2,0), 2 0x x x∃ ∈ − +
{ }na n nS 9 445, 31nS a −= = 198nS = n =
2000! 1000!
1500! 1250! 1375!
( )1000,1250 ( )1250,1375 ( )1375,1500 ( )1500,2000
( 2) 3 1 0m x my+ + + = ( 2) ( 2) 0m x m y− + + = 1
2m =2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设 a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是
A． B． C． D．
8．对于平面 、 、 和直线 a、b、m、n，下列命题中真命题是
A．若 ， ， ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ，则
9．已知函数 ，则下列结论中正确的是
A．函数 的最小正周期为 B．函数 的图象关于点 对称
C．由函数 的图象向右平移 个单位长度可以得到函数 的图象
D．函数 在区间 上单调递增
10．已知直线 与抛物线 相交于 两点， 是 的中点，则点 到抛物
线准线的距离为
A． B．4 C．7 D．8
11．函数 为 上的可导函数，其导函数为 ，且 ，在
中， ，则 的形状为
A．等腰锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰钝角三角形
12．已知偶函数 满足 ，且当 时， ，关于 的
不等式 在区间 上有且只有 300 个整数解，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
c ca b> log loga ab c> a bc c> log logb ac c<
α β γ
a m⊥ a n⊥ m α⊂ n ⊂ α a α⊥ / /a b b α⊂ / /a α
/ /α β aα γ∩ = bβ γ = / /a b α β⊥ a α⊂ a β⊥
( ) sin 2 4f x x
π = +
( )f x 2π ( )f x ,04
π
( )f x
8
π
sin 2y x=
( )f x 5,8 8
π π
: 1l y x= − 2 4y x= A B， M AB M
7
2
R ( )f x′ ( ) 3 sin cos6f x f x x
π = ⋅ +
′ ABC∆
( ) ( ) 1f A f B= ′ = ABC∆
( )f x ( ) ( )4 4f x f x+ = − ( ]0,4x∈ ( ) ( )ln 2xf x x
= x
( ) ( )2 0f x af x+ > [ ]200,200− a
1ln 2, ln 63
− −
1ln 2, ln 63
− −
1 3ln 6, ln 23 4
− −
1 3ln 6, ln 23 4
− − 3
13．已知 ，则 __________．
14．已知实数 ， 满足条件 ，则 最大值为__________．
15．化简： ________.
16．已知四面体 中， ， ， 为等边三角形，且平面
平面 ，则四面体 外接球的表面积为______.
三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
（I）求数列 的通项公式；
（II）设 ，求数列 的前 项和 .
18．（12 分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式：
方式一：周一到周五每天培训 1 小时，周日测试
方式二：周六一天培训 4 小时，周日测试
公司有多个班组，每个班组 60 人，现任选两组 记为甲组、乙组 先培训；甲组选方式一，乙组选
方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：
第一周 第二周 第三周 第四周
甲组 20 25 10 5
乙组 8 16 20 16
（I）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间 精确到 ，并据此判断哪种培
训方式效率更高？
（II）在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随
2tan =α =α2sin
x y
2 4 0
3 3 0
0, 0
x y
x y
x y
− + ≥
− − ≤
≥ ≥
2z x y= +
( )40 10 3sin tan° °− ＝
ABCD 2 6AB AD= = 4 3BD = BCD∆
ABD ⊥ BCD ABCD
{ }na n nS 2 5 25a a+ = 5 55S =
{ }na
1
3 1n na b n
= −
{ }nb n nT
( )
( 0.1)4
机抽取 2 人，求这 2 人中至少有 1 人来自甲组的概率．
19．（12 分）24．如图，正方形 的边长为 ，以 为折痕把 折起，使点 到达
点 的位置，且 .
（I）证明：平面 平面 ；
（II）若 是 的中点，设 ，且三棱锥 的体积为 ，求 的值.
20．（12 分）设函数 .
（I）讨论函数 的单调性；
（II）当函数 有最大值且最大值大于 时，求 的取值范围.
21．（12 分）已知抛物线 的内接等边三角形 的面积为 （其中 为坐
标原点）．
（I）试求抛物线 的方程；
（II）已知点 两点在抛物线 上， 是以点 为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线 恒过定点；
②过点 作直线 的垂线交 于点 ，试求点 的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．
ABCD 2 2 AC ACD D
P PA PB=
PAC ⊥ ABC
M PC ( )0 1PN PA iλ= < AOB 3 3 O
C
( )1,1 , ,M P Q C MPQ∆ M
PQ
M PQ PQ N N5
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正
半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（I）求曲线 的直角坐标方程；
（II）若直线 与曲线 相交于 两点，求 的面积.
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）已知 为正数,且 ,证明:
（I） ；
（II） .
xOy l
2
1
x t
y t
= −
= − + t x
C 2
2
3
2cos 1
ρ θ= +
C
l C ,M N MON∆
, ,a b c 2a b c+ + =
4
3ab bc ac+ + ≤
2 2 2 8a b c
b c a
− − −⋅ ⋅ ≥6
2020 年春四川省叙州区第一中学高三三诊模拟考试
文科数学参考答案
1．D 2．C 3．D 4．B 5．C 6．B 7．D 8．C 9．C 10．B 11．D
12．D
13． 14． 15．－1 16．
17．（1）设等差数列 的公差为 ，由题意得 ，解得
（2）由（1）得
18．解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为 、 ，则
（小时）
（小时）
据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为 10 小时和 10.9 小时，因 ，
据此可判断培训方式一比方式二效率更高；
（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取 6 人,
则这 6 人中来自甲组的人数为： ，
来自乙组的人数为： ，
记来自甲组的 2 人为： ；来自乙组的 4 人为： ，则从这 6 人中随机抽取
2 人的不同方法数有： ， ，
， ，共 15 种，
3
22 8 64π
{ }na d 2 5 1
5 3 1
2 5 25
5 5 10 55
a a a d
S a a d
+ = + =
= = + =
1 5,
3,
a
d
=
=
( )5 3 1 3 2.na n n∴ = + − = +
( ) ( )( )
1 1 1 1 1 .3 1 3 1 3 2 3 3 1 3 2n
n
b a n n n n n
= = = − − − + − +
1 2
1 1 1 1 1 1 1
3 2 5 5 8 3 1 3 2n nT b b b n n
= + + = − + − + + − − +
( )
1 1 1 .3 2 3 2 2 3 2
n
n n
= − = + +
1t 2t
1
20 5 25 10 10 15 5 20 1060t
× + × + × + ×= =
2
8 4 16 8 20 12 16 16 10.960t
× + × + × + ×= ≈
10 10.9<
6 10 230
× =
6 20 430
× =
a b、 c d e f、 、 、
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , ,a b a c a d a e a f ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , ,b c b d b e b f
( ) ( ) ( ), , , , ,c d c e c f ( ) ( ) ( ), , , , ,d e d f e f7
其中至少有 1 人来自甲组的有： ，
共 9 种，故所求的概率 .
19．解：（1）取 中点 ，连结 .
因为 ，所以 .
在 中， ， ，
则 ，所以 ，
又 ，且 面 ，所以 面 ，
又 面 ，所以面 面 .
（2）因为面 面 ，
又面 面 ，且 ，所以 面 ，
所以 .
又因为 ， ，所以 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 ，得 .
20．（1）函数 的定义域为 ，
.
当 ，即 时， ，函数 在 上单调递增.
当 时，令 ，解得 ，当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减.
综上所述：
当 时，函数 在 上单调递增，
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , ,a b a c a d a e a f ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,b c b d b e b f
9 3
15 5P = =
AC O PO BO，
PC PA= PO AC⊥
POB
1 22PO OB AC= = = 2 2PB PA= =
2 2 2PB PO OB= + PO OB⊥
AC OB O= AC OB ⊂、 ABC PO ⊥ ABC
PO ⊂ PAC PAC ⊥ ABC
PAC ⊥ ABC
PAC ABC AC= BO AC⊥ OB ⊥ PAC
1
3A BMN B AMN AMNV V S BO− −= = ⋅
2OB = 8
9A BMNV − = 4
3AMNS =
PN PAλ= ( ) 11 2AMN APM PACS S S
λλ −= − =
1 42PACS PA PC= ⋅ =
1 442 3
λ− × = 1
3
λ =
( ) ln ( 1) ( )f x x a x a R= − − ∈ ( )0, ∞+
( ) 1 1 ( 1)( 1) a xf x ax x
− −′ = − − =
1 0a − ≤ 1a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+
1 0a − > ( ) 0f x′ = 1
1x a
= −
10 1x a
< < −
( ) 0f x′ >
1
1x a
> −
( ) 0f x′ <
1a ≤ ( )f x ( )0, ∞+
1a > ( )f x 10, 1a
−
1 ,1a
+∞ − 8
（2）由（1）知，当函数 有最大值时， ，
且最大值 ， 此时 ，
即 .令 .
故 在 上单调递增，且 ∴ 等价于 ，∴ ，
故 a 的取值范围为 .
21．（1）解依题意，设 ， ，则由 ，得 ，
即 ，因为 ， ，所以 ，
故 ， ，则 ， 关于 轴对称，所以 轴，且 ，
所以 .因为 ，所以 ，所以 ，
故 ， ，故抛物线 的方程为 .
（2）①证明 由题意可设直线 的方程为 ，
， ，由 ，消去 ，得 ，
故 ， ， .因为 ，所以 .
即 .整理得 ，
，即 ，
得 ，所以 或 .
当 ，即 时，直线 的方程为 ，
过定点 ，不合题意舍去.故直线 恒过定点 .
②解 设 ，则 ，即 ，得 ，
即 ，即轨迹是以 为直径的圆（除去点 ）.
( )f x 1a >
max
1 1( ) ln 11 1f x f a a
= = − − −
1ln 1 31 aa
− > −−
ln( 1) 2 0a a− + − < ( ) ln( 1) 2, 1g a a a a= − + − > ( ) 1 1 01g a a
= + >−
′
( )g a ( )1,+∞ ( )2 0g = ( ) 0g a < ( ) ( )2g a g< 1 2a< <
( )1,2
( ),A AA x y ( ),B BB x y OA OB= 2 22 2A A B Bx px x px+ = +
( )( )2 0A B A Bx x x x p− + + = 0Ax > 0Bx > 2 0A Bx x p+ + >
A Bx x= A By y= A B x AB x⊥ 30AOx∠ = °
3tan30 3
A
A
y
x
= ° =
2
2
A
A
yx p
= 2 3Ay p= 2 4 3AAB y p= =
( )2 23 4 3 12 3 3 34AOBS p p∆ = × = = 1
2p = C 2y x=
PQ x my a= +
( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 2
x my a
y x
= +
=
x 2 0y my a− − =
2 4 0m a∆ = + > 1 2y y m+ = 1 2y y a= − 90PMQ∠ = ° 0MP MQ⋅ =
( )( ) ( )( )1 2 1 21 1 1 1 0x x y y− − + − − = ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 0x x x x y y y y− + + − + + =
( ) ( )22 2
1 2 1 2 1 2 1 23 2 0y y y y y y y y− + + − + + = 2 2 3 2 0a m a m− − − + =
2 23 1
2 2a m − = +
3 1
2 2a m− = + 3 1
2 2a m − = − +
3 1
2 2a m− = + 2a m= + PQ ( )1 1x my a m y= + = − +
( )1,1 PQ ( )2, 1H −
( ),N x y MN NH⊥ 0MN NH ⋅ = ( )( ) ( )( )1 2 1 1 0x x y y− − + + − =
( )2 2 3 1 0 1x y x x+ − + = ≠ MH ( )1, 1±9
22．解：（1）因为 ，所以曲线 的直角坐标方程为
；
（2）将直线 的参数方程 （ 为参数）代入曲线 的直角坐标方程，
得 ，设 两点对应的参数分别为 ，则 ，
于是 ，
直线 的普通方程为 ，则原点 到直线 的距离 ，所以
.
23．(1)将 a+b+c＝2 平方得: ，
由基本不等式知: ，三式相加得:
，
则
所以 ，当且仅当 a＝b＝c＝ 时等号成立
(2)由 ，同理
则 ，
即 当且仅当 时等号成立
( )2 2 2
2
3 2cos 1 32cos 1
ρ ρ θθ= ⇒ + =+ C
2
2 13
yx + =
l
22 2
21 2
x t
y t
= −
= − +
t C
2 7 2 5 02t t− + = ,M N 1 2t t 1 2 1 2
7 2 , · 52t t t t+ = =
( )2
1 2 1 2
3 24 · 2MN t t t t= + − =
l 1 0x y+ − = O l 0 0 1 2
22
d
+ −= =
1 3
2 4MONS MN d∆ = =
2 2 2 2 2 2 4a b c ab ab ac+ + + + + =
2 2 2 2 2 22 , 2 , 2a b ab b c bc a c ac+ ≥ + ≥ + ≥
2 2 2a b c ab bc ac+ + ≥ + +
2 2 24 2 2 2 3 3 3a b c ab bc ac ab bc ac= + + + + + ≥ + +
4
3ab bc ac+ + ≤ 2
3
2 2a b c bc
b b b
− += ≥ 2 2 2 2,b a c ac c b a ba
c c c a a a
− + − += ≥ = ≥
2 2 2 2 2 2 8a b c bc ac ba
b c a b c a
− − −⋅ ⋅ ≥ ⋅ ⋅ =
2 2 2 8a b c
b c a
− − −⋅ ⋅ ≥ 2
3a b c= = =
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