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2020 年春四川省叙州区第一中学高三三诊模拟考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无
效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．已知集合
A． B． C． D．
2．下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是
A．2 B． C． D．
3．命题“ ， ”的否定是
A． B．
C． D．
4．已知等差数列 的前 项和为 ， ，若 ，则
{ } { }20,1,2,3 , | 3 0 =M N x x x M N= = − < ∩，则
{ }0 { }| 0x x < { }| 0 3x x< < { }1,2
i 3 4i+ 1 3
2 2 i− + 1 1
2 2 i+
( 2,0)x∀ ∈ − 2 2 0x x+ <
2
0 0 0( 2,0), 2 0x x x∃ ∉ − +
2
0 0 0( 2,0), 2 0x x x∀ ∈ − +
2
0 0 0( 2,0), 2 0x x x∀ ∉ − + < 2
0 0 0( 2,0), 2 0x x x∃ ∈ − +
{ }na n nS 9 445, 31nS a −= = 198nS = n =2
A．10 B．11 C．12 D．13
5．猜商品的价格游戏， 观众甲： 主持人：高了! 观众甲： 主持人：低了! 观众
甲： 主持人：高了! 观众甲： 主持人：低了! 观众甲： 主持人：低了!
则此商品价格所在的区间是
A． B． C． D．
6．“直线 与 互相垂直”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设 a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是
A． B． C． D．
8．对于平面 、 、 和直线 a、b、m、n，下列命题中真命题是
A．若 ， ， ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ，则
9．已知函数 ，则下列结论中正确的是
A．函数 的最小正周期为 B．函数 的图象关于点 对称
C．由函数 的图象向右平移 个单位长度可以得到函数 的图象
D．函数 在区间 上单调递增
10．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 的 个小正方形（如图 1），使得任意相邻
（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“ 、 、 ”的小正方形涂相同的颜色，则符
2000! 1000!
1500! 1250! 1375!
( )1000,1250 ( )1250,1375 ( )1375,1500 ( )1500,2000
( 2) 3 1 0m x my+ + + = ( 2) ( 2) 0m x m y− + + = 1
2m =
c ca b> log loga ab c> a bc c> log logb ac c<
α β γ
a m⊥ a n⊥ m α⊂ n ⊂ α a α⊥ / /a b b α⊂ / /a α
/ /α β aα γ∩ = bβ γ = / /a b α β⊥ a α⊂ a β⊥
( ) sin 2 4f x x
π = +
( )f x 2π ( )f x ,04
π
( )f x
8
π
sin 2y x=
( )f x 5,8 8
π π
1,2, ,9 9
1 5 93
合条件的所有涂法共有
1 2 3
4 5 6
7 8
9
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
11．函数 为 上的可导函数，其导函数为 ，且 ，在
中， ，则 的形状为
A．等腰锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰钝角三角形
12．已知偶函数 满足 ，且当 时， ，关于 的
不等式 在区间 上有且只有 300 个整数解，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．某篮球运动员罚篮命中率为 0.75，在一次罚篮训练中连续投篮 50 次，X 表示投进的次数，则
______.
108 60 48 36
R ( )f x′ ( ) 3 sin cos6f x f x x
π = ⋅ +
′ ABC∆
( ) ( ) 1f A f B= ′ = ABC∆
( )f x ( ) ( )4 4f x f x+ = − ( ]0,4x∈ ( ) ( )ln 2xf x x
= x
( ) ( )2 0f x af x+ > [ ]200,200− a
1ln 2, ln 63
− −
1ln 2, ln 63
− −
1 3ln 6, ln 23 4
− −
1 3ln 6, ln 23 4
− −
( )D X =4
14．已知实数 ， 满足条件 ，则 最大值为__________．
15．化简： ________.
16．已知四面体 中， ， ， 为等边三角形，且平面
平面 ，则四面体 外接球的表面积为______.
三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
（I）求数列 的通项公式；
（II）设 ，求数列 的前 项和 .
18．（12 分）某烘焙店加工一个成本为 60 元的蛋糕，然后以每个 120 元的价格出售，如果当天卖
不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.
（I）若烘焙店一天加工 16 个这种蛋糕，，求当天的利润 （单位：元）关于当天需求量 （单位：
个， ）的函数解析式；
（II）烘焙店记录了 100 天这种蛋糕的日需求量（单位：个），整理得下表：
日需求量 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
x y
2 4 0
3 3 0
0, 0
x y
x y
x y
− + ≥
− − ≤
≥ ≥
2z x y= +
( )40 10 3sin tan° °− ＝
ABCD 2 6AB AD= = 4 3BD = BCD∆
ABD ⊥ BCD ABCD
{ }na n nS 2 5 25a a+ = 5 55S =
{ }na
1
3 1n na b n
= −
{ }nb n nT
y n
n∈N
n5
①若烘焙店一天加工 16 个这种蛋糕， 表示当天的利润（单位：元），求 的分布列与数学期望
及方差；
②若烘焙店一天加工 16 个或 17 个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工 16 个还
是 17 个？请说明理由.
19．（12 分）如图，在三棱台 中， ，G，H 分别为 ， 上的点，平
面 平面 ， ， .
（I）证明：平面 平面 ；
（II）若 ， ，求二面角 的大小.
20．（12 分）设函数 .
（I）讨论函数 的单调性；
（II）当函数 有最大值且最大值大于 时，求 的取值范围.
X X
ABC DEF− 2BC EF= AC BC
//GHF ABED CF BC⊥ AB BC⊥
BCFE ⊥ EGH
AB CF⊥ 2 2AB BC CF= = = B AD C− −
( ) ln ( 1) ( )f x x a x a R= − − ∈
( )f x
( )f x 3a − a6
21．（12 分）已知抛物线 的内接等边三角形 的面积为 （其中 为坐
标原点）．
（I）试求抛物线 的方程；
（II）已知点 两点在抛物线 上， 是以点 为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线 恒过定点；
②过点 作直线 的垂线交 于点 ，试求点 的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正
半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（I）求曲线 的直角坐标方程；
（II）若直线 与曲线 相交于 两点，求 的面积.
( )2: 2 0C y px p= > AOB 3 3 O
C
( )1,1 , ,M P Q C MPQ∆ M
PQ
M PQ PQ N N
xOy l
2
1
x t
y t
= −
= − + t x
C 2
2
3
2cos 1
ρ θ= +
C
l C ,M N MON∆7
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）已知 为正数,且 ,证明:
（I） ；
（II） .
, ,a b c 2a b c+ + =
4
3ab bc ac+ + ≤
2 2 2 8a b c
b c a
− − −⋅ ⋅ ≥8
2020 年春四川省叙州区第一中学高三三诊模拟考试
理科数学参考答案
1．D 2．C 3．D 4．B 5．C 6．B 7．D 8．C 9．C 10．A 11．D
12．D
13． 14． 15．－1 16．
17．（1）设等差数列 的公差为 ，由题意得 ，解得
（2）由（1）得
18．（1）由题意，当 时，利润 ；
当 时，利润 ；
综上，当天的利润 关于当天需求量 的函数解析式为 ；
（2）①由（1）可得，
当 时，利润 ；
9.375(75 / 8) 8 64π
{ }na d 2 5 1
5 3 1
2 5 25
5 5 10 55
a a a d
S a a d
+ = + =
= = + =
1 5,
3,
a
d
=
=
( )5 3 1 3 2.na n n∴ = + − = +
( ) ( )( )
1 1 1 1 1 .3 1 3 1 3 2 3 3 1 3 2n
n
b a n n n n n
= = = − − − + − +
1 2
1 1 1 1 1 1 1
3 2 5 5 8 3 1 3 2n nT b b b n n
= + + = − + − + + − − +
( )
1 1 1 .3 2 3 2 2 3 2
n
n n
= − = + +
[0,16)∈n 120 960= −y n
[16, )∈ +∞n ( )120 60 16 960= − × =y
y n 120 960, [0,16),
960, [16, ),
n n ny n n
− ∈ ∈= ∈ +∞ ∈
N
N
14n = 120 14 960 720= × − =X9
当 时，利润 ；
当 时，利润 ；
所以 的分布列为：
所以 （元）；
；
②由题意，加工 个蛋糕时，
当 时，利润 ；当 时，利润 ；
当 时，利润 ；当 时，利润 ；
的分布列如下：
660 780 900 1020
0.1 0.2 0.16 0.54
则
从数学期望来看，每天加工 17 个蛋糕的利润高于每天加工 16 个蛋糕的利润，应加工 17 个.
19．（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ，
15n = 120 15 960 840= × − =X
16n ≥ 960=X
X
X 720 840 960
P 0.1 0.2 0.7
( ) 720 0.1 840 0.2 960 0.7 912E X = × + × + × =
2 2 2( ) (720 912) 0.1 (840 912) 0.2 (960 912) 0.7 6336D X = − × + − × + − × =
17
14n = 120 14 60 17 660= × − × =X 15n = 120 15 60 17 780= × − × =X
16n = 120 16 60 17 900= × − × =X 17n ≥ 60 17 1020= × =X
X
X
P
( ) 660 0.1 780 0.2 900 0.16 1020 0.54 916.8 912E X = × + × + × + × = >
GHF ∥ ABED BCFE ∩ ABED BE=10
平面 平面 ，所以 .
因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 ，所以 ，H 为 的中点.
同理 G 为 的中点，所以 ，因为 ，所以 ，
又 且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 ，所以 .
又 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面
（2） ， ， ， ， ，所以 .
分别以 ， ， 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
，则 ， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，因为 ，
则 ，取 ，得 .
设平面 的一个法向量为 ，因为 ，
则 ，取 ，得 .
所以 ，则二面角 的大小为
20．（1）函数 的定义域为 ，
.
BCFE ∩ GHF HF= BE HF∥
BC EF∥ BHFE BH EF=
2BC EF= 2BC BH= BC
AC //GH AB AB BC⊥ GH BC⊥
HC EF∥ HC EF= EFCH CF HE∥
CF BC⊥ HE BC⊥
HE GH ⊂ EGH HE GH H= BC ⊥ EGH
BC ⊂ BCFE BCFE ⊥ EGH
HE HB⊥ HG HB⊥ AB CF⊥ CF HE∥ //GH AB HE HG⊥
HG HB HE
H xyz− ( )2,1,0A ( )0,1,0B ( )1,0,1D ( )0, 1,0C −
ABD ( )1 1 1, ,m x y z= ( )2,0,0AB = − ( )1, 1,1BD = −
1
1 1 1
2 0
0
m AB x
m BD x y z
⋅ = − = ⋅ = − + =
1 1y = ( )0,1,1m =
ADC ( )2 2 2, ,n x y z= ( )1, 1,1AD = − −
( )2, 2,0AC = − − 2 2 2
2 2
0
2 2 0
n AD x y z
n AC x y
⋅ = − = + = ⋅ = − − =
2 1x = ( )1, 1,0n = −
1cos , 2
m nm n
m n
⋅= =
⋅
B AD C− −
3
π
( ) ln ( 1) ( )f x x a x a R= − − ∈ ( )0, ∞+
( ) 1 1 ( 1)( 1) a xf x ax x
− −′ = − − =11
当 ，即 时， ，函数 在 上单调递增.
当 时，令 ，解得 ，当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减.
综上所述：
当 时，函数 在 上单调递增，
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由（1）知，当函数 有最大值时， ，
且最大值 ， 此时 ，
即 .令 .
故 在 上单调递增，且 ∴ 等价于 ，∴ ，
故 a 的取值范围为 .
21．（1）解依题意，设 ， ，则由 ，得 ，
即 ，因为 ， ，所以 ，
故 ， ，则 ， 关于 轴对称，所以 轴，且 ，
所以 .因为 ，所以 ，所以 ，
故 ， ，故抛物线 的方程为 .
1 0a − ≤ 1a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+
1 0a − > ( ) 0f x′ = 1
1x a
= −
10 1x a
< < −
( ) 0f x′ >
1
1x a
> −
( ) 0f x′ <
1a ≤ ( )f x ( )0, ∞+
1a > ( )f x 10, 1a
−
1 ,1a
+∞ −
( )f x 1a >
max
1 1( ) ln 11 1f x f a a
= = − − −
1ln 1 31 aa
− > −−
ln( 1) 2 0a a− + − < ( ) ln( 1) 2, 1g a a a a= − + − > ( ) 1 1 01g a a
= + >−
′
( )g a ( )1,+∞ ( )2 0g = ( ) 0g a < ( ) ( )2g a g< 1 2a< <
( )1,2
( ),A AA x y ( ),B BB x y OA OB= 2 22 2A A B Bx px x px+ = +
( )( )2 0A B A Bx x x x p− + + = 0Ax > 0Bx > 2 0A Bx x p+ + >
A Bx x= A By y= A B x AB x⊥ 30AOx∠ = °
3tan30 3
A
A
y
x
= ° =
2
2
A
A
yx p
= 2 3Ay p= 2 4 3AAB y p= =
( )2 23 4 3 12 3 3 34AOBS p p∆ = × = = 1
2p = C 2y x=12
（2）①证明 由题意可设直线 的方程为 ，
， ，由 ，消去 ，得 ，
故 ， ， .因为 ，所以 .
即 .整理得 ，
，即 ，
得 ，所以 或 .
当 ，即 时，直线 的方程为 ，
过定点 ，不合题意舍去.故直线 恒过定点 .
②解 设 ，则 ，即 ，得 ，
即 ，即轨迹是以 为直径的圆（除去点 ）.
22．解：（1）因为 ，所以曲线 的直角坐标方程为
；
（2）将直线 的参数方程 （ 为参数）代入曲线 的直角坐标方程，
得 ，设 两点对应的参数分别为 ，则 ，
PQ x my a= +
( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 2
x my a
y x
= +
=
x 2 0y my a− − =
2 4 0m a∆ = + > 1 2y y m+ = 1 2y y a= − 90PMQ∠ = ° 0MP MQ⋅ =
( )( ) ( )( )1 2 1 21 1 1 1 0x x y y− − + − − = ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 0x x x x y y y y− + + − + + =
( ) ( )22 2
1 2 1 2 1 2 1 23 2 0y y y y y y y y− + + − + + = 2 2 3 2 0a m a m− − − + =
2 23 1
2 2a m − = +
3 1
2 2a m− = + 3 1
2 2a m − = − +
3 1
2 2a m− = + 2a m= + PQ ( )1 1x my a m y= + = − +
( )1,1 PQ ( )2, 1H −
( ),N x y MN NH⊥ 0MN NH ⋅ = ( )( ) ( )( )1 2 1 1 0x x y y− − + + − =
( )2 2 3 1 0 1x y x x+ − + = ≠ MH ( )1, 1±
( )2 2 2
2
3 2cos 1 32cos 1
ρ ρ θθ= ⇒ + =+ C
2
2 13
yx + =
l
22 2
21 2
x t
y t
= −
= − +
t C
2 7 2 5 02t t− + = ,M N 1 2t t 1 2 1 2
7 2 , · 52t t t t+ = =13
于是 ，
直线 的普通方程为 ，则原点 到直线 的距离 ，所以
.
23．(1)将 a+b+c＝2 平方得: ，
由基本不等式知: ，三式相加得:
，
则
所以 ，当且仅当 a＝b＝c＝ 时等号成立
(2)由 ，同理
则 ，
即 当且仅当 时等号成立
( )2
1 2 1 2
3 24 · 2MN t t t t= + − =
l 1 0x y+ − = O l 0 0 1 2
22
d
+ −= =
1 3
2 4MONS MN d∆ = =
2 2 2 2 2 2 4a b c ab ab ac+ + + + + =
2 2 2 2 2 22 , 2 , 2a b ab b c bc a c ac+ ≥ + ≥ + ≥
2 2 2a b c ab bc ac+ + ≥ + +
2 2 24 2 2 2 3 3 3a b c ab bc ac ab bc ac= + + + + + ≥ + +
4
3ab bc ac+ + ≤ 2
3
2 2a b c bc
b b b
− += ≥ 2 2 2 2,b a c ac c b a ba
c c c a a a
− + − += ≥ = ≥
2 2 2 2 2 2 8a b c bc ac ba
b c a b c a
− − −⋅ ⋅ ≥ ⋅ ⋅ =
2 2 2 8a b c
b c a
− − −⋅ ⋅ ≥ 2
3a b c= = =
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