2020届高三数学（文）三诊模拟试题（Word版含答案）

2020 年春高三三诊模拟考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合 ，集合 ，则 A． B． C． D． 2．在复平面内，复数 z 在复平面所对应点为 ，则 A．2 B． C． D． 3．命题 ， ，则 为 A． ， B． ， C． ， D． ， 4．记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 A．8 B．9 C．16 D．15 5．在下列区间中，函数 的零点所在的区间为 A． B． C． D． 6．已知直线 和 互相平行，则实数 A． B． C． 或 3 D． 或 { }2 2 0A x x x= − ≤ 1 0,2 xB x x Nx  += ≤ ∈ −  A B = [ ]0,2 [ )0,2 { }1 { }0,1 ( )1,1− 2z = 2 2i− 2 2i− : (0, )p x∀ ∈ +∞ 1 1 3 5x x= p¬ (0, )x∃ ∈ +∞ 1 1 3 5x x≠ (0, )x∀ ∈ +∞ 1 1 3 5x x≠ ( ,0)x∃ ∈ −∞ 1 1 3 5x x≠ ( ,0)x∀ ∈ −∞ 1 1 3 5x x≠ nS { }na n 1 1a = 3 4 22 2S a S= + 8a = ( ) 4 3xf x e x= + − 1 ,04  −   10, 4      1 1,4 2      1 3,2 4      1 : 7 0l x my+ + = ( )2 : 2 3 2 0l m x y m− + + = m = 3m = − 1m = − 1m = − 1m = 3m = −7．已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为 A． B． C． D． 8．将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍，再向右平移 个单位，再向 上平移 个单位，得到的新函数的一个对称中心是 A． B． C． D． 9．已知 a，b 为两条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面，则下列说法中正确的是 ①若 ， ，则 ②若 ， ，则 ③若 ， ，则 ④若 ， ，则 A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④ 10．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：“我没有 偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11．设函数 ，其中 ，则导数 的取值 范围是 A． B． C． D． 12．已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，且 ， ，则 A． B． C． D． 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为___________. 14．平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 __________________． 15．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 1 33a = 1 22b = 3log 2c = a b c< < b a c< < c a b< < c b a< < sin(3 )4y x π= + 3 2 π 1 ( ,1)2 π ( ,1)9 π ( ,0)2 π π( , 1)4 α β γ //a α //α β //a β //α β //β γ //α γ a α⊥ b α⊥ //a b α γ⊥ β γ⊥ α β⊥ ( ) 3 23sin cos 4 13 2f x x x x θ θ= + + − 50, 6 πθ  ∈   ( )' 1f − [ ]3 6， 3 4+ 3  ， 4- 3 6  ， 4- 3 4+ 3  ， ( )f x R [0,1]x∈ 3( )f x x= x R∀ ∈ ( ) (2 )f x f x= − (2017.5)f = 1 8 1 8 − 0 1 x y 2 2 4 2 x y x y x y + ≥  − ≤  − ≥ − z x y= − a b 4 π ( )1, 1a = − 1b = 2a b+ =  ABC A B C a b c，且 ，则 的取值范围为________________． 16．在四面体 ABCD 中，若 ，则当四面体 ABCD 的体积最大时，其外接 球的表面积为________. 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）已知数列 是公比为 的正项等比数列， 是公差 为负数的等差数列，满足 ， ， . （I）求数列 的公比 与数列 的通项公式； (II)求数列 的前 10 项和 18．（12 分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标 进行检测，一 共抽取了 件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标 有关， 具体见下表. 质量指标 频数 一年内所需维护次数 （I）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标 的平均 值（保留两位小数）； （II）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取 6 件产品，再从 6 件产品中随机抽取 2 件产品，求这 2 件产品的指标 都在 内的概率； （III）已知该厂产品的维护费用为 元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每 件多加 元，该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为 消费费用.假设这 件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算 sincos cos sin sin sin ab Ca B b A a A b B c C + = + − 3a b+ = c 1AD DC AC CB= = = = { }na q { }nb d 2 3 1 1 1 d a a a − = 1 2 3 21b b b+ + = 1 2 3 315b b b = { }na q { }nb { }nb 10S Y 48 Y Y [ )9.4,9.8 [ ]9.8,10.2 ( ]10.2,10.6 8 24 16 2 0 1 Y Y [ ]2.10,8.9 300 100 48每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维 护服务？ 19．（12 分）30．已知菱形 的边长为 2， ，对角线 、 交于点 O，平面 外一点 P 在平面 内的射影为 O， 与平面 所成角为 30°. （I）求证： ； （II）点 N 在线段 上，且 ，求 的值. 20．（12 分）设函数 （I）求函数 的极值； （II）当 时， 恒成立，求整数 的最大值.（参考数值 ， ） 21．（12 分）已知抛物线 的焦点为 F，点 ，点 B 在抛物线 C 上，且满 足 （O 为坐标原点）. （I）求抛物线 C 的方程； （II）过焦点 F 任作两条相互垂直的直线 l 与 l ，直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点，直线 l 与 抛物线 C 交于 M，N 两点， 的面积记为 ， 的面积记为 ，求证： 为定 值. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。 ABCD 60ABC∠ = ° AC BD ABCD PB ABCD BD PA⊥ PB 3 12N PCDV − = PN PB ( ) (m )= − xf x x e ( )f x 0x > ( ) 4< +f x x m 2.7183e ≈ 3 2 4.4817e ≈ 2: 2 ( 0)C y px p= > (2,2)A 2OF FB FA= −   D′ D′ OPQ△ 1S OMN 2S 2 2 1 2 1 1 S S +22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 ，直 线 l 的参数方程为： （t 为参数），直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点. （I）写出曲线 C 和直线 l 的普通方程； （II）若点 ，求 的值. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 设函数 ． (I)当 时，解不等式 ； (II)若 的解集为 ， ，求证: ． : 4cosC ρ θ= 3 2 1 x t y t = +  = − + (3, 1)P − 1 1 | | | |PM PN −2020 年春高三三诊模拟考试 文科数学参考答案 1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．C 7．D 8．D 9．B 10．A 11．A 12．A 13．2 14． 15． . 16． 17．(1)由已知, ，得 又 得： 或 2（舍）， 于是 ， 又 是公比为 的等比数列，故 所以， （舍）或 综上， . （2）设 的前 n 项和为 ;令 ，得 于是， 易知， 时， 所以， 18：（1）指标 的平均值＝ （2）由分层抽样法知，先抽取的 件产品中，指标 在[9.4，9.8）内的有 件，记为 ； 指标 在（10.2，10.6]内的有 件，记为 ：指标 在[9.4，9.8）内的有 件，记为 ． 从 件产品中随机抽取 件产品，共有基本事件 个 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 . 其中，指标 都在 内的基本事件有 个： 、 、 所以由古典概型可知， 件产品的指标 都在 内的概率为 . （3）不妨设每件产品的售价为 元， 10 3[ ,3)2 7 3 π 31 2 23 21b b b b+ + = = 2 7b = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 2 2 2 7 7 7 343 7 315b b b b d b b d d d d= − + = − ⋅ + = − =⋅ ⋅ ⋅ 2d = − 1 7 2 9, 2 11nb b n= + = = − + 2 3 2 1 1 2 a a a −− = { }na q 2 1 1 1 1 1 2 a q a q a −− = 22 1 0, 1q q q+ = = −− 1 2 1 , 2, 11 22 nq d b n= = − = − { }nb nT 011 2 0nb n≥ − ≥， 5n ≤ 1 5 5 5 5( )S =T = =252 b b+ 6n > 6 7 10 6 7 10 6 7 10|, | )0 (nb b b b b b b b b b< + +……+ = − − −……− = − + +……+ ( ) ( )10 5 0 25 25T T= − − = − − = 10 50S = Y 1 3 29 6 10 10 4 10 076 6 6 ． ． ．× + × + × ≈ 6 Y 3 1 2 3A A A、 、 Y 2 1 2B B、 Y 1 C 6 2 15 ( )1 2,A A ( )1 3,A A ( )1 1,A B ( )1 2,A B ( )1,A C ( )2 3,A A ( )2 1,A B ( )2 2,A B ( )2 ,A C ( )3 1,A B ( )3 2,A B ( )3,A C ( )1 2,B B ( )1,B C ( )2 ,B C Y [ ]9.8,10.2 3 ( )1 2,A A ( )1 3,A A ( )2 3,A A 2 Y [ ]9.8,10.2 3 1 15 5P = = x假设这 件样品每件都不购买该服务，则购买支出为 4 元．其中有 件产品一年内的维护费用 为 元／件，有 件产品一年内的维护费用为 元／件，此时平均每件产品的消费费用为 元； 假设为这 件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为 元，一年内只有 件产品 要花费维护，需支出 元，平均每件产品的消费费用 元. 所以该服务值得消费者购买. 19．（1）由题意 面 ，∴ ， 菱形 中， ，又 ，则 面 ， 所以 ； （2）因为 面 ，所以 与平面 所成角为 ， 又菱形边长为 2， ，所以 ， ， ， ， . 所以 ， . 设 ，点 D 到平面 的距离为 由 得 ， 即 ，解得 所以 D 到平面 的距离也为 . 所以 . ；所以 . 20．解：（1） 的定义域为 , 令 ，解得 ；令 ，解得 当 时， 单调递增，当 时， 单调递减， ；无极小值. 48 8x 16 300 8 600 ( )1 48 16 300 8 600 20048 x xη = × + × + × = + 48 ( )48 100x + 8 8 300 2400× = ( )1 48 100 8 300 15048 x xξ  = × + + × = +  PO ⊥ ABCD PO BD⊥ ABCD AC BD⊥ PO AC O= BD ⊥ PAC BD PA⊥ PO ⊥ ABCD PB ABCD 30PBO∠ = ° 60ABC∠ = ° 3BO = 1PO = 2PB = 1CO = 2PC = 4 2 4 2cos 42 2 2 BPC + −∠ = = ⋅ ⋅ 14sin 4BPC∠ = | | | | 2PN PBλ λ= = PCB d D PBC P DBCV V− −= 1 1 3 3BCD PBCS PO S d⋅ = ⋅△ △ 1 1 1 1 142 2 sin120 1 2 23 2 3 2 4 d× × × × °× = × × × × × 2 21 7d = PNC 2 21 7 1 1 14 2 21 3 12 23 2 4 7 12 4N PCD D PCNV V λ λ− −= = × × × × × = ⇒ = 1 4 PN PB = ( )f x R ' ( ) (m 1)= − − xf x x e '( ) 0f x > 1x m< − '( ) 0f x < 1x m> − ( , 1)∈ −∞ −x m ( )f x ( 1, )∈ − +∞x m ( )f x 1( ) = ( 1)极大值 −∴ − = mf x f m e（2） ，因为 ，所以 （ ）恒成立 设 ，则 设 则 所以 在 上单调递增， 又 所以存在 使得 ， 当 时， ；当 时， 所以 在 上单调递减， 上单调递增 所以 ，又 ， 所以 令 则 ，所以 在 上单调递增, 所以 ，即 因为 ，所以 ,所以 的最大值为 2 21．（1）设 因为点 B 在抛物线 C 上， （2）由题意得直线 l 的斜率存在且不为零，设 ，代入 得 ，所 以 因此 ，同理可得 因此 22．（1） ( ) 4− < +xm x e x 0xe > 4+< +x xm xe 0x > 4g( ) += +x xx xe 3 3g'( ) 1 + − −= − + = x x x x e xx e e h( ) 3= − −xx e x '( ) 1xh x e= − 0> ( )h x (0, )+∞ 23(1) 4 0, ( ) 4.4817 4.5 0, (2) 52 = − < ≈ − < = −h e h h e 0 3( ,2)2 ∈x 0( ) 0h x = ( )01,x x∈ ( ) 0h x < ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0h x > ( )g x ( )01, x ( )0 ,x +∞ 0 0 min 0 4g( ) += +x xx xe 0( ) 0h x = 3= +xe x 0 0 0 min 0 0 0 0 0 4 4 1g( ) 13 3 + += + = + = + ++ +x x xx x x xe x x 1 3t( ) 1 , ( ,2)3 2 = + + ∈+x x xx '( ) 0t x > ( )t x 3( ,2)2 3( ) ( ) (2)2 <