江苏省南京市六校联合体2020届高三数学5月联考试题（Word版含答案）

2020 届高三模拟考试试卷 数　　学 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 2020．5 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1. 已知集合 A＝{x|x2－2x0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 且与 x 轴垂直的直 线与双曲线交于 A，B 两点．若 F1F2＝ 3 2 AB，则双曲线的渐近线方程为____________．10. 如图，五边形 ABCDE 由两部分组成，△ABE 是以角 B 为直角的直角三角形，四边 形 BCDE 为正方形，现将该图形以 AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥 和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为________． 11. 在平行四边形 ABCD 中，AD＝2AB＝6，∠DAB＝60°，DE → ＝1 2EC → ，BF → ＝1 2FC → .若FG → ＝2GE → ，则AG → ·BD → ＝________． 12. 已知在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝3bcos C，则1 tan A ＋ 1 tan B＋ 1 tan C的最小值为________． 13. 已知圆 O：x2＋y2＝4，点 A(2，2)，直线 l 与圆 O 交于 P，Q 两点，点 E 在直线 l 上 且满足 PQ → ＝2QE → .若 AE2＋2AP2＝48，则弦 PQ 中点 M 的横坐标的取值范围是________． 14. 若函数 f(x)＝(x3－3a2x＋2a)·(ex－1)的图象恰好经过三个象限，则实数 a 的取值范围 是________． 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤． 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bsin A＝asin(2π 3 －B)．(1) 求角 B 的大小； (2) 若 a＝2，c＝3，求 sin(A－C)的值．16. (本小题满分 14 分) 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 BCC1B1 是矩形，平面 ACC1A1⊥平面 BCC1B1，M 是棱 CC1 上的一点． (1) 求证：BC⊥AM； (2) 若 N 是 AB 的中点，且 CN∥平面 AB1M，求证：M 是棱 CC1 中点． 17. (本小题满分 14 分) 疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形 OABC 与扇形 OCD 组成，OA＝30 米， AB＝50 米，∠COD＝ π 6 ，经营者决定在 O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF ＝ π 3 ，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点 E 在弧 CD 上，点 F 在线段 AB 上，设∠FOC ＝θ. (1) 求该监控摄像头所能监控到的区域面积 S 关于 θ 的函数关系式，并求出 tan θ的取 值范围； (2) 求监控区域面积 S 最大时，角 θ 的正切值．18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F1，点 A，B 为椭圆的左、右顶点，点 P 是椭 圆上一点，且直线 PF1 的倾斜角为 π 4 ，PF1＝2，椭圆的离心率为 2 2 . (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 设 M，N 为椭圆上异于 A，B 的两点，若直线 BN 的斜率等于直线 AM 斜率的 2 倍， 求四边形 AMBN 面积的最大值．19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，g(x)＝ex. (1) 若 a＝b＝1，c＝－1，求函数 h(x)＝f（x） g（x）在 x＝1 处的切线方程； (2) 若 a＝1，且 x＝1 是函数 m(x)＝f(x)g(x)的一个极值点，确定 m(x)的单调区间； (3) 若 b＝2a，c＝2，且对任意 x≥0，f（x） g（x）≤2x＋2 恒成立，求实数 a 的取值范围．20. (本小题满分 16 分) 设数列{an}(任意项都不为零)的前 n 项和为 Sn，首项为 1，对于任意 n∈N*，满足 Sn＝ an·an＋1 2 . (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 是否存在 k，m，n∈N*(k0，可得 sin B＝sin(2π 3 －B)， 展开得 sin B＝sin 2π 3 cos B－cos 2π 3 sin B，即 sin B＝ 3cos B．(4 分) 又由 B∈(0，π)，得 sin B>0，从而 cos B≠0， 从而有 tan B＝ 3，可得 B＝ π 3 .(6 分) (2) 在△ABC 中，由余弦定理及 a＝2，c＝3，B＝ π 3 ， 得 b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故 b＝ 7.(7 分) 由 a sin A＝ b sin B，得 2 sin A＝ 7 3 2 ，解得 sin A＝ 3 7. 因为 ab>0)的离心率为 2 2 ，所以 a＝ 2c. 设椭圆右焦点为 F2，在△F1PF2 中，PF1＝2，∠PF1F2＝ π 4 ， 由余弦定理得(2a－2)2＝22＋(2c)2－2×2c×2×cos π 4 ，解得 c＝ 2，则 a＝2，b＝ 2， 所以椭圆的方程为x2 4 ＋y2 2 ＝1.(4 分) (2) ( 解 法 1) 设 直 线 AM 的 斜 率 为 k ， 则 直 线 AM 的 方 程 为 y ＝ k(x ＋ 2) ， 联 立 {y＝k（x＋2）， x2 4 ＋y2 2 ＝1， 整理得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－4)>0. 设 M(x1，y1)，则－2x1＝8k2－4 2k2＋1，即 x1＝2－4k2 2k2＋1，从而 y1＝ 4k 2k2＋1.(8 分) 由 kBN＝2kAM，可得直线 BN 的方程为 y＝2k(x－2)，联立{y＝2k（x－2）， x2 4 ＋y2 2 ＝1， 整理得(8k2＋1)x2－32k2x＋32k2－4＝0，Δ＝322k4－4(8k2＋1)(32k2－4)>0. 设 N(x2，y2)，则 2x2＝32k2－4 8k2＋1 ，即 x2＝16k2－2 8k2＋1 ，从而 y2＝ －8k 8k2＋1.(12 分) 由对称性，不妨设 k>0，则四边形 AMBN 的面积 S＝1 2×4×(y1－y2)＝2( 4k 2k2＋1＋ 8k 8k2＋1) ＝24× 4k3＋k （2k2＋1）（8k2＋1）＝24× 1 k＋4k （8k＋1 k）（2k＋1 k） ＝24× 1 k＋4k 16k2＋ 1 k2＋10 ＝24× 1 k＋4k （1 k＋4k）2＋2 ＝ 24 1 k＋4k＋ 2 1 k＋4k . 令 t＝1 k＋4k，则 t≥2 1 k × 4k＝4(当且仅当 k＝1 2时取等号)，则 S＝ 24 t＋2 t ≤ 24 4＋1 2 ＝16 3 ， 故 S 的最大值为16 3 .(16 分) (解法 2)设 M(x1，y1)，则 y21＝1 2(4－x21)，A(－2，0)，B(2，0)，则 kMA·kMB＝y1－0 x1＋2·y1－0 x1－2＝ y x－4＝－1 2.(6 分)由 kBN＝2kMA，故 kBN·kBM＝－1.(7 分) 设直线 MN 的方程为 x＝my＋t，联立{x＝my＋t， x2 4 ＋y2 2 ＝1， 整理得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0，即 t2