函数、不等式恒成立问题---5.14

; 1 函数、不等式中恒成立问题 纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查，重点是涉及到一次函数、二次函数的性质、 不等式的性质及应用，图象渗透和换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化等数学思想方法. 往往与导数相结合，在处理复杂问题时转化成为“恒成立问题”.解答这类题目应首先克服畏惧心理，通过总 结 高 中 阶 段 出 现 的 这 类 问 题 的 类 型 ， 形 成 完 整 的 知 识 、 方 法 体 系 ， 提 高 应 对 能 力 . 一. 函数性质法 1.一次函数 若 内恒有 ,则根据函数的图像 可得 可合并成 , 同理若 内恒有 则有 )0()( ≠+= kbkxxf [ ]nmxfy ,)( 在= 0)( >xf    > <    > > 0)( 0 0)( 0 nf a mf a 或    > > 0)( 0)( nf mf [ ]nmxfy ,)( 在= 0)( (1 π )2－tx 在 t∈[－2,2]时恒成立，求实数 x 的取值范围． 【解析】(1)∵由①知 f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴是直线 x＝－1，∴b＝2a. ∵函数 f(x)的图象与直线 y＝x 只有一个公共点，∴方程组Error!有且只有一个解， 即 ax2＋(b－1)x＝0 有两个相同的实根，∴Δ＝(b－1)2＝0，即 b＝1，∴a＝1 2.∴f(x)＝1 2x2＋x. (2)∵π>1，∴πf(x)>(1 π )2－tx 等价于 f(x)>tx－2，即 1 2x2＋x>tx－2 在 t∈[－2,2]时恒成立⇔函数 g(t)＝xt－(1 2x2＋x＋2) + x x p p x x p x p x 2( 1) 2 1 0x p x x− + − + > 2( ) ( 1) 2 1f p x p x x= − + − + ( ) 0f p > [ 2,2]p∈ − 1 0 (2) 0 x f −  1 0 ( 2) 0 x f − >  − > 1x < − 3x > ( 2) 0 (2) 0 f f − >  >    >− >+− 01 034 2 2 x xx    − 11 13 xx xx 或 或 1x < − 3x > (2) 0 ( 2) 0 g g   ⇔      > ∆ < >   或 或 ],[0)( βα∈< xxf 在 ( ) 0, ( ) 0. f f α β  ],[0)( βα∈< xxf 在 ,2 2 2 ( ) 0 0 ( ) 0. b b b a a a f f α α β β α β   − < ≤ − ≤ − >  ⇔      > ∆ < 0 恒成立，则实数 m 的取值范围是________． 【解析】令 3x＝t，则当 x∈(0，＋∞)时，t∈(1，＋∞)，记 f(t)＝t 2－mt＋m＋1(t∈(1，＋∞))，则由题意得 f(t)＝ t2－mt＋m＋1(t∈(1，＋∞))的图象恒在 x 轴的上方，可得 Δ＝(－m)2－4(m＋1)0，所以 x＋1 x≥2.当且仅当 x＝1 x时， 即 x＝1 时，等号成立．所以 y≥－2.所以当 x＝1 时，y＝ 的最小值为－2. (2)因为 f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“对任意的 x∈[0,2]，不等式 f(x)≤a 成立” 只要“x2－2ax－1≤0 在[0,2]恒成立”．不妨设 g(x)＝x2－2ax－1， 则只要 g(x)≤0 在[0,2]上恒成立即可．所以 即Error! 解得 a≥3 4.则 a 的取值范围为[3 4，＋∞). 2( ) 1f x x= − 2 ,3x  ∈ +∞  24 ( )xf m f xm   −   ≤ ( 1) 4 ( )f x f m− + m 2 2 2 2 2 2 1 4 ( 1) ( 1) 1 4( 1)x m x x mm − − − ≤ − − + − 3[ , )2x∈ +∞ 2 2 2 1 3 24 1mm x x − ≤ − − + 3[ , )2x∈ +∞ 3 2x = 2 3 2 1y x x = − − + 5 3 − 2 2 1 54 3mm − ≤ − 2 2(3 1)(4 3) 0m m+ − ≥ 3 2m ≤ − 3 2m ≥ 0 12 (1) 1 1 0 m f m m ∆ ≥   ≥   = − + + ≥ ( )f x x ( )f x x ( )f x x (0) 0 (2) 0 g g ≤ ≤; 5 3. 其它函数： 对于恒成立的问题，常用到以下结论： （1） ； （2） ； （3） 恒成立 （注：若 的最小值不存在，则 恒成立 的下界 大于 0）； 恒成立 （注：若 的最大值不存在，则 恒成立 的 上界小于 0）． 例、已知不等式 2x＋m＋ 8 x－1>0 对一切 x∈(1，＋∞)恒成立，则实数 m 的取值范围是________． 【解析】不等式 2x＋m＋ 8 x－1>0 可化为 2(x－1)＋ 8 x－1>－m－2， ∵x>1，∴2(x－1)＋ 8 x－1≥2 ＝8， 当且仅当 x＝3 时取等号． ∵不等式 2x＋m＋ 8 x－1>0 对一切 x∈(1，＋∞)恒成立，∴－m－2－10. 例、不等式 x2－2x＋5≥a2－3a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为(　　) A．[－1,4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2,5] 【解析】x2－2x＋5＝(x－1) 2＋4 的最小值为 4，所以 x2－2x＋5≥a 2－3a 对任意实数 x 恒成立，只需 a2－ 3a≤4，解得－1≤a≤4. ( ) ( )maxxfaxfa ≥⇔≥ 恒成立 ( ) ( )minxfaxfa ≤⇔≤ 恒成立 ( ) 0f x > ⇔ min( ) 0f x > ( )f x ( ) 0f x > ⇔ ( )f x ( ) 0f x < ⇔ max( ) 0f x < ( )f x ( ) 0f x < ⇔ ( )f x 82( 1) 1x x − ⋅ −; 6 例、【湖南省浏阳市六校联考 2020 届高三期中】已知定义域为 的单调函数 是奇函数,当 时, . （1）求 的解析式. （2）若对任意的 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 【解析】(1) 当 时, ，∴ ， 又函数 是奇函数，∴ ， ∴ ．又 ．综上所述 ． （2）∵ 为 上的单调函数，且 ，∴函数 在 上单调递减． ∵ ，∴ ， ∵函数 是奇函数，∴ ．又 上单调递减， ∴ 对任意 恒成立，∴ 对任意 恒成立， ∴ ，解得 ．∴实数 的取值范围为 ． 二． 分离参数法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值， 进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式 （ ， 为实参数）恒成立中参数 的 取值范围的基本步骤： （1）将参数与变量分离，即化为 （或 ）恒成立的形式； （2）求 在 上的最大（或最小）值； （3）解不等式 (或 ) ，得 的取值范围． 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出． ( ), 0f x λ ≥ Dx ∈ λ λ ( ) ( )g f xλ ≥ ( ) ( )g f xλ ≤ ( )f x x D∈ ( ) max( )g f xλ ≥ ( ) ( )ming f xλ ≤ λ; 7 例、设函数 f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足 10，即 ax2－2x＋2>0，x∈(1,4)，得 a>－2 x2＋2 x在(1,4)上恒成立． 令 g(x)＝－2 x2＋2 x＝－2(1 x－1 2 )2＋1 2，1 x∈(1 4，1 )，∴g(x)max＝g(2)＝1 2， 所以要使 f(x)>0 在(1,4)上恒成立，只要 a>1 2即可. 例、【山东省日照市 2020 届高三上学期期中】已知 ，若不等式 恒成立，则 m 的最大 值为__________． 【解析】不等式 恒成立，即为 ， 由 ，当且仅当 ，即 ，取得等号， 即有 ，则 的最大值为 16，故答案为 ． 例、在 R 上定义运算：(a c　b d )＝ad－bc，若不等式(x－1 a＋1　a－2 x )≥1 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的最大值 为(　　) A．－1 2 B．－3 2 C.1 2 D.3 2 【解析】由定义知，不等式(x－1 a＋1　a－2 x )≥1 等价于 x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a 对任意实数 x 恒 成立．∵x2－x＋1＝(x－1 2 )2＋3 4≥3 4，∴a2－a≤3 4，解得－1 2≤a≤3 2，则实数 a 的最大值为3 2. 三． 主参换位——反客为主法 某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函 数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一 下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑 无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．; 8 例、对于 0≤m≤4 的任意 m，不等式 x2＋mx>4x＋m－3 恒成立，则 x 的取值范围是________________． 【解析】不等式可化为 m(x－1)＋x2－4x＋3>0 在 0≤m≤4 时恒成立．令 f(m)＝m(x－1)＋x2－4x＋3.则 ⇒ ⇒ ，即 x3. 例、已知函数 若对于任意 ，都有 成立，则实数 的取值范围 是 ． 【 解 析 】 由 题 意 对 于 上 恒 成 立 ， 即 ， 解 得 ． 例、对任意 m∈[－1,1]，函数 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m 的值恒大于零，求 x 的取值范围． 【解析】由 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令 g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4， 则原问题转化为关于 m 的一次函数问题．由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零， ∴Error!解得 x3. 故当 x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的 m∈[－1,1]，函数 f(x)的值恒大于零． ( ) ( ) 0 0{ 4 0 f f > > 2 2 4 3 0{ 1 0 x x x > > － ＋ － 1 3{ 1 1 x x x x− 或 或 ,1)( 2 −+= mxxxf ]1,[ +∈ mmx 0)(