1
2020 年春四川省叙州区第一中学高三三诊模拟考试
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无
效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题(60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。
1.已知集合
A. B. C. D.
2.下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是
A.2 B. C. D.
3.命题“ , ”的否定是
A. B.
C. D.
4.已知等差数列 的前 项和为 , ,若 ,则
A.10 B.11 C.12 D.13
5.猜商品的价格游戏, 观众甲: 主持人:高了! 观众甲: 主持人:低了! 观众
甲: 主持人:高了! 观众甲: 主持人:低了! 观众甲: 主持人:低了!
则此商品价格所在的区间是
A. B. C. D.
6.“直线 与 互相垂直”是“ ”的
{ } { }20,1,2,3 , | 3 0 =M N x x x M N= = − < ∩,则
{ }0 { }| 0x x < { }| 0 3x x< < { }1,2
i 3 4i+ 1 3
2 2 i− + 1 1
2 2 i+
( 2,0)x∀ ∈ − 2 2 0x x+ <
2
0 0 0( 2,0), 2 0x x x∃ ∉ − +
2
0 0 0( 2,0), 2 0x x x∀ ∈ − +
2
0 0 0( 2,0), 2 0x x x∀ ∉ − + < 2
0 0 0( 2,0), 2 0x x x∃ ∈ − +
{ }na n nS 9 445, 31nS a −= = 198nS = n =
2000! 1000!
1500! 1250! 1375!
( )1000,1250 ( )1250,1375 ( )1375,1500 ( )1500,2000
( 2) 3 1 0m x my+ + + = ( 2) ( 2) 0m x m y− + + = 1
2m =2
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.设 a>b>c>1,则下列不等式中不正确的是
A. B. C. D.
8.对于平面 、 、 和直线 a、b、m、n,下列命题中真命题是
A.若 , , , ,则 B.若 , ,则
C.若 , , ,则 D.若 , ,则
9.已知函数 ,则下列结论中正确的是
A.函数 的最小正周期为 B.函数 的图象关于点 对称
C.由函数 的图象向右平移 个单位长度可以得到函数 的图象
D.函数 在区间 上单调递增
10.已知直线 与抛物线 相交于 两点, 是 的中点,则点 到抛物
线准线的距离为
A. B.4 C.7 D.8
11.函数 为 上的可导函数,其导函数为 ,且 ,在
中, ,则 的形状为
A.等腰锐角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形
12.已知偶函数 满足 ,且当 时, ,关于 的
不等式 在区间 上有且只有 300 个整数解,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
第 II 卷 非选择题(90 分)
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
c ca b> log loga ab c> a bc c> log logb ac c<
α β γ
a m⊥ a n⊥ m α⊂ n ⊂ α a α⊥ / /a b b α⊂ / /a α
/ /α β aα γ∩ = bβ γ = / /a b α β⊥ a α⊂ a β⊥
( ) sin 2 4f x x
π = +
( )f x 2π ( )f x ,04
π
( )f x
8
π
sin 2y x=
( )f x 5,8 8
π π
: 1l y x= − 2 4y x= A B, M AB M
7
2
R ( )f x′ ( ) 3 sin cos6f x f x x
π = ⋅ +
′ ABC∆
( ) ( ) 1f A f B= ′ = ABC∆
( )f x ( ) ( )4 4f x f x+ = − ( ]0,4x∈ ( ) ( )ln 2xf x x
= x
( ) ( )2 0f x af x+ > [ ]200,200− a
1ln 2, ln 63
− −
1ln 2, ln 63
− −
1 3ln 6, ln 23 4
− −
1 3ln 6, ln 23 4
− − 3
13.已知 ,则 __________.
14.已知实数 , 满足条件 ,则 最大值为__________.
15.化简: ________.
16.已知四面体 中, , , 为等边三角形,且平面
平面 ,则四面体 外接球的表面积为______.
三.解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试
题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)已知等差数列 的前 项和为 ,且 , .
(I)求数列 的通项公式;
(II)设 ,求数列 的前 项和 .
18.(12 分)某公司培训员工某项技能,培训有如下两种方式:
方式一:周一到周五每天培训 1 小时,周日测试
方式二:周六一天培训 4 小时,周日测试
公司有多个班组,每个班组 60 人,现任选两组 记为甲组、乙组 先培训;甲组选方式一,乙组选
方式二,并记录每周培训后测试达标的人数如表:
第一周 第二周 第三周 第四周
甲组 20 25 10 5
乙组 8 16 20 16
(I)用方式一与方式二进行培训,分别估计员工受训的平均时间 精确到 ,并据此判断哪种培
训方式效率更高?
(II)在甲乙两组中,从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取 6 人,再从这 6 人中随
2tan =α =α2sin
x y
2 4 0
3 3 0
0, 0
x y
x y
x y
− + ≥
− − ≤
≥ ≥
2z x y= +
( )40 10 3sin tan° °− =
ABCD 2 6AB AD= = 4 3BD = BCD∆
ABD ⊥ BCD ABCD
{ }na n nS 2 5 25a a+ = 5 55S =
{ }na
1
3 1n na b n
= −
{ }nb n nT
( )
( 0.1)4
机抽取 2 人,求这 2 人中至少有 1 人来自甲组的概率.
19.(12 分)24.如图,正方形 的边长为 ,以 为折痕把 折起,使点 到达
点 的位置,且 .
(I)证明:平面 平面 ;
(II)若 是 的中点,设 ,且三棱锥 的体积为 ,求 的值.
20.(12 分)设函数 .
(I)讨论函数 的单调性;
(II)当函数 有最大值且最大值大于 时,求 的取值范围.
21.(12 分)已知抛物线 的内接等边三角形 的面积为 (其中 为坐
标原点).
(I)试求抛物线 的方程;
(II)已知点 两点在抛物线 上, 是以点 为直角顶点的直角三角形.
①求证:直线 恒过定点;
②过点 作直线 的垂线交 于点 ,试求点 的轨迹方程,并说明其轨迹是何种曲线.
ABCD 2 2 AC ACD D
P PA PB=
PAC ⊥ ABC
M PC ( )0 1PN PA iλ= < AOB 3 3 O
C
( )1,1 , ,M P Q C MPQ∆ M
PQ
M PQ PQ N N5
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计
分。
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴正
半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .
(I)求曲线 的直角坐标方程;
(II)若直线 与曲线 相交于 两点,求 的面积.
23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)已知 为正数,且 ,证明:
(I) ;
(II) .
xOy l
2
1
x t
y t
= −
= − + t x
C 2
2
3
2cos 1
ρ θ= +
C
l C ,M N MON∆
, ,a b c 2a b c+ + =
4
3ab bc ac+ + ≤
2 2 2 8a b c
b c a
− − −⋅ ⋅ ≥6
2020 年春四川省叙州区第一中学高三三诊模拟考试
文科数学参考答案
1.D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B 7.D 8.C 9.C 10.B 11.D
12.D
13. 14. 15.-1 16.
17.(1)设等差数列 的公差为 ,由题意得 ,解得
(2)由(1)得
18.解:(1)设甲乙两组员工受训的平均时间分别为 、 ,则
(小时)
(小时)
据此可估计用方式一与方式二培训,员工受训的平均时间分别为 10 小时和 10.9 小时,因 ,
据此可判断培训方式一比方式二效率更高;
(2)从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取 6 人,
则这 6 人中来自甲组的人数为: ,
来自乙组的人数为: ,
记来自甲组的 2 人为: ;来自乙组的 4 人为: ,则从这 6 人中随机抽取
2 人的不同方法数有: , ,
, ,共 15 种,
3
22 8 64π
{ }na d 2 5 1
5 3 1
2 5 25
5 5 10 55
a a a d
S a a d
+ = + =
= = + =
1 5,
3,
a
d
=
=
( )5 3 1 3 2.na n n∴ = + − = +
( ) ( )( )
1 1 1 1 1 .3 1 3 1 3 2 3 3 1 3 2n
n
b a n n n n n
= = = − − − + − +
1 2
1 1 1 1 1 1 1
3 2 5 5 8 3 1 3 2n nT b b b n n
= + + = − + − + + − − +
( )
1 1 1 .3 2 3 2 2 3 2
n
n n
= − = + +
1t 2t
1
20 5 25 10 10 15 5 20 1060t
× + × + × + ×= =
2
8 4 16 8 20 12 16 16 10.960t
× + × + × + ×= ≈
10 10.9<
6 10 230
× =
6 20 430
× =
a b、 c d e f、 、 、
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , ,a b a c a d a e a f ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , ,b c b d b e b f
( ) ( ) ( ), , , , ,c d c e c f ( ) ( ) ( ), , , , ,d e d f e f7
其中至少有 1 人来自甲组的有: ,
共 9 种,故所求的概率 .
19.解:(1)取 中点 ,连结 .
因为 ,所以 .
在 中, , ,
则 ,所以 ,
又 ,且 面 ,所以 面 ,
又 面 ,所以面 面 .
(2)因为面 面 ,
又面 面 ,且 ,所以 面 ,
所以 .
又因为 , ,所以 .
因为 ,所以 .
又 ,所以 ,得 .
20.(1)函数 的定义域为 ,
.
当 ,即 时, ,函数 在 上单调递增.
当 时,令 ,解得 ,当 时, ,函数单调递增,
当 时, ,函数单调递减.
综上所述:
当 时,函数 在 上单调递增,
当 时,函数 在 上单调递增,在 上单调递减.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , ,a b a c a d a e a f ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,b c b d b e b f
9 3
15 5P = =
AC O PO BO,
PC PA= PO AC⊥
POB
1 22PO OB AC= = = 2 2PB PA= =
2 2 2PB PO OB= + PO OB⊥
AC OB O= AC OB ⊂、 ABC PO ⊥ ABC
PO ⊂ PAC PAC ⊥ ABC
PAC ⊥ ABC
PAC ABC AC= BO AC⊥ OB ⊥ PAC
1
3A BMN B AMN AMNV V S BO− −= = ⋅
2OB = 8
9A BMNV − = 4
3AMNS =
PN PAλ= ( ) 11 2AMN APM PACS S S
λλ −= − =
1 42PACS PA PC= ⋅ =
1 442 3
λ− × = 1
3
λ =
( ) ln ( 1) ( )f x x a x a R= − − ∈ ( )0, ∞+
( ) 1 1 ( 1)( 1) a xf x ax x
− −′ = − − =
1 0a − ≤ 1a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+
1 0a − > ( ) 0f x′ = 1
1x a
= −
10 1x a
< < −
( ) 0f x′ >
1
1x a
> −
( ) 0f x′ <
1a ≤ ( )f x ( )0, ∞+
1a > ( )f x 10, 1a
−
1 ,1a
+∞ − 8
(2)由(1)知,当函数 有最大值时, ,
且最大值 , 此时 ,
即 .令 .
故 在 上单调递增,且 ∴ 等价于 ,∴ ,
故 a 的取值范围为 .
21.(1)解依题意,设 , ,则由 ,得 ,
即 ,因为 , ,所以 ,
故 , ,则 , 关于 轴对称,所以 轴,且 ,
所以 .因为 ,所以 ,所以 ,
故 , ,故抛物线 的方程为 .
(2)①证明 由题意可设直线 的方程为 ,
, ,由 ,消去 ,得 ,
故 , , .因为 ,所以 .
即 .整理得 ,
,即 ,
得 ,所以 或 .
当 ,即 时,直线 的方程为 ,
过定点 ,不合题意舍去.故直线 恒过定点 .
②解 设 ,则 ,即 ,得 ,
即 ,即轨迹是以 为直径的圆(除去点 ).
( )f x 1a >
max
1 1( ) ln 11 1f x f a a
= = − − −
1ln 1 31 aa
− > −−
ln( 1) 2 0a a− + − < ( ) ln( 1) 2, 1g a a a a= − + − > ( ) 1 1 01g a a
= + >−
′
( )g a ( )1,+∞ ( )2 0g = ( ) 0g a < ( ) ( )2g a g< 1 2a< <
( )1,2
( ),A AA x y ( ),B BB x y OA OB= 2 22 2A A B Bx px x px+ = +
( )( )2 0A B A Bx x x x p− + + = 0Ax > 0Bx > 2 0A Bx x p+ + >
A Bx x= A By y= A B x AB x⊥ 30AOx∠ = °
3tan30 3
A
A
y
x
= ° =
2
2
A
A
yx p
= 2 3Ay p= 2 4 3AAB y p= =
( )2 23 4 3 12 3 3 34AOBS p p∆ = × = = 1
2p = C 2y x=
PQ x my a= +
( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 2
x my a
y x
= +
=
x 2 0y my a− − =
2 4 0m a∆ = + > 1 2y y m+ = 1 2y y a= − 90PMQ∠ = ° 0MP MQ⋅ =
( )( ) ( )( )1 2 1 21 1 1 1 0x x y y− − + − − = ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 0x x x x y y y y− + + − + + =
( ) ( )22 2
1 2 1 2 1 2 1 23 2 0y y y y y y y y− + + − + + = 2 2 3 2 0a m a m− − − + =
2 23 1
2 2a m − = +
3 1
2 2a m− = + 3 1
2 2a m − = − +
3 1
2 2a m− = + 2a m= + PQ ( )1 1x my a m y= + = − +
( )1,1 PQ ( )2, 1H −
( ),N x y MN NH⊥ 0MN NH ⋅ = ( )( ) ( )( )1 2 1 1 0x x y y− − + + − =
( )2 2 3 1 0 1x y x x+ − + = ≠ MH ( )1, 1±9
22.解:(1)因为 ,所以曲线 的直角坐标方程为
;
(2)将直线 的参数方程 ( 为参数)代入曲线 的直角坐标方程,
得 ,设 两点对应的参数分别为 ,则 ,
于是 ,
直线 的普通方程为 ,则原点 到直线 的距离 ,所以
.
23.(1)将 a+b+c=2 平方得: ,
由基本不等式知: ,三式相加得:
,
则
所以 ,当且仅当 a=b=c= 时等号成立
(2)由 ,同理
则 ,
即 当且仅当 时等号成立
( )2 2 2
2
3 2cos 1 32cos 1
ρ ρ θθ= ⇒ + =+ C
2
2 13
yx + =
l
22 2
21 2
x t
y t
= −
= − +
t C
2 7 2 5 02t t− + = ,M N 1 2t t 1 2 1 2
7 2 , · 52t t t t+ = =
( )2
1 2 1 2
3 24 · 2MN t t t t= + − =
l 1 0x y+ − = O l 0 0 1 2
22
d
+ −= =
1 3
2 4MONS MN d∆ = =
2 2 2 2 2 2 4a b c ab ab ac+ + + + + =
2 2 2 2 2 22 , 2 , 2a b ab b c bc a c ac+ ≥ + ≥ + ≥
2 2 2a b c ab bc ac+ + ≥ + +
2 2 24 2 2 2 3 3 3a b c ab bc ac ab bc ac= + + + + + ≥ + +
4
3ab bc ac+ + ≤ 2
3
2 2a b c bc
b b b
− += ≥ 2 2 2 2,b a c ac c b a ba
c c c a a a
− + − += ≥ = ≥
2 2 2 2 2 2 8a b c bc ac ba
b c a b c a
− − −⋅ ⋅ ≥ ⋅ ⋅ =
2 2 2 8a b c
b c a
− − −⋅ ⋅ ≥ 2
3a b c= = =