2020届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三三诊模拟考试数学(理)试题 word版带答案详解
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2020届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三三诊模拟考试数学(理)试题 word版带答案详解

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资料简介
1 页 2020 年春四川省叙州区第一中学高三三诊模拟考试 理科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题(60 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合 A. B. C. D. 2.下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是 A.2 B. C. D. 3.命题“ , ”的否定是 A. B. C. D. 4.已知等差数列 的前 项和为 , ,若 ,则 A.10 B.11 C.12 D.13 5.猜商品的价格游戏, 观众甲: 主持人:高了! 观众甲: 主持人:低了! 观众甲: { } { }20,1,2,3 , | 3 0 =M N x x x M N= = − < ∩,则 { }0 { }| 0x x < { }| 0 3x x< < { }1,2 i 3 4i+ 1 3 2 2 i− + 1 1 2 2 i+ ( 2,0)x∀ ∈ − 2 2 0x x+ < 2 0 0 0( 2,0), 2 0x x x∃ ∉ − +  2 0 0 0( 2,0), 2 0x x x∀ ∈ − +  2 0 0 0( 2,0), 2 0x x x∀ ∉ − + < 2 0 0 0( 2,0), 2 0x x x∃ ∈ − +  { }na n nS 9 445, 31nS a −= = 198nS = n = 2000! 1000! 1500!2 页 主持人:高了! 观众甲: 主持人:低了! 观众甲: 主持人:低了! 则此商品价格所在的 区间是 A. B. C. D. 6.“直线 与 互相垂直”是“ ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.设 a>b>c>1,则下列不等式中不正确的是 A. B. C. D. 8.对于平面 、 、 和直线 a、b、m、n,下列命题中真命题是 A.若 , , , ,则 B.若 , ,则 C.若 , , ,则 D.若 , ,则 9.已知函数 ,则下列结论中正确的是 A.函数 的最小正周期为 B.函数 的图象关于点 对称 C.由函数 的图象向右平移 个单位长度可以得到函数 的图象 D.函数 在区间 上单调递增 10.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 的 个小正方形(如图 1),使得任意相邻(有公 共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“ 、 、 ”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有 涂法共有 1 2 3 1250! 1375! ( )1000,1250 ( )1250,1375 ( )1375,1500 ( )1500,2000 ( 2) 3 1 0m x my+ + + = ( 2) ( 2) 0m x m y− + + = 1 2m = c ca b> log loga ab c> a bc c> log logb ac c< α β γ a m⊥ a n⊥ m α⊂ n ⊂ α a α⊥ / /a b b α⊂ / /a α / /α β aα γ∩ = bβ γ = / /a b α β⊥ a α⊂ a β⊥ ( ) sin 2 4f x x π = +   ( )f x 2π ( )f x ,04 π     ( )f x 8 π sin 2y x= ( )f x 5,8 8 π π     1,2, ,9 9 1 5 93 页 4 5 6 7 8 9 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 11.函数 为 上的可导函数,其导函数为 ,且 ,在 中, ,则 的形状为 A.等腰锐角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形 12.已知偶函数 满足 ,且当 时, ,关于 的不等式 在区间 上有且只有 300 个整数解,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 第 II 卷 非选择题(90 分) 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.某篮球运动员罚篮命中率为 0.75,在一次罚篮训练中连续投篮 50 次,X 表示投进的次数,则 ______. 14.已知实数 , 满足条件 ,则 最大值为__________. 15.化简: ________. 108 60 48 36 R ( )f x′ ( ) 3 sin cos6f x f x x π = ⋅ +   ′ ABC∆ ( ) ( ) 1f A f B= ′ = ABC∆ ( )f x ( ) ( )4 4f x f x+ = − ( ]0,4x∈ ( ) ( )ln 2xf x x = x ( ) ( )2 0f x af x+ > [ ]200,200− a 1ln 2, ln 63  − −   1ln 2, ln 63  − −   1 3ln 6, ln 23 4  − −   1 3ln 6, ln 23 4  − −   ( )D X = x y 2 4 0 3 3 0 0, 0 x y x y x y − + ≥  − − ≤  ≥ ≥ 2z x y= + ( )40 10 3sin tan° °− =4 页 16.已知四面体 中, , , 为等边三角形,且平面 平面 ,则四面体 外接球的表面积为______. 三.解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12 分)已知等差数列 的前 项和为 ,且 , . (I)求数列 的通项公式; (II)设 ,求数列 的前 项和 . 18.(12 分)某烘焙店加工一个成本为 60 元的蛋糕,然后以每个 120 元的价格出售,如果当天卖不完,剩 下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理. (I)若烘焙店一天加工 16 个这种蛋糕,,求当天的利润 (单位:元)关于当天需求量 (单位:个, )的函数解析式; (II)烘焙店记录了 100 天这种蛋糕的日需求量(单位:个),整理得下表: 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 ①若烘焙店一天加工 16 个这种蛋糕, 表示当天的利润(单位:元),求 的分布列与数学期望及方差; ②若烘焙店一天加工 16 个或 17 个这种蛋糕,仅从获得利润大的角度考虑,你认为应加工 16 个还是 17 个? 请说明理由. ABCD 2 6AB AD= = 4 3BD = BCD∆ ABD ⊥ BCD ABCD { }na n nS 2 5 25a a+ = 5 55S = { }na 1 3 1n na b n = − { }nb n nT y n n∈N n X X5 页 19.(12 分)如图,在三棱台 中, ,G,H 分别为 , 上的点,平面 平面 , , . (I)证明:平面 平面 ; (II)若 , ,求二面角 的大小. 20.(12 分)设函数 . (I)讨论函数 的单调性; (II)当函数 有最大值且最大值大于 时,求 的取值范围. 21.(12 分)已知抛物线 的内接等边三角形 的面积为 (其中 为坐标原 点). (I)试求抛物线 的方程; (II)已知点 两点在抛物线 上, 是以点 为直角顶点的直角三角形. ABC DEF− 2BC EF= AC BC //GHF ABED CF BC⊥ AB BC⊥ BCFE ⊥ EGH AB CF⊥ 2 2AB BC CF= = = B AD C− − ( ) ln ( 1) ( )f x x a x a R= − − ∈ ( )f x ( )f x 3a − a ( )2: 2 0C y px p= > AOB 3 3 O C ( )1,1 , ,M P Q C MPQ∆ M6 页 ①求证:直线 恒过定点; ②过点 作直线 的垂线交 于点 ,试求点 的轨迹方程,并说明其轨迹是何种曲线. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极 轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (I)求曲线 的直角坐标方程; (II)若直线 与曲线 相交于 两点,求 的面积. 23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)已知 为正数,且 ,证明: (I) ; (II) . PQ M PQ PQ N N xOy l 2 1 x t y t = −  = − + t x C 2 2 3 2cos 1 ρ θ= + C l C ,M N MON∆ , ,a b c 2a b c+ + = 4 3ab bc ac+ + ≤ 2 2 2 8a b c b c a − − −⋅ ⋅ ≥7 页8 页 2020 年春四川省叙州区第一中学高三三诊模拟考试 理科数学参考答案 1.D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B 7.D 8.C 9.C 10.A 11.D 12.D 13. 14. 15.-1 16. 17.(1)设等差数列 的公差为 ,由题意得 ,解得 (2)由(1)得 18.(1)由题意,当 时,利润 ; 当 时,利润 ; 综上,当天的利润 关于当天需求量 的函数解析式为 ; (2)①由(1)可得, 当 时,利润 ; 当 时,利润 ; 9.375(75 / 8) 8 64π { }na d 2 5 1 5 3 1 2 5 25 5 5 10 55 a a a d S a a d + = + =  = = + = 1 5, 3, a d =  = ( )5 3 1 3 2.na n n∴ = + − = + ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 .3 1 3 1 3 2 3 3 1 3 2n n b a n n n n n  = = = − − − + − +  1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 2 5 5 8 3 1 3 2n nT b b b n n  = + + = − + − + + − − +   ( ) 1 1 1 .3 2 3 2 2 3 2 n n n  = − = + +  [0,16)∈n 120 960= −y n [16, )∈ +∞n ( )120 60 16 960= − × =y y n 120 960, [0,16), 960, [16, ), n n ny n n − ∈ ∈=  ∈ +∞ ∈ N N 14n = 120 14 960 720= × − =X 15n = 120 15 960 840= × − =X9 页 当 时,利润 ; 所以 的分布列为: 所以 (元); ; ②由题意,加工 个蛋糕时, 当 时,利润 ;当 时,利润 ; 当 时,利润 ;当 时,利润 ; 的分布列如下: 660 780 900 1020 0.1 0.2 0.16 0.54 则 从数学期望来看,每天加工 17 个蛋糕的利润高于每天加工 16 个蛋糕的利润,应加工 17 个. 19.(1)因为平面 平面 ,平面 平面 , 平面 平面 ,所以 . 因为 ,所以四边形 为平行四边形,所以 , 16n ≥ 960=X X X 720 840 960 P 0.1 0.2 0.7 ( ) 720 0.1 840 0.2 960 0.7 912E X = × + × + × = 2 2 2( ) (720 912) 0.1 (840 912) 0.2 (960 912) 0.7 6336D X = − × + − × + − × = 17 14n = 120 14 60 17 660= × − × =X 15n = 120 15 60 17 780= × − × =X 16n = 120 16 60 17 900= × − × =X 17n ≥ 60 17 1020= × =X X X P ( ) 660 0.1 780 0.2 900 0.16 1020 0.54 916.8 912E X = × + × + × + × = > GHF ∥ ABED BCFE ∩ ABED BE= BCFE ∩ GHF HF= BE HF∥ BC EF∥ BHFE BH EF=10 页 因为 ,所以 ,H 为 的中点. 同理 G 为 的中点,所以 ,因为 ,所以 , 又 且 ,所以四边形 是平行四边形,所以 , 又 ,所以 . 又 , 平面 , ,所以 平面 , 又 平面 ,所以平面 平面 (2) , , , , ,所以 . 分别以 , , 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 , , , . 设平面 的一个法向量为 ,因为 , 则 ,取 ,得 . 设平面 的一个法向量为 ,因为 , 则 ,取 ,得 . 所以 ,则二面角 的大小为 20.(1)函数 的定义域为 , . 当 ,即 时, ,函数 在 上单调递增. 当 时,令 ,解得 ,当 时, ,函数单调递增, 2BC EF= 2BC BH= BC AC //GH AB AB BC⊥ GH BC⊥ HC EF∥ HC EF= EFCH CF HE∥ CF BC⊥ HE BC⊥ HE GH ⊂ EGH HE GH H= BC ⊥ EGH BC ⊂ BCFE BCFE ⊥ EGH HE HB⊥ HG HB⊥ AB CF⊥ CF HE∥ //GH AB HE HG⊥ HG HB HE H xyz− ( )2,1,0A ( )0,1,0B ( )1,0,1D ( )0, 1,0C − ABD ( )1 1 1, ,m x y z= ( )2,0,0AB = − ( )1, 1,1BD = − 1 1 1 1 2 0 0 m AB x m BD x y z  ⋅ = − = ⋅ = − + =   1 1y = ( )0,1,1m = ADC ( )2 2 2, ,n x y z= ( )1, 1,1AD = − − ( )2, 2,0AC = − − 2 2 2 2 2 0 2 2 0 n AD x y z n AC x y  ⋅ = − = + = ⋅ = − − =   2 1x = ( )1, 1,0n = − 1cos , 2 m nm n m n ⋅= = ⋅      B AD C− − 3 π ( ) ln ( 1) ( )f x x a x a R= − − ∈ ( )0, ∞+ ( ) 1 1 ( 1)( 1) a xf x ax x − −′ = − − = 1 0a − ≤ 1a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+ 1 0a − > ( ) 0f x′ = 1 1x a = − 10 1x a < < − ( ) 0f x′ >11 页 当 时, ,函数单调递减. 综上所述: 当 时,函数 在 上单调递增, 当 时,函数 在 上单调递增,在 上单调递减. (2)由(1)知,当函数 有最大值时, , 且最大值 , 此时 , 即 .令 . 故 在 上单调递增,且 ∴ 等价于 ,∴ , 故 a 的取值范围为 . 21.(1)解依题意,设 , ,则由 ,得 , 即 ,因为 , ,所以 , 故 , ,则 , 关于 轴对称,所以 轴,且 , 所以 .因为 ,所以 ,所以 , 故 , ,故抛物线 的方程为 . (2)①证明 由题意可设直线 的方程为 , , ,由 ,消去 ,得 , 1 1x a > − ( ) 0f x′ < 1a ≤ ( )f x ( )0, ∞+ 1a > ( )f x 10, 1a    −  1 ,1a  +∞ −  ( )f x 1a > max 1 1( ) ln 11 1f x f a a  = = − − −  1ln 1 31 aa − > −− ln( 1) 2 0a a− + − < ( ) ln( 1) 2, 1g a a a a= − + − > ( ) 1 1 01g a a = + >− ′ ( )g a ( )1,+∞ ( )2 0g = ( ) 0g a < ( ) ( )2g a g< 1 2a< < ( )1,2 ( ),A AA x y ( ),B BB x y OA OB= 2 22 2A A B Bx px x px+ = + ( )( )2 0A B A Bx x x x p− + + = 0Ax > 0Bx > 2 0A Bx x p+ + > A Bx x= A By y= A B x AB x⊥ 30AOx∠ = ° 3tan30 3 A A y x = ° = 2 2 A A yx p = 2 3Ay p= 2 4 3AAB y p= = ( )2 23 4 3 12 3 3 34AOBS p p∆ = × = = 1 2p = C 2y x= PQ x my a= + ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 2 x my a y x = +  = x 2 0y my a− − =12 页 故 , , .因为 ,所以 . 即 .整理得 , ,即 , 得 ,所以 或 . 当 ,即 时,直线 的方程为 , 过定点 ,不合题意舍去.故直线 恒过定点 . ②解 设 ,则 ,即 ,得 , 即 ,即轨迹是以 为直径的圆(除去点 ). 22.解:(1)因为 ,所以曲线 的直角坐标方程为 ; (2)将直线 的参数方程 ( 为参数)代入曲线 的直角坐标方程, 得 ,设 两点对应的参数分别为 ,则 , 于是 , 直线 的普通方程为 ,则原点 到直线 的距离 ,所以 . 23.(1)将 a+b+c=2 平方得: , 2 4 0m a∆ = + > 1 2y y m+ = 1 2y y a= − 90PMQ∠ = ° 0MP MQ⋅ =  ( )( ) ( )( )1 2 1 21 1 1 1 0x x y y− − + − − = ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 0x x x x y y y y− + + − + + = ( ) ( )22 2 1 2 1 2 1 2 1 23 2 0y y y y y y y y− + + − + + = 2 2 3 2 0a m a m− − − + = 2 23 1 2 2a m   − = +       3 1 2 2a m− = + 3 1 2 2a m − = − +   3 1 2 2a m− = + 2a m= + PQ ( )1 1x my a m y= + = − + ( )1,1 PQ ( )2, 1H − ( ),N x y MN NH⊥  0MN NH ⋅ = ( )( ) ( )( )1 2 1 1 0x x y y− − + + − = ( )2 2 3 1 0 1x y x x+ − + = ≠ MH ( )1, 1± ( )2 2 2 2 3 2cos 1 32cos 1 ρ ρ θθ= ⇒ + =+ C 2 2 13 yx + = l 22 2 21 2 x t y t  = −  = − + t C 2 7 2 5 02t t− + = ,M N 1 2t t 1 2 1 2 7 2 , · 52t t t t+ = = ( )2 1 2 1 2 3 24 · 2MN t t t t= + − = l 1 0x y+ − = O l 0 0 1 2 22 d + −= = 1 3 2 4MONS MN d∆ = = 2 2 2 2 2 2 4a b c ab ab ac+ + + + + =13 页 由基本不等式知: ,三式相加得: , 则 所以 ,当且仅当 a=b=c= 时等号成立 (2)由 ,同理 则 , 即 当且仅当 时等号成立 2 2 2 2 2 22 , 2 , 2a b ab b c bc a c ac+ ≥ + ≥ + ≥ 2 2 2a b c ab bc ac+ + ≥ + + 2 2 24 2 2 2 3 3 3a b c ab bc ac ab bc ac= + + + + + ≥ + + 4 3ab bc ac+ + ≤ 2 3 2 2a b c bc b b b − += ≥ 2 2 2 2,b a c ac c b a ba c c c a a a − + − += ≥ = ≥ 2 2 2 2 2 2 8a b c bc ac ba b c a b c a − − −⋅ ⋅ ≥ ⋅ ⋅ = 2 2 2 8a b c b c a − − −⋅ ⋅ ≥ 2 3a b c= = =

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