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石嘴山三中 2020 届高三年级第三次模拟考试
数学（文科）试卷
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2． （ ）
A． B． C． D．
3.设 ，则( )
A. B. C. D.
4.“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗
产，他所提出的割圆术可以估算圆周率 ，理论上能把 的值计算到任意的精度．割圆术的第
一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概
率是
A. B. C. D.
6.如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ）
A．4 B．8
{1,2,3,4}A = { }2 ,B x x n n A= = ∈ A B =
{1,2} {1,4} {1,2,3,4} {2,3}
91 i
1 i
+ =−
1− i− 1 i
1
1 2
3
1
3
13 , log 2, 3a b c = = =
b c a< < c b a< < c a b< < b a c< <
0 1x< < 2sin sinx x<
3 3
4π
3 3
2π
1
2π
1
4π- 2 -
C．16 D．32
7.我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特
别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
8.已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
9.已知数列 是公差为 的等差数列，且 成等比数列，则 =（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10.在 中，角 的对边分别为 ，若 则 的面积的最大
值为（ ）
A. B. C. D.
11.已知奇函数 的定义域为 ，其导函数为 ，当 时，有
成立，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
12.已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过 作倾斜角为 的直线与椭圆交于
两点，且 ，则椭圆的离心率=（ ）
8 43
π+ 8 83
π+ 8 8π+ 8 4π+
( )π 3cos 4 5
α− = π ,π2
α ∈ sin cosα α− =
7
25
7
25
− 4 2
5
4 2
5
−
{ }na ( 0)d d ≠ 1 3 6, ,a a a 1a
d
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 cos , 4,cos
a c C bb B
− = = ABC∆
3 2 2 3 4 3
( )f x ,2 2
π π − ( )f x′ 0 2x
π< <
( )cos ( )sin 0f x x f x x′ + < x ( ) 2 cos4f x f x
π < ⋅
,4 2
π π
, ,2 4 4 2
π π π π − − ∪ ,0 0,4 4
π π − ∪ ,0 ,4 4 2
π π π − ∪
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 1 2,F F 1F 45 ,A B
1 12F B AF= - 3 -
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 5 小题，共 20 分）
13.平面向量 与 的夹角为 ， ，则 ______．
14.已知点 为抛物线 的焦点，则点 坐标为______；若双曲线 的一
个焦点与点 重合，则该双曲线的渐近线方程是______．
15.要制作一个容积为 ，高为 1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是 20 元 ，
侧面造价是 10 元 ，则该容器的最低总造价是________元．
16.已知函数 ，则函数 图象与直线 的交点个数为
__________．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分）
17.（本小题满分 12 分）
设等比数列 的前 项和为 ，且 ，等差数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
18.（本小题满分 12 分）
下表为 2014 年至 2017 年某百货零售企业的线下销售额 单位：万元 ，其中年份代码
．
年份代码 1 2 3 4
线下销售额 95 165 230 310
（1）已知 与 具有线性相关关系，求 关于 的线性回归方程，并预测 2018 年该百货零售
企业的线下销售额；
（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀
3
3
3
2
2
2
2
3
a b 45 (1, 1), 1a b= − = 2a b+ =
F 2 8y x= F
2 2
2 1( 0)2
x y aa
− = >
F
34m 3/ m
3/ m
2 2 3, 1( )
2 , 1x
x x xf x
x
+ − ≤= >
( ( ))y f f x= 4y =
{ }na n nS 12 −= n
nS { }nb 2,3 463 =−= bbb
{ } { },n na b
{ }n na b n nT
2013−= 年份x
x
y
y x y x- 4 -
疑，某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了 55
位男顾客、50 位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种)，其中
对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有 10 人、女顾客有 20 人，能否
在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的
态度与性别有关？
参考公式及数据： ， ，，
19.（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，∠BAD 为直角，AB∥CD，
PA＝AD＝CD＝2AB＝4，E，F 分别为 PC，CD 的中点．
（1）证明：平面 APD∥平面 BEF；
（2）求三棱锥 P－BED 的体积．
20．（本小题满分 12 分）
已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 上的点到准线的最小距离为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）若过点 作互相垂直的两条直线 、 ， 与抛物线 交于 、 两点， 与抛物线 交
于 、 两点， 、 分别为弦 、 的中点，求 的最小值.
∑
∑
∑
∑
=
−
=
−−
=
−
−
=
−
Λ
−
−
=
−
−−
=
n
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
xnx
yxnyx
xx
yyxx
b
1
2
2
1
1
1
2
1
)(
))((
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
( )2: 2 0C y px p= > F C 2
C
F 1l 2l 1l C A B 2l C
D E M N AB DE MF NF⋅- 5 -
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 （e 为自然对数的底数)．
（1）若函数 的图像在 处的切线与直线 垂直，求 的值；
（2）对 总有 成立，求实数 的取值范围．
请考生在 22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用 2B 铅笔在答题卡
上把所选题目对应的标号涂黑．
22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 C 的极坐标方程是 .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,
建立平面直角坐标系,直线 的参数方程是: （ 是参数）.
（1）若直线 与曲线 相交于 A、B 两点,且 ,试求实数 值.
（2）设 为曲线 上任意一点，求 的取值范围.
23. （本题满分 10 分）选修 4—5；不等式选讲.
已知函数 ，记不等式 的解集为 .
（1）求 ；
（2）设 ，证明： .
3( ) ( 3 6)( )xf x e ax x a R= − + ∈
( )f x 1x = 0x y+ = a
(0,4]x∈ ( ) 0f x ≥ a
4cosρ θ=
l
=
+=
ty
tmx
2
2
2
2
t
l C 14AB = m
( )yxM , C x y+
( ) 2 1 2 1f x x x= − + + ( ) 4f x < M
M
,a b M∈ 1 0ab a b− − + >- 6 -- 7 -
参考答案
第 I 卷（选择题共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.请把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A A B C D C A D A D
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.)
13. ___ ___ 14. __ ________ __
15.___160 ___． 16. 3
三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分）
17.设等比数列 的前 n 项和为 ，且 ，等差数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 n 项和 ．
【答案】
（1）设等差数列 的公差为 d，则 ，
又 ，所以
所以数列 的通项公式为 ．
（2）由 知， ，当 时，
n－1
，
所以数列 的通项公式 ， 也满足，
故 ，
则 ，
，
y x= ±
2 1n
nS = − { }nb 3 6 43, 2b b b= − = 3 6 43, 2,b b b= − =
{ } { },n na b
{ }n na b- 8 -
由 ，得
，
所以 ．
18.下表为 2014 年至 2017 年某百货零售企业的线下销售额 单位：万元 ，其中年份代码 年份 ．
年份代码 x 1 2 3 4
线下销售额 y 95 165 230 310
已知 y 与 x 具有线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 2018 年该百货零售企业的
线下销售额；
随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某
调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了 55 位男顾客、50 位
女顾客 每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种 ，其中对该百货零售企业
的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有 10 人、女顾客有 20 人，能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？
参考公式及数据： ， ，
，
【答案】解： 由题意得 ，
，
所以 ，
，
所以 y 关于 x 的线性回归方程为 ；- 9 -
由于 ，所以当 时， ，
所以预测 2018 年该百货零售企业的线下销售额为 万元；
由题可得 列联表如下：
持乐观态度 持不乐观态度 合计
男顾客 10 45 55
女顾客 20 30 50
合计 30 75 105
计算 的观测值 ，
由于 ，
所以可以在犯错误的概率不超过 的前提下，
认为对该百货零售企业的线下销售额持续増长所持的态度与性别有关．
19． (本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，∠BAD 为直角，AB
∥CD，PA＝AD＝CD＝2AB＝4，E，F 分别为 PC，CD 的中点．
(1)证明：平面 APD∥平面 BEF；
(2)求三棱锥 P－BED 的体积．
【答案】解 (1)证明：∵AB∥CD，且∠BAD 为直角，CD＝2AB，F 为 CD 的中点，∴FD＝
AB，故四边形 ABFD 是矩形，
∴AD∥BF，∴BF∥平面 APD,
又∵E，F 分别为 PC，CD 的中点．
∴EF∥PD，∴EF∥平面 APD， 3 分
又∵Error!
所以平面 APD∥平面 BEF. 5 分
(2)解法一：如图所示，
∵E 为 PC 的中点，- 10 -
∴VP－BED＝VP－DBC－VE－DBC＝1
3S△DBC·1
2AP， 9 分
∴VP－BED＝1
6
×4×1
2
×4×4＝16
3 . 12 分
解法二：过点 A 作 AG⊥PD 交 PD 于点 G(图略)，
∵PA⊥底面 ABCD，
∴PA⊥CD，又 CD⊥AD，∴CD⊥平面 PAD，
∴CD⊥AG，又 AG⊥PD，
∴AG⊥平面 PDE，又∵AB∥平面 PDE， 8 分
∴VP－BED＝VB－PDE＝1
3·AG· 1
2S△PDC＝1
6
×2 2×1
2
×4×4 2＝16
3 . 12 分
20．（本小题满分 12 分）
已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 上的点到准线的最小距离为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）若过点 作互相垂直的两条直线 、 ， 与抛物线 交于 、 两点， 与抛物线 交于 、
两点， 、 分别为弦 、 的中点，求 的最小值.
【解析】（1）因为抛物线 上的点到准线的最小距离为 ，所以 ，解得 .
故抛物线 的方程为 ；
（2）由（1）知焦点为 .
由已知可得 ，所以两直线 、 的斜率都存在且均不为 .
设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
故直线 的方程为 .
联立方程组 ，消去 ，整理得 .
设点 、 ，则 .
( )2: 2 0C y px p= > F C 2
C
F 1l 2l 1l C A B 2l C D E
M N AB DE MF NF⋅
C 2 22
p = 4p =
C 2 8y x=
( )2,0F
AB DE⊥ AB DE 0
AB k CD 1
k
−
AB ( )2y k x= −
( )
2 8
2
y x
y k x
= = −
x 2 8 16 0ky y k− − =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2
8y y k
+ =- 11 -
因为 为弦 的中点，所以 .
由 ，得 ，故点 .
同理，可得 .
故 ， .
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 的最小值为 .
21.已知函数 （e 为自然对数的底数)．
(1)若函数 的图像在 处的切线与直线 垂直，求 的值；
(2)对 总有 成立，求实数 的取值范围．
【答案】解： Ⅰ
，
，
函数 的图像在 处的切线与直线 垂直，
；
Ⅱ 时，
．
设 ，
，
令 得 ；令 得 ，
( ),M MM x y AB ( )1 2
1 4
2My y y k
= + =
( )2M My k x= −
2
42 2M
M
yx k k
= + = + 2
4 42,M k k
+
( )24 2, 4N k k+ −
( ) ( ) ( )2 22 2 24 2 2 4 4 1NF k k k k= + − + − = +
2
4 2 2
16 16 4 1 kMF k k k
+= + =
( )2 2
2 2
2
4 1 1 1 14 1 16 16 | | 16 2 32k
k kMF NF k k k kk k k
+ +⋅ = ⋅ + = ⋅ = + ≥ × ⋅ =
1k k
= 1k = ±
MF NF⋅ 32
3( ) ( 3 6)( )xf x e ax x a R= − + ∈
( )f x 1x = 0x y+ = a
(0,4]x∈ ( ) 0f x ≥ a- 12 -
时， 为增函数， 时， 为减函数，
，
．
请考生在 22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用 2B 铅笔在答题卡
上把所选题目对应的标号涂黑．
22、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 C 的极坐标方程是 .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面
直角坐标系,直线 l 的参数方程是: （ 是参数）.
（Ⅰ）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且 ,试求实数 m 值.
（Ⅱ）设 为曲线 上任意一点，求 的取值范围.
解析：（1）曲线 C 的极坐标方程是 化为直角坐标方程为：
直线 的直角坐标方程为：
圆心到直线 l 的距离（弦心距）
圆心 到直线 的距离为 ：
或
（2）曲线 的方程可化为 ，其参数方程为：
为曲线 上任意一点，
的取值范围是
24. （本题满分 10 分）选修 4—5；不等式选讲.
已知函数 ，记不等式 的解集为 .
（1）求 ；
（2）设 ，证明： .
4cosρ θ=
2
2{
2
2
x m t
y t
= +
=
t
14AB =
x y+
4cosρ θ=
( )2,0
2 22) 4x y− + =（ 2 2{ 2
x cos
y sin
θ
θ
= +
= (θ为参数）
( ),M x y ( )2 2 2 5sinx y θ α+ = + +
x y∴ + 2 2 5,2 2 5 − +
( ) 2 1 2 1f x x x= − + + ( ) 4f x < M
M
,a b M∈ 1 0ab a b− − + >- 13 -
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
（1）解： ，
由 ，解得 ，
故 .
（2）证明：因为 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 .
{ }| 1 1x x− < <
( )
14 , 2
1 12, 2 2
14 , 2
x x
f x x
x x
− ≤ −
= − <
1 0ab a b− − + >
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