2020届安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学（理）试题（解析版）

第页 1 绝密★启封并使用完毕前 2020 年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题（理科） 第 I 卷 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 2. 已知 为虚数单位，复数 满足 ，则下列判断正确的是 A. 的虚部为 B. C. D. 3. 设 ： ， ： ，则 是 成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 函数 的大致图象是 5. 等比数列 的前 项和为 .若 ， ，则 A. B. C. D. 6. 改革开放 40 多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精神追求，消费结 构明显优化.下图给出了 1983—2017 年部分年份我国农村居民人均生活消费支出与恩格尔系数（恩格尔 { }01>+= xxA { }0652 p q 1 sin)( 2 −= x xxxf { }na n nS 2 563 2aaa = 2 15 4 =S =+ 42 aa 2 3 2 5 32 40第页 2 系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重）统计图. 对所列年份进行分析，则下列结论错误的是 A. 农村居民人均生活消费支出呈增长趋势 B. 农村居民人均食品支出总额呈增长趋势 C. 2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长最快 D. 2015 年至 2017 年农村居民人均生活消费支出总额增长比率大于人均食品支出总额增长比率 7. 已知矩形 ， ， ， 分别为 ， 的中点，将四边形 沿 折起,使 ，则过 ， ， ， ， ， 六点的球的表面积为 A. B. C. D. 8. 已知函数 （ ）的最小正周期为 ，若将其图象沿 轴向右平移 （ ）个单 位，所得图象关于 对称，则实数 的最小值为 A． B． C． D． 9. 今年（2020 年）是闰年. 如图所示是判断 2000～3000（包括 2000，但不包括 3000）年中哪些年份是闰 年的程序框图，那么由框图可知，在 2000～3000 年 中年份是闰年的个数是 A.241 B.242 C.243 D.244 10. 已知抛物线 （ ）的焦点为 ，准 线与 轴交于点 ，过点 作圆 的切线，切点分别为 ， . ABCD 2 4AB AD= = E F AB CD AEFD EF 120=∠AEB A B C D E F 5 π2 5π 10π 20π xxf ω2sin2)( = 0ω > π x m 0>m π 3x = m π 4 π 3 3π 4 π 2: 2C y px= 0p > F x K K 2 2 2 2 4 p px y − + =   A B第页 3 若 ，则 的值为 A. B. C. D. 11. 棱 长 为 1 的 正 方 体 中 ， 分 别 为 的 中 点 ， 现 有 下 列 结 论 ： ① ；② 平面 ；③ 平面 ；④四面体 的体积等于 .其中 正确的是 A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 12. 函数 恰有两个零点 ， ，且 . 则 所 在 区间为 A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知向量 ， ， 与 的夹角为 ，则 . 14. 等差数列 中， ， 是其前 n 项和，则使 取最大值的 的值 为 . 15. 鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质. 如图，若点 C 为线 段 AB 的三等分点且 ，分别以线段 AB，AC，BC 为直径且在 AB 同侧作半圆，则这三个半圆 周所围成的图形称为鞋匠刀形（即图中阴影部分）.现等可能地从以 AB 为直径的半圆内任取一点，则 该点落在鞋匠刀形内的概率为 . 16. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，一 条渐近线方程记为 ， 直线 : 与双曲 线 在第一象限内交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为 . 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根 据要求作答. 3AB = p 1 3 2 3 1111 DCBAABCD − QP， BCDC ,11 1// BDPQ //PQ DDBB 11 ⊥PQ CAB1 PQBD −1 24 1 axxxf −= ln)( 1x 2x 1 2 F E F E 1 1( )A x y， 2 2( )B x y， 1 2 0y y ≠ AB x 3AB = E第页 5 （Ⅱ）设直线 交 轴于点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ．求证：直线 过线段 的中点． 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 （ ）. （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）当 时，对任意的 ， ，且 ，都有 ，求实 数 的取值范围． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修 4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长 度单位.已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数）. （Ⅰ）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线 与曲线 交于 ， 两点， ，且 ，求 的值． 23. [选修 4–5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 已知 ， ，且 (Ⅰ)若对于任意的正数 , ,不等式 ≤ 恒成立，求实数 的取值范围； (Ⅱ)证明： . : 2l x a= x G B x l C AC FG ( ) 21( ) ln 1 12f x a x a x= + − + Ra∈ ( )f x 1a = − 1x ( )2 0x ∈ + ∞， 21 xx ≠ 21 21 1221 )()( xmxxx xfxxfx >− − m x C 0sin4 =− θρ l 1 2 31 2 x t y t  =  = + t l C l C A B (0 1)M ， MBMA > MBMA 11 − 0a > 0b > .122 =+ ba a b 12 −x 22 11 ba + x 1))(11( 55 ≥baba ++ ，第页 6 2020 年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题（理科）参考答案 第 I 卷 二、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A A B D D B C C C D 1.A.解析： ， ，所以 .故选 A. 【考查目标】考查集合的表示方法和集合交集的运算，同时也考查一元一次不等式、一元二次不等式解集 的计算方法. 2.C. 解 析 ： ， 其 虚 部 为 ， A 错 ； ， B 错 ； ，C 正确； ，D 错误.故选 C. 【考查目标】考查复数的概念、运算及其性质. 3.A.解析： ： ， ： ，而 ，所以 是 成立的充分不必要条件. 故选 A. 【考查目标】考查对数函数、指数函数的性质，简单的逻辑用语.考查考生的计算能力. 4.A.解析：函数 的定义域为 ，且为偶函数，排除选择支 ；当 时， ， 排除 B，故选 A. 【考查目标】考查函数的概念、奇偶性，考查考生对函数图像的分析及计算能力. 5.B. 解析：设公比为 ，则 ，所以 ， ，解得 ， ， ， ，故选 B. 【考查目标】考查等比数列的概念、通项公式与前 项和公式等基础知识，考查学生的逻辑思维能力和运 算求解能力. 6.D.解析：从图中可以看出，农村居民人均生活消费支出呈增长趋势，故 A 正确；根据“农村居民人均食品 支出总额=农村居民人均生活消费支出 恩格尔系数”，计算可得农村居民人均食品支出总额呈增长趋势， 故 B 正确； 年 份 1983 1987 1991 1995 1999 2003 2007 2011 2015 2017 农村居民人均生活消费支出 212 283 492 736 895 942 2016 3408 7486 9050 恩格尔系数 67 61 61 56 52 50 52 49 42 43 农村居民人均食品支出总额 142.0 172.6 300.1 412.2 465.4 471 1048.3 1669.9 3144.1 3891.5 { }1−>= xxA { }16 m 1)22cos( +−−= mxy π 3x = 1)23 2πcos( ±=− m Zkkm ∈=− π,23 π2 Zkkm ∈−= ,2 π 3 π 0>m m π 3 2000 ( 1) 4 3000n+ − × < 251n < 250 10 3 243− + = FA F 2 2 2 2 4 p px y − + =   G O1 O2 C B D F E A O第页 8 所以 ，且 . 又 ，所以 °，那么 °， 所以△ 是等边三角形，所以 . 又 ，所以 .故应选 C. 【考查目标】考查抛物线的标准方程、焦点、准线以及圆有关的概念，考查数形结合的思维方法和考生对 数量关系的分析能力. 11.C.解析：如图 1，取 中点 ，连接 与 ，则 ， 平面 ，则 与 异面，矛盾，故①错误；如图 2，取 中点 ，易得平面 平面 ，故②正确；若③正确， 则 ,则 ，矛盾，故③错误；（另解：由结论 平面 和①知 不平 行也可判断错误）. 如图 2， ，故④正确.（④也可以这样判 断：如图 3，过点 作 的垂线，垂足为 ， ，因此， 平面 ， ， ， . 或者 ）.故选 C. 【考查目标】本题侧重于考查考生对立体几何中的直线与直线、直线与平面的位置关系以及空间几何体的 体积的计算，考查考生的空间想象能力和转化能力. 12.D.解析：方法一：当 时，不符合题意；当 时，考查函数 与 图象易知， 与 图象在区间 上必有一个交点，则在区间 上有且仅有 一个公共点，当 时， ， ，则 FA KA⊥ 2 pFA = KF p= 30AKF∠ = 60AKB∠ = AKB 3 2AB AK p= = 3AB = 2p = AD M 1MD MQ 11// CDMQ B ⊄ 1 1MQC D PQ 1BD CD R //PQR DDBB 11 CBPQ 1⊥ CBQC 11 ⊥ 1BD ⊥ CAB1 1PQ BD， 1 1 1 1 1 1 1 1( 1)3 2 2 2 24D PQB C PQB P C QBV V V− − −= = = × × × × =三棱锥 三棱锥 三棱锥 B 1C Q H 1 1BH C D⊥ BH⊥ 1DPQ 5 5BH= 1 5 2CQ= 11 1 1 1 1 5 5 1 3 3 2 2 2 5 24DPQD PQBV S BH∆− = ⋅ = × × × × =三棱锥 QBCPQBCDPQBD VVV 1111 −−− −= 三棱锥三棱锥三棱锥 24 1 2 1 4 1 3 1 3 1 11 =××=⋅= ∆ PDS QBC 0≤a 0>a xxg ln)( = axxh =)( )(xg )(xh )1,0( ),1( +∞ ),1( +∞∈x axxxf −= ln)( x axxf −= 1)(' )(xf第页 9 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，则只需 ，故 ，当 时， ，易知 ， ，可知 . 方法二：令 ， ，令 ，作出图象如下，可知 函数 在 上单调递增，在 单调递减，在 上单调递 减，由题意可知， ，而 ，故应选 D. 【考查目标】本题考查对数函数的概念与性质，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力以及综合运用数 学知识灵活解决问题的能力，考查数形结合的思想. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.3.解析：由于 ， ，所以 ，所以 . 【考查目标】本题考查平面向量的概念，代数运算以及向量模的基础知识，考查考生的逻辑思维能力和运 算求解能力. 14.16.解析：方法 1：设公差为 ，由 得 ，故 ， ，即 ，所以 时， 取得最大值. 方法 2：设公差为 ，由 得 ，故 ，且 ，又因为 ，其对应为二次函数 的图像开口向下，对称轴为 ，故 时， 取得最大值. 【考查目标】考查等差数列的概念，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力. 15. . 解析：设 ，则 ， ，于是阴影部分的面积为 ，于是所求概率为 . 【考查目标】本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问 题和解决问题的能力. 16. .解析：延长 交直线 于 点 ,则由角 )10( a ， )1( ∞+， a 11ln)1()]([ max −== aafxf 011ln =− a e 1=a )10( ，∈x xxxf e 1ln)( −−= 0e 11)e 1( 2 >−=f 0e 1)1( =    > g 2=a ( ) 160cos =−=−⋅ baabaa 1 2 =⋅− baa 3=⋅ba d 111162 32 aaaa