2020届安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学（文）试题（解析版）

第页 1 绝密★启封并使用完毕前 2020 年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题（文科） 命题：安庆市高考命题研究课题组 第Ⅰ卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间 120 分钟. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合 题目要求． 1．已知全集 ， ， | = ，则 ∩（ ）= A． B． C． D． 2. 复数 的共轭复数是 A． B. C. D. 3. 设 为实数，则“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数 在 上的图象大致是 5. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半， 中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问： 米几何？”右图是执行该计算过程的一个程序框图， ZU = }2,1,0,1{−=M =N { Rx∈ 2x x } M NCU { }2,1− { }0,1− { }1,0 { }2,1 ( )是虚数单位ii iz −= 2 i5 2 5 1 + i5 2 5 1 +− i5 2 5 1 − i5 2 5 1 −− nm, nm 22 > nm 5 1 5 1 loglog < sin cosy x x= − [ ]π π− ，第页 2 当输出的 (单位：升)，则器中米 应为 A. 升 B. 升 C . 升 D. 升 6. 数列 和数列 满足: , , ， 则 A. B. C. D. 7. 若 ，则 = A. B. C. D. 8．掷铁饼是一项体育竞技活动.如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似 看成一张拉满弦的“弓”.经测量此时两手掌心之间的弧长是 “弓”所在圆的 半径为 米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为 (参考数据： ) A. 米 B． 米 C． 米 D． 米 9.“爱护地球 节约用水”是我们每个公民的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约 水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准 .为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样调查，获得 了 个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表所示. 则估计全市家庭年用水量的中位数是 5.1=S k 2 3 4 6 { }na { }nb 31 =a )(121 ∗ + ∈−= Nnaa nn )(1 ∗∈−= Nnab nn =⋅ 20172019 bb 20192 20202 20184 20204 αα cos2 1sin −=    − 4sin 2cos πα α 2 2− 2 2 2 14− 2 14 ,8 5π 25.1 732.13414.12 =≈ ， 012.1 768.1 043.2 945.2 n第页 3 A． 立方米 B． 立方米 C． 立方米 D． 立方米 10. 点 分别是双曲线 的左、右焦点，直线 与该双曲线交于两点 ,则 A. B. C. D. 11. 已知在四面体 中， ,则四面体 的外接球的表面积是 A. B. C . D. 12. 已知函数 的图象在点 处的切线斜率是 ，则 的最大值是 A. B. C . D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上． 13. 直线 被圆 截得的弦长是 . 14. 设函数 . 若 则 . 15. 已知圆锥的顶点为 ，过母线 、 的截面面积是 . 若 、 的夹角是 ，且 与圆 锥底面所成的角是 ，则该圆锥的表面积为__________． 16.在 中， 为其外心, 且 ，则边 的长是 . 第Ⅱ卷 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 2015 年 7 月 31 日，国际体育奥委会在吉隆坡正式宣布 2022 年奥林匹克冬季奥运会（简称冬奥会）在 北京和张家口两个城市举办. 某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥 74.20 50.25 69.26 40.27 21,FF 18 2 2 =− yx 0124 =−− yx QP, =−+ PQQFPF 11 24 4 22 2 ABCP − PBCPAPCPBBCPA 平面⊥==== ,32,62,4 ABCP − π160 π128 π40 π32 )(2sinsin)( Rmxxmxf ∈+= ))0(,0( f 4 )(xf 2 3 2 23 2 33 3 0334 =+− yx :E 016222 =+−++ yxyx )(1tan)( 3 Raxxaxf ∈++= ,5)2( =f =− )2(f A AB AC 32 AB AC 60 AC 30 ABC∆ O ,3=⋅OCOA 073 =+⋅+⋅ OCOBOA AC第页 4 运知识竞赛.随机抽取了 25 名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图. 成绩在平均分以上（含平均分）的学 生所在组别定义为甲组，成绩在平均分以下（不含平均分）的学生所在组别定义为乙组. （Ⅰ）在这 25 名学生中，甲组学生中有男生 6 人，乙组学生中有女生 11 人，试问有没有 90%的把握认为 学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关？ （Ⅱ）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人，求至少有 1 人在 甲组的概率. 附表及公式： 18．（本小题满分 12 分） 设数列 是一个公差为 的等差数列，其前 项和为 , ，且三项 成等 比数列. （Ⅰ）求公差 的值； （Ⅱ）设数列 的前 项和为 ，求使不等式 成立的最小正整数 . 19．（本小题满分 12 分） 正三角形 ABC 的边长为 ，将它沿平行于 的线段 折起（其中 在 AB 边上， 在 AC 边上），使 平面 分别是 的中点. （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）若折叠后，A、B 两点间的距离为 ，求 最小时，四棱锥 的体积. { }na ( 0)d d ≠ n nS 4 20S = 1 2 4a a a、 、 d 1{ } nS n nT 2019 2020nT > n a BC PQ P Q .APQ BPQC平面⊥ ED, BCPQ, ⊥PQ ADE d d PBCQA −第页 5 20. （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 中，中心在原点的椭圆 经过点 ，其右焦点与抛物线 的焦点重合. （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）设点 为长轴上的一个动点，过点 作斜率为 的直线 交椭圆 于 两点，试判断 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 21．(本小题满分 12 分) 已知函数 的极小值为 ，其中 ， 为自然对数的底数． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若函数 无零点，求实数 的取值范围． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修 4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长 度单位.已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数）. （Ⅰ）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线 与曲线 交于 ， 两点， ，且 ，求 的值． 23. [选修 4–5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 已知 ， ，且 （Ⅰ）若对于任意的正数 ， ，不等式 ≤ 恒成立，求实数 的取值范围； xOy C         − 1,2 33 xy 542 = C ( )0,mM M 3 2 l C BA, 22 MBMA + ( ) x af x x e = + 1 a R∈ e a ( ) ( )g x f x kx= − k x C 0sin4 =− θρ l 1 2 31 2 x t y t  =  = + t l C l C A B (0 1)M ， MBMA > MBMA 11 − 0a > 0b > .122 =+ ba a b 12 −x 22 11 ba + x ，第页 6 （Ⅱ）证明： . 2020 年安庆市高三模拟考试（二模） 1))(11( 55 ≥baba ++第页 7 O A B D C 数学试题（文）参考答案 一、 选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合要求的 1.解析：本题主要考查集合的运算. 因为 | = ，所以 .故选A. 2.解析：本题主要考查复数的计算与共轭复数的意义. . 故选 D. 3.解析：本题主要考查简易逻辑. 但 不能推出 , 因为 可以为负数.由 可以得到 .故“ ”是 “ ”的必要不充分条件. 故选 B. 4.解析：本题主要考查三角函数的图象.显然， 是奇函数，排除 A,D; 当 时， 所以 排除 C. 故选 B. 5.解析: 本题主要考查算法框图与数学文化.由 得， ; 由 得， ; 由 得， .故选 D. 6.解析：本题主要考查等比数列及其性质. 于是 . 故选 C. 7.解析：本题主要考查三角函数的化简与计算. 原式= 故选 A 8.解析：本题主要考查圆与数学文化. 根据题意作出下图，弧 的长为 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B B D C A B D B C C =N { x 2x x } { }1,0= ( ) { }2,1−=∩ NCM U ( ) ( )( ) izii ii ii i iz 5 2 5 1,5 2 5 1 5 12 22 2 2 −−=∴+−=−=+− +=−= ,22 nmnm >⇔> nm > nm 5 1 5 1 loglog < nm, nml 5 1 5 1 logog < nm > nm 22 > nm 5 1 5 1 loglog < )(xf π≤≤ x0 ,0sin ≥x sin cosy x x= − ,0≤ 5.1=S ,45.1 SS −= 2=S 2=S ,32 SS −= 3=S 3=S ,23 SS −= 6=S .222)1(2112 1 1111 nn nnnnnnn bbbbaaaa =⋅=⇒=⇒−=−⇒−= − +++ ==⋅ 2 201820172019 bbb 20184 ( ) ( ) .2 2sincos2 cossin2 2 sincos 22 −=+−= − − αα αα αα AD ,16 5π ,425.1 16 5 π π ==∠AOC第页 8 所以 故选 B. 9. 解析：本题主要考查频率分布表、频率分布直方图和方图中中位数的求法. 用水量在 内的频数是 50，频率是 ，则 . 用水量在 内的频率是 ，用水量在 内的频率是 . 设中位数为 立方米. 因为前 3 组的频率之和为 而前 2 组的频率之和为 所以 由 解得， . 故选 D. 10.解析：本题主要考查直线与双曲线的位置关系. 双曲线 的右焦点是 ，直线 经过点 , 两 点在右支上.于是 故选 B. 11. 解析：本题主要考查四面体的外接球. ∴四面 体 的外接球半径为 于是四面体 的外接球的表面积是 故选 C. 12. 解析：本题主要考查三角函数的最值与导数. 因为 ，所以 因此 . 于是 . 当 ，即 时， ；当 ，即 时 ， . 所 以 当 时 ， 取 得 最 大 值 故选 C. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上． 13. 14. 15. 16. 13.解析：本题主要考查直线与圆的位置关系. 就是 .768.14sin25.122 ≈⋅×== π ACAB [ )20,30 0.025 10 0.25× = 50 2000.25n = = [ )0,10 25 0.125200 = [ ]50,60 5 0.025200 = x ,5.0565.025.019.0125.0 >=++ ,5.0315.019.0125.0 −−−=∆ mmm 所以因为 ( )0,mM C ( ).3,3−∈m .0>∆ ( ) ( ) .2 9,,,,, 2 21212211 −==+ mxxmxxyxByxA 则设 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) .139 26 9 2629 13 9 26 9 26 9 13 9 13 9 13 2 2121 2 21 2 21 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 22 =++−−+=++−+= −+−=+−++−=+ mxxmxxxxmxxmxx mxmxymxymxMBMA于是 22 MBMA + ( ) x af x x e = + ( ) 1 x af x e ′ = − .x x e ae −= a 0 ( ) 0f x′ > ( )f x R ( )f x第页 12 (2) 当 时，令 ，得 ， ． 当 ， ；当 ， ． 所以 在 内单调递减，在 内单调递增. 因此 在 处取得极小值，且极小值为 解得 故 的值为 . ………5 分 （Ⅱ）当 时， ，则 . 函数 无零点，等价于方程 在 上没有实数解，即关于 的方程： 在 上没有实数解． (1)当 时，方程为 ，易知方程没有实数解. ………7 分 (2)当 时，方程化为 . 令 则 由 得 , . 是 的 极 小 值 , 也 是 最 小 值 , ………9 分 所以当 时，方程无实数解，解得 . 综上可知, 实数 的取值范围是 . ……………12 分 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 解析；（Ⅰ）由直线 的参数方程消去参数 ，得直线 的普通方程为 ， ……………………2 分 将 ， 代入 得曲线 的普通方程为 ． ……………………5 分 （Ⅱ）设 对应的参数为 ，将 代入 ，得 ，所以 ， ………………7 分 由于直线 过 ，且 ，所以 0a > ( ) 0f x′ = xe a= lnx a= ( )lnx a∈ −∞， ( ) 0f x′ < ( )lnx a∈ + ∞， ( ) 0f x′ > ( )f x ( )ln a−∞， ( )ln a + ∞， ( )f x lnx a= ,11ln)(ln =+= aaf .1=a a 1 1a = ( ) 1 xf x x e = + ( ) ( ) 1 xg x f x kx x kxe = − = + − ( )y g x= ( ) 0g x = R x ( ) 11 xk x e − = R 1k = 1 0xe = 1k ≠ 1 1 xxek =− ,)( xxexh = .)1()( xexxh +=′ 0)( =′ xh 1x = − )1(−h )(xh ,1)1( eh −=− ..1)(     ∞+−∈ exh 1 1 1k e < −− 1k1