初中数学中考专区二轮专题换元法的妙用汇编导学案

1 重难点突破：换元法的妙用题型汇编 题型一 三角换元法 在处理许多三角问题时，我们常讲其代数化，同时，在处理某些代数问题时，通过将 其转化为三角问题，亦可简化解题过程，下面举例说明。 角度 1：三角设参在向量中应用 例题1： 线段 的长度为 2，点 分别在 非负半轴和 非负半轴上滑动，以线段 为一边，在第一象限内作矩形 （顺时针排序）， ，设 为坐标原点，则 的取值范围是 . 方法一 三角设参 设 ，由图可知 ， ， （也可以设 OA=a，OB=b，利用 a2+b2=4） 附方法二 （极化恒等式） 取 CD 的中点为 E， y AB [ ]3,112sin2 ∈+=⋅ αODOC ( ) ( )ECOEEDOEODOC +⋅+=⋅ AB BA、 x ABCD 1=BC O ODOC⋅ C B xO y A D      ≤≤=∠ 20 πααOAB ( )ααα cos,sincos2 +D ( )ααα cossin2,sin +C C B xO y A D α C B xO y A D E2 易知点 O 与点 E 之间的距离范围为[ ] 变式1： 如图，ABCD 是边长为 4 的正方形，动点 P 在以 AB 为直径的圆弧 APB 上，则 的取值范围是　 　． 分析：以 AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立坐标系，得 C（2，4），D（﹣2， 4），P（2cosα，2sinα），得到 、 坐标，用向量数量积的坐标公式化简，得 =16﹣16sinα，再结合 α∈[0，π]，不难得到 的取值范围． 【解析】以 AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立如图坐标系 则圆弧 APB 方程为 x2+y2=4，（y≥0），C（2，4），D（﹣2，4） 因此设 P（2cosα，2sinα），α∈[0，π] ∴ =（2﹣2cosα，4﹣2sinα）， =（﹣2﹣2cosα，4﹣2sinα）， 由此可得 =（2﹣2cosα）（﹣2﹣2cosα）+（4﹣2sinα）（4﹣2sinα） =4cos2α﹣4+16﹣16sinα+4sin2α=16﹣16sinα 化简得 =16﹣16sinα ( ) ( ) 1 2 22 −= −= −⋅+= OE EDOE EDOEEDOE [ ]311 2 ，∈−⇒ OE22， PC PD PC PD PC PD3 ∵α∈[0，π]，sinα∈[0，1] ∴当 α=0 或 π 时， 取最大值为 16；当 α= 时， 取最小值为 0． 由此可得 的取值范围是[0，16] 角度 2：三角换元在解析几何中应用 例题2： 已知圆 ， 为圆上任一点．求 的最大、最小值， 求 的最大、最小值． 法一：三角换元法，设圆的参数方程： 是参数 则 ．令 ，得 ， ． 所以 ， ．即 的最大值为 ，最小值为 ． 此时 ． 1)2( 22 2 =++ yxO ： ),( yxP 1 2 − − x y yx 2−    = +−= ,sin ,cos2 θ θ y x θ 3cos 2sin 1 2 − −=− − θ θ x y t=− − 3cos 2sin θ θ tt 32cossin −=− θθ tt 32)sin(1 2 −=−+ φθ 1)sin( 1 32 2 ≤−= + −⇒ φθ t t 4 33 4 33 +≤≤−⇒ t 4 33 max +=t 4 33 min −=t 1 2 − − x y 4 33+ 4 33− )cos(52sin2cos22 φθθθ ++−=−+−=− yx PC PD 2 π PC PD PC PD4 所以 的最大值为 ，最小值为 ． (附法二：几何法)设 ，则 ．由于 是圆上点，当直线与圆 有交点时，如图所示， 两条切线的斜率分别是最大、最小值．由 ，得 ． 所以 的最大值为 ，最小值为 ． 令 ，同理两条切线在 轴上的截距分别是最大、最小值． 由 ， 得 ． 所 以 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 ． 变式2： 已知圆 ， 为圆 上的动点，求 的最 大、最小值． 【解析】（法一：三角法）设圆的参数方程为 （ 是参数） 则 （其中 ）． 所以 ， ． yx 2− 52 +− 52 −− kx y =− − 1 2 02 =+−− kykx ),( yxP 1 1 22 2 = + +−−= k kkd 4 33±=k 1 2 − − x y 4 33+ 4 33− tyx =− 2 x 1 5 2 =−−= md 52 ±−=m yx 2− 52 +− 52 −− 1)4()3( 22 1 =−+− yxO： ),( yxP O 22 yxd +=    += += ,sin4 ,cos3 θ θ y x θ θθθθ 2222 sinsin816coscos69 +++++=+= yxd )cos(1026sin8cos626 φθθθ −+=++= 3 4tan =φ 361026max =+=d 161026min =−=d5 (附法二：几何法)圆上点到原点距离的最大值 等于圆心到原点的距离 加上半径 1，圆 上点到原点距离的最小值 等于圆心到原点的距离 减去半径 1． 所以 ． ．所以 ． ． 变式3： 已知圆的方程为 ，圆内有定点 ，圆周上有两个动点 、 ， 1d ' 1d 2d ' 1d 6143 22 1 =++=d 4143 22 2 =−+=d 36max =d 16min =d 222 ryx =+ ),( baP A B6 使 ，求矩形 的顶点 的轨迹方程． 法一（三角法）：设 、 、 ， 由于 为矩形，故 与 的中点重合，即有 ，① ，② 又由 有 　　③ 联立①、②、③消去 、 ，即可得 点的轨迹方程为 ． 法二：如图，在矩形 中，连结 ， 交于 ，显然 ， ， 在直角三角形 中，若设 ，则 ． 由 ，即 ， 也即 ，这便是 的轨迹方程． 法三：设 、 、 ，则 ， ． 又 ，即 ．① 又 与 的中点重合，故 ， ，即 PBPA ⊥ APBQ Q )sin,cos( αα rrA )sin,cos( ββ rrB ),( yxQ APBQ AB PQ βα coscos rrax +=+ βα sinsin rrby +=+ PBPA ⊥ 1cos sin cos sin −=− −⋅− − ar br ar br β β α α α β Q )(2 22222 baryx +−=+ APBQ AB PQ M ABOM ⊥ PQAB = AOM ),( yxQ )2,2( byaxM ++ 222 OAAMOM =+ 22222 ])()[(4 1)2()2( rbyaxbyax =−+−++++ )(2 22222 baryx +−=+ Q ),( yxQ ),( 11 yxA ),( 22 yxB 22 1 2 1 ryx =+ 22 2 2 2 ryx =+ 22 ABPQ = )(22)()()()( 2121 22 21 2 21 22 yyxxryyxxbyax +−=−+−=−+− AB PQ 21 xxax +=+ 21 yyby +=+7 　② ①＋②，有 ．这就是所求的轨迹方程． 例题3： 已知点 在椭圆 上，则 到直线 的最短距离是 法一（三角设参）：设 ， 所以 ， 所以最小值是 法 二 ： 设 直 线 ， 与 椭 圆 相 切 ， 联 立 消 元 ， 得 ， 再 ，所以两平行线最小距离是 小结：解法一，若本题仍旧使用点到直线距离公式，会发现无法化到二次函数形式，因此使 用参数式。解法二，切线法。 例题4： 若 ，则 的最小值为 【解析】依题意 ，（ ）故点 在双曲线 的右支上 由于双曲线关于 x 轴对称，所以研究 即可 当 时，另 )(22)()( 2121 222 yyxxrbyax ++=+++ )(2 22222 baryx +−=+ P 2 2 125 16 + =x y P : 7 0− + =l x y (5cos ,4sin )θ θP 2 2 5cos 4sin 7 2 41sin( ) 721 ( 1) θ θ θ ϕ− += = ⋅ + + + −d 2 (7 41)2 ⋅ − ' : 0− + =l x y c 'l 2 241 50 25 400 0+ + − =x cx c 0 41∆ = ⇒ = ±c 2 2 7 41 2 (7 41)21 ( 1) − = = ⋅ − + −d 4 4( ) ( ) =1log x+ y log x - 2y+ x y− 2 24 4x y− = 0x＞ ( )M x,y 2 2 14 x y− = 0y ≥ 0y＞ 2 0 2x ,y tan , ,cos πθ θθ  = = ∈  8 ，根据斜率几何意义，易知 变式4： 写出椭圆 的参数方程，求椭圆内接矩形的最大面积 【解析】易知 ．设椭圆内接矩形面积为 ，由对称性知，矩形的邻边 分别平行于 轴和 轴，设 为矩形在第一象限的顶点， ， 则 ，故椭圆内接矩形的最大面积为 12． 变式5： 椭圆 与 轴正向交于点 ，若这个椭圆上总存在点 ，使 ( 为坐标原点)，求其焦距与长轴之比的取值范围． 【解析】∵ 、 为定点， 为动点，可以 点坐标作为参数，把 ，转化为 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于 的一个不等式，转化为关于 e 的 不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程． 设椭圆的参数方程是 ， 则椭圆上的点 ， ， 2 2 0 sin sinx y cos cos θ θ θ θ − −− = = − = 3minx y−（ ） 149 22 =+ yx    = = θ θ sin2 cos3 y x )( R∈θ S x y )sin2,cos3( θθ )20( π> ba x A P APOP ⊥ O O A P P APOP ⊥ P a,b,c    = = θ θ sin cos by ax )0( >> ba )sin,cos( θθ baP )0,(aA9 ∵ ，∴ ， 即 ，解得 或 ， ∵ 　∴ （舍去）， ，又 ∴ ，∴ ，又 ，∴ ． 角度 3：三角换元在无理函数中应用 ①形如 例题5： 求 的值域 解析：易知 ，令 则 其中 ∵ ，∴ ， APOP ⊥ 1cos sin cos sin −=−⋅ aa b a b θ θ θ θ 0coscos)( 22222 =+−− baba θθ 1cos =θ 22 2 cos ba b −=θ 1cos1