2020届福建省漳州市高三第二次高考适应性测试数学（文）试题（解析版）

漳州市 2020 届高中毕业班第二次高考适应性测试 文科数学试题 学校 班级 姓名 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分。共 5 页 150 分，请考生把答 案填写在答题纸上。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．设集合 ， ，则 = A． B．[0，1] C．(0，1] D． 2．复数 满足 ，则 A． B． C． D． 3．下图是某省从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图． 若该省从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数 列 ， 的前 项和为 ，则下列说法中正确的是 A. 数列 是递增数列 B. 数列 是递增数列 C. 数列 的最大项是 D. 数列 的最大项是 4．若 ， ， ，则 A． B． C． D． 1 2 3 10 13 16 25 21 18 34 36 30 24 23 25 19 20 23 19 23 19 12 19 15 12 7 11 14 13 6 6 5 1 0 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 1 月 2 1 日 1 月 2 2 日 1 月 2 3 日 1 月 2 4 日 1 月 2 5 日 1 月 2 6 日 1 月 2 7 日 1 月 2 8 日 1 月 2 9 日 1 月 3 0 日 1 月 3 1 日 2 月 1 日 2 月 2 日 2 月 3 日 2 月 4 日 2 月 5 日 2 月 6 日 2 月 7 日 2 月 8 日 2 月 9 日 2 月 1 0 日 2 月 1 1 日 2 月 1 2 日 2 月 1 3 日 2 月 1 4 日 2 月 1 5 日 2 月 1 6 日 2 月 1 7 日 2 月 1 8 日 2 月 1 9 日 2 月 2 0 日 2 月 2 1 日 2 月 2 2 日 2 月 2 3 日 2 月 2 4 日 某省新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图 确诊人数 2{ | }M x x x= = { | lg 0}N x x= ≤ M N {1} ( ,1]−∞ z | | ( 1)i 2z z+ − = z = 31 i4 + 31 i4 − 2 2+i 2 2 i− { }na { }na n nS { }na { }nS { }na 11a { }nS 11S 6log 7a = 5log 4b = 1 3 log 4c = a b c< < b a c< < c b a< < c a b< − ff a a )2 1,(−∞ ),2 3( +∞ )2 3,2 1( ),2 3()2 1,( +∞−∞ 11．某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊． 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30 秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a−1 b 65 在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决 赛的有 6 人，则 A．2 号学生必进入 30 秒跳绳决赛 B．5 号学生必进入 30 秒跳绳决赛 C． 8 号学生必进入 30 秒跳绳决赛 D．9 号学生必进入 30 秒跳绳决赛 12．已知函数 （ ， ）的图象经过点 ，若关于 的方程 在 上恰有一个实数解，则 的取值范围是 A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．若椭圆 的离心率为 ，则 的短轴长为___________． 14．若实数 x，y 满足 则 的最大值是___________． 15．如图，小方格是边长为 1 的正方形，图中粗线画出的是 某几何体的三视图，正视图中的曲线为四分之一圆弧， 则该几何体的表面积是___________． 16．已知双曲线 的下焦点为 ，虚轴的右端 点为 ，点 在 的上支， 为坐标原点，直线 和 直线 的倾斜角分别为 ，若 ， 则 的最小值为___________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根 据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 ( ) sin( )f x xω ϕ= + 0ω > [0, ]2 πϕ ∈ 1(0, )2 x ( ) 1f x = − π[ ,π]6 ω 4 10[ , )3 3 4[ ,8]3 10[ ,20]3 4[ ,20]3 2 2 : 12 1 2 x yC m m + =+ 1 2 C 2, 3 3 0, 0, x y x y y +  + −  ≥ ≤ ≥ x y 2 2 : 14 9 y xC − = F A P C O OQ AQ ,α β 2sin sin 0α β= ≠ | | | |PF PQ+17．（12 分） 已知 的内角 的对边分别为 ，面积为 ，且 ． （1）求角 ； （2）若角 的角平分线交 于点 ，且 ，求 ． 18．（12 分） 已知四棱锥 中，平面 平面 ，四边形 为梯形， , 为线段 的中 点， . （1）证明： 平面 ； （2）若 ，求点 到平面 的距离． 19．（12 分） 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司 2019 年连续 六个月的利润进行了统计，并根据得到的数 据绘制了相应的散点图，如图所示． （1）由散点图可以看出，可用线性回归模型 拟合月利润 （单位：百万元）与月份代码 之间的关系，求 关于 的线性回归方程，并 预测该公司 2020 年 3 月份的利润； （2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一 批新型材料，现有 A，B 两种型号的新型材料 可供选择，按规定每种新型材料最多可使用 个月，但新材料的不稳定性会导致材料使用寿 命不同，现对 A，B 两种型号的新型材料对应 的产品各 件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表： 1 个月 2 个月 3 个月 4 个月 总计 A 20 35 35 10 100 B 10 30 40 20 100 如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？ 参考公式：回归直线方程 ，其中 ABC△ , ,A B C , ,a b c 23 3 cos2 c A 3b c= A A BC D 7=BD cos ADB∠ S ABCD− SAD ⊥ ABCD ABCD 90BCD ADC SAD∠ = ∠ = ∠ = ° E AD 2 2AD BC CD= = BD ⊥ SAB 2SA AD= = E SBD y x y x 4 100 ˆˆ ˆy bx a= + 使用寿命 材料类型 E A S BC D． 20．（12 分） 已知直线 与 轴， 轴分别交于 ，线段 的中垂线 与抛物线 有两个不同的交点 ． （1）求 的取值范围； （2）是否存在 ，使得 四点共圆，若存在，请求出 的值，若不存在，请说 明理由． 21．（12 分） 已知函数 ． （1）求证：当 时， 在 上存在最小值； （2）若 是 的零点且当 时， ，求实数 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做 第一个题目计分。 22．[选修 ：坐标系与参数方程]（10 分） 已知曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 是曲线 上的点且对应的参 数为 ， ．直线 过点 且倾斜角为 ． （1）求曲线 的普通方程和直线 的参数方程． （2）已知直线 与 轴， 轴分别交于 ，求证： 为定值． 23．[选修 ：不等式选讲]（10 分） ( )( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 ˆ = n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx = = = = − − − = − − ∑ ∑ ∑ ∑ 1 : 3 6 0l x y− − = x y ,A B AB 2l 2: 2 ( 0)E y px p= > ,C D p p , , ,A B C D p 3( ) exf x ax b= − + 1a = ( )f x ( ,0)−∞ 2x = ( )f x 2x < ( ) 0f x < a 4 4− C    = = ,sin ,cos2 α α y x α P C β 2 π0 0b > 2 2 14 3a b ab + = + 1ab≤ b a> 3 3 1 1 1 13( )a b a b − −≥ {0,1}M = { | 0 1}N x x≤= < M N , ,z x yi x y R= + ∈ | | ( 1)i 2z z+ − = 2 2 ( i 1)i 2x y x y+ + + − = 2 2 ( 1)i 2x y y x+ − + − = 2 2 2, 1 0, x y y x  + − = − = 1, 3,4 x y = = − 31 i4z = − 7 8a a> { }na 33 34S S= { }nS { }na 11a { }nS4．C【解析】因为 ， ， ， 所以 ，故选 C． 5．A【解析】由 ，得 ，故选 A． 6．D【解析】因为 ，故函数 是奇函 数，所以排除 A, B；取 ，则 ，故选 D． 7．A 【解析】圆形钱币的半径为 ,面积为 ；正方形边长为 ,面积为 ．在圆形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率是 ,则 ，故选 A． 8 ． A 【 解 析 】 设 等 比 数 列 的 公 比 为 ， 由 成 等 差 数 列 ， 得 ， 又 ，所以 ，即 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 ， ， 所以 ，故选 A． 9．D【解析】设该四棱柱的外接球的半径为 ，高为 ， 由 ，得 ， 由 ，得 ， 所以 ， ， ， ， 因为四边形 和 的外接圆的圆心分别为 ， 所以 分别为 和 的中点， 所以 ，所以 为直线 与 所成的角或其补角， 又 ，所以直线 与 所成的角的余弦值为 ，故选 D． 10．C【解析】由题意得 1 1( ) ( )cos ( )cos ( )f x x x x x f xx x − = − + = − − = − 6 6log 7 log 6 1a = > = 5log 4 (0,1)b = ∈ 1 3 log 4 0c = < c b a< < (3, 1)AC AB AD= + = −   (2,1) (3, 1) 5AD AC⋅ = ⋅ − =  ( )f x πx = 1 1(π) (π )cosπ (π ) 0π πf = − = − − < cm2 4πS =圆 cm1 1=正方形S 11 4πp = − 1π 4(1 )p = − )0( >qq 423 ,, aaa− 4322 aaa +−= 11 =a 2 32q q q= − + 022 =−− qq ( 2)( 1) 0q q− + = 0>q 2q = 2019 2020 2a = 1221 21 2020 2020 2020 −=− −=S 2020 20202 1S a= − R h 24π 40πS R= = 10R = 2 2 21 2 2 102R h= + + = 4 2h = 2CD = 1 4 2CC = 1 6C D = 3DE EC= = ABCD 1 1BCC B ,M N ,M N BD 1BC 1MN DC∥ DEC∠ MN 1CD 9 9 4 7cos 2 3 3 9DEC + −∠ = =× × MN 1CD 7 9 A B C D A1 B1 C1D1 M NE，故选 C． 11．B【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的 8 人为 1~8 号，所以进入 30 秒跳绳决赛 的 6 人从 1~8 号里产生．若 1 号，5 号学生未进入 30 秒跳绳决赛，则因为 4 号学生的 30 秒跳绳决赛成绩比 1 号，5 号学生低，所以 4 号学生一定未进入 30 秒跳绳决赛，这样 1~8 号中至少有 3 人未进入 30 秒跳绳决赛，与事实矛盾，所以 1 号，5 号学生必进入 30 秒 跳绳决赛，故选 B． 12．A【解析】因为 的图象经过点 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 所以由 ，得 即 所以 的所有正解从小到大为 ， ， ，…， 因为关于 的方程 在 上恰有一个实数解， 所以 ，即 ，其中 为 的最小正周期， 所以 ，所以 ，所以 所以 或 所以 或 所以 ，故选 A． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． 14． 15．24 16． 【填空题详解】 13． 【解析】由已知，有 且 ，解得 ， 所以 ， ，所以 的短轴长为 ，故答案为 ． 1 | 1| | 1| | 1| 2 1 1 3( 2 ) ( 2) 2 2 2 2 | 1| 2 2 2 a a af f a a− − −− > − ⇒ − > − ⇒ < ⇒ − < ⇒ < < ( ) sin( )f x xω ϕ= + 1(0, )2 1(0) sin 2f ϕ= = [0, ]2 πϕ ∈ π 6 ϕ = π( ) sin( ) 16f x xω= + = − π 3π2 π+ ,6 2x kω + = 4π2 π+ 3 , , k x k Zω= ∈ ( ) 1f x = − 4π 3 ω 10π 3 ω 16π 3 ω x ( ) 1f x = − π[ ,π]6 π 5π2 π =6 6T > − 5π 12T > T ( )f x 2π 5π 12ω > 1 5 24ω > 16π 16π 5 103 π π,3 24 9ω > × = > 4π 10π π 3 3π≥ P E 0P 0'F Q P C | | | '| 4PF PF− = | | | '| 4PF PF= + '(0, 13)F | | | |PF PQ+ | '| 4 | |PF PQ= + + ≥| ' | 4F Q + | ' | 4F E r− +≥ 29 2= + P 0P Q 0Q min(| | | |) 29 2PF PQ+ = + 29 2+ O x y A 'F E P F Q 0P 0Q O x y 3 1( , )2 2A P 2x y+ = 3 3 0x y+ − =三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．解法一：（1）因为 的面积为 ， 所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 因为 ，所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 又 ，所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 （2）因为 ，角 的角平分线交 于点 ，所以 ， 又 ，所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 因为 ，所以 ，所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 因为 ， 所以 ，解得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 在 中，由正弦定理可知： 即 ，所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 因为 ，所以 ， 因为 ， ， 所以 ，所以 为锐角， 所以 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 解法二：（1）同解法一 （2）因为 ，角 的角平分线交 于点 ，所以 ， 又 ，所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 因为 ，所以 ，所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 因为 ， ABC△ 23 3 cos2 c A 21 3 3sin cos2 2bc A c A= 3b c= 21 3 33 sin cos2 2c c A c A⋅ ⋅ = tan 3A = 0 180A° < < ° 60A = ° 60A = ° A BC D 30CAD BAD∠ = ∠ = ° 3b c= 1 sin302 31 sin302 CAD DAB b ADSCD b BD S cAD c ⋅ ⋅ ° = = = = ⋅ ° △ △ 7BD = 3 7CD = 4 7a CB= = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 116 7 9 2 3 2c c c c× = + − ⋅ ⋅ ⋅ 4c = ABD△ sin sin BD c BAD ADB =∠ ∠ 7 4 1 sin 2 ADB = ∠ 2sin 7 ADB∠ = 3b c c= > B C> 30ADB C∠ = °+ 30ADC B∠ = °+ ADB ADC∠ < ∠ ADB∠ 3 21cos 77 ADB∠ = = 60A = ° A BC D 30CAD BAD∠ = ∠ = ° 3b c= 1 sin302 31 sin302 CAD DAB b ADSCD b BD S cAD c ⋅ ⋅ ° = = = = ⋅ ° △ △ 7BD = 3 7CD = 4 7a CB= = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − A B C D 7 c 3b c= a 30° 30°所以 ，解得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 由余弦定理可得： ，即 ， 所以 ， 所以 ， 所以 或 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 18．解：（1）由题意知 ， ,且 ， 所以四边形 是正方形， 连结 ，则 ， 又 ， ， 所以四边形 是平行四边形 ， 所以 ，则 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 因为平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 又因为 平面 ，所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 又因为 ， 平面 ，所以 平面 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （2）因为 ， ，所以 的面积为 ， 又由（1）知 平面 ，所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 又在 中， ， ，所以 ， 又由（1）知 平面 ，所以 ， 所以 的面积为 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 设点 到平面 的距离为 ，则 即 ， 所以点 到平面 的距离为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 2 2 116 7 9 2 3 2c c c c× = + − ⋅ ⋅ ⋅ 4c = 2 2 2 cos 2 AD c BDBAD AD c + −∠ = ⋅ AD AD 8 716 2 3 2 −+= 2 4 3 9 0AD AD− + = ( 3)( 3 3) 0AD AD− − = 3 3AD = 3AD = 3b c c= > B C> 120B C+ =  60B BAD> > ∠ 7AD BD> = 3 3AD = 2 2 2 27 7 16 21cos 2 72 3 3 7 DA DB ABADB DA DB + − + −∠ = = =⋅ × × 90BCD ADC∠ = ∠ = ° //BC ED 1 2BC CD AD DE= = = BCDE CE BD CE⊥ AEBC // AEBC = ABCE / /CE AB BD AB⊥ SAD ⊥ ABCD 90SAD∠ = ° SAD  ABCD AD= SA ⊂ SAD SA ⊥ ABCD BD ⊂ ABCD SA BD⊥ SA AB A= ,SA AB ⊂ SAB BD ⊥ SAB 2SA AD= = 1BE DE= = BDE△ 1 2 SA ⊥ ABCD 1 1 123 2 3S BDEV − = × × = Rt SAB△ 2SA = 2AB CE DB= = = 6SB = BD ⊥ SAB BD BS⊥ SBD△ 1 2 6 32 × × = E SBD h 1 1 3 3BDS h⋅ =△S 3 3=h E SBD 3 3 A B C D 7 c 3b c= a 30° 30°19．解：（1）由散点图可知统计数据 共有 组： ， ， ， ， ， 所以 ， ， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 所以月度利润 与月份代码 之间的线性回归方程为 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 又 2020 年 3 月份的月份代码为 11 ，所以当 时， ， 故预计甲公司 2020 年 3 月份的利润为 百万元．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 （2）A 型新材料使用寿命的平均数为： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 B 型新材料使用寿命的平均数为： ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 所以 ，所以应该采购 B 型新材料．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 （注：第 2 问其他合理答案同样给分） 20．解：（1）因为直线 与 轴， 轴分别交于 ， 所以 ， ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 所以线段 的中点为 ， ， 所以线段 的中垂线 的方程为 ，即 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 将 代入 ，得 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 因为 与 有两个不同的交点 ， 所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 又 ，所以 ，即 的取值范围为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （2）设 ， ，线段 的中点为 ， ( ),x y 6 (1,11) (2,13) (3,16) (4,15) (5,20) (6,21) 6n = 1 2 3 4 5 6 3.56x + + + + += = 6 1 1 1 96 166 6i i y y = = = × =∑ ( ) 1 22 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x n x = = − = = − ∑ ∑ 371 6 3.5 16 217.5 − × × = 16ˆ 5 9ˆ 2 3.a y bx= − = − × = y x ˆ 2 9y x= + 11x = 2 11 9 31ˆy = × + = 31 1 1 20 2 35 3 35 4 10 2.35100x × + × + × + ×= = 2 1 10 2 30 3 40 4 20 2.7100x × + × + × + ×= = 1 2x x< 1 : 3 6 0l x y− − = x y ,A B (2,0)A (0, 6)B − AB (1, 3)− 3ABk = AB 2l 13 ( 1)3y x+ = − − 3 8 0x y+ + = 3 8x y= − − 2: 2 ( 0)E y px p= > 2 6 16 0y py p+ + = 2l E ,C D 236 4 16 0p p∆ = − × > 0p > 16 9p > p 16( , )9 +∞ 1 1( , )C x y 2 2( , )D x y CD 0 0( , )M x y则 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 所以 ， ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 若 四点共圆，则 ，即 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 所以 ， 所以 ，解得 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 又 满足 ，所以存在 ，使得 四点共圆． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 21．解法一：（1） 的定义域为 R． 当 时， ， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 因为当 时， ，所以 在 上单调递增. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 又 ， ， 所以 在 上有唯一零点 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 且当 时， ；当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 所以 在 上存在最小值 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （2）因为 是函数 的零点， 所以 ，即 ，即 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 所以 ， ①若 ，则当 时， ， ， 所以 ， 所以 满足题意. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 1 2 1 2 6 , 16 , y y p y y p + = −  = 1 2 0 32 y yy p += = − 0 03 8 9 8x y p= − − = − 2 2 1 2 1 2| | ( ) ( )CD x x y y= − + − = 2 2 1 2 1 21 ( 3) ( ) 4y y y y+ − ⋅ + − 2 210 36 4 16 2 10 9 16p p p p= ⋅ − × = ⋅ − , , ,A B C D 1| | | |2MA CD= 2 21| | | |4MA CD= 2 2 2 0 0 1( 2) 40(9 16 )4x y p p− + = × − 2 2 2(9 10) 9 90 160p p p p− + = − 5p = 5p = 16 9p > 5p = , , ,A B C D ( )f x 1a = 3( ) exf x x b= − + 2'( ) e 3xf x x= − 0x < ''( ) e 6 0xf x x= − > '( )f x ( ,0)−∞ 1'( 1) e 3 0f −− = − < '(0) 1 0f = > '( )f x ( ,0)−∞ 0x 0x x< '( ) 0f x < 0 0x x< < '( ) 0f x > ( )f x 0( , )x−∞ 0( ,0)x ( )f x ( ,0)−∞ 0( )f x 2x = 3( ) exf x ax b= − + (2) 0f = 2e 8 0a b− + = 28 eb a= − 3 2( ) e 8 exf x ax a= − + − 0a≤ 2x < 2e e 0x − < 3 8 0x − < 2 3( ) (e e ) ( 8) 0xf x a x= − − − < 0a≤②若 ，则取 ，因为 ，且 ， 所以 不满足题意. 综上， 的取值范围为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 解法二：（1）同解法一． （2）因为 是函数 的零点， 所以 ，即 ，即 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 所以 ，所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 ①若 ，则当 时， ， 所以 在 上单调递增，所以当 时， ， 所以 满足题意. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 ②若 ，则取 ，因为 ，且 ， 所以 不满足题意. 综上， 的取值范围为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做 第一个题目计分。 22．（1）解：曲线 的普通方程为 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 因为直线 过点 且倾斜角为 ， 所以直线 的参数方程为 即 （ 为参数）．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （2）证明：因为 ，所以 ， ， 所以由 ，得 对应的参数 ， 由 ，得 对应的参数 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 所以 为定值． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 23．证明：（1）由条件，有 ， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 所以 ，即 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 0a > 2 3 e8c a = − 2c < 3 2( ) e 8 e e 0c cf c ac a= − + − = > 0a > a ( ,0]−∞ 2x = 3( ) exf x ax b= − + (2) 0f = 2e 8 0a b− + = 28 eb a= − 3 2( ) e 8 exf x ax a= − + − 2'( ) e 3xf x ax= − 0a≤ 2x < 2'( ) e 3 0xf x ax= − > ( )f x ( ,2)−∞ 2x < ( ) (2) 0f x f< = 0a≤ 0a > 2 3 e8c a = − 2c < 3 2( ) e 8 e e 0c cf c ac a= − + − = > 0a > a ( ,0]−∞ C 14 2 2 =+ yx l (2cos ,sin )P β β β−π l    −+= −+= ),πsin(sin ),πcos(cos2 ββ ββ ty tx    += −= ,sinsin ,coscos2 ββ ββ ty tx t 2 π0 2 21 3 4 4a b abab + = + ≥ 21 3 4 )ab ab+ ≥ ( 24 ) 3 1 0ab ab− −( ≤所以 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （2）因为 ，所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 要证 ， 只需证 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 只需证 （*），∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 因为 ，所以 ，即（*）式成立， 故原不等式成立. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 1ab≤ 0b a> > 1 1 0a b − > 3 3 1 1 1 13( )a b a b − −≥ 2 2 1 1 1 1 1 1 1( 3( )a b a ab b a b − + + −) ( ) ≥ 2 2 1 1 1 3a ab b + + ≥ 0 1ab< ≤ 2 2 1 1 1 2 1 3 3a ab b ab ab ab + + + =≥ ≥