高中数学必修2知识点(经典版)

高中数学必修 2 知识点 第一章 空间几何体 1.1 柱、锥、台、球的结构特征 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3 直观图：斜二测画法 4 斜二测画法的步骤： （ 1） .平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （ 2） .平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x， z 轴的线长度不变； （ 3） .画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤： （ 1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 S 2 rl 2 r 2 3 圆锥的表面积 S rl r 2 4 圆台的表面积 S rl r 2 Rl R 2 5 球的表面积 S 4 R2 （二）空间几何体的体积 1 柱体的体积 V S 底 h 2 锥体的体积 V 1 S 底 h 3 1 3 台体的体积 V （ S 上 S 上 S 下 S 下 ) h 3 4 球体的体积 V 4 R 3 3 第二章 直线与平面的位置关系 1 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法： 水平放置的平面通常画成一个平行四边形， C0 锐角画成 45 ，且横边画成邻边的 2 倍长（如图） D （2）平面通常用希腊字母 α 、 β 、 γ 等表示，如平面 α 、平 α 面 β 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对 A B 的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A∈ L A B∈L => L α α · LA∈ α B∈ α 公理 1 作用：判断直线是否在平面内 B（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 A · C符号表示为： A、 B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面 α ，α · · 使 A∈ α 、B∈ α 、 C∈ α 。 公理 2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 β 符号表示为： P∈ α∩ β => α∩ β =L，且 P∈ L P 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 α · L 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设 a、b、 c 是三条直线 a∥ b =>a∥c c∥ b 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a' 与 b' 所成的角的大小只由 a、 b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为了简便，点 O 一般取在两直线中的一条上； 2 2 ② 两条异面直线所成的角 θ∈ (0 ， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 a⊥ b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a α 来表示 a α a ∩ α=A a ∥ α 2.2. 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直 线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a α b β => a ∥ α a∥ b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个 平面平行。 符号表示： a β b β a∩ b = P β∥ α a∥ α b∥ α 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平 3 行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a∥ α a β a ∥ b α∩ β = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： α∥ β α∩ γ = a a ∥ b β∩ γ = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线 L 与平面 α 内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线 L 与平面 α 互相垂直， 记作 L⊥ α ，直线 L 叫做平面 α 的垂线， 平面 α 叫做直线 L 的垂面。 如图，直线与平面垂直时 , 它 们唯一公共点 P 叫做垂足。 L p α 2、判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a) 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学 思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B 4 α 2、二面角的记法：二面角 α-l- β 或 α-AB- β 3、两个平面互相垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 本章知识结构框图 平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4） 空间直线、平面的位置关系 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时 , 取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线 l 向上方向之间 所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角 . 特别地 , 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , 规定 α =0°. 2、 倾斜角 α 的取值范围： 0 °≤ α＜ 180° . 当直线 l 与 x 轴垂直时 , α = 90 °. 3、直线的斜率 : 一条直线的倾斜角 α( α ≠90° ) 的正切值叫做这条直线的斜率 , 斜率常用小写字母 k 表示, 也 就是 k = tan α ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , α =0° , k = tan0 ° =0; ⑵ 当直线 l 与 x 轴垂直时 , α= 90 ° , k 不存在 . 由此可知 , 一条直线 l 的倾斜角 α 一定存在 , 但是斜率 k 不一定存在 . 4、 直线的斜率公式 : 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 ≠ x2, 用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率： 5 斜率公式 : 3.1.2 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们 的斜率相等，那么它们平行，即 注意 : 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提， 结论 并不成立．即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥ L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们 的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 3.2.1 直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线 l 经过点 P0 (x0 , y0 ) ，且斜率为 k y y0 k (x x0 ) 2、、直线的斜截式方程：已知直线 l 的斜率为 k ，且与 y 轴的交点为 (0, b) y kx b 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点 P1 (x1 , x2 ), P2 (x2 , y2 ) 其中 ( x1 x2 , y1 y2 ) xxy y1 1 ( x1x2 , y1 y2 ) y2 y1 x2 x1 2、直线的截距式方程：已知直线 l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ，与 y 轴的交点为 B (0,b) ， 其中 a 0,b 0 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于 x, y 的二元一次方程 Ax By C 0（ A， B 不同时为 0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ： 3x+4y-2=0 6 L1： 2x+y +2=0 3x 4y 2 0解：解方程组 2x 2y 2 0 得 x=-2 ， y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M （ -2， 2） 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式 2 2 PP x x y y 1 2 2 2 2 1 3.3.3 点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式： Ax0 By0 C 点 P(x0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C 0 的距离为： d A2 B 2 2、两平行线间的距离公式： 已知两条平行线直线 l1 和 l 2的一般式方程为 l1 ： Ax By C1 0 ， C1 C2 l 2 ： Ax By C2 0 ，则 l1 与 l 2 的距离为 d A2 B2 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程： ( x a) 2 ( y b)2 r 2 圆心为 A(a,b), 半径为 r 的圆的方程 2、点 M (x0 , y0 ) 与圆 ( x a)2 ( y b)2 r 2 的关系的判断方法： （1） ( x0 a)2 ( y0 b)2 > r 2 ，点在圆外 （2） ( x0 a)2 ( y0 b)2 = r 2 ，点在圆上 （3） ( x0 a)2 ( y0 b)2 < r 2 ，点在圆内 4.1.2 圆的一般方程 1、圆的一般方程： x2 y 2 Dx Ey F 0 7 2、圆的一般方程的特点： (1) ①x2 和 y2 的系数相同，不等于 0． ②没有 xy 这样的二次项． (2) 圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆 的方程就确定了． (3) 、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显， 圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 设直线 l ： ax by c 0 ，圆 C ： x 2 y 2 Dx Ey F 0 ，圆的半径为 r ，圆心 ( D , E ) 到直线的距离为 d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： 2 2 （ 1）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相离； （ 2）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相切； （ 3）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相交； 4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系． 设两圆的连心线长为 l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （ 1）当 l r1 r 2 时，圆 C1 与圆 C2 相离； （ 2）当 l r1 r 2 时，圆 C1 与圆 C2 外切； （ 3）当 | r1 r2 | l r1 r 2 时，圆 C1 与圆 C2 相交； （ 4）当 l | r1 r2 | 时，圆 C1 与圆 C2 内切； （ 5）当 l | r1 r2 | 时，圆 C1 与圆 C2 内含； 4.2.3 直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步： 建立适当的平面直角坐标系， 用坐标和方程表示问题中的几何元素， 将平面几 8 何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 4.3.1 空间直角坐标系 R M O Q y P M' x 1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 (x, y, z) ， x 、 y 、 z 分别是 P、Q、R 在 x 、 y 、 z 轴上的坐标 2、有序实数组 ( x, y, z) ，对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 (x, y, z) 来表示，该数组叫做点 M 在此空 间直角坐标系中的坐标，记 M ( x, y, z) ， x 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点 M 的纵坐标， z 叫做 点 M 的竖坐标。 4.3.2 空间两点间的距离公式 1、空间中任意一点 P1 ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P2 (x2 , y2 , z2 ) 之间的距离公式 z P2 P1 O M1 M M2 H N2 y N1 N x P P ( x x ) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9