上海市闵行区2020届高三二模数学试卷 word版带答案及评分标准

高三年级质量调研考试数学试卷 第 1 页共 15 页 闵行区 2019 学年第二学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷 （满分 150 分，时间 120 分钟） 考生注意： 1．答卷前，考生务必先将自己的姓名、学校、考生号填写清楚，粘贴考生本人条形码． 2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效． 3．本试卷共有 21 道试题． 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每个空格填对得 4 分，第 7～12 题 每个空格填对得 5 分），考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果. 1．设集合 ， 则 ． 2．已知复数 ． 3．若直线 则此直线的倾斜角为 ． 4．记 为等差数列 的前 项和，若 则 ． 5．已知圆锥的母线长为 ，母线与轴的夹角为 ，则该圆锥的侧面积为 ． { }1,3,5,7A = { }4 7 ,B x x= ≤ ≤ A B = 1 ( Imz i z i i z⋅ = + =满足 为虚数单位），则 ( )1 0 1,1ax by+ + = 的方向向量为 ， nS { }na n 3 1 2 12 , 2,S S S a= + = 5a = 10 30ο 高三年级质量调研考试数学试卷 第 2 页共 15 页 6．在 的二项展开式中，常数项的值为 ． 7．若 满足 且 则 ． 8．从 中任取 个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数 列的概率为 ． 9. 已知直线 ，斜率为 的直线 与 相交于点 ，与 轴相交于 ，过 作 轴的平行线，交 于点 .过 作 轴的平行线，交 于点 再过 作 轴的平行线，交 于点 ,…这样依次得到线段 ，记 为 横坐标，则 ______ 10. 已 知 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 ， 当 且 时 ， 总 有 ，则不等式 的解集为______ 11.已知 是边长为 1 的正方形边上任意三点，则 的取值范围_____ 12.已知函数 ，若函数 在区间 内恰好有 奇数个零点，则实数 的所有取值之和为______ 8 3 1x x  −   ,x y 1,x y≤ + 1,y ≤ 3x y+ 的最大值为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 3 1 :l y x= (0 1)q q< < 2l x A y 0 (0, )B a 0B x 1l 1A 1A y 2l 1B 1B x 1l 2A 0 1 1 1B A A B， ， 1 2 2 2 1 ,n n n nB A A B B A A B−， ，. . . nx nB lim nn x→∞ = ( 2)f x + R [ )1 2, 2,x x ∈ +∞ 1 2x x≠ 1 2 1 2 0( ) ( ) x x f x f x − ( )f x 2π ω 1ω = ABC , ,A B C , ,a b c 32 Af   =   2 7, 6a b= = ABC 高三年级质量调研考试数学试卷 第 7 页共 15 页 19. 《本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 如图， 两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在 之 间选址 点建造储备仓库，共享民生物资，当点 在线段 的中点 时，建造费用为2000 万元；若点 在线段 上（不含点 ），则建造费用与 之间的距离成反比；若点 在线段 上（不含点 ），则建造费用与 之间的距离成反比，现假设 之间 的距离为 千米 ， 地所需该物资每年的运输费用为 万元，B地所需该 物资每年的运输费用为 万元， 表示建造仓库费用， 表示两地物 资每年的运输总费用（单位：万元）。 （1）求函数 的解析式： （2）若规划仓库使用的年数为 ，求 的最小值 ， 并解释其实际意义， A B、 A B、 P P AB C P AC A P A、 P CB B P B、 P A、 x (0 100)x< < A 2.5x 0.5(100 )x− ( )f x ( )g x ( )f x ( )* , ( ) ( ) ( )n n H x f x ng x∈ = +N ( )H x 高三年级质量调研考试数学试卷 第 8 页共 15 页 20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 在平面直角坐标系中， 分别为椭圆 的上、下顶点，若动直线 过点 ，且与椭圆 相交于 两个不同点（直钱 与 轴不重合，且 两点在 轴右侧， 在 的上方），直线 与 相交于点 . （1）设 的两焦点为 ，求 的值： （2）若 ，且 ，求点 的横坐标； （3）是否存在这样的点 ，使得点 的纵坐标恒为 ？若存在，求出点 的坐标；若 不存在，请说明理由。 ,A B 2 2: 12 x yΓ + = l (0, )( 1)P b b > Γ C D、 l y C D、 y C D AD BC Q Γ 1 2,F F 1 2F AF∠ 3b = 3 2PD PC=  Q P Q 1 3 P 高三年级质量调研考试数学试卷 第 9 页共 15 页 21．(本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分) 已知数列 ·若对任意 都有 ，则称数列 为“差增数列”. （1） 试判断数列 是否为“差增数列”，并说明理由； （2） 若数列 为“差增数列”，且 对于给定的正整数 ， 当 项数 的最大值为 时，求 的所有可能取值的集合； （3） 若数列 为“差增数列” 且 证明： { },nx *,n N∈ 2 12 n n n x x x+ + + > { }nx 2 *( )na n n N= ∈ { }na * 1 2, 1,na N a a∈ = = m ,ka m= k 20 m { }lg nx *( , 2020),n N n∈ ≤ 1 2 2020lg lg lg 0,x x x+ + + = 1010 1011 1.x x⋅ 2 =22ω π π 1 2 ω = 3( ) 3sin(2 )3 2f x x π= + + 32 Af =( ) 3sin( )3 2A π+ = ( )0,A∈ π 4 3 3 3A π π< + < π 2 3 3A π+ = π 3A π= 2 2 2c 2 cosa b bc A= + − 228 36 6= + −c c 2=c 4 1 sin 3 32△ = =ABCS bc A 6 3 0 50x< ≤ ( ) kf x x = 0k > 高三年级质量调研考试数学试卷 第 12 页共 15 页 由 ，得 ，此时 ；…………2 分 当 时，设 ，其中 ． 由 ，得 ，此时 ； …………4 分 综上可得， ……………………………6 分 （2）因为 ， 所以 ………………………8 分 由上述解析式可知，当 时， 单调递增， 因此只需考虑 时， 的最小值即可． 由于 ， 当且仅当 时，“ ”成立． …………………………10 分 所以当 时， 最小，最小值为 ．…………12 分 若 ， ，若 ， ． 因此，仓库的选址位置与规划仓库使用的年数有关． 当仓库使用年数 不超过 年时，仓库建在 处；当仓库使用年数 超过 年时，仓 (50) 2000f = 100000k = 100000( )f x x = 50 100x≤ < ( ) 100 mf x x = − 0m > (50) 2000f = 100000m = 100000( ) 100f x x = − 100000 ,0 50, ( ) 100000 ,50 100.100 xxf x xx  < ≤=   < ,C D ( )1 1,C x y ( )2 2,D x y 2 22 2 y kx x y b= +  + = ( )2 2 22 1 4 2 2 0bk x k x b+ + + − = 2 2 2 216 8(2 1)( 1) 0k kb b∆ = − + − > 2 2 1 2k b −> 高三年级质量调研考试数学试卷 第 14 页共 15 页 由 ，可得 ，…………………12 分 直线 方程： ，直线 方程： ， 而 ， ，联立 ，消去 ， 得 ，……………………………………14 分 则 ，因此，存在点 ，使得点 的纵坐标恒为 ． ………16 分 21.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分） [解]（1）数列 是“差增数列”． ………………………………2 分 因为对任意 ，都有 ， 即 成立．所以数列 是“差增数列”． ……4 分 （2）由已知，对任意 ， 恒成立． 令 ，则 ，且 ． 又 ，要使项数 达到最大，且最大值为 时，必须 最小． 而 ，故 ， ，……， ．……………………………6 分 1 2 2 2 1 2 2 4 2 1 2 2 2 1 b b kx x k x x k  + = − + − = + ( )2 1 2 1 2 1 2 bkx x xb x −= + BC 1 1 1 1yy xx += − AD 2 2 1 1yy xx −= + 1 2 1 2 1x y kx x bx= + 2 1 1 2 2x y kx x bx= + 1 1 2 2 1 1 1 1 yy xx yy xx + = − − = + x 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) x y x y x xy x y x y x x + + −= − + + （ 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ) ( ) ( ) ( ) kx x x x x x b x x x x b+ + + −= − + + （ 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ) ( ) ( ) ( ) b b x x x x x x b x x + + −= − + + （ 1 1 3b = = 3 1b = > P ( )0, 3 Q 1 3 2 na n= ( )*n∈N *n∈N 2 2 2 2 2 2 1( 2) 2 4 4 2( 1) 2 2( 1) 2n n na a n n n n n n a+ ++ = + + = + + = + + > + = 2 12 n n n a a a+ + + > 2 na n= ( )*n∈N *n∈N 2 1 1n n n na a a a+ + +− > − 1n n nb a a+= − ( )1n ≥ nb ∈N +1n nb b< ka m= k 20 nb ( )1 18n≤ ≤ 1 0b = 2 1b = 3 2b = 1nb n= − 高三年级质量调研考试数学试卷 第 15 页共 15 页 所以 即当 时， ， ， …………………8 分 因为 的最大值为 ，所以 ，即 ， 所以 的所有可能取值的集合为 ……………10 分 （3）证明：（反证法）假设 ． ……………………………………12 分 由已知得 均为正数，且 ， ． 而由 得 ，即 ， 所以 ．………………………………………………………………14 分 又 ，即 同理可证： ，……， ． ………………………………16 分 因此， ，与已知矛盾．所以 ．…………………18 分 1 1 2 1 1=0 1 2 ( 2) ( 1)( 2)2n na a b b b n n n−− = + +⋅⋅⋅+ + + +⋅⋅⋅+ − = − − 1 19n≤ ≤ ( 1)( 2) 12n n na − −= + 19 154a = k 20 20 1918 18 19a a≤ − < + 18 154 18 19m≤ − < + m { }*172 191,≤ < ∈m m m N 1010 1011 1x x ≥ nx ( )1, 2, , 2020n =  1 2 2020 1=x x x 1 2 1 n n n n x x x x + + + < 1 2 1 n n n n x x x x + + + < 1010 1011 1012 1009 1010 1011 x x x x x x < < 1010 1011 1009 1012x x x x< 1009 1012 1x x > 1010 1010 1009 1012 1013 1013 1008 1009 1008 1011 1012 1011 x x x x x x x x x x x x = ⋅ < ⋅ = 1008 1013 1x x > 1007 1014 1x x > 1 2020 1x x > 1 2 2020 1x x x > 1010 1011 1x x