金山区 2019 学年第二学期质量监控
高三数学试卷
(满分：150 分，完卷时间：120 分钟)
（答题请写在答题纸上）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）考生应在答题纸的
相应位置直接填写结果．
1．集合 ， ，则 = .
2．函数 的定义域是____________.
3．i 是虚数单位，则 的值为____________.
4．已知线性方程组的增广矩阵为 ，若该线性方程组的解为 ，则实数 ________.
5．已知函数 ，则 .
6．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则实数 =___________.
7．已知函数 ，若 ，则 .
8．数列 的通项公式 ，前 项和为 ，则 .
9．甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有 3 人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取 3
人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是 （结果用最简分数表
示）．
10．若点集 ， ，则点集
a =
{ }| 0< 3A x x= < { }2B x x= < A B∩
1
2y x
−=
i
1 i−
1 1 3
0 2a
1
2
2 1( )
1 1
x
f x = 1(0)f − =
( )2
2
2 1 0x y aa
− = > 2 0x y− = a
1( ) lg sin 11
xf x xx
−= + ++ ( ) 4f m = ( )f m− =
{ }na *
1 , 1,2,
1 , 3,2
n
n
nna n
n
== ∈
≥
N n nS lim nn
S→∞
=
{ }2 2( , ) | 1A x y x y= + ≤ ( ){ }, | 2 2, 1 1B x y x y= − ≤ ≤ − ≤ ≤所表示的区域的面积是__________.
11．我们把一系列向量 按次序排成一列，称之为向量列，记作 ，已知向量列 满足：
， ，设 表示向量 与 的夹角，若
，对任意正整数 ，不等式 恒成立，则实数 的
取值范围是________.
12．设 ， 为 的展开式的各项系数之和， ， ，
（[푥]表示不超过实数 的最大整数），则 的最小值
为___________.
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的
相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为 ， ，那么
“ ”是“两直线 、 平行”的( )．
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
14．如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°且腰和上底均为 1 的等腰梯形，则原
平面图形的面积是( ).
（A） （B） （C） （D）
15．在正方体 中，下列结论错误的是( ).
（A）
（B）
Rt ∈
{ }1 2 1 2 1 1 2 2( , ) | , ,( , ) ,( , )Q x y x x x y y y x y A x y B= = + = + ∈ ∈
( 1,2,..., )ia i n= { }ia { }ia
1 (1,1)a = ( ) ( )1 1 1 1
1, , ( 2)2n n n n n n na x y x y x y n− − − −= = − + ≥
n
θ 1na −
na
2
n n
nb θπ= n ( )
1 2 2
1 1 1... log 1 2a
n n n
ab b b+ +
+ + + > − a
*n∈N na ( )( 2) 1 nnx x+ − + 1 62m t= − +
1 2
2
2 ...3 3 3
n
n n
a a nab = + + + x ( )22( ) nn t b m− + −
1 1 1 1: 0l a x b y c+ + = 2 2 2 2: 0l a x b y c+ + =
1 1
2 2
0a b
a b
= 1l 2l
2
22 +
2
21+
22 + 21+
1 1 1 1ABCD A B C D−
( )2 2
1 1 1 1 1 1 13A A A D A B A B+ + =
1 1 1 1 ) 0AC A B A A⋅( − = （C）向量 与 的夹角是
（D）正方体 的体积为
16．函数 是定义在 R 上的奇函数，且 为偶函数，当 时， .若函数
有三个零点，则实数 的取值范围是( ).
（A） （B）
（C） （ Z） （D） （ Z）
三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写
出必要的步骤．
17．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题, 第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分．
已 知 四 棱 锥 底 面 , ， 底 面
是正方形， 是 的中点， 与底面 所成角
的大小为 .
（1）求四棱锥 的体积；
（2）求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值
表示）.
18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题, 第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分．
已知函数 .
（1）求函数 在区间 上的单调递增区间；
1AD
1A B 120°
1 1 1 1ABCD A B C D− 1| |AB AA AD⋅ ⋅
( )f x ( )1f x − [0,1]x∈ ( )f x x=
( ) ( )g x f x x m= − − m
1 1( , )4 4
− (1 2, 2 1)− −
1 1(4 ,4 )4 4k k− + k ∈ (4 1 2,4 + 2 1)k k+ − − k ∈
⊥− PAABCDP , ABCD 1PA =
ABCD E PD PD ABCD
6
π
P ABCD−
AE PC
( ) 22cos 3sin2
xf x x= +
)(xf [ ]0,π
E
P
D
CB
A（2）当 ，且 ，求 的值.
19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题, 第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放.
据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型 ：
以 表示第 个时刻进入园区的人数；
以 表示第 个时刻离开园区的人数．
设定每 15 分钟为一个计算单位，上午 8 点 15 分作为第 1 个计算人数单位，即 ；8 点 30 分作为
第 2 个计算单位，即 ；依次类推，把一天内从上午 8 点到下午 5 点分成 36 个计算单位（最后结果四
舍五入，精确到整数）．
（1）试分别计算当天 12：30 至 13：30 这一小时内，进入园区的游客人数푓(19) + 푓(20) + 푓(21) + 푓(22)
和离开园区的游客人数푔(19) +푔(20) +푔(21) +푔(22)；
（2）请问，从 12 点（即푛 = 16）开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由．
20.（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）
已知动直线 与椭圆C: 交于 、 两不同点，且△OPQ的面积 ，
其中 O 为坐标原点.
（1）若动直线 垂直于 轴，求直线 的方程;
（2）证明 和 均为定值;
（3）椭圆 C 上是否存在点 D，E，G，使得三角形面积 ? 若存在，判断△DEG
的形状；若不存在，请说明理由.
11( )= 5f α 6 0 2 22m k< +
2 2 2
2
1 2 2
2 1 2 4 2| | 1 | | 2
k k mPQ k x x k
+ + −= + − = + 2
| |
1
md
k
=
+
得 满足 ， ……………8 分
， ………9 分
，
综上， 和 均为定值; ……………10 分
(3) 椭圆 C 上不存在点 ，使得三角形面积
,
………11 分
假设存在 由（2）得 ，得
同理， , ………13 分
所以 只能在 这 4 个点中任取 3 个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过
原点，不构成三角形，所以产生矛盾，假设不成立.所以，椭圆 C 上不在点 . …………
16 分
21．(本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分)
解：(1) 由 …………1 分
知 ，所以 ； …………………4 分
(2) 设等差数列 公差为 ， 等比数列 的公比为 ，则由题意，
解得 ， …………………7 分
2 2
2
1 | | 2 4 2 2| |2 2 2
m k mS PQ d k
+ −= = =+
( ) ( )24 2 2 2 2 24 4 2 2 0,2 2m m k k m k− + + + = = + ∆ > 0
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
22 2
1 2 1 2 1 2 2 22 2
2 2 4 2 2 2
2 1
2 2
k m m k m k
x x x x x x
k k
− + + +
+ = + − = = =
+ +
( ) ( )2 2 2 2
1 2 1 22 2 2 2 2y y x x+ = − + − =
2 2
1 2 =1x x+ 2 2
1 2 =2y y+
, ,D E G 2
2ODE ODG OEGS S S= = =
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , , , ,D x y E x y G x y 2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 3 11, 1, 1x x x x x x+ = + = + =
2 2 2
1 2 3
1
2x x x= = = 2 2 2
1 2 3 1y y y= = =
, ,D E G 2 12
± ±
，
, ,D E G
3 0, 1n na a n+ − = ≥
4 1 1a a= = 2 3 4 6a a a+ + =
{ }nb d { }nc q
4
1 1
1 1
1
4 81
b c q
b d c
= =
+ = =
1
1
811 , ,120
3
cb
d q
== = =
520 19, 3 n
n nb n c −= − =，对任意 ， 不恒为 0，所以， 不具有
性质 . …………………………………………10 分
（解法二：说明 从第二项起单调递增）
(3) 由题意得 ， …………………………………………12 分
由（1）得 （3）
由（2）得 （4）
得 …………………………………………15 分
由（1）得 （5），
由 得
即数列 具有性质
.
……………………………………18 分
{ }na
{ }na
53 20 19n
na n−= + − 0n n≥ ( )520 3 3 1n k
n k na a k − −
+ − = + −
( )0, ,0Q k n
1
2
(1)2(2)
n i n
n j n
a a d
na a d
+
+
− = ≥ − =
，
，
1n ji na a jd+ = +
2n ij na a id+ = +
(3) (4)− 2 1, 2,jd d ni
= ≥
( ) 1+ , 2n j n j ia a d n+ −− = ≥
(2) (5)− 2 1 1, 2n j i n
j ia a d d d ni+ −
−− = − = ≥
{ }na 1,2, j iQ j i di
− −
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