2020年江苏省高考数学附加题专项7套 带答案

2020 高考数学-附加题专项练习 专题一 请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目 1】　选修 4－2：矩阵与变换 设矩阵 A＝[m　0 0　 n ]，若矩阵 A 的属于特征值 1 的一个特征向量为[1 0 ]，属于特征值 2 的一 个特征向量为[0 1 ]，求矩阵 A. 【题目 2】　选修 4－4：坐标系与参数方程 已知直线 l：{x＝1＋t， y＝－t (t 为参数)与圆 C：{x＝2cos θ， y＝m＋2sin θ(θ 为参数)相交于 A，B 两点，m 为常数. (1)当 m＝0 时，求线段 AB 的长； 【题目 1】　甲、乙两人投篮命中的概率分别为2 3与1 2，各自相互独立.现两人做投篮游戏，共比 赛 3 局，每局每人各投一球. (1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率； (2)设 ξ 表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ). 解　(1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个有以下几种情况： 甲进 1 球，乙进 0 球；甲进 2 球，乙进 1 球；甲进 3 球，乙进 2 球. 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率为2020 高考数学-附加题专项练习 【题目 2】　在(1＋x＋x 2)n＝D0n＋D1nx＋D2nx2＋…＋Drnxr＋…＋D2n－1n x2n－1＋D2nn x2n 的展开式中， 把 D0n，D1n，D2n，…，D 2nn 叫做三项式系数. (1)当 n＝2 时，写出三项式系数 D02，D12，D22，D32，D 42的值； (2)类比二项式系数性质 C mn＋1＝Cm－1n ＋Cmn(1≤m≤n，m∈N，n∈N)，给出一个关于三项式系数 .2020 高考数学-附加题专项练习 专题二 请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目 1】　选修 4－2：矩阵与变换 已知曲线 C：y2＝1 2x，在矩阵 M＝[1　　0 0　－2]对应的变换作用下得到曲线 C1，C1 在矩阵 N＝[0　1 1　0 ] 对应的变换作用下得到曲线 C2，求曲线 C2 的方程. 【题目 2】　选修 4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，圆的参数方程为 {x＝2＋2cos α， y＝2sin α (α 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求： (1)圆的普通方程； (2)圆的极坐标方程. 必做部分 【题目 1】　如图，在多面体 ABCDEF 中，ABCD 为正方形，ED⊥平面 ABCD，FB∥ED，且 AD＝DE＝2BF＝2. (1)求证：AC⊥EF； (2)求二面角 C－EF－D 的大小.2020 高考数学-附加题专项练习 【题目 2】　已知 k，m∈N*，若存在互不相等的正整数 a1，a2，…，am，使得 a1a2，a2a3，…， am－1am，ama1 同时小于 k，则记 f(k)为满足条件的 m 的最大值. (1)求 f(6)的值； (2)对于给定的正整数 n(n＞1)， (ⅰ)当 n(n＋2)＜k≤(n＋1)(n＋2)时，求 f(k)的解析式； (ⅱ)当 n(n＋1)＜k≤n(n＋2)时，求 f(k)的解析式.2020 高考数学-附加题专项练习 专题三 请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目 1】　选修 4－2：矩阵与变换 设二阶矩阵 A，B 满足 A－1＝[1　2 3　4 ]，(BA)－1＝[1　0 0　1 ]，求 B－1. 【题目 2】　选修 4－4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知曲线 C：ρ＝2sin θ，过极点 O 的直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 AB＝ 3，求直线 l 的方程. 必做部分 【题目 1】　某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出 3 名学生组成代表队， 比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一 盘比赛，但不能参加两盘单打比赛.若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为3 7，4 7. (1)按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？ (2)若单打获胜得 2 分，双打获胜得 3 分，求高一年级得分 ξ 的概率分布列和数学期望.2020 高考数学-附加题专项练习 【题目 2】　已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)过点(2，1)，直线 l 过点 P(0，－1)与抛物线 C 交于 A，B 两点.点 A 关于 y 轴的对称点为 A′，连接 A′B. (1)求抛物线 C 的标准方程； (2)问直线 A′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请 说明理由.2020 高考数学-附加题专项练习 专题 4 请同学从下面给的三题中选定两题作答 【题目 1】　选修 4－2：矩阵与变换 已知矩阵 A＝[1　2 c　d ](c，d 为实数).若矩阵 A 属于特征值 2，3 的一个特征向量分别为[2 1 ]， [1 1 ]，求矩阵 A 的逆矩阵 A－1. 【题目 2】　选修 4－4：坐标系与参数方程 已知直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ－π 3 )＝3，曲线 C 的参数方程为{x＝2cos θ， y＝2sin θ (θ 为参数)，设点 P 是曲线 C 上的任意一点，求 P 到直线 l 的距离的最大值. 必做部分 【题目 1】　如图，在直三棱柱 ABC－A 1B1C1 中，已知 CA＝CB＝1， AA1＝2，∠BCA＝90°. (1)求异面直线 BA1 与 CB1 夹角的余弦值； (2)求二面角 B－AB1－C 平面角的余弦值.2020 高考数学-附加题专项练习 【题目 2】　在数列{an}中，已知 a1＝20，a2＝30，an＋1＝3an－an－1(n∈N*，n≥2). (1)当 n＝2，3 时，分别求 a2n－an－1an＋1 的值，并判断 a2n－an－1an＋1(n≥2)是否为定值，然后给出 证明； (2)求出所有的正整数 n，使得 5an＋1an＋1 为完全平方数.2020 高考数学-附加题专项练习 专题五 2.(2018·调研)已知矩阵 M＝[0　a b　0 ]满足：Mai＝λiai，其中 λi(i＝1,2)是互不相等 的实常数，ai(i＝1,2)是非零的平面列向量，λ1＝1，a2＝[1 1 ]，求矩阵 M. 3.(2018·苏州、南通等六市模拟)在极坐标系中，求以点 P (2，π 3 )为圆心且与直线 l: ρsin(θ－π 3 ) ＝2 相切的圆的极坐标方程. 5.已知点 A(1,2)在抛物线 F：y2＝2px 上. (1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线 F 上，记三边 AB，BC，CA 所在直线的斜率分别为 k 1，k2， k3, 求1 k1－1 k2＋1 k3的值； (2)若四边形 ABCD 的四个顶点都在抛物线 F 上，记四边 AB，BC，CD，DA 所在直线的斜率分 别为 k1，k2，k3，k4，求1 k1－1 k2＋1 k3－1 k4的值.2020 高考数学-附加题专项练习 6.已知 fn(x)＝C0nxn－C1n(x－1)n＋…＋(－1)kCkn(x－k)n＋…＋(－1)nCnn(x－n)n，其中 x∈R，n∈N*， k∈N，k≤n. (1)试求 f1(x)，f2(x)，f3(x)的值； (2)试猜测 fn(x)关于 n 的表达式，并证明你的结论. .2020 高考数学-附加题专项练习 专题六 2.(2018·苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A (0，0 )，B(3，0 )， C(2，2 ).设变换 T1, T2 对应的矩阵分别为 M＝[1　0 0　2 ]， N＝[2　0 0　1 ]，求对△ABC 依次实施变 换 T1, T2 后所得图形的面积. 3.已知两个动点 P，Q 分别在两条直线 l1：y＝x 和 l2：y＝－x 上运动，且它们的横坐标分别为角 θ 的正弦，余弦，θ∈[0，π]，记OM → ＝OP → ＋OQ → ，求动点 M 的轨迹的普通方程. 5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投 球 3 次时结束.设甲每次投篮命中的概率为2 5，乙每次投篮命中的概率为2 3，且各次投篮互不影响. 现由甲先投. (1)求甲获胜的概率； (2)求投篮结束时甲的投篮次数 X 的概率分布与数学期望.2020 高考数学-附加题专项练习 6.设 n 个正数 a1，a2，…，an 满足 a1≤a2≤…≤an(n∈N*且 n≥3). (1)当 n＝3 时，证明：a1a2 a3 ＋a2a3 a1 ＋a3a1 a2 ≥a1＋a2＋a3； (2)当 n＝4 时，不等式a1a2 a3 ＋a2a3 a4 ＋a3a4 a1 ＋a4a1 a2 ≥a1＋a2＋a3＋a4 也成立，请你将其推广到 n(n∈N* 且 n≥3)个正数 a1，a2，…，an 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.2020 高考数学-附加题专项练习 专题七 2.若二阶矩阵 M 满足 [－2　 1 2 2　－1 ]M＝[－3　　0 4　－1 ]，求曲线 4x2＋4xy＋y2－12x＋12y＝0 在矩阵 M 所 对应的变换作用下得到的曲线的方程. 3.已知直线的极坐标方程为 ρsin(θ＋π 4 )＝ 2 2 ，圆 M 的参数方程为Error!(其中 θ 为参数). (1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆 M 上的点到直线的距离的最小值. 5.如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M 是棱 BC 的中点，点 P 在线段 A1B 上. (1)若 P 是线段 A1B 的中点，求直线 MP 与直线 AC 所成角的大小； (2)若 N 是 CC1 的中点，直线 A1B 与平面 PMN 所成角的正弦值为 7 7 ， 求线段 BP 的长度.2020 高考数学-附加题专项练习 6.已知 (1＋1 2x )n 展开式的各项依次记为 a1(x)，a2(x)，a3(x)，…，an(x)，an＋1(x).设 F(x)＝a1(x)＋2a2(x) ＋3a3(x)＋…＋nan(x)＋(n＋1)·an＋1(x). (1)若 a1(x)，a2(x)，a3(x)的系数依次成等差数列，求 n 的值； (2)求证：对任意 x1，x2∈[0,2]，恒有|F(x1)－F(x2)|≤2n－1(n＋2)－12020 高考数学-选做专项练习 专题一 请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目 1】　选修 4－2：矩阵与变换 设矩阵 A＝[m　0 0　 n ]，若矩阵 A 的属于特征值 1 的一个特征向量为[1 0 ]，属于特征值 2 的一 个特征向量为[0 1 ]，求矩阵 A. 解　由题意得[m　0 0　 n ][1 0 ]＝1[1 0 ]，[m　0 0　 n ][0 1 ]＝2[0 1 ]，所以{m＝1， n＝2， 故 A＝ [1　0 0　2 ]. 【题目 2】　选修 4－4：坐标系与参数方程 已知直线 l：{x＝1＋t， y＝－t (t 为参数)与圆 C：{x＝2cos θ， y＝m＋2sin θ(θ 为参数)相交于 A，B 两点，m 为常数. (1)当 m＝0 时，求线段 AB 的长； (2)当圆 C 上恰有三点到直线的距离为 1 时，求 m 的值. 解　(1)直线 l：x＋y－1＝0，曲线 C：x2＋y2＝4， 圆心到直线的距离 d＝ 1 2，故 AB＝2 r2－d2＝ 14. (2)圆 C 的直角坐标方程为 x2＋(y－m)2＝4，直线 l：x＋y－1＝0， 由题意，知圆心到直线的距离 d＝|m－1| 2 ＝1，∴m＝1± 2. 必做部分 【题目 1】　甲、乙两人投篮命中的概率分别为2 3与1 2，各自相互独立.现两人做投篮游戏，共比 赛 3 局，每局每人各投一球. (1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率； (2)设 ξ 表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ). 解　(1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个有以下几种情况： 甲进 1 球，乙进 0 球；甲进 2 球，乙进 1 球；甲进 3 球，乙进 2 球. 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率为 P＝C13×2 3×(1 3 )2 ×(1 2 )3 ＋C23×(2 3 )2 ×(1 3 )×C13×(1 2 )3 ＋C33×(2 3 )3 ×C23 ×(1 2 )3 ＝11 36. (2)ξ 的取值为 0，1，2，3，则 P(ξ＝0)＝(1 3 )3 ×(1 2 )3 ＋C13×2 3×(1 3 )2 ×C13×(1 2 )3 ＋C23×(2 3 )2 ×1 3×C23×(1 2 )3 ＋(2 3 )3 ×(1 2 )3 ＝ 7 24， P(ξ ＝ 1) ＝ (1 3 )3 ×C13×(1 2 )3 ＋ C13×2 3×(1 3 )2 ×(1 2 )3 ＋ C13×2 3×(1 3 )2 ×C23× (1 2 )3 ＋ C23×(2 3 )2 ×1 3×C13×(1 2 )3 ＋ C23×(2 3 )2 ×1 3×(1 2 )3 ＋ (2 3 )3 ×C23× (1 2 )3 ＝11 24， P(ξ＝2)＝(1 3 )3 ×C23×(1 2 )3 ＋C23×(2 3 )2 ×1 3×(1 2 )3 ＋C13×2 3×(1 3 )2 ×(1 2 ) 3 ＋(2 3 )3 ×C13×(1 2 )3 ＝ 5 24，2020 高考数学-选做专项练习 P(ξ＝3)＝(1 3 )3 ×(1 2 )3 ＋(2 3 )3 ×(1 2 )3 ＝ 1 24， 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 7 24 11 24 5 24 1 24 所以数学期望 E(ξ)＝0× 7 24＋1×11 24＋2× 5 24＋3× 1 24＝1. 【题目 2】　在(1＋x＋x 2)n＝D0n＋D1nx＋D2nx2＋…＋Drnxr＋…＋D2n－1n x2n－1＋D2nn x2n 的展开式中， 把 D0n，D1n，D2n，…，D 2nn 叫做三项式系数. (1)当 n＝2 时，写出三项式系数 D02，D12，D22，D32，D 42的值； (2)类比二项式系数性质 C mn＋1＝Cm－1n ＋Cmn(1≤m≤n，m∈N，n∈N)，给出一个关于三项式系数 D m＋1n＋1(1≤m≤2n－1，m∈N，n∈N)的相似性质，并予以证明. 解　(1)因为(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4， 所以 D02＝1，D12＝2，D22＝3，D32＝2，D42＝1. (2)类比二项式系数性质 C mn＋1＝Cm－1n ＋Cmn(1≤m≤n，m∈N，n∈N)， 三项式系数有如下性质：Dm＋1n＋1＝Dm－1n ＋Dmn＋Dm＋1n (1≤m≤2n－1). 证明如下： 因为(1＋x＋x2)n＋1＝(1＋x＋x2)·(1＋x＋x2)n， 所以(1＋x＋x2)n＋1＝(1＋x＋x2)·(D0n＋D1nx＋D2nx2＋…＋D2n－1n x2n－1＋D2nn x2n). 上式左边 xm＋1 的系数为 Dm＋1n＋1，上式右边 xm＋1 的系数为 Dm＋1n ＋Dmn＋Dm－1n ， 于是 Dm＋1n＋1＝Dm－1n ＋Dmn＋Dm＋1n (1≤m≤2n－1).2020 高考数学-选做专项练习 专题二 请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目 1】　选修 4－2：矩阵与变换 已知曲线 C：y2＝1 2x，在矩阵 M＝[1　　0 0　－2]对应的变换作用下得到曲线 C1，C1 在矩阵 N＝[0　1 1　0 ] 对应的变换作用下得到曲线 C2，求曲线 C2 的方程. 解　设 A＝NM，则 A＝[0　1 1　0 ][1　　0 0　－2]＝[0　－2 1　　0 ]，设 P(x′，y′)是曲线 C 上任一点，在两次变 换下，在曲线 C2 上对应的点为 P(x，y)， 则[x y ]＝[0　－2 1　　0 ][x′ y′ ]＝[－2y′ x′ ]，即{x＝－2y′， y＝x′， ∴{x′＝y， y′＝－1 2x. 又点 P(x′，y′)在曲线 C：y2＝1 2x 上，∴(－1 2x )2 ＝1 2y，即 x2＝2y. 【题目 2】　选修 4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，圆的参数方程为 {x＝2＋2cos α， y＝2sin α (α 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求： (1)圆的普通方程； (2)圆的极坐标方程. 解　(1)根据 sin2α＋cos2α＝1，得(x－2)2＋y2＝4cos2α＋4sin2α， 所以圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)把{x＝ρcos θ， y＝ρsin θ 代入圆的普通方程得圆的极坐标方程为 ρ＝4cos θ. 必做部分 【题目 1】　如图，在多面体 ABCDEF 中，ABCD 为正方形，ED⊥平面 ABCD，FB∥ED，且 AD ＝DE＝2BF＝2. (1)求证：AC⊥EF； (2)求二面角 C－EF－D 的大小. (1)证明　连接 BD，∵FB∥ED，∴F，B，E，D 共面， ∵ED⊥平面 ABCD，AC平面 ABCD，∴ED⊥AC，又 ABCD 为正方形， ∴BD⊥AC，而 ED∩DB＝D，ED，DB平面 DBFE， ∴AC⊥平面 DBFE，而 EF平面 DBFE，∴AC⊥EF. (2)解　如图建立空间直角坐标系.2020 高考数学-选做专项练习 则 A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，F(2，2，1)，E(0，0，2)， 由(1)知AC → 为平面 DBFE 的法向量，即AC → ＝(－2，2，0)， 又CE → ＝(0，－2，2)，CF → ＝(2，0，1)，设平面 CEF 的法向量为 n＝(x，y，z)， 则有{CE → ·n＝0， CF → ·n＝0， 即{－2y＋2z＝0， 2x＋z＝0， 取 z＝1，则 x＝－1 2，y＝1，∴n＝(－1 2 ，1，1). 设二面角 C－EF－D 的大小为 θ，则 cos 〈n，AC → 〉＝ n·AC → |n||AC → | ＝ 1＋2 3 2 × 2 2 ＝ 2 2 ， 又二面角 C－EF－D 为锐角，所以 θ＝π 4. 【题目 2】　已知 k，m∈N*，若存在互不相等的正整数 a1，a2，…，am，使得 a1a2，a2a3，…， am－1am，ama1 同时小于 k，则记 f(k)为满足条件的 m 的最大值. (1)求 f(6)的值； (2)对于给定的正整数 n(n＞1)， (ⅰ)当 n(n＋2)＜k≤(n＋1)(n＋2)时，求 f(k)的解析式； (ⅱ)当 n(n＋1)＜k≤n(n＋2)时，求 f(k)的解析式. 解　(1)由题意，取 a1＝1，a2＝2，a1a2＜6，满足题意， 若a3≥3，则必有 a2a3≥6，不满足题意， 综上所述，m 的最大值为 2，即 f(6)＝2. (2)由题意，当 n(n＋1)＜k≤(n＋1)(n＋2)时， 设 A1＝{1，2，…，n}，A2＝{n＋1，n＋2，n＋3，…}， 显然，ai，ai＋1∈A1 时，满足 aiai＋1≤n(n－1)＜n(n＋1)＜k， 所以从集合 A1 中选出的 ai 至多有 n 个， aj，aj＋1∈A2 时，ajaj＋1≥(n＋1)(n＋2)≥k，不符合题意， 所以从集合 A2 中选出的 aj 必不相邻， 又因为从集合 A1 中选出的 ai 至多有 n 个， 所以从集合 A2 中选出的 aj 至多有 n 个，放置于从集合 A1 中选出的 ai 之间， 所以 f(k)≤2n. (ⅰ)当 n(n＋2)＜k≤(n＋1)(n＋2)时， 取一串数 ai 为：1，2n，2，2n－1，3，2n－2，…，n－1，n＋2，n，n＋1， 或写成 ai＝{i＋1 2 ，i 为奇数， 2n＋1－i 2 ，i 为偶数 (1≤i≤2n)， 此时 aiai＋1≤n(n＋2)＜k(1≤i≤2n－1)，a2na1＝n＋1＜k，满足题意，所以 f(k)＝2n.2020 高考数学-选做专项练习 (ⅱ)当 n(n＋1)＜k≤n(n＋2)时， 从 A1 中选出的 n 个 ai：1，2，…，n，考虑数 n 的两侧的空位，填入集合 A2 的两个数 ap，aq， 不妨设 nap＞naq，则 nap≥n(n＋2)≥k，与题意不符， 所以 f(k)≤2n－1， 取一串数 ai 为 1，2n－1，2，2n－2，3，2n－3，…，n－2，n＋2，n－1，n＋1，n 或写成 a i＝ {i＋1 2 ，i 为奇数， 2n－i 2 ，i 为偶数 (1≤i≤2n－1)， 此时 aiai＋1≤n(n＋1)＜k(1≤i≤2n－2)，a2n－1a1＝n＜k，满足题意， 所以 f(k)＝2n－1.2020 高考数学-选做专项练习 专题三 请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目 1】　选修 4－2：矩阵与变换 设二阶矩阵 A，B 满足 A－1＝[1　2 3　4 ]，(BA)－1＝[1　0 0　1 ]，求 B－1. 解　设 B－1＝[a　b c　d ]，因为(BA)－1＝A－1B－1，所以[1　0 0　1 ]＝[1　2 3　4 ][a　b c　d ]， 即{a＋2c＝1， b＋2d＝0， 3a＋4c＝0， 3b＋4d＝1， 解得{a＝－2， b＝1， c＝3 2 ， d＝－1 2 ， 所以 B－1＝[－2　1 3 2 　－1 2]. 【题目 2】　选修 4－4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知曲线 C：ρ＝2sin θ，过极点 O 的直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 AB＝ 3，求直线 l 的方程. 解　设直线 l 的方程为 θ＝θ0(ρ∈R)，A(0，0)，B(ρ1，θ0)， 则 AB＝|ρ1－0|＝|2sin θ0|.又 AB＝ 3，故 sin θ0＝± 3 2 . 解得 θ0＝π 3＋2kπ 或 θ0＝－π 3＋2kπ，k∈Z. 所以直线 l 的方程为 θ＝π 3或 θ＝2π 3 (ρ∈R). 【题目 3】　选修 4－5：不等式选讲 已知 a≥0，b≥0，求证：a6＋b6≥ab(a4＋b4). 证明　∵a6＋b6－ab(a4＋b4)＝a5(a－b)－(a－b)b5＝(a－b)(a5－b5). 又 a≥0，b≥0，当 a－b≥0 时，a5－b5≥0； 当 a－b＜0 时，a5－b5＜0，即(a－b)(a5－b5)≥0， 所以 a6＋b6－ab(a4＋b4)≥0，即 a6＋b6≥ab(a4＋b4). 必做部分 【题目 1】　某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出 3 名学生组成代表队， 比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一 盘比赛，但不能参加两盘单打比赛.若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为3 7，4 7. (1)按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？ (2)若单打获胜得 2 分，双打获胜得 3 分，求高一年级得分 ξ 的概率分布列和数学期望. 解　(1)先安排参加单打的队员有 A 23种方法，再安排参加双打的队员有 C 12种方法， 所以，高一年级代表队出场共有 A23C12＝12 种不同的阵容. (2)ξ 的取值可能是 0，2，3，4，5，7. P(ξ＝0)＝(1－3 7 )3 ＝ 64 343，P(ξ＝2)＝C12×3 7×(1－3 7 )2 ＝ 96 343， P(ξ＝3)＝(1－3 7 )2 ×3 7＝ 48 343，P(ξ＝4)＝(3 7 )2 ×(1－3 7 )＝ 36 343， P(ξ＝5)＝C12×3 7×(1－3 7 )×3 7＝ 72 343，P(ξ＝7)＝(3 7 )3 ＝ 27 343， ξ 的概率分布列为2020 高考数学-选做专项练习 ξ 0 2 3 4 5 7 P 64 343 96 343 48 343 36 343 72 343 27 343 所以 E(ξ)＝0× 64 343＋2× 96 343＋3× 48 343＋4× 36 343＋5× 72 343＋7× 27 343＝3. 【题目 2】　已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)过点(2，1)，直线 l 过点 P(0，－1)与抛物线 C 交于 A，B 两点.点 A 关于 y 轴的对称点为 A′，连接 A′B. (1)求抛物线 C 的标准方程； (2)问直线 A′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 解　(1)将点(2，1)代入抛物线 C 的方程得 p＝2， 所以抛物线 C 的标准方程为 x2＝4y. (2)设直线 l 的方程为 y＝kx－1，又设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A′(－x1，y1)， 由{y＝1 4x2， y＝kx－1 得 x2－4kx＋4＝0，则 Δ＝16k2－16＞0， x1＝2k－2 k2－1，x2＝2k＋2 k2－1， 所以 kA′B＝ y2－y1 x2－（－x1）＝ x 4 －x 4 x1＋x2＝x2－x1 4 ， 于是直线 A′B 的方程为 y－x 4＝x2－x1 4 (x－x2)， 所以 y＝x2－x1 4 (x－x2)＋x 4＝ k2－1x＋1，当 x＝0 时，y＝1， 所以直线 A′B 过定点(0，1).2020 高考数学-选做专项练习 专题 4 请同学从下面给的三题中选定两题作答 【题目 1】　选修 4－2：矩阵与变换 已知矩阵 A＝[1　2 c　d ](c，d 为实数).若矩阵 A 属于特征值 2，3 的一个特征向量分别为[2 1 ]， [1 1 ]，求矩阵 A 的逆矩阵 A－1. 解　由题意知[1　2 c　d ][2 1 ]＝[4 2c＋d ]＝2[2 1 ]，[1　2 c　d ][1 1 ]＝[3 c＋d ]＝3[1 1 ]， 所以{2c＋d＝2， c＋d＝3， 解得{c＝－1， d＝4. 所以 A＝[1　　2 －1　4]，所以 A－1＝[2 3 　－1 3 1 6 　　1 6 ]. 【题目 2】　选修 4－4：坐标系与参数方程 已知直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ－π 3 )＝3，曲线 C 的参数方程为{x＝2cos θ， y＝2sin θ (θ 为参数)，设点 P 是曲线 C 上的任意一点，求 P 到直线 l 的距离的最大值. 解　由 ρsin(θ－π 3 )＝3，可得 ρ(1 2sin θ－ 3 2 cos θ)＝3.所以 y－ 3x＝6， 即 3x－y＋6＝0，由{x＝2cos θ， y＝2sin θ 得 x2＋y2＝4，圆的半径为 r＝2， 所以圆心到直线 l 的距离 d＝6 2＝3，所以 P 到直线 l 的距离的最大值为 d＋r＝5. 【题目 3】　选修 4－5：不等式选讲 已知 x，y，z∈R，且 x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14. 证明　因为[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2](12＋22＋32)≥[(x－1)＋2(y＋2)＋3(z－3)]2 ＝(x＋2y＋3z－6)2＝142， 当且仅当x－1 1 ＝y＋2 2 ＝z－3 3 ，即 x＝z＝0，y＝－4 时，取等号， 所以(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14. 必做部分 【题目 1】　如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，已知 CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°. (1)求异面直线 BA1 与 CB1 夹角的余弦值； (2)求二面角 B－AB1－C 平面角的余弦值. 解　如图，以{CA → ，CB → ，CC1→ }为正交基底，建立空间直角坐标系 C－xyz，2020 高考数学-选做专项练习 则 A(1，0，0)，B(0，1，0)，A1(1，0，2)，B1(0，1，2)， 所以CB1→ ＝(0，1，2)，AB → ＝(－1，1，0)，AB1→ ＝(－1，1，2)，BA1→ ＝(1，－1，2). (1)因为 cos〈CB1→ ，BA1→ 〉＝ CB1→ ·BA1→ |CB1→ ||BA1→ | ＝ 3 5 × 6＝ 30 10 ， 所以异面直线 BA1 与 CB1 夹角的余弦值为 30 10 . (2)设平面 CAB1 的法向量为 m＝(x，y，z)，则{m·AB1→ ＝0， m·CB1→ ＝0， 即{－x＋y＋2z＝0， y＋2z＝0， 取平面 CAB1 的一个法向量为 m＝(0，2，－1)； 设平面 BAB1 的法向量为 n＝(r，s，t)，则{n·AB1→ ＝0， n·AB → ＝0， 即{－r＋s＋2t＝0， －r＋s＝0， 取平面 BAB1 的一个法向量为 n＝(1，1，0)， 则 cos〈m，n〉＝ m·n |m||n|＝ 2 5 × 2＝ 10 5 ，易知二面角 B－AB1－C 为锐角， 所以二面角 B－AB1－C 平面角的余弦值为 10 5 . 【题目 2】　在数列{an}中，已知 a1＝20，a2＝30，an＋1＝3an－an－1(n∈N*，n≥2). (1)当 n＝2，3 时，分别求 a2n－an－1an＋1 的值，并判断 a2n－an－1an＋1(n≥2)是否为定值，然后给出 证明； (2)求出所有的正整数 n，使得 5an＋1an＋1 为完全平方数. 解　(1)由已知得 a3＝70，a4＝180.所以当 n＝2 时，a2n－an－1an＋1＝－500；当 n＝3 时，a2n－an－1an ＋1＝－500.猜想：a2n－an－1an＋1＝－500(n≥2). 下面用数学归纳法证明： ①当 n＝2 时，结论成立. ②假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即 a2k－ak－1ak＋1＝－500. 将 ak＋1＝3ak－ak－1 代入上式， 可得 a2k－3akak＋1＋a 2k＋1＝－500.则当 n＝k＋1 时， a 2k＋1－akak＋2＝a 2k＋1－ak(3ak＋1－ak)＝a 2k＋1－3akak＋1＋a2k＝－500. 故当 n＝k＋1 结论成立， 根据①②可得 a2n－an－1an＋1＝－500(n≥2)成立. (2)将 an－1＝3an－an＋1 代入 a2n－an－1an＋1＝－500， 得 a 2n＋1－3anan＋1＋a2n＝－500， 则 5an＋1an＝(an＋1＋an)2＋500，5anan＋1＋1＝(an＋1＋an)2＋501， 设 5an＋1an＋1＝t2(t∈N*)，则 t2－(an＋1＋an)2＝501， 即[t－(an＋1＋an)](t＋an＋1＋an)＝501， 又 an＋1＋an∈N，且 501＝1×501＝3×167， 故{an＋1＋an－t＝－1， an＋1＋an＋t＝501 或{an＋1＋an－t＝－3， an＋1＋an＋t＝167，2020 高考数学-选做专项练习 所以{t＝251， an＋1＋an＝250或{t＝85， an＋1＋an＝82， 由 an＋1＋an＝250 解得 n＝3； 由 an＋1＋an＝82 得 n 无整数解，所以当 n＝3 时，满足条件.2020 高考数学-选做专项练习 专题五 2.(2018·调研)已知矩阵 M＝[0　a b　0 ]满足：Mai＝λiai，其中 λi(i＝1,2)是互不相等 的实常数，ai(i＝1,2)是非零的平面列向量，λ1＝1，a2＝[1 1 ]，求矩阵 M. 解　由题意，λ1，λ2 是方程 f(λ)＝|λ　－a －b　　λ|＝λ2－ab＝0 的两根. 因为 λ1＝1，所以 ab＝1. 又因为 Ma2＝λ2a2，所以[0　a b　0 ] [1 1 ]＝λ2[1 1 ]，从而Error! 所以 λ22＝ab＝1. 因为 λ1≠λ2，所以 λ2＝－1，从而 a＝b＝－1， 故矩阵 M＝[0　－1 －1　　0]. 3.(2018·苏州、南通等六市模拟)在极坐标系中，求以点 P (2，π 3 )为圆心且与直线 l: ρsin(θ－π 3 ) ＝2 相切的圆的极坐标方程. 解　以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 xOy. 则点 P 的直角坐标为(1， 3 ). 将直线 l: ρsin(θ－π 3 )＝2 的方程变形为： ρsin θcos π 3－ρcos θsin π 3＝2，化为普通方程得 3x－y＋ 4＝0. ∴P (1， 3 )到直线 l: 3x－y＋4＝0 的距离为 4 ( 3 )2＋(－1 )2 ＝2. ∴所求圆的普通方程为 (x－1 )2＋(y－ 3 )2＝4，化为极坐标方程得 ρ＝4sin(θ＋π 6 ). 4.已知实数 x>0，y>0，z>0，证明：(1 x ＋2 y ＋3 z)(x 2 ＋y 4 ＋z 6)≥9 2. 证明　因为 x>0，y>0，z>0， 所以 1 x ＋2 y ＋3 z 3 ≥ 3 6 xyz， x 2 ＋y 4 ＋z 6 3 ≥ 3 xyz 48， 所以(1 x ＋2 y ＋3 z)(x 2 ＋y 4 ＋z 6)≥9 2. 当且仅当 x∶y∶z＝1∶2∶3 时，等号成立. 5.已知点 A(1,2)在抛物线 F：y2＝2px 上. (1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线 F 上，记三边 AB，BC，CA 所在直线的斜率分别为 k 1，k2， k3, 求1 k1－1 k2＋1 k3的值； (2)若四边形 ABCD 的四个顶点都在抛物线 F 上，记四边 AB，BC，CD，DA 所在直线的斜率分 别为 k1，k2，k3，k4，求1 k1－1 k2＋1 k3－1 k4的值. 解　(1)由点 A(1,2)在抛物线 F 上，得 p＝2， ∴抛物线 F：y2＝4x， 设 B(y21 4 ，y1 )，C(y22 4 ，y2 )，2020 高考数学-选做专项练习 ∴1 k1－1 k2＋1 k3＝ y21 4 －1 y1－2－ y22 4 －y21 4 y2－y1＋ 1－y22 4 2－y2＝y1＋2 4 －y2＋y1 4 ＋2＋y2 4 ＝1. (2)另设 D(y23 4 ，y3 )，则1 k1－1 k2＋1 k3－1 k4＝y1＋2 4 －y2＋y1 4 ＋y3＋y2 4 －2＋y3 4 ＝0. 6.已知 fn(x)＝C0nxn－C1n(x－1)n＋…＋(－1)kCkn(x－k)n＋…＋(－1)nCnn(x－n)n，其中 x∈R，n∈N*， k∈N，k≤n. (1)试求 f1(x)，f2(x)，f3(x)的值； (2)试猜测 fn(x)关于 n 的表达式，并证明你的结论. 解　(1)f1(x)＝C01x－C11(x－1)＝1， f2(x)＝C02x2－C12(x－1)2＋C22(x－2)2＝x2－2(x－1)2＋(x－2)2＝2， f3(x)＝C03x3－C13(x－1)3＋C23(x－2)3－C33(x－3)3＝x3－3(x－1)3＋3(x－2)3－(x－3)3＝6. (2)猜测 fn(x)＝n！，n∈N*. 以下用数学归纳法证明. ①当 n＝1 时，f1(x)＝1，等式成立. ②假设当 n＝m(m≥1，m∈N*)时，等式成立，即 fm(x)＝ m ∑ k＝0 (－1)kCkm(x－k)m＝m！. 当 n＝m＋1 时，则 fm＋1(x)＝ m＋1 ∑ k＝0 (－1)kC km＋1·(x－k)m＋1. 因为 C km＋1＝Ckm＋Ck－1m ，kC km＋1＝(m＋1)·Ck－1m ，其中 k＝1,2，…，m， 且 C 0m＋1＝C0m，Cm＋1m＋1＝Cmm， 所以 fm＋1(x)＝ m＋1 ∑ k＝0 (－1)kC km＋1(x－k)m＋1 ＝x m＋1 ∑ k＝0 (－1)kC km＋1(x－k)m－ m＋1 ∑ k＝0 (－1)kkC km＋1(x－k)m ＝x m ∑ k＝0 (－1)kCkm(x－k)m＋x m＋1 ∑ k＝1 (－1)kCk－1m (x－k)m－(m＋1) m＋1 ∑ k＝1 (－1)kCk－1m (x－k)m ＝x·m！＋(－x＋m＋1) m ∑ k＝0 (－1)kCkm·[(x－1)－k]m ＝x·m！＋(－x＋m＋1)·m! ＝(m＋1)·m！＝(m＋1)！. 即当 n＝m＋1 时，等式也成立. 由①②可知，对 n∈N*，均有 fn(x)＝n！.2020 高考数学-选做专项练习 专题六 2.(2018·苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A (0，0 )，B(3，0 )， C(2，2 ).设变换 T1, T2 对应的矩阵分别为 M＝[1　0 0　2 ]， N＝[2　0 0　1 ]，求对△ABC 依次实施变 换 T1, T2 后所得图形的面积. 解　依题意，依次实施变换 T1, T2 所对应的矩阵 NM＝ [2　0 0　1 ] [1　0 0　2 ]＝[2　0 0　2 ]. 则[2　0 0　2 ] [0 0 ]＝[0 0 ]， [2　0 0　2 ] [3 0 ]＝[6 0 ]， [2　0 0　2 ] [2 2 ]＝[4 4 ]. ∴A(0，0 )，B(3，0 )，C (2，2 )分别变为点 A′(0，0 )，B′(6，0 )，C′(4，4 ). ∴所得图形的面积为1 2×6×4＝12. 3.已知两个动点 P，Q 分别在两条直线 l1：y＝x 和 l2：y＝－x 上运动，且它们的横坐标分别为角 θ 的正弦，余弦，θ∈[0，π]，记OM → ＝OP → ＋OQ → ，求动点 M 的轨迹的普通方程. 解　设 M(x，y)，则Error! 两式平方相加得 x2＋y2＝2. 又 x＝ 2sin(θ＋π 4 )，y＝ 2sin(θ－π 4 )， θ∈[0，π]， 所以 x∈[－1， 2]，y∈[－1， 2]. 所以动点 M 轨迹的普通方程为 x2＋y2＝2(x，y∈[－1， 2]). 4.(2018·质检)已知 a>0，b>0，证明：(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2. 证明　因为 a>0，b>0， 所以 a2＋b2＋ab≥33 a2·b2·ab＝3ab>0， ab2＋a2b＋1≥33 ab2·a2b·1＝3ab>0， 所以(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2. 5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投 球 3 次时结束.设甲每次投篮命中的概率为2 5，乙每次投篮命中的概率为2 3，且各次投篮互不影响. 现由甲先投. (1)求甲获胜的概率； (2)求投篮结束时甲的投篮次数 X 的概率分布与数学期望. 解　(1)设甲第 i 次投中获胜的事件为 A1(i＝1,2,3)，则 A1，A2，A3 彼此互斥. 甲获胜的事件为 A1＋A2＋A3. P(A1)＝2 5， P(A2)＝3 5×1 3×2 5＝ 2 25， P(A3)＝(3 5 )2×(1 3 )2×2 5＝ 2 125. 所以 P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝2 5＋ 2 25＋ 2 125＝ 62 125. (2)X 的所有可能取值为 1,2,3. 则 P(X＝1)＝2 5＋3 5×2 3＝4 5，2020 高考数学-选做专项练习 P(X＝2)＝ 2 25＋3 5×1 3×3 5×2 3＝ 4 25， P(X＝3)＝(3 5 )2×(1 3 )2×1＝ 1 25. 即 X 的概率分布为 X 1 2 3 P 4 5 4 25 1 25 所以数学期望 E(X)＝1×4 5＋2× 4 25＋3× 1 25＝31 25. 6.设 n 个正数 a1，a2，…，an 满足 a1≤a2≤…≤an(n∈N*且 n≥3). (1)当 n＝3 时，证明：a1a2 a3 ＋a2a3 a1 ＋a3a1 a2 ≥a1＋a2＋a3； (2)当 n＝4 时，不等式a1a2 a3 ＋a2a3 a4 ＋a3a4 a1 ＋a4a1 a2 ≥a1＋a2＋a3＋a4 也成立，请你将其推广到 n(n∈N* 且 n≥3)个正数 a1，a2，…，an 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明. 证明　(1)因为 an(n∈N*且 n≥3)均为正实数， 左—右＝1 2(a1a3 a2 ＋a1a2 a3 －2a1)＋1 2(a2a3 a1 ＋a1a2 a3 －2a2)＋1 2(a2a3 a1 ＋a1a3 a2 －2a3)≥1 2(2 a1a3 a2 × a1a2 a3 －2a1)＋ 1 2(2 a2a3 a1 × a1a2 a3 －2a2)＋1 2(2 a2a3 a1 × a1a3 a2 －2a3)＝0， 所以原不等式a2a3 a1 ＋a1a3 a2 ＋a1a2 a3 ≥a1＋a2＋a3 成立. (2)归纳的不等式为： a1a2 a3 ＋a2a3 a4 ＋…＋an－2an－1 an ＋an－1an a1 ＋ana1 a2 ≥a1＋a2＋…＋an(n∈N*且 n≥3). 记 Fn＝a1a2 a3 ＋a2a3 a4 ＋…＋an－2an－1 an ＋an－1an a1 ＋ana1 a2 －(a1＋a2＋…＋an)， 当 n＝3(n∈N*)时，由(1)知，不等式成立； 假设当 n＝k(k∈N*且 k≥3)时，不等式成立，即 Fk＝a1a2 a3 ＋a2a3 a4 ＋…＋ak－2ak－1 ak ＋ak－1ak a1 ＋aka1 a2 －(a1＋a2＋…＋ak)≥0. 则当 n＝k＋1 时， Fk＋1＝a1a2 a3 ＋a2a3 a4 ＋…＋ak－2ak－1 ak ＋ak－1ak ak＋1 ＋akak＋1 a1 ＋ak＋1a1 a2 －(a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1) ＝Fk＋ak－1ak ak＋1 ＋akak＋1 a1 ＋ak＋1a1 a2 －ak－1ak a1 －aka1 a2 －ak＋1 ＝Fk＋ak－1ak( 1 ak＋1－ 1 a1)＋ak＋1(ak a1－1 )＋a1 a2(ak＋1－ak)≥0＋a2k( 1 ak＋1－ 1 a1)＋ak＋1(ak a1－1 )＋a1 ak(ak＋1－ ak)＝(ak＋1－ak)(ak a1＋a1 ak－ak＋1＋ak ak＋1 )， 因为 ak＋1≥ak，ak a1＋a1 ak≥2，ak＋1＋ak ak＋1 ≤ak＋1＋ak＋1 ak＋1 ＝2， 所以 Fk＋1≥0， 所以当 n＝k＋1 时，不等式成立. 综上所述，不等式a1a2 a3 ＋a2a3 a4 ＋…＋an－2an－1 an ＋an－1an a1 ＋ana1 a2 ≥a1＋a2＋…＋an(n∈N*且 n≥3)成立.2020 高考数学-选做专项练习 专题七 2.若二阶矩阵 M 满足 [－2　 1 2 2　－1 ]M＝[－3　　0 4　－1 ]，求曲线 4x2＋4xy＋y2－12x＋12y＝0 在矩阵 M 所 对应的变换作用下得到的曲线的方程. 解　记矩阵 A＝[－2　 1 2 2　－1 ]，det(A)＝(－2)×(－1)－2×1 2＝1≠0， 故 A－1＝[－1　－1 2 －2　 －2]，所以 M＝A－1[－3　　0 4　－1 ]＝[－1　－1 2 －2　 －2] [－3　　0 4　－1 ]＝[1　1 2 －2　 2]， 即矩阵 M＝[1　1 2 －2　 2]. 设曲线 4x2＋4xy＋y 2－12x＋12y＝0 上任意一点 P(x，y)在矩阵 M 对应的变换作用下得到点 P′(x′，y′). 所以[x′ y′ ]＝[1　1 2 －2　2] [x y ]＝[x＋1 2y －2x＋2y]， 所以Error!所以Error! 又点 P(x，y)在曲线 4x2＋4xy＋y2－12x＋12y＝0 上，代入整理得 2x′2＋3y′＝0， 由点 P(x，y)的任意性可知，所求曲线的方程为 2x2＋3y＝0. 3.已知直线的极坐标方程为 ρsin(θ＋π 4 )＝ 2 2 ，圆 M 的参数方程为Error!(其中 θ 为参数). (1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆 M 上的点到直线的距离的最小值. 解　(1)极点为直角坐标原点 O， ρsin(θ＋π 4 )＝ρ( 2 2 sin θ＋ 2 2 cos θ)＝ 2 2 ， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，其直角坐标方程为 x＋y－1＝0. (2)将圆的参数方程化为普通方程为 x2＋(y＋2)2＝4，圆心为 M(0，－2)， ∴点 M 到直线的距离为 d＝|0－2－1| 2 ＝ 3 2＝3 2 2 ， ∴圆上的点到直线距离的最小值为3 2－4 2 . 4.已知函数 f(x)＝|x＋m|＋|x－2|(m>0)的最小值为 4，正实数 a，b 满足1 a＋1 b＝ 3. 求证： 1 a2＋ 2 b2≥m. 证明　易知|x＋m|＋|x－2|≥|(x＋m)－(x－2)|＝|m＋2|， 故由 f(x)的最小值为 4 得|m＋2|＝4，又 m>0，所以 m＝2. 又( 1 a2＋ 2 b2 )[12＋( 1 2 )2]≥(1 a × 1＋ 2 b × 1 2)2＝3，当且仅当 a＝ 3 2 ，b＝ 3时等号成立， 故 1 a2＋ 2 b2≥2＝m，即结论成立. 5.如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M 是棱 BC 的中点，点 P 在线段 A1B 上.2020 高考数学-选做专项练习 (1)若 P 是线段 A1B 的中点，求直线 MP 与直线 AC 所成角的大小； (2)若 N 是 CC1 的中点，直线 A1B 与平面 PMN 所成角的正弦值为 7 7 ，求线段 BP 的长度. 解　分别以 AB，AC，AA1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,2)，M(1,1,0). (1)若 P 是线段 A1B 的中点， 则 P(1,0,1)，MP → ＝(0，－1,1)，AC → ＝(0,2,0). 所以 cos〈MP → ，AC → 〉＝ MP → ·AC → |MP → |·|AC → | ＝－ 2 2 . 又〈MP → ，AC → 〉∈[0，π]，所以〈MP → ，AC → 〉＝3π 4 . 所以直线 MP 与直线 AC 所成的角的大小为π 4. (2)由 N(0,2,1)，得MN → ＝(－1,1,1). 设 P(x，y，z)，BP → ＝λBA1,0≤λ≤1， 则(x－2，y，z)＝λ(－2,0,2)，所以Error! 所以 P(2－2λ，0,2λ)，所以MP → ＝(1－2λ，－1,2λ). 设平面 PMN 的法向量 n＝(x1，y1，z1)， 则 n⊥MN → ，n⊥MP → ， 所以Error!取 n＝(1＋ 1 2λ ， 1 2λ ，1). 因为 BA1＝(－2,0,2)，设直线 A1B 与平面 PMN 所成的角为 θ. 由 sin θ＝|cos〈n，BA1〉|＝ |n·BA1| |n |·|BA1 |＝ |(－2) × (1＋ 1 2λ )＋2| (1＋ 1 2λ )2＋( 1 2λ )2＋1·2 2 ＝ 7 7 ，得 λ＝1 4(舍负). 所以BP → ＝1 4BA1，所以 BP＝1 4BA1＝ 2 2 . 6.已知 (1＋1 2x )n 展开式的各项依次记为 a1(x)，a2(x)，a3(x)，…，an(x)，an＋1(x).设 F(x)＝a1(x)＋2a2(x) ＋3a3(x)＋…＋nan(x)＋(n＋1)·an＋1(x). (1)若 a1(x)，a2(x)，a3(x)的系数依次成等差数列，求 n 的值；2020 高考数学-选做专项练习 (2)求证：对任意 x1，x2∈[0,2]，恒有|F(x1)－F(x2)|≤2n－1(n＋2)－1. (1)解　依题意 ak(x)＝Ck－1n (1 2x )k－1，k＝1,2,3，…，n＋1， a1(x)，a2(x)，a3(x)的系数依次为 C0n·(1 2 )0＝1，C1n· 1 2＝n 2，C2n·(1 2 )2＝n(n－1) 8 ， 所以 2×n 2＝1＋n(n－1) 8 ，解得 n＝8 或 n＝1(舍去). (2) 证 明 　 F(x) ＝ a1(x) ＋ 2a2(x) ＋ 3a3(x) ＋ … ＋ nan(x) ＋ (n ＋ 1)an ＋ 1(x) ＝ C0n＋ 2C1n(1 2x )＋ 3C2n (1 2x )2＋…＋nCn－1n (1 2x )n－1＋(n＋1)Cnn(1 2x )n， F(2)＝C0n＋2C1n＋3C2n＋…＋nCn－1n ＋(n＋1)Cnn， 设 Sn＝C0n＋2C1n＋3C2n＋…＋nCn－1n ＋(n＋1)Cnn， 则 Sn＝(n＋1)Cnn＋nCn－1n ＋…＋3C2n＋2C1n＋C0n， 考虑到 Ckn＝Cn－kn ，将以上两式相加得 2Sn＝(n＋2)(C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cn－1n ＋Cnn)， 所以 Sn＝2n－1(n＋2)， 又当 x∈[0,2]时，F′(x)>0 恒成立，从而 F(x)是[0,2]上的单调递增函数， 所以对任意 x1，x2∈[0,2]，|F(x1)－F(x2)|≤F(2)－F(0)＝2n－1(n＋2)－12020 高考数学-选做专项练习