2020 年高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共 12 小题）
1．已知集合 U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5}，N＝{1，3，6}，则集合{2，7}等
于（ ）
A．M∩N B．∁U（M∪N） C．∁U（M∩N） D．M∪N
2．某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为 4800 人，4000 人，2400 人．现采
用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学
生人数为 70 人，则该样本中高中学生人数为（ ）
A．42 人 B．84 人 C．126 人 D．196 人
3．直线 kx﹣y+1＝0 与圆 x2+y2+2x﹣4y+1＝0 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
4．已知函数 f（x） = {풍풏풙，풙＞ퟎ
풆풙，풙 ≤ ퟎ ，则 f[f（1
4）]的值为（ ）
A．4 B．2 C．1
2 D．1
4
5．已知向量→
풂 = （2，1），→
풃 = （x，﹣2），若|→
풂 + →
풃|＝|2→
풂 ― →
풃|，则实数 x 的值为（ ）
A．4
9 B．1
2 C．9
4 D．2
6．如图所示，给出的是计算1
2 +
1
4 +
1
6 +⋯ +
1
22值的程序框图，其中判断框内应填入的条件
是（ ）A．i＞9 B．i＞10 C．i＞11 D．i＞12
7．设函数 f（x）＝2cos（1
2x ―
휋
3），若对任意 x∈R 都有 f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，
则|x1﹣x2|的最小值为（ ）
A．4π B．2π C．π D．휋
2
8．刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵
的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及
其加减运算的规则．提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率 π 为 3.14．刘徽在
割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失
矣”被视为中国古代极限观念的佳作．其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形
的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推．若在圆内随机取一点，则
该点取自该圆内接正十二边形的概率为（ ）
A．3 3
2휋 B．3( 6 ― 2)
2휋 C．3
휋 D．3( 6 ― 2)
휋
9．已知 sinα﹣cosα =
1
5，0＜α＜π，则 cos2α＝（ ）
A． ―
7
25 B． 7
25 C．24
25 D． ―
24
25
10．已知点 P（x0，y0）在曲线 C：y＝x3﹣x2+1 上移动，曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为k，若 k∈[ ―
1
3，21]，则 x0 的取值范围是（ ）
A．[ ―
7
3，5
7] B．[ ―
7
3，3] C．[ ―
7
3，+∞） D．[﹣7，9]
11．已知 O 为坐标原点，设双曲线 C：푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = 1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为 F1，
F2，点 P 是双曲线 C 上位于第一象限内的点．过点 F2 作∠F1PF2 的平分线的垂线，垂足
为 A，若 b＝|F1F2|﹣2|OA|，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A．5
4 B．4
3 C．5
3 D．2
12．在三棱锥 A﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为 2 的等边三角形，且二面角 A﹣BD
﹣C 的平面角为 120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．7π B．8π C．16휋
3 D．28휋
3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知复数 z =
2
2 ―
2
2 i．则 z2+z4＝ ．
14．已知函数 f（x） = 풙 +
푘
푥在区间（0，+∞）上有最小值 4，则实数 k＝ ．
15．已知直线 a⊥平面 α，直线 b⊂平面 β，给出下列 5 个命题①若 α∥β，则 a⊥b；②若 α
⊥β，则 a⊥b：③若 α⊥β，则 a∥b：④若 a∥b，则 α⊥β；⑤若 a⊥b 则 α∥β，其中正
确命题的序号是 ．
16．如图，在平面四边形 ABCD 中，∠BAC＝∠ADC =
휋
2，∠ABC =
휋
6，∠ADB =
휋
12，则 tan
∠ACD＝ ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60
分．
17．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an＝n﹣Sn，设 bn＝an﹣1．
（1）求 a1，a2，a3；
（2）判断数列{bn}是否是等比数列，并说明理由；
（3）求数列{an}的前 n 项和 Sn．
18．如图 1，在边长为 2 的等边△ABC 中，D，E 分别为边 AC，AB 的中点．将△ADE 沿 DE
折起，使得 AB⊥AD，得到如图 2 的四棱锥 A﹣BCDE，连结 BD，CE，且 BD 与 CE 交
于点 H．
（1）证明：AH 上 BD；
（2）设点 B 到平面 AED 的距离为 h1，点 E 到平面 ABD 的距离为 h2，求
ℎ1
ℎ2
的值．
19．某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第 1 夭到第 5 天的日产卵数据：
第 x 天 1 2 3 4 5
日产卵数 y（个） 6 12 25 49 95
对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．ퟓ
풊=ퟏ
xi
ퟓ
풊=ퟏ
xi2
ퟓ
풊=ퟏ
（lnyi）
ퟓ
풊=ퟏ
（xi•lnyi）
15 55 15.94 54.75
（1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数 y 关于 x 的回归方程为 y＝ea+bx
（其中 e 为自然对数的底数），求实数 a，b 的值（精确到 0.1）；
（2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间（e6，e8）上的时段为优质产卵期，利用
（1）的结论，估计在第 6 天到第 10 天中任取两天，其中恰有 1 天为优质产卵期的概
率．
附：对于一组数据（v1，μ1），（v2，μ2），…，（vn，μn），其回归直线 μ＝α+βv 的斜
率和截距的最小二乘估计分别为휷 =
푛
푖=1 푣푖푢푖 ― 푛푣 ⋅ 푢
푛
푖=1 푣푖
2 ― 푛푣2
，휶 = 풖 ― 휷•풗．
20．已知⊙M 过点 A（ ퟑ，0），且与⊙N：（x + ퟑ）2+y2＝16 内切，设⊙M 的圆心 M 的
轨迹为曲线 C．
（1）求曲线 C 的方程：
（2）设直线 l 不经过点 B（0，1）且与曲线 C 相交于 P，Q 两点．若直线 PB 与直线 QB
的斜率之积为 ―
1
4，判断直线 l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，
请说明理由．
21．已知函数 f（x）＝（x+a）ebx（b≠0）的最大值为1
푒，且曲线 y＝f（x）在 x＝0 处的切
线与直线 y＝x﹣2 平行（其中 e 为自然对数的底数）．（1）求实数 a，b 的值；
（2）如果 0＜x1＜x2，且 f（x1）＝f（x2），求证：3x1+x2＞3．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为{풙 = ퟑ + 풕
풚 = ퟏ + ퟐ풕（t 为参数），曲线 C2 的
参数方程为{풙 =
3
푐표푠휃
풚 = ퟑ풕풂풏휽
（θ 为参数，且 θ∈（휋
2，3휋
2 ））．
（1）求 C1 与 C2 的普通方程，
（2）若 A，B 分别为 C1 与 C2 上的动点，求|AB|的最小值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|．
（1）当 a＝1 时，解不等式 f（x）＜3；
（2）若不等式 f（x）＜11﹣4x 对任意 x∈[﹣4， ―
3
2]成立，求实数 a 的取值范围．参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知集合 U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5}，N＝{1，3，6}，则集合{2，7}等
于（ ）
A．M∩N B．∁U（M∪N） C．∁U（M∩N） D．M∪N
【分析】由已知求出 M∩N＝{3}，M∪N＝{1，3，4，5，6}，再求其补集，可判断结
果．
解：由已知：M∩N＝{3}，M∪N＝{1，3，4，5，6}，
∴∁U（M∩N）＝{1，2，4，5，6，7），∁U（M∪N）＝{2，7}．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．
2．某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为 4800 人，4000 人，2400 人．现采
用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学
生人数为 70 人，则该样本中高中学生人数为（ ）
A．42 人 B．84 人 C．126 人 D．196 人
【分析】设高中抽取人数为 x，根据条件，建立比例关系进行求解即可．
解：设高中抽取人数为 x，
则 70
4000 =
푥
2400，得 x＝42，
故选：A．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．
3．直线 kx﹣y+1＝0 与圆 x2+y2+2x﹣4y+1＝0 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系，即可得到结论．
解：圆方程可整理为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则圆心（﹣1，2），半径 r＝2，直线恒过
点（0，1），
因为（0，1）在圆内，故直线与圆相交，
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力．
4．已知函数 f（x） = {풍풏풙，풙＞ퟎ
풆풙，풙 ≤ ퟎ ，则 f[f（1
4）]的值为（ ）
A．4 B．2 C．1
2 D．1
4
【分析】根据分段函数的解析式，先求出 f（1
4）的值，再求 f[f（1
4）]的值．
解：因为 f（x） = {풍풏풙，풙＞ퟎ
풆풙，풙 ≤ ퟎ ，
∴f（1
4）＝ln
1
4；
∴f[f（1
4）]＝e풍풏
1
4 =
1
4．
故选：D．
【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础
题．
5．已知向量→
풂 = （2，1），→
풃 = （x，﹣2），若|→
풂 + →
풃|＝|2→
풂 ― →
풃|，则实数 x 的值为（ ）
A．4
9 B．1
2 C．9
4 D．2【分析】由向量→
풂和向量→
풃的坐标求出向量→
풂 + →
풃和向量ퟐ→
풂 ― →
풃的坐标，再利用|→
풂 + →
풃|＝|2
→
풂 ― →
풃|，即可求出 x 的值．
解：∵向量→
풂 = （2，1），→
풃 = （x，﹣2），
∴→
풂 + →
풃 = （2+x，﹣1），ퟐ→
풂 ― →
풃 = （4﹣x，4），
∵|→
풂 + →
풃|＝|2→
풂 ― →
풃|，
∴ (ퟐ + 풙)ퟐ + ( ― ퟏ)ퟐ = (ퟒ ― 풙)ퟐ + ퟒퟐ，解得 x =
9
4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的模长公式，是基础题．
6．如图所示，给出的是计算1
2 +
1
4 +
1
6 +⋯ +
1
22值的程序框图，其中判断框内应填入的条件
是（ ）
A．i＞9 B．i＞10 C．i＞11 D．i＞12
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的
作用是累加并输出 s 的值，模拟循环过程可得条件．
解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：s＝0，n＝2，i＝1
不满足条件，第一圈：s＝0 +
1
2，n＝4，i＝2，
不满足条件，第二圈：s =
1
2 +
1
4，n＝6，i＝3，
不满足条件，第三圈：s =
1
2 +
1
4 +
1
6，n＝8，i＝4，
…
依此类推，
不满足条件，第 10 圈：s =
1
2 +
1
4 +
1
6 +⋯ +
1
20，n＝22，i＝11，
不满足条件，第 11 圈：s =
1
2 +
1
4 +
1
6 +⋯ +
1
20 +
1
22，n＝24，i＝12，
此时，应该满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i＞11？．
故选：C．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程
序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量
的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确
理解流程图的含义而导致错误，属于基础题．
7．设函数 f（x）＝2cos（1
2x ―
휋
3），若对任意 x∈R 都有 f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，
则|x1﹣x2|的最小值为（ ）
A．4π B．2π C．π D．휋
2
【分析】由题意可知 f（x1）≤f（x）≤f（x2），f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函
数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是半个周期．
解：函数 f（x）＝2cos（1
2x ―
휋
3），若对于任意的 x∈R，都有 f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是函数的半周期，
푇
2 =
1
2 ×
2휋
1
2
= 2π；
故选：B．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，题意的正确理解，考查分析问题
解决问题的能力．
8．刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵
的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及
其加减运算的规则．提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率 π 为 3.14．刘徽在
割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失
矣”被视为中国古代极限观念的佳作．其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形
的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推．若在圆内随机取一点，则
该点取自该圆内接正十二边形的概率为（ ）
A．3 3
2휋 B．3( 6 ― 2)
2휋 C．3
휋 D．3( 6 ― 2)
휋
【分析】设圆的半径为 1，分别求出圆的面积及圆内接正十二边形的面积，由测度比是
面积比得答案．
解：设圆的半径为 1，圆内接正十二边形的一边所对的圆心角为360°
12 = 30°，
则圆内接正十二边形的面积为：12 ×
1
2 × 1×1×sin30°＝3．
圆的面积为 π×12＝π，
由测度比为面积比可得：在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的
概率是3
휋．
故选：C．
【点评】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出圆内接正十二边形的面积，是基础题．
9．已知 sinα﹣cosα =
1
5，0＜α＜π，则 cos2α＝（ ）
A． ―
7
25 B． 7
25 C．24
25 D． ―
24
25
【分析】把 sinα﹣cosα =
1
5平方可得 2sinαcosα 的值，从而求得 sinα+cosα 的值，再利用
二倍角的余弦公式求得 cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）的值．
解：∵sinα﹣cosα =
1
5，0＜α＜π，
∴平方可得：1﹣2sinαcosα =
1
25，2sinαcosα =
24
25＞0．
∴α 为锐角．
∴sinα+cosα═ (풔풊풏휶 + 풄풐풔휶)ퟐ = ퟏ + ퟐ풔풊풏휶풄풐풔휶 = ퟏ +
24
25 =
7
5，
∴cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα） = ―
1
5 ×
7
5 = ―
7
25．
故选：A．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式、二倍角的余弦
公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．
10．已知点 P（x0，y0）在曲线 C：y＝x3﹣x2+1 上移动，曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为
k，若 k∈[ ―
1
3，21]，则 x0 的取值范围是（ ）
A．[ ―
7
3，5
7] B．[ ―
7
3，3] C．[ ―
7
3，+∞） D．[﹣7，9]
【分析】先求出 y＝x3﹣x2+1 的导数，然后求出曲线 C 在点 P（x0，y0）处的切线斜率 k，
再根据 k∈[ ―
1
3，21]求出 x0 的取值范围．
解：由 y＝x3﹣x2+1，得 y'＝3x2﹣2x，
则曲线 C 在点 P（x0，y0）处的切线的斜率为풌 = 풚′|풙=풙ퟎ = ퟑ풙ퟐퟎ ―ퟐ풙ퟎ，∵k∈[ ―
1
3，21]，∴ퟑ풙ퟐퟎ ―ퟐ풙ퟎ∈[ ―
1
3，ퟐퟏ]，
∴풙ퟎ ∈ [ ―
7
3，ퟑ]．
故选：B．
【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了转化思想，属基础题．
11．已知 O 为坐标原点，设双曲线 C：푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = 1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为 F1，
F2，点 P 是双曲线 C 上位于第一象限内的点．过点 F2 作∠F1PF2 的平分线的垂线，垂足
为 A，若 b＝|F1F2|﹣2|OA|，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A．5
4 B．4
3 C．5
3 D．2
【分析】由角平分线的性质可得延长 F2A 交 PF1 与 B，由 PA 为∠F1PF2 的角平分线，F2A
⊥PA，所以 A 为 F2B 的中点，|PF2|＝|PB|，可得 OA 为△BF1F2 的中位线，b＝|F1F2|﹣2|OA|
＝2c﹣2a 再由 a，b，c 的关系求出离心率．
解：延长 F2A 交 PF1 与 B，由 PA 为∠F1PF2 的角平分线，F2A⊥PA，所以 A 为 F2B 的
中点，|PF2|＝|PB|，
连接 OA，则 OA 为△BF1F2 的中位线，所以|BF1|＝2|OA|，而|BF1|＝|PF1|﹣|PB|＝|PF1|﹣
|PF2|＝2a
因为 b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a，而 b2＝c2﹣a2
所以 c2﹣a2＝4（c﹣a）2 整理可得 3c2﹣8ac+5c2＝0，即 3e2﹣8e+5＝0，解得 e =
5
3或 1，
再由双曲线的离心率大于 1，可得 e =
5
3，
故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质及角平分线的性质，属于中档题．
12．在三棱锥 A﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为 2 的等边三角形，且二面角 A﹣BD
﹣C 的平面角为 120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．7π B．8π C．16휋
3 D．28휋
3
【分析】如图，取 BD 中点 H，连接 AH，CH，则∠AHC 为二面角 A﹣BD﹣C 的平面角，
即∠AHD＝120°，分别过 EF 作平面 ABD，平面 BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定
是两条垂线的交点，记为 O，连接 AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，进而可求
得 R 的值．
解：如图，取 BD 中点 H，连接 AH，CH，
因为△ABD 与△CBD 均为边长为 2 的等边三角形，
所以 AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC 为二面角 A﹣BD﹣C 的平面角，即∠AHD＝120°，
设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为 E，F，
则由 AH＝2 ×
3
2 = ퟑ可得 AE =
2
3AH =
2
3 ퟑ，EH =
1
3AH =
1
3，
分别过 EF 作平面 ABD，平面 BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，
记为 O，连接 AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，
所以 OE＝1，则 R＝OA = 푨푬ퟐ + 푬푶ퟐ =
21
3 ，
则三棱锥外接球的表面积 4πR2＝4π ×
21
9 =
28휋
3 ，故选：D．
【点评】本题考查三棱锥的外接球，球的表面积公式，画出图形，数形结合是关键，属
于中档题．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知复数 z =
2
2 ―
2
2 i．则 z2+z4＝ ﹣1﹣i ．
【分析】利用复数的乘方运算和加法法则即可得出．
解：∵z2＝（ 2
2 ―
2
2 i）2 =
1
2 ― i ―
1
2 = ― i，
∴z4＝（z2）2＝（﹣i）2＝﹣1，
∴z2+z4＝﹣1﹣i，
故答案是：﹣1﹣i．
【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
14．已知函数 f（x） = 풙 +
푘
푥在区间（0，+∞）上有最小值 4，则实数 k＝ 4 ．
【分析】由函数在（0，+∞）上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得 k 的
值．
解：依题意，k＞0，则풇(풙) = 풙 +
푘
푥 ≥ ퟐ 풌，
则ퟐ 풌 = ퟒ，解得 k＝4．
故答案为：4．【点评】本题考查已知函数最值求参数的值，考查分析能力及计算能力，属于基础题．
15．已知直线 a⊥平面 α，直线 b⊂平面 β，给出下列 5 个命题①若 α∥β，则 a⊥b；②若 α
⊥β，则 a⊥b：③若 α⊥β，则 a∥b：④若 a∥b，则 α⊥β；⑤若 a⊥b 则 α∥β，其中正
确命题的序号是 ①④ ．
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用逐一
核对四个命题得答案．
解：对于①，由 a⊥平面 α，α∥β，得 a⊥β，又直线 b⊂平面 β，∴a⊥b，故①正确；
对于②，由 a⊥平面 α，α⊥β，得 a∥β 或 a⊂β，而直线 b⊂平面 β，∴a 与 b 的关系是平
行、相交或异面，故②错误；
对于③，由 a⊥平面 α，α⊥β，得 a∥β 或 a⊂β，而直线 b⊂平面 β，∴a 与 b 的关系是平
行、相交或异面，故③错误；
对于④，由 a⊥平面 α，a∥b，得 b⊥α，又直线 b⊂平面 β，∴α⊥β，故④正确；
对于⑤，由 a⊥平面 α，a⊥b，得 b∥α 或 b⊂α，又直线 b⊂平面 β，∴α 与 β 相交或平行，
故⑤错误．
∴其中正确命题的序号是①④．
故答案为：①④．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
16．如图，在平面四边形 ABCD 中，∠BAC＝∠ADC =
휋
2，∠ABC =
휋
6，∠ADB =
휋
12，则 tan
∠ACD＝ 3 ― 3
4
．
【分析】设∠ACD＝θ，AC＝1，则 AD＝sinθ，进一步可得∠푩푨푫 = 흅 ― 휽，∠푨푩푫 = 휽 ―휋
12，再利用正弦定理可得
푠푖푛휃
푠푖푛(휃 ― 휋
12) =
3
푠푖푛 휋
12
，通过三角恒等变换即可求得 tanθ 的值，进
而得出答案．
解：不妨设∠ACD＝θ，AC＝1，则 AD＝sinθ，
在△ABD 中，∠푩푨푫 =
휋
2 +
휋
2 ―휽 = 흅 ― 휽，∠ADB =
휋
12，则∠푨푩푫 = 휽 ―
휋
12，
在△ABD 中，由正弦定理得 퐴퐷
푠푖푛∠퐴퐵퐷 =
퐴퐵
푠푖푛∠퐴퐷퐵，即
푠푖푛휃
푠푖푛(휃 ― 휋
12) =
3
푠푖푛 휋
12
，
∴풔풊풏
휋
12풔풊풏휽 = ퟑ(풔풊풏휽풄풐풔
휋
12 ―풄풐풔휽풔풊풏
휋
12)，
∴(풔풊풏
휋
12 ― ퟑ풄풐풔
휋
12)풔풊풏휽 = ― ퟑ풔풊풏
휋
12풄풐풔휽，
∴ퟐ(풔풊풏
휋
6풔풊풏
휋
12 ―풄풐풔
휋
6풄풐풔
휋
12)풔풊풏휽 = ― ퟑ풔풊풏
휋
12풄풐풔휽，
∴ퟐ풄풐풔
휋
4풔풊풏휽 = ퟑ풔풊풏
휋
12풄풐풔휽，
∴풕풂풏휽 =
3푠푖푛 휋
12
2푐표푠휋
4
=
3
2 ×
6 ― 2
4 = 3 ― 3
4
．
故答案为：3 ― 3
4
．
【点评】本题涉及了正弦定理，三角恒等变换等基础知识点，考查化简能力，构造能力
以及计算能力，属于较难题目．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60
分．
17．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an＝n﹣Sn，设 bn＝an﹣1．
（1）求 a1，a2，a3；
（2）判断数列{bn}是否是等比数列，并说明理由；（3）求数列{an}的前 n 项和 Sn．
【分析】（1）an＝n﹣Sn，可得 a1＝1﹣a1，解得 a1．a2＝2﹣（a2 +
1
2），解得 a2．a3＝
3﹣（a3 +
3
4 +
1
2），解得 a3．
（2）an＝n﹣Sn，n≥2 时，an﹣1＝n﹣1﹣Sn﹣1，相减可得：an﹣1 =
1
2（an﹣1﹣1），可得：
bn =
1
2bn﹣1．即可得出结论．
（3）由（2）可得：bn = ―(
1
2)풏．可得 an＝bn+1，可得 Sn＝n﹣an．
解：（1）an＝n﹣Sn，∴a1＝1﹣a1，解得 a1 =
1
2．a2＝2﹣（a2 +
1
2），解得 a2 =
3
4．a3＝
3﹣（a3 +
3
4 +
1
2），解得 a3 =
7
8．
（2）an＝n﹣Sn，n≥2 时，an﹣1＝n﹣1﹣Sn﹣1，相减可得：2an＝an﹣1+1，
变形为：an﹣1 =
1
2（an﹣1﹣1），
由 bn＝an﹣1．可得：bn =
1
2bn﹣1．
b1＝a1﹣1 = ―
1
2．
∴数列{bn}是等比数列，首项为 ―
1
2，公比为1
2．
（3）由（2）可得：bn = ―
1
2 × (
1
2)풏―ퟏ = ―(
1
2)풏．
则 an＝bn+1＝1 ―(
1
2)풏．
∴Sn＝n﹣an＝n﹣1 +(
1
2)풏．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列通项公式与求和公式，考查了推理能力与
计算能力，属于中档题．
18．如图 1，在边长为 2 的等边△ABC 中，D，E 分别为边 AC，AB 的中点．将△ADE 沿 DE折起，使得 AB⊥AD，得到如图 2 的四棱锥 A﹣BCDE，连结 BD，CE，且 BD 与 CE 交
于点 H．
（1）证明：AH 上 BD；
（2）设点 B 到平面 AED 的距离为 h1，点 E 到平面 ABD 的距离为 h2，求
ℎ1
ℎ2
的值．
【分析】（1）在图 1 中，证明 BD⊥AC，ED∥BC，则在图 2 中，有퐷퐻
퐻퐵 =
퐸퐷
퐵퐶 =
1
2，得 DH
=
1
3푩푫 =
3
3 ，然后证明△BAD∽△AHD，可得∠AHD＝∠BAD＝90°，即 AH⊥BD；
（2）由 VB﹣AED＝VE﹣ABD，得
ℎ1
ℎ2
=
푆△퐴퐵퐷
푆△퐴퐸퐷
，分别求出三角形 ABD 与三角形 AED 的面积得
答案．
【解答】（1）证明：在图 1 中，∵△ABC 为等边三角形，且 D 为边 AC 的中点，∴BD
⊥AC，
在△BCD 中，BD⊥CD，BC＝2，CD＝1，∴BD = ퟑ，
∵D、E 分别为边 AC、AB 的中点，∴ED∥BC，
在图 2 中，有퐷퐻
퐻퐵 =
퐸퐷
퐵퐶 =
1
2，∴DH =
1
3푩푫 =
3
3 ．
在 Rt△BAD 中，BD = ퟑ，AD＝1，
在△BAD 和△AHD 中，∵퐷퐵
퐷퐴 =
퐷퐴
퐷퐻 = ퟑ，∠BDA＝∠ADH，
∴△BAD∽△AHD．
∴∠AHD＝∠BAD＝90°，即 AH⊥BD；（2）解：∵VB﹣AED＝VE﹣ABD，
∴1
3푺△푨푬푫 ⋅ 풉ퟏ =
1
3푺△푨푩푫 ⋅ 풉ퟐ，则
ℎ1
ℎ2
=
푆△퐴퐵퐷
푆△퐴퐸퐷
．
∵△AED 是边长为 1 的等边三角形，∴푺△푨푬푫 =
3
4 ．
在 Rt△ABD 中，BD = ퟑ，AD＝1，则 AB = ퟐ．
∴푺△푨푩푫 =
2
2 ，
则
ℎ1
ℎ2
= 2 6
3
．
【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考
查计算能力，是中档题．
19．某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第 1 夭到第 5 天的日产卵数据：
第 x 天 1 2 3 4 5
日产卵数 y（个） 6 12 25 49 95
对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．ퟓ
풊=ퟏ
xi
ퟓ
풊=ퟏ
xi2
ퟓ
풊=ퟏ
（lnyi）
ퟓ
풊=ퟏ
（xi•lnyi）
15 55 15.94 54.75
（1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数 y 关于 x 的回归方程为 y＝ea+bx
（其中 e 为自然对数的底数），求实数 a，b 的值（精确到 0.1）；
（2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间（e6，e8）上的时段为优质产卵期，利用
（1）的结论，估计在第 6 天到第 10 天中任取两天，其中恰有 1 天为优质产卵期的概
率．
附：对于一组数据（v1，μ1），（v2，μ2），…，（vn，μn），其回归直线 μ＝α+βv 的斜
率和截距的最小二乘估计分别为휷 =
푛
푖=1 푣푖푢푖 ― 푛푣 ⋅ 푢
푛
푖=1 푣푖
2 ― 푛푣2
，휶 = 풖 ― 휷•풗．
【分析】（1）根据 y＝ea+bx，两边取自然对数得 lny＝a+bx，再利用线性回归方程求出
a、b 的值；
（2）根据 y＝e1.1+0.7x，由 e6＜e1.1+0.7x＜e8 求得 x 的取值范围，再利用列举法求出基本事
件数，计算所求的概率值．
解：（1）因为 y＝ea+bx，两边取自然对数，得 lny＝a+bx，
令 m＝x，n＝lny，得 n＝a+bm；
因为풃 =
54.75 ― 5 × 15
5 × 15.94
5
55 ― 5 × 32
=
6.93
10 = 0.693；所以 b≈0.7；
因为풂 = 풏 ― b풎 =
15.94
5 ― 0.7×3＝1.088；
所以 a≈1.1；
即 a≈1.1，b≈0.7；
（2）根据（1）得 y＝e1.1+0.7x，
由 e6＜e1.1+0.7x＜e8，得 7＜x＜
69
7 ；
所以在第 6 天到第 10 天中，第 8、9 天为优质产卵期；
从未来第 6 天到第 10 天中任取 2 天的所有可能事件有：
（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），
（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共 10 种；
其中恰有 1 天为优质产卵期的有：
（6，8），（6，9），（7，8），（7，9），（8，10），（9，10）共 6 种；
设从未来第 6 天到第 10 天中任取 2 天，其中恰有 1 天为优质产卵期的事件为 A，
则 P（A） =
6
10 =
3
5；
所以从未来第 6 天到第 10 天中任取 2 天，其中恰有 1 天为优质产卵期的概率为3
5．
【点评】本题考查了非线性回归方程的求法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中
档题．
20．已知⊙M 过点 A（ ퟑ，0），且与⊙N：（x + ퟑ）2+y2＝16 内切，设⊙M 的圆心 M 的
轨迹为曲线 C．
（1）求曲线 C 的方程：
（2）设直线 l 不经过点 B（0，1）且与曲线 C 相交于 P，Q 两点．若直线 PB 与直线 QB的斜率之积为 ―
1
4，判断直线 l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，
请说明理由．
【分析】（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线 C 的轨迹方程；
（2）设直线 BP 的斜率为 k（k≠0），则 BP 的方程为 y＝kx+1，联立椭圆方程，解得交
点 P，同理可得 Q 的坐标，考虑 P，Q 的关系，运用对称性可得定点．
解：（1）设⊙M 的半径为 R，因为圆 M 过 A（ ퟑ，0），且与圆 N 相切，
所以 R＝|AM|，|MN|＝4﹣R，即|MN|+|MA|＝4，
由|NA|＜4，所以 M 的轨迹为以 N，A 为焦点的椭圆．
设椭圆的方程为푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1（a＞b＞0），则 2a＝4，且 c = 풂ퟐ ― 풃ퟐ = ퟑ，
所以 a＝2，b＝1，所以曲线 C 的方程为푥2
4 + y2＝1；
（2）由题意可得直线 BP，BQ 的斜率均存在且不为 0，
设直线 BP 的斜率为 k（k≠0），则 BP 的方程为 y＝kx+1，联立椭圆方程 x2+4y2＝4，
可得（1+4k2）x2+8kx＝0，解得 x1＝0，x2 = ―
8푘
1 + 4푘2，
则 P（ ―
8푘
1 + 4푘2，1 ― 4푘2
1 + 4푘2），
因为直线 BQ 的斜率为 ―
1
4푘，
所以同理可得 Q（
8푘
1 + 4푘2， ―
1 ― 4푘2
1 + 4푘2），
因为 P，Q 关于原点对称，（或求得直线 l 的方程为 y = 4푘2 ― 1
8푘 x）
所以直线 l 过定点（0，0）．
【点评】本题考查曲线方程的求法，椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，
注意联立椭圆方程，求交点，考查化简运算能力，属于中档题．21．已知函数 f（x）＝（x+a）ebx（b≠0）的最大值为1
푒，且曲线 y＝f（x）在 x＝0 处的切
线与直线 y＝x﹣2 平行（其中 e 为自然对数的底数）．
（1）求实数 a，b 的值；
（2）如果 0＜x1＜x2，且 f（x1）＝f（x2），求证：3x1+x2＞3．
【分析】（1）对原函数求导数，然后利用在 x＝0 处切线的斜率为 1，函数的最大值为1
푒
列出关于 a，b 的方程组求解；
（2）利用 f（x1）＝f（x2）找到 x1，x2 的关系式풙ퟐ = 풙ퟏ풆풙ퟐ―풙ퟏ，然后引入 t＝x2﹣x1，构
造关于 t 的函数，将 3x1+x2 转换成关于 t 的函数，求最值即可．
解：（1）由已知 f′（x）＝（bx+ab+1）ebx．
则易知 f′（0）＝ab+1＝1，∴ab＝0，又因为 b≠0，故 a＝0．
此时可得 f（x）＝xebx（b≠0），f′（x）＝（bx+1）ebx．
① 若 b ＞ 0 ， 则 当 x＜ ―
1
푏时 ， f ′ （ x ） ＜ 0 ， f （ x ） 递 减 ； 풙＞ ―
1
푏
时，풇′(풙)＞ퟎ，풇(풙)递增．
此时，函数 f（x）有最小值，无最大值．
②若 b＜0，则当풙＜ ―
1
푏时，풇′(풙)＞ퟎ，풇(풙)递增；x＞ ―
1
푏时，풇′(풙)＜ퟎ，풇(풙)递减．
此时풇(풙)풎풂풙 = 풇( ―
1
푏)═ ―
1
푏풆―ퟏ =
1
푒，解得 b＝﹣1．
所以 a＝0，b＝﹣1 即为所求．
（2）由 0＜x1＜x2，且 f（x1）＝f（x2）得：
푥1
푒
푥1
=
푥2
푒
푥2
．
∴풙ퟐ =
푥1푒
푥2
푒
푥1
= 풙ퟏ풆풙ퟐ―풙ퟏ．设 t＝x2﹣x1（t＞0），则 etx1﹣x1＝t，可得풙ퟏ =
푡
푒푡 ― 1，풙ퟐ =
푡푒푡
푒푡 ― 1
，所以要证 3x1+x2＞3，即证
3푡
푒푡 ― 1 +
푡푒푡
푒푡 ― 1
＞ퟑ．
∵t＞0，所以 et﹣1＞0，所以即证（t﹣3）et+3t+3＞0．
设 g（t）＝（t﹣3）et+3t+3（t＞0），则 g′（t）＝（t﹣2）et+3．
令 h（t）＝（t﹣2）et+3，则 h′（t）＝（t﹣1）et，
当 t∈（0，1）时，h′（t）＜0，h（t）递减；t∈（1，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）递
增．
所以 h（t）＞h（1）＝3﹣e＞0，即 g′（t）＞0，所以 g（t）在（0，+∞）上递增．
所以 g（t）＞g（0）＝0．
∴3x1+x2＞3．
【点评】本题考查导数的几何意义、以及利用导数研究函数的单调性、最值进而证明不
等式恒成立问题．同时考查学生利用转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想解决问
题的能力．属于较难的题目．
一、选择题
22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为{풙 = ퟑ + 풕
풚 = ퟏ + ퟐ풕（t 为参数），曲线 C2 的
参数方程为{풙 =
3
푐표푠휃
풚 = ퟑ풕풂풏휽
（θ 为参数，且 θ∈（휋
2，3휋
2 ））．
（1）求 C1 与 C2 的普通方程，
（2）若 A，B 分别为 C1 与 C2 上的动点，求|AB|的最小值．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转
换．
（2）利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．
解 ： （ 1 ） 由 题 可 得 ： C1 的 普 通 方 程 为 2x ﹣ y ﹣ 5 ＝ 0 又 因 为 C2 的 参 数 方 程 为{풙 =
3
푐표푠휃
풚 = ퟑ풕풂풏휽
，两边平方可得{풙ퟐ =
3
푐표푠2휃
풚ퟐ =
3푠푖푛2휃
푐표푠2휃
，
所以 C2 的普通方程为푥2
3 ― 푦2
3 = ퟏ，且풙 ≤ ― ퟑ．
（2）由题意，设 C1 的平行直线 2x﹣y+c＝0 联立{ퟐ풙 ― 풚 + 풄 = ퟎ
푥2
3 ―
푦2
3 = ퟏ 消元可得：3x2+4cx+c2+3
＝0 所以△＝4c2﹣36＝0，
解得 c＝±3 又因为풙 ≤ ― ퟑ，
经检验可知 c＝3 时与 C2 相切，
所以|푨푩|풎풊풏 =
|3 ― ( ― 5)|
22 + ( ― 1)2 = 8 5
5
．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线
和曲线的位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础
题型．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|．
（1）当 a＝1 时，解不等式 f（x）＜3；
（2）若不等式 f（x）＜11﹣4x 对任意 x∈[﹣4， ―
3
2]成立，求实数 a 的取值范围．
【分析】（1）a＝1 时，f（x）＝|3x﹣6|+|x+1|，讨论 x 的取值范围，去掉绝对值求不等
式 f（x）＜3 的解集即可；
（2）f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x 对任意풙 ∈ [ ― ퟒ， ―
3
2]成立，等价于|x+a|＜5﹣x 恒
成立，去绝对值，从而求出 a 的取值范围．解：（1）a＝1 时，f（x）＝|3x﹣6|+|x+1| = { ―ퟒ풙 + ퟓ，풙＜ ― ퟏ
―ퟐ풙 + ퟕ， ― ퟏ ≤ 풙 ≤ ퟐ
ퟒ풙 ― ퟓ，풙＞ퟐ
；
当 x＜﹣1 时，由 f（x）＜3 得﹣4x+5＜3，解得 x＞
1
2（不合题意，舍去）；
当﹣1≤x≤2 时，由 f（x）＜3 得﹣2x+7＜3，解得 x＞2（不合题意，舍去）；
当 x＞2 时，由 f（x）＜3 得 4x﹣5＜3，解得 x＜2（不合题意，舍去）；
所以不等式 f（x）＜3 的解集∅；
（2）由 f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x 对任意풙 ∈ [ ― ퟒ， ―
3
2]成立，
得﹣（3x﹣6）+|x+a|＜11﹣4x，即|x+a|＜5﹣x，
所以{|풙 + 풂|＜ퟓ ― 풙
ퟓ ― 풙＞ퟎ ，
所以{풙 ― ퟓ＜풙 + 풂
풙 + 풂＜ퟓ ― 풙，得 a＞﹣5 且 a＜5﹣2x 对任意풙 ∈ [ ― ퟒ， ―
3
2]成立；
即﹣5＜a＜8，
所以 a 的取值范围是（﹣5，8）．
【点评】本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法问题，
是中档题．
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