高一数学（期中）
一、选择题: 每小题 4 分，共 28 分.
1.复数 对应的点落在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则化简复数，根据复数的几何意义即可求得对应点，即可判断.
【详解】因为 ，
故其对应的点为 ，
容易知其位于第三象限.
故选：C.
【点睛】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属综合基础题.
2.在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边，它的面积为 ，则角 等
于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用面积公式，借助余弦定理，即可容易求得结果.
【详解】因为 ，且 ，
故可得 ，即 ，
又因为 ，故可得 .
故选：D.
【点睛】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属综合基础题.
3.已知正方体的 个顶点中，有 个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三
3 4
2 3
i
i
−
+
3 4
2 3
i
i
−
+
( )( )
( )( )
3 4 2 3 6 17
2 3 2 3 13 13
i i ii i
− −= = − −+ −
6 17,13 13
− −
ABC∆ a b c A B C
2 2 2
4
a b c− −
A
30° 45° 60° 135°
2 2 2
4
a b c− − 1
2 bcsinA= 2 2 2 2a b c bccosA= + −
sinA cosA= − 1tanA = −
( )0,A π∈ 3
4A π=
8 4棱锥与正方体的全面积之比为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
所求 全面积之比为： ，故选 A.
4.已知三棱锥 ， 是直角三角形，其斜边 ， 平面 ，
，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，在长方体中找到满足题意的三棱锥，求得长方体外接球的表面积即为所求.
【详解】根据题意，可在长方体中找到满足题意的三棱锥，如下图所示：
的
1: 3 1: 2 2: 2 3: 6
( )2
2
3 2 4 14
1 6 3
× ×
=×
S ABC− ABC 6 3AB = SC ⊥ ABC
6SC =
144π 72π 100π 64π故该长方体的外接球与三棱锥 的外接球相同，
又长方体的长宽高可以为 ，
则外接球半径 .
故其表面积 .
故选：A.
【点睛】本题考查三棱锥外接球的求解，属基础题.
5.已知 中， 为边 的两个三等分点，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
用基向量 表示出目标向量，利用向量的数量积运算，即可求得结果.
【详解】根据题意，由平面向量的定比分点可得：
，
故可得
【
S ABC−
3 6,3 6,6
( ) ( )2 2
3 6 3 6 36
62R
+ +
= =
24 144S Rπ π= × =
ABC∆ 60 , 4, 2,BAC AB AC E F∠ = ° = = 、 BC
AE AF⋅ =
5
4
20
3
15
8
5
3
,AB AC
2 1 1 2,3 3 3 3AE AB AC AF AB AC= + = +
2 1 1 2
3 3 3 3AE AF AB AC AB AC ⋅ = + ⋅ +
2 22 2 5 609 9 9AB AC AB AC cos= + + ° .
故选：B.
【点睛】本题考查用基向量表示平面向量，以及向量的数量积运算，属综合基础题.
6.复数 的虚部为（ ）
A. B. C. 3 D. -7
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得 ，再利用复数运算法则，化简复数后，求其虚部即可.
【详解】因为 ，
故 ，
故其虚部为 .
故选：C.
【点睛】本题考查复数的乘法运算，复数的模长求解，以及虚部的辨识，属综合基础题.
7.在锐角三角形 ABC 中，若 ，且满足关系式 ，
则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件求得 ，构造 的函数，通过求三角函数的值域，即可求得结果.
【详解】因为 ，故可得 ，
又 ，故可得 .
2 2 5 116 4 4 29 9 9 2
= × + × + × × ×
20
3
=
( )( )2 3 4i i i+ + −
3i 7i−
3 4i+
3 4 5i+ =
( )( )2 5 11 3i i i+ − = +
3
3sin cos 2B B+ = cos cos sin sin
3sin
B C A B
b c C
+ =
a c+
( 3,2 3ùúû
(2 3,4 3 (6,4 3 (3,2 3
,b B a c+
3sin cos 2B B+ = sin 16B
π + =
0, 2B
π ∈ 60B = °因为 ，故可得
整理得 ，则 .
故可得 ，
因为 ，故可得 .
则
故可得 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形中的范围问题，涉及正弦的和角公式，属综合
困难题.
二、填空题：每小题 5 分，共 25 分.
8.已知向量 ，若 与 共线，则 等于_______
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件，即可求的 与 的坐标，根据向量共线的坐标公式，即可求得结
果.
【详解】因为 ，
故可得 ， ，
因为 与 共线，
故可得 ，即可得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查向量坐标的运算，以及由向量共线求参数值，属基础题.
9.已知复数 z 满足(z－2)i＝1＋2i(i 是虚数单位)，则复数 z 的模为_____.
cos cos sin sin
3sin
B C A B
b c C
+ = 3
3 3 2
ccosB bcosC sinA asinBbc sinc c
+ = × = ×
2 3b = 2 4bR sinB
= =
( ) ( )4 4 4 4sin 60 4 3sin 30a c sinA sinC sinA A A+ = + = + + ° = + °
0, ,120 0,2 2A A
π π ∈ °− ∈
( )30 ,90A∈ ° °
( ) (4 3sin 30 6,4 3A + ° ∈
(6,4 3a c + ∈
( ) ( )3,2 , 2, 1a b= = − ma nb+ 2a b+ m
n
1
2
ma nb+ 2a b+
( ) ( )3,2 , 2, 1a b= = −
ma nb+ ( )3 2 ,2m n m n= + − 2a b+ ( )7,0=
ma nb+ 2a b+
14 7 0m n− = 1
2
m
n
=
1
2【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的运算，即可求得复数 ，则模长得解.
【详解】因为(z－2)i＝1＋2i，故可得 .
故可得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查复数的运算，以及复数模长的求解，属综合基础题.
10.在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，
，则 =______
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理将角化边，将 用 表示出来，用余弦定理，即可求得
【详解】因为 ，故可得 ；
因为 ，故可得 ；
综合即可求得 .
由余弦定理可得 .
又因为 ，故可得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用正弦定理将角化边，以及用余弦定理解三角形，属综合中档题.
11.已知某圆锥体的底面半径 ，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为 的扇
形，则该圆锥体的表面积是___
【答案】
17
z
1 2 2 4iz ii
+= + = −
16 1 17z = + =
17
ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin sin 3 sina A b B c B− =
sin 2 3sinC B= A
6
π
,a c b A
sin sin 3 sina A b B c B− = 2 2 3a b bc− =
sin 2 3sinC B= 2 3c b=
7 , 2 3a b c b= =
2 2 2 3
2 2
b c acosA bc
+ −= =
( )0,A π∈
6A
π=
6
π
2r =
2
3
π
16π【解析】
【分析】
利用弧长公式，即可求得圆锥的母线，利用圆锥表面积公式即可求得结果.
【详解】因为底面圆周长，也即扇形的弧长为 ，
设圆锥母线长为 ，则可得 ，解得 .
故可得圆锥的侧面积 .
则表面积为
故答案 ： .
【点睛】本题考查扇形的弧长公式，以及圆锥侧面积的求解，属综合基础题.
12.如图，已知等腰梯形 中， 是 的中点， 是
线段 上的动点，则 的最小值是_____
【答案】
【解析】
【分析】
以 中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，用解析法将目标式转化为函数，求得函数的值
域，即可求得结果.
【详解】以 中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图所示：
由题可知， ，
设 ， ，故可得 ，
为
4π
l 4π = 2
3
π
l× 6l =
12S rlπ π= =
212 12 4 16rπ π π π π+ = + =
16π
ABCD 2 4,AB DC= = 3AD BC= = ，E DC F
BC EF BF⋅
4
3
−
AB
AB
( ) ( ) ( )0, 2 , 1, 2 , 2,0E C B
CF CBλ= [ ]0,1λ ∈ ( )1, 2 2F λ λ+ −则 ，
故可得 ，
因 的对称轴 ，
故可得 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查用解析法求向量数量积的最值，涉及动点问题的处理，属综合中档题.
三、解答题（52 分）
13.如图所示，在长方体 中， ， 为棱 上—
点.
(1) 若 ，求异面直线 和 所成角的大小；
(2) 若 ，求证 平面 .
【答案】(1) ；(2)证明详见解析.
【解析】
【分析】
(1) 由 ,得 是异面直线 和 所成角,由此能示出异面直线 和
所成角的正切值；
(2) 时,由勾股定理逆定理得 , ,由此能证明 平面
( ) ( )1, 2 , 1, 2 2EF BFλ λ λ λ= + − = − −
[ ]23 2 1, 0,1EF BF λ λ λ⋅ = − − ∈
23 2 1y λ λ= − − 1
3
λ =
EF BF⋅ 1 1 43 2 19 3 3
× − × − = −
4
3
−
1 1 1 1ABCD A B C D− 2AB = 12, 4,BC CC M= = 1CC
1 1C M = 1A M 1 1C D
1 2C M = BM ⊥ 1 1A B M
5arctan 2
1 1 1 1/ /C D B A 1 1B A M∠ 1A M 1 1C D 1A M
1 1C D
1 2C M = 1B M BM⊥ 1A M BM⊥ BM ⊥.
【详解】(1) ,
是异面直线 和 所成角,
∵在长方体 中, 平面 ,
,
, , ,M 为棱 上一点, ,
,
,
即异面直线 和 所成角的大小为 .
(2) 时, ,
, .
, ,
,
,
又 , 平面 .
【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值的求法,考查直线与平面的证明,解题时要注意空间
思维能力的培养.
14.已知 ， 的夹角为 45°.
（1）求 方向上的投影；
（2）求 的值;
（3）若向量 夹角是锐角，求实数 的取值范围.
【答案】（1）1；（2） ；（3） .
的
1 1A B M
1 1 1 1/ /C D B A
1 1B A M∴∠ 1A M 1 1C D
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1A B ⊥ 1 1BCC B
1 1 1A B B M∴ ⊥
2AB = 2BC = 1 4CC = 1CC 1 1C M =
2 2
1 1 1 1 4 1 5B M B C MC∴ = + = + =
1
1 1
1 1
5tan 2
B MB A M A B
∴ ∠ = =
1A M 1 1C D 5arctan 2
1 2C M = 2 2
1 2 2B M BM BC CM= = + =
2 2 2
1 1B M BM BB∴ + = 1B M BM∴ ⊥
2 2 2
1 1 1 1 4 4 4 12A M AC MC= + = + + =
2
1 16 4 20A B = + =
2 2 2
1 1A M BM A B∴ + =
1A M BM∴ ⊥
1 1A M B M M∩ = BM∴ ⊥ 1 1A B M
2, 1a b= = a b与
a b在
2a b+
( )2 - 3a b a bλ λ − 与（ λ
10 (1, 6) ( 6,6)∪【解析】
试题分析：（1）由射影定义可得 在 方向上的投影；（2）利用公式 可求得向量的
模 ； （3） 由 与 的 夹 角 是 锐 角 ， 可 得 ， 且
与 不能同向共线，即可解出实数 的取值范围.
试题解析：（1）∵ ， ， 与 的夹角为
∴
∴ 在 方向上的投影为 1
（2）∵
∴
（3）∵ 与 的夹角是锐角
∴ ，且 与 不能同向共线
∴ ， ，
∴ 或
15.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 .
（1）若 ， ，求 面积的最大值；
（2）若 ，试判断 的形状.
（3）结合解答第（2）问请你总结一下在解三角形中判断三角形的形状的方法.
【答案】（1） ；（2）直角三角形或等腰三角形. （3）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理列出关系式，将 ， 代入，整理后利用基本不等式求出 的最
大值，即可确定出三角形面积的最大值；
（2）根据三角形内角和定理，得到 ，代入已知等式，展开化简合并，得
a b 22
a a=
(2 )a bλ− ( 3 )a bλ − (2 ) ( 3 ) 0a b a bλ λ− ⋅ − >
(2 )a bλ− ( 3 )a bλ − λ
2a = 1b = a b 45°
2cos45 2 12a ° = × =
a b
2 222 2 4 cos45 2 2 4 4 10a b a b a a b b+ = + = + °+ = + + =
2 10a b+ =
(2 )a bλ− ( 3 )a bλ −
(2 ) ( 3 ) 0a b a bλ λ− ⋅ − > (2 )a bλ− ( 3 )a bλ −
2 7 6 0λ λ− + < 2 ( 3 )a b k a bλ λ− ≠ − 0k >
1 6λ< < 6 6λ< <
ABC∆ A B C a b c
2c =
3C
π= ABC∆
sin sin( ) sin 2C B A A+ − = ABC∆
3
2c =
3C
π= ab
sin sin( )C A B= +，最后讨论当 时与 时，分别对 的形状加
以判断，可以得到结论.
（3）根据（2）中所求，结合解三角形的知识，即可容易总结.
【详解】（1）因为 ， ，
所以由余弦定理得： ，即 ，
整理得 ，因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，
则 的最大值为 .
（2）由 ，所以 ，
化简得 ，即 ，
所以 或 ，
因为 与 都为三角形内角，
所以 或 ，
所以 是直角三角形或等腰三角形.
（3）根据（2）中所求，结合已知知识，总结如下：
一、可利用正余弦定理，求得三角形中的角度，即可判断三角形形状；
二、可利用正余弦定理，求得三角形中的边长，由余弦定理判断三角形形状.
【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形面积的最值，以及判断三角形的形状，属综合
中档题.
16.如图,四边形 为矩形,且 平面 , , 为 的中
点.
sin sin sin cosB A A A= cos 0A = cos 0A ≠ ABC∆
2c =
3C
π=
2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 24 a b ab= + −
2 2 4a b ab+ = + 2 2 2a b ab+ ≥ 4 2ab ab+ ≥
4ab ≤ 1 3sin 32 4S ab C ab= = ≤
a b=
S 3
sin sin( ) sin 2C B A A+ − = sin( ) sin( ) sin 2A B B A A+ + − =
2sin sin 2sin cosB A A A= sin sin sin cosB A A A=
cos 0A = sin sinA B=
A B
2A
π= A B=
ABC∆
ABCD 2, 1,AD AB PA= = ⊥ ABCD 1PA = E BC（1）求证: ；
（2）求三棱锥 的体积；
（3）探究在 上是否存在点 ,使得 平面 ，并说明理由.
【答案】（1）见解析;（2） ;（3）见解析.
【解析】
【分析】
(1) 连 结 , 由 几 何 体 的 空 间 结 构 可 证 得 , 利 用 线 面 垂 直 的 定 义 可 知
.
(2)由(1)知 为腰长为 1 的等腰直角三角形,结合题意转化顶点可得 .
(3)在 上存在中点 ,使得 .取 的中点 ,连结 .
易证得四边形 EGHC 是平行四边形,所以 EG//CH,结合线面平行的判断定理可知 EG//平面
PCD.
【详解】(1)连结 ,∵ 为 的中点, ,
∴ 为等腰直角三角形,
则 ,同理可得 ,∴ ,∴ ,
又 ,且 , ∴ ,
又∵ ,∴ ,又 ,∴ .
PE DE⊥
C PDE−
PA G EG PCD
1
6
AE DE PAE⊥ 平面
DE PE⊥
DCE∆ 1
6C PDE P DCEV V− −= =
PA G / /EG PCD平面 ,PA PD ,G H , ,EG GH CH
AE E BC 1EC CD= =
DCE∆
45DEC∠ = 45AEB∠ = 90AED∠ = DE AE⊥
PA ABCD平面⊥ DE ABCD⊂ 平面 PA DE⊥
AE PA A∩ = DE PAE⊥ 平面 PE PAE⊂ 平面 DE PE⊥(2)由(1)知 为腰长为 1 的等腰直角三角形,
∴ ,而 是三棱锥 的高,
∴ .
(3)在 上存在中点 ,使得 .理由如下:
取 的中点 ,连结 .
∵ 是 的中点, ∴ ,且 ,
又因为 E 为 BC 的中点,且四边形 ABCD 为矩形,所以 EC//AD,且 EC= AD,
所以 EC//GH,且 EC=GH,所以四边形 EGHC 是平行四边形,所以 EG//CH,
又 EG 平面 PCD,CH 平面 PCD,所以 EG//平面 PCD.
【点睛】本题主要考查线面垂直的判断定理，线面垂直的判断定理，棱锥的体积公式，立体
几何中探索问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17.在△ABC 中角 A、B、C 的对边分别为 设向量 ， 且
，
（1）若 = ，求 A；
（2）若 的外接圆半径为 1，且 试确定 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2）
【解析】
【分析】
由已知条件，即可求得 ；
DCE∆
1 11 12 2DCES∆ = × × = PA P DCE−
1 1 1 113 3 2 6C PDE P DCE DCEV V S PA− − ∆= = ⋅ = × × =
PA G / /EG PCD平面
,PA PD ,G H , ,EG GH CH
,G H ,PA PD / /GH AD 1
2GH AD=
1
2
⊄ ⊂
a b c、 、 ， ( ),cosm a B= ( ),cosn b A=
/ /m n m n≠
sin sinA B+ 6
2
ABC∆ ,abx a b= + x
12
π 5
12
π ( )2,+∞
2A B
π+ =（1）利用 两角的关系，结合辅助角公式即可求得 ；
（2）将目标式转化为 的混合式，令 ，利用其与 之间的关
系，求得函数的值域，即可求得结果.
【详解】因为 且 ，
所以 ，由正弦定理，得 ，
即 .
又 ，故 ，因为 ，
所以 即 .
(1) =
，
得 ， .
(2)若 则 ，由正弦定理，得
设 = ，则 ，
所以
即 ，
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及 之间的关系以及换
元法，属综合中档题.
,A B A
,sinA sinB sinA sinB t+ = sinAsinB
( ,cos ), ( ,cos )m a B n b A= = / /m n
cos cosa A b B= sin cos sin cosA A B B=
sin 2 sin 2A B=
m n≠ A B≠ ( ) ( ) ( )0, , 0, , 0,A B A Bπ π π∈ ∈ + ∈
2 2 ,A B π+ =
2A B
π+ =
sin sinA B+ sin sin( ) sin cos 2 sin( )2 4A A A A A
π π+ − = + = +
30 , ,2 4 4 4A A
π π π π< < ∴ < + − −
x ( )2,+∞
,sinA cosA sinAcosA+
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