射洪中学校高 2018 级高二（下）第一次学月测试
数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，另附答题卡和答题卷，第Ⅰ卷 1
至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，考试结束后，将答题卡和答题卷一并交回。
第Ⅰ卷 选择题（满分 60 分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用 2B 铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把正确选项涂在机读卡上，如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
一 、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题 ，则 是( )
A． B．
C． D．
2．若双曲线方程为 ，则双曲线渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3． 是虚数单位， 则 （ ）
A． B．2 C． D．3
4．已知函数 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．3
5．6 个人分成甲、乙两组，甲组 2 人，乙组 4 人，则不同的分组种数为( )
A．10 种 B．15 种 C．30 种 D．225 种
6．设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6＝0 平行，则 a＝( )
A．1 B.1
2
C．－1
2
D．－1
7．把 5 件不同产品摆成一排．若产品 A 与产品 B 不相邻，则不同的摆法有( )
种
A．12 B．24 C．36 D．72
8．已知函数 ，若 是 的导函数，则函数 的图象大
2: , 2 3 0p x R x x∀ ∈ − + ≤ p¬
2, 2 3 0x R x x∀ ∈ − + ≥
0
2
0 0, 2 3 0x R x x∃ ∈ − + >
2, 2 3 0x R x x∀ ∈ − + <
0
2
0 0, 2 3 0x R x x∃ ∈ − + <
2 2
13 9
x y− =
xy 3
3±= xy 4
1±= xy 3±= xy 4±=
i 2
1
iz i
= − | |z =
2 2 2
( ) lnf x x x= +
0
(2 ) (2)lim
x
f x f
x∆ →
+ ∆ − =∆
3
2
5
4
2( o) 2c sf x xx += ( )f x′ ( )f x ( )f x′致是（ ）
A． B． C． D．
9．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现
在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法
共有( )
A．34 种 B．48 种 C．96 种 D．144 种
10．若函数 在区间 上不是单调函数，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
11．设 A 为椭圆 上一点，点 A 关于原点的对称点为 B，F 为
椭圆的右焦点，且 。若 ，则该椭圆离心率的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
12．已知函数 ，若 ，使得 ，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（选择题，满分 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横线上.)
13． ．
14．过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点，点 是坐标原点，若
2 )( )) (( xa Rx ef x a= + ∈ [ 2,2]− a
( ), 8−∞ − ( )8,0− ( )8,1− (1, )+∞
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( 0)a b> >
AF BF⊥ 5,4 12ABF
π π ∠ ∈
20, 2
2 ,12
60, 3
2 6,2 3
2 2ln 3( ) x xf x mx
+ += + 0
1 ,4x ∃ ∈ +∞
( )( )0 0f f x x= m
( ,2 ]e−∞ [ 2 ,16ln2 12]e− −
[0,2 ]e [ 2 ,0)e−
3 2
1
2( )3x x dx− =∫
2 4y x= F ,A B O，则 的面积为 ．
15．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，
且 甲 、 乙 两 名 学 生 不 能 分 到 同 一 个 班 ， 则 不 同 的 分 法 的 种 数
为 ．（用数字作答）
16 ． 定 义 在 R 上 的 函 数 满 足 ： ， ， 则 不 等 式
的解集为 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤.）
17．(本小题满分 10 分)已知 ， ， ．
（1）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围；
（2）若 ，“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数 的取值范围．
18．(本小题满分 12 分)已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若直线 为曲线 的切线，且经过原点，求直线 的方程及切点坐
标．
19．(本小题满分 12 分)已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
3AF = AOF∆
( )f x ( ) '( ) 1f x f x+ > (0) 4f =
( ) 3x xe f x e> +
0m > 2: 2 8 0P x x− − ≤ : 2 2q m x m− ≤ ≤ +
p q m
5m = p q∨ p q∧ x
3( ) 2f x x x= + -
( )y f x= (2,8)
l ( )y f x= l
3 2( ) 4 5f x x ax x= − − +
2a = ( )y f x=（2）若函数 在 处取得极值，求函数 在 上的最大值与最
小值．
20．(本小题满分 12 分)椭圆 C： 的离心率 ， ，
O 为坐标原点．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且 （其中
为坐标原点），求直线的方程.
21．(本小题满分 12 分)已知函数 ，其中 为自然对数的底
数．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设函数 ，若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值
范围．
( )y f x= 2x = − ( )y f x= [ 4,1]−
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 3
2e = 3a b+ =
)2,0(M l A B OA OB⊥
O l
( ) ( )xf x e ax a a R= − + ∈ e
( )f x
( ) ( ) ( )g x f x f x′= + ( )g x a22．(本小题满分 12 分)已知函数 ．
（1）当 时， 取得极值，求 的值并判断 是极大值点还是极小值点；
（2）当函数 有两个极值点 且 时，总有
成立，求 的取值范围．
射洪中学校高 2018 级高二（下）第一次学月测试（答案）
数学试题（理科）
一 、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)．
1~5:BCABB 6~10:ADACC 11~12:DD
二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)．
13. . 14. .
15. . 16. ．
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.）
17.【答案】(1) m≥4.(2) [-3，-2）∪（4，7]
【解析】(1)记命题 p 的解集为 A=[-2，4]，
命题 q 的解集为 B=[2-m，2+m]，
∵ 是 的充分不必要条件 ∴p 是 q 的充分不必要条件，∴ ，
∴ ， 解 得 ：
. …………………………………………………………………（5 分）
(2)∵“ ”为真命题，“ ”为假命题，
∴ 命 题 p 与 q 一 真 一
假，…………………………………………………………………………（6 分）
①若 p 真 q 假，则 ，无解，
2( ) 8 ln ( )f x x x a x a R= − + ∈
1x = ( )f x a 1x =
( )f x 1 2 1 2, ( ),x x x x< 1 1x ≠ 21
1 1
1
ln (4 3 )1
a x t x xx
> + −−
t
6 2
30 (0, )+∞
q¬ p¬
2 2
2 4
m
m
− ≤ −
+ ≥
4m ≥
p q∨ p q∧
2 4
3 7
x
x x
− ≤ ≤
< − > 或②若 p 假 q 真，则 ，解得： .
综 上 得 ：
.…………………………………………………………………（10 分）
18．【答案】(1) (2) 切线方程为 ,切点为
【 解 析 】 （ 1 ） ， 所 以
………………………………………………（4 分）
， 即
……………………………………………………（6 分）
（2）设切点为 ，则
所以切线方程为
因为切线过原点，所以 ，
所 以 ， 解 得
， …………………………………………………………………（10 分）
所以 ，故所求切线方程为 ，
又 因 为 ， 切 点 为
…………………………………………………………（12 分）
19.【答案】（1）函数 的单调递增区间为：
函数 的单调递减区间为： ；
（2） ,
【解析】（1）∵ ，∴
∴ ，
令 解得
令 解得
从而函数 的单调递增区间为：
函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 ：
…………………………………………………（6 分）
2 4
3 7
x x
x
< − >
− ≤ ≤
或 [ ) ( ]3, 2 4,7x∈ − −
[ ) ( ]3, 2 4,7x∈ − −
13 18 0x y− − = 4y x= ( 1, 4)− −
( ) 23 1f x x=′ +
( )2 13f ′ =
∴ ( )8 13 2y x− = −
13 18 0x y− − =
3
0 0 0, 2)x x x（ + − ( ) 2
0 03 1f x x=′ +
( ) ( )( )3 2
0 0 0 02 3 1y x x x x x− + − = + −
( ) ( )3 2
0 0 0 02 3 1x x x x− + − = − +
3
02 2x = −
0 1x = −
( )1 4f ′ − = 4y x=
( )1 4f − = −
( )1, 4− −
( )y f x= 2( , (2, )3
−∞ − +∞) 和
( )y f x= 2( ,2)3
−
( )max( ) 2 13f x f= − = ( )min( ) 4 11f x f= − = −
2a = ( ) 3 22 4 5 ( )f x x x x x R= − − + ∈
( ) 23 4 4 (3 2)( 2)f x x x x x′ = − − = + −
( ) 0f x′ > 2 23x x< − >或
( ) 0f x′ < 2 23 x− < <
( )y f x= 2( , (2, )3
−∞ − +∞) 和
( )y f x=
2( ,2)3
−（2）∵在 处取得极值，
∴ ， 即 ， 解 得
，………………………………（8 分）
∴ .
∵ ，∴由 ，解得 或 ，
当 在 上变化时， 和 的变化如下：
∴由表格可知当 时，函数 取得最小值 ，
当 时，函数取得极大值同时也是最大值 ，
故
, .……………………………………………（12
分）
20.【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由椭圆 C 的离心率 e＝3
2
， 即
而 a＋b＝3 则
从 而 椭 圆 C 的 方 程 为
…………………………………………………………（5 分）
（ 2 ） 当 直 线 的 斜 率 不 存 在 时 ， 即 不 符 合 题
1
+ 0 - 0 +
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增 4
2x = −
( )2 0f ′ − = ( )2 12 4 0f a b′ − = + + =
2a = −
( ) 3 22 4 5f x x x x= + − +
( ) 23 4 4f x x x′ = + − ( ) 0f x′ = 2x = − 2
3x =
x [ 41]− ， ( )f x′ ( )f x
4x = − ( )f x ( )4 11f − = −
2x = − ( )2 13f − =
( )max( ) 2 13f x f= − = ( )min( ) 4 11f x f= − = −
2
2 14
x y+ = 2 2y x= ± +
4
3
4
3
2
2
2
2
=⇒=
a
b
a
c
2
1=
a
b
2, 1a b= =
2
2 14
x y+ =
l 0: =xl
x 4− ( )4 2− −， 2− 22 3
− ， 2
3
2
3
，1
( )f x′
( )f x 11− ( )2 13f − = 2 95
3 27f = 意；………………………………（6 分）
当直线 的斜率存在时，不妨设直线 ，
联立 ，消去 ，整理得：
∴
………………………………………………………（8 分）
由 得： 或
又
∴
又
则 ，即 从而
故 直 线 的 方 程 为
．…………………………………………………………（12 分）
21.【答案】（1）略；（2）
【解析】（1）∵
∴函数 的定义域为 ，且
若 时 则 ，从而函数 在 上单调递增
若 时 令 ，解得 ，令 ，解得 ，
从 而 函 数 在 上 单 调 递 减 ， 在 上 单 调 递
增 ………………(6 分)
（2）由（1）知 ，所以 则
若 时 则 ，从而函数 在 上单调递增
于是 在 上至多只有一个零点与题意不符
从 而 （ 舍
去）……………………………………………………………………（8 分）
若 时 令 ，解得 ，令 ，解得 ，
从而函数 在 上单调递减，在 上单调递增
l : 2l y kx= + ),( 11 yxA ),( 22 yxB
2
2
2
14
y kx
x y
= + + =
y 2 21 4 3 04k x kx + + + =
1 2 1 2
2 2
4 3,1 1
4 4
kx x x x
k k
+ = − ⋅ =
+ +
( )2 214 4 3 4 3 04k k k ∆ = − + × = − >
3
2k < 3
2k > −
0OA OB OA OB⊥ ⇔ ⋅ =
1 2 1 2 0OA OB x x y y⋅ = + =
( )( ) ( )2
1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4y y kx kx k x x k x x= + + = + + +
2 2
2 2
3 8 41 1
4 4
k k
k k
−= + +
+ +
2
2
1
1
4
k
k
− +=
+
1 2 1 2OA OB x x y y⋅ = + = 2
2 2
3 1 01 1
4 4
k
k k
− ++ =
+ +
2 4k = 2k = ±
l
2 2y x= ± +
(2 , )e +∞
( ) ( )xf x e ax a a R= − + ∈
( )f x R ( ) xf x e a′ = −
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( , )−∞ +∞
0a > ( ) 0f x′ < lnx a< ( ) 0f x′ > lnx a>
( )f x ( ,ln )a−∞ (ln , )a +∞
'( ) xf x e a= − ( ) 2 xg x e ax= − ( ) 2 xg x e a′ = −
0a ≤ ( ) 0g x′ > ( )g x ( , )−∞ +∞
( )g x ( , )−∞ +∞
0a ≤
0a > ( ) 0g x′ < ln 2
ax < ( ) 0g x′ > ln 2
ax >
( )g x ( ,ln )2
a−∞ (ln , )2
a +∞则
由函数 有两个不同的零点
则 解 得
………………………………(11 分)
当 时，
，且 当 时，
从而 函数 有两个不同的零点
综 上 所 述 ：
…………………………………………………………………………………（12 分）
22.【答案】（1） ， 为极大值点； （2） .
【解析】（1） ， ，则
从而 ，所以 时， ， 为增函
数；
时 ， ， 为 减 函 数 ， 所 以 为 极 大 值
点.…………………………（5 分）
（2）函数 的定义域为 ，有两个极值点
， ，则 在 上有两个不等的正实根，所
以 ，
由 可 得
……………………………………………………………（6 分）
从而问题转化为在 ，且 时 成立.
即证 成立.
即证 即证
亦即证 . ①
令 则
……………………（8 分）
min( ) (ln ) ln2 2
a ag x g a a= = −
( )g x
min( ) (ln ) ln 02 2
a ag x g a a= = − <
2a e>
2a e> (1) 2 0g e a= − <
(0) 2 0g = > x → +∞ ( )g x → +∞
( )g x
2a e>
6a = 1x = 1t ≤ −
( ) 22 8 ( 0)x x af x xx
− += >′ ( )1 0f ′ = 6a =
( ) ( )( )2 1 3 ( 0)x xf x xx
− −= >′ ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )1,3x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x 1x =
( )f x ( )0,+∞
1x 2 1 2( )x x x< ( ) 22 8 0t x x x a= − + = ( )0,+∞
0 8a< <
1 2
1 2
1 2
4
2
x x
ax x
x x
+ =
=
+ −−
( )1 1
1
1
2 ln 11
x x t xx
> +− ( )1 1
1
1
2 ln 1 01
x x t xx
− + >−
( )2
11
1
1 1
1
2ln 01
t xx xx x
−
+ >−
( ) ( )2 1
2ln (0 2)
t x
h x x xx
−
= + < <
( ) 2
2
2 (0 2)tx x th x xx
+ + < ( )h x ( )0,2 ( )1 0h = ( )1,2
0t < 24 4t∆ = −
0∆ ≤ 1t ≤ − ( ) 0h x′ ≤ ( )h x ( )0,2 ( )1 0h =
1
11
x
x−
( )2
1
1
1
1
2ln
t x
x x
−
+ ( )0,1 ( )1,2
0∆ > 1 0t− < < 2 2y tx x t= + + 1 1x t
= − >
1min ,2a t
= − 1 x a< < ( ) 0h x >
1t ≤ −
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