2019~2020 学年下学期高二质量检测（四）
高二文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一
项．
1. 复数 的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2. 下边是高中数学常用逻辑用语的知识结构图，则（1）、（2）处依次为（ ）
A. 命题及其关系、或 B. 命题的否定、或 C. 命题及其关系、并 D. 命题的否定、并
3． 如图 1 为某省 2019 年 1~4 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2019 年 1~4 月快递业务收入统计图，下列对统计
图理解错误的是( )
A．2019 年 1~4 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件
B．2019 年 1~4 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高
C．从两图来看 2019 年 1~4 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
9 ( 1 2 )z i i= − −
2 i+ 2 i− 2 i− + 2 i− −D．从 1~4 月来看，该省在 2019 年快递业务收入同比增长率逐月增长
4. 观察如图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）
A. B. C. D.
5. 用反证法证明“至少存在一个实数 ，使 成立”时，假设正确的是（ ）
A. 至少存在两个实数 ，使 成立 B. 至多存在一个实数 ，使 成立
C. 不存在实数 ，使 成立 D. 任意实数 ， 恒成立
6. 小 明 用 流 程 图 把 早 上 上 班 前 需 要 做 的 事 情 做 了 如 图 方 案 ， 则 所 用 时 间 最 少 是 （ ）
A．23 分钟 B．24 分钟 C．26 分钟 D．31 分钟
7. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的 S 的值是
A． B． C． D．
9．从某大学中随机选取 8 名女大学生，其身高 （单位： ）与体重 （单位： ）数据如下表：
165 165 157 170 175 165 155 170
0x 03 0x >
0x 03 0x > 0x 03 0x >
0x 03 0x > x 3 0x >
x cm y kg
x48 57 50 54 64 61 43 59
若已知 与 的线性回归方程为 ，那么选取的女大学生身高为 时，相应的残差为（ ）
A． B．0. 96 C. 63. 04 D.
10. 给出下列结论：在回归分析中
（1）可用相关指数 的值判断模型的拟合效果， 越大，模型的拟合效果越好；
（2）可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；
（3）可用相关系数 的值判断模型的拟合效果， 越大，模型的拟合效果越好；
（4）可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带
状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高.
以上结论中，不正确的是（ ）
A．（1）（3） B．（2）（3） C. （1）（4） D. （3）（4）
11． 在平面中，与正方形 的每条边所成角都相等的直线与 所成角的余弦值为 .将此结论类比到空间
中，得到的结论为：在空间中，与正方体 的每条棱所成角都相等的直线与 所成角的余弦值
为（ ）
A.
B. C. D.
12. 已知函数 ，若函数 恰有 5 个零点，且最小的零点小
于-4，则 的取值范围是
A． B． C. D．
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13 .若复数 满足 ，则 的取值范围是______．
14. 用支付宝在淘宝网购物有以下几步：①买家选好商品，点击购买按钮，并付款到支付宝；②淘宝网站收到买
家的收货确认信息，将支付宝里的货款付给卖家；③买家收到货物，检验无问题，在网上确认收货；④买家登录
淘宝网挑选商品；⑤卖家收到购买信息，通过物流公司发货给买家．他们正确的顺序依次为 ．
15． 某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机
器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述错误的的是_____________.
1
, 0( )
3, 0
xe xf x x
ax x
− >=
+ ≤
( ) ( ( )) 2g x f f x= −
a
( , 1)−∞ − (0, )+∞ (0,1) (1, )+∞
y
y x ˆ 0.85 85.71y x= − 175cm
0.96− 4.04−
2R 2R
r r
ABCD AB 2
2
1 1 1 1ABCD A B C D− AB
2
2
3
3
3
2
6
3
z 2z = 3 3z z+ + −①甲只能承担第四项工作
②乙不能承担第二项工作
③丙可以不承担第三项工作
④丁可以承担第三项工作
16． 祖暅是我国古代的伟大科学家，他在 5 世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，
则这两个几何体的体积相等. 祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆
锥和圆柱的的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图(1)是一个半径为 R 的半球体，图(2)
是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体. (圆柱和圆锥的底面半径和高均为 R)
利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在 x-O-y 坐标系中，设抛物线 C 的方程为 y=1－x2 (－1 x
1)，将曲线 C 围绕 y 轴旋转，得到的旋转体称为抛物体. 利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为
_________.
三、解答题（共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （10 分） 已知复数 （ ）的实部与虚部的差为 .
（1）若 ，且 ，求复数 在复平面内对应的点的坐标；
（2）当 取得最小值时，求复数 的实部.
18. （10 分）已知若椭圆 ： （ ）交 轴于 ， 两点，点 是椭圆 上异于 ， 的任
意一点，直线 ， 分别交 轴于点 ， ，则 为定值 .
≤
≤
( )23z x x x i= − − x∈R ( )f x
( ) 8f x = 0x > iz
( )f x 1 2
z
i+
C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > x A B P C A B
PA PB y M N AN BM⋅ 2 2b a−（1）若将双曲线与椭圆类比，试写出类比得到的命题；
（2）判定（1）类比得到命题的真假，请说明理由.
19. （10 分） 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本 （元）
与生产该产品的数量 （千件）有关，经统计得到如下数据：
1 2 3 4 5 6 7 8
112 61 44.5 35 30.5 28 25 24
根据以上数据，绘制了散点图.
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型 和指数函数模型 分别对
两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为 ， 与 的相关系数
.
参考数据（其中 ）：
183.4 0.34 0.115 1.53 360 22385.5 61.4 0.135
（1）用反比例函数模型求 关于 的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到 0.01），并用其估计产量为 10 千件时每件产品的
非原料成本；
（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定
y
x
x
y
by a x
= + dxy ce=
0.296.54 xy e−= ln y x
1 0.94r = −
1
i
i
u x
=
8
1
i i
i
u y
=
∑ u 2
u
8
2
1
i
i
u
=
∑ 8
1
i
i
y
=
∑ 8
2
1
i
i
y
=
∑ 0.61 6185.5× 2e−
y x为 100 元，则签订 9 千件订单的概率为 0.8，签订 10 千件订单的概率为 0.2；若单价定为 90 元，则签订 10 千件订
单的概率为 0.3，签订 11 千件订单的概率为 0.7.已知每件产品的原料成本为 10 元，根据（2）的结果，企业要想获
得更高利润，产品单价应选择 100 元还是 90 元，请说明理由.
参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计
分别为： ， ，相关系数 .
20.（10 分） 市某机构为了调查该市市民对我国申办 2034 年足球世界杯的态度，随机选取了 140 位市民进行调
查，调查结果统计如下：
支持 不支持 合计
男性市民 60
女性市民 50
合计 70 140
（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；
（2）利用（1）完成的表格数据回答下列问题：
（i）能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关；
（ⅱ）已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有 5 位退休老人，其中 2 位是教师，现从这 5 位退休老人
中随机抽取 3 人，求至多有 1 位老师的概率.
附： ，其中 .
0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21. （10 分） （1）用反证法证明：若角 A，B 为三角形 ABC 的内角，且 A＞B，则 cosB＞0；
（2）证明：当 a＞0，b＞0，且 a≠b 时，有．
22． （10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 过点 P（m，2），其参数方程为（t 为参数，m∈R 以 O 为极点，
x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程 ρcos2θ+8cosθ﹣ρ＝0．
( )1 1,u υ ( )2 2,u υ ( ),n nu υ uυ α β= +
1
22
1
n
i i
i
n
i
i
u nu
u nu
υ υ
β =
=
−
=
−
∑
∑ a uυ β= − 1
2 22 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
u nu
r
u nu n
υ υ
υ υ
=
= =
−
=
− −
∑
∑ ∑
A
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + +＋
( )2
0P K k>
0k（1）求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程；
（2）求已知曲线 C1 和曲线 C2 交于 A，B 两点，且|PA|＝2|PB|，求实数 m 的值．
23． （10 分）已知函数 的定义域为 ；
（1）求实数 的取值范围；
（2）设实数 为 的最大值，若实数 ， ， 满足 ，求 的最小值．
1.A
2.A.
3.D
4. C
5.C
( ) 2 3f x x x m= − − − R
m
t m a b c 2 2 2 2a b c t+ + = 2 2 2
1 1 1
1 2 3a b c
+ ++ + +6. C．
7. B
9．B
10.B
11.B
12.C
13．
14.④①⑤③②
15.①③④
16．
17.解： .
（1）因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
则 ，
所以 在复平面内对应的点的坐标为 .
（2）因为 ，所以当 时， 取得最小值，
此时， ， ，
所以 的实部为 .
18 .解：（1）类比得命题：若双曲线 ： （ ， ））交 轴于 ， 两点，点 是双曲线
6,2 13
2
π
( )2 2( ) 3 2f x x x x x x= + − = +
( ) 8f x = 2 2 8x x+ = 0x > 2x =
(6 2 ) 2 6iz i i i= − = +
iz (2,6)
2( ) ( 1) 1f x x= + − 1x = − ( )f x
3 2z i= − − 3 2 (3 2 )(1 2 ) 7 4
1 2 1 2 5 5 5
z i i i ii i
+ + −= − = − = − ++ +
1 2
z
i+
7
5
−
C
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > x A B P C上异于 ， 的任意一点，直线 ， 分别交 轴于点 ， ，则 为定值 .
证明：（2）不妨设 ， ， ，则 ，
∴直线 方程为 .
令 ，则 ，∴点 坐标为 .
又 ，∴ .
同法可求得 .
∴ .
又∵ ，∴ .
19．（1） （2）见解析；（3）见解析.
（1）令 ，则 可转化为 ，
因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 关于 的回归方程为 ；
A B PA PB y M N AN BM⋅ ( )2 2a b− +
( ,0)A a− ( ,0)B a ( )0 0,P x y 0 0
0 0
0
( )PA
y yk x a x a
−= =− − +
PA 0
0
( )yy x ax a
= ++
0x = 0
0
ayy x a
= + M 0
0
0, ay
x a
+
( ,0)B a 0
0
, ayBM a x a
= − +
0
0
, ayAN a x a
−= −
2 2
2 0
2 2
0
a yAN BM a x a
⋅ = − − −
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
− = ( )22
2 2 2 20
2 2 2
0
1xaAN BM a b a bx a a
⋅ = − − ⋅ ⋅ − = − + −
10011y x
= +
1u x
= by a x
= + y a bu= +
360 458y = =
8
1
8
2 2
1
8 183.4 8 0.34 45 61 1001.53 8 0.115 0.
ˆ
618
i i
i
i
i
u y uy
b
u u
=
=
- - ´ ´= = = =- ´-
å
å
45 100 0.34 11a y bu= − = − × = 11 100y u= +
y x 10011y x
= +（2） 与 的相关系数为：
，
因为 ，所以用反比例函数模型拟合效果更好，
当 时， （元），
所以当产量为 10 千件时，每件产品的非原料成本为 元；
（3）①当产品单价为 元，设订单数为 千件：
因为签订 9 千件订单的概率为 0.8，签订 10 千件订单的概率为 0.2，
所以 ，
所以企业利润为 （千元），
②当产品单价为 元，设订单数为 千件：
因为签订 10 千件订单的概率为 0.3，签订 11 千件订单的概率为 0.7，
所以 ，
所以企业利润为 （千元），
故企业要想获得更高利润，产品单价应选择 元.
20..解：（1）
支持 不支持 合计
男性市民 40 20 60
女性市民 30 50 80
合计 70 70 140
y 1
x
8
1
2 8 8
2 2 2 2
1 1
61 61 0.9961.40.61 6185.5
8 8
i i
i
i i
i i
u y nuy
r
u u y y
=
= =
−
= = = ≈
× − −
∑
∑ ∑
1 2r r<
10x = 100 11 2110y = + =
21
100 x
( ) 9 0.8 10 0.2 9.2E x = ´ + ´ =
100100 9.2 9.2 21 626.89.2
æ öç ÷´ - ´ + =ç ÷è ø
90 y
( ) 10 0.3 11 0.7 10.7E y = ´ + ´ =
10.
10090 710.7 10.7 21 638.3æ öç ÷´ - ´ + =ç ÷è ø
90（2）（i）因为 的观测值 ，
所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关.
（ⅱ）记 5 人分别为 ， ， ， ， ，其中 ， 表示教师，从 5 人中任意取 3 人的情况有 ，
， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 种，其中至多
有 1 位教师的情况有 ， ， ， ， ， ， 共 7 种，
故所求的概率 .
21. 证明：（1）假设 cosB≤0，因为 B 三角形 ABC 的内角，
所以 B∈（0，π），则 B∈[，π），
因为 A＞B，则 A，
则 A+B＞π，这与 A+B＜π 矛盾，
故假设不成立，因此 cosB＞0，
（2）根据对称性，不妨设 a＞b＞0，
①⇔lna﹣lnb⇔ln⇔2lnx＜x，x 且 x＞1，
设 f（x）＝2lnx﹣x，x＞1，
则 f′（x）＝﹣（1）2＜0，
所以 f（x）在（1，+∞）上单调递减，
所以 f（x）＜f（1）＝0，
即 2lnx＜x，
故．
②⇔lna﹣lnb⇔ln⇔lnx，x 且 x＞1，
令 g（x）＝lnx，x＞1，
则 g′（x）0，
所以 g（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以 g（x）＞g（1）＝0，
即 lnx，
2K
2( )
( )( )( )( )
n ad bck a b c d a c b d
−= + + + +
2140 (40 50 30 20) 11.667 10.82860 80 70 70
× × − ×= ≈ >× × ×
a b c d e a b ( , , )a b c
( , , )a b d ( , ,e)a b ( , , )a c d ( , ,e)a c ( , ,e)a d ( , , )b c d ( , ,e)b c ( , ,e)b d ( , ,e)c d
( , , )a c d ( , ,e)a c ( , ,e)a d ( , , )b c d ( , ,e)b c ( , ,e)b d ( , ,e)c d
7
10P =故，
综上所述当 a＞0，b＞0，且 a≠b 时，有．
22.解：（1）C1 的参数方程，消参得普通方程为 x+y﹣m﹣2＝0；
C2 的极坐标方程化为 ρcos2θ+8cosθ﹣ρ＝0，两边同乘 ρ，得 2ρ2cos2θ+8ρcosθ﹣2ρ2＝0，即 y2＝4x；
（2）将曲线 C1 的参数方程标准化为，（t 为参数，m∈R），代入曲线 y2＝4x，得，
由 0，得 m＞﹣3，
设 A，B 对应的参数为 t1，t2，由题意得|t1|＝2|t2|，即 t1＝2t2 或 t1＝﹣2t2，
当 t1＝2t2 时，，解得 m；
当 t1＝﹣2t2 时，，解得 m＝33．
综上：m 或 33．
23．（1） ；（2）
（1）由题意可知 恒成立，令 ，
去绝对值可得： ，
画图可知 的最小值为-3，所以实数 的取值范围为 ；
（2）由（1）可知 ，所以 ，
，
3m ≤ − 3
5
2 3x x m− − ≥ ( ) 2 3g x x x= − −
( )
( )
( )
6, 3
2 3 6 3 ,(0 3)
6 , 0
x x
g x x x x x
x x
− ≥
= − − = − <
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