2019~2020 学年下学期高二质量检测（四）
高二理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一
项．
1．已知复数 z＝
(tan θ－ 3)i－1
i ，则“θ＝π
3”是“z 是纯虚数”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十
天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”
以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、
乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…、癸亥，共得到 60 个组合，称六十甲子，周而复始，
无穷无尽.2019 年是“干支纪年法”中的己亥年，那么 2026 年是“干支纪年法”中的( )
A．甲辰年 B．乙巳年 C．丙午年 D．丁未年
3. 某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量(单位：kg)服从正态分布 N(10,0.12)，现抽取 500 袋样本，X 表示抽取的
面粉质量在区间(10,10.2)内的袋数，则 X 的数学期望约为( )
注：若 Z～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ ( )f θ
,6 2
π πθ ∈
( )' 0f θ < ( )f θ
( )max
3 50200 100 100 36 2 6 3f f
π π πθ = = × + × = +
( )f θ 50100 3 3
π+由题设得 ， ， ，由椭圆定义可得点 的轨迹方程为：
（ ）.
（Ⅱ）当 与 轴不垂直时，设 的方程为 ， ， .
由 得 .
则 ， .
所以 .
过点 且与 垂直的直线 ： ， 到 的距离为 ，所以
.故四边形 的面积
.
可得当 与 轴不垂直时，四边形 面积的取值范围为 .
当 与 轴垂直时，其方程为 ， ， ，四边形 的面积为 12.
综上，四边形 面积的取值范围为 .
22. 解：（Ⅰ）解：
)0,1(−A )0,1(B 2|| =AB E
134
22
=+ yx 0≠y
l x l )0)(1( ≠−= kxky ),( 11 yxM ),( 22 yxN
=+
−=
134
)1(
22 yx
xky
01248)34( 2222 =−+−+ kxkxk
34
8
2
2
21 +=+
k
kxx 34
124
2
2
21 +
−=
k
kxx
34
)1(12||1|| 2
2
21
2
+
+=−+=
k
kMN
)0,1(B l m )1(1 −−= xky A m
1
2
2 +k
1
344)
1
2(42|| 2
2
2
2
2
+
+=
+
−=
k
k
k
PQ MPNQ
34
1112||||2
1
2 ++==
kPQMNS
l x MPNQ )38,12[
l x 1=x 3|| =MN 8|| =PQ MPNQ
MPNQ )38,12[
'( ) (1 ) xf x x e−= −令 ,解得 x=1
当 x 变化时， ， 的变化情况如下表
X ( ) 1 ( )
+ 0 -
极大值
所以 在( )内是增函数，在( )内是减函数.
函数 在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x)
令 F(x)=f(x)-g(x),即
（Ⅲ)证明：（1）
若 ，由（Ⅰ）及 ，得 与 矛盾
（2）若 ，由（Ⅰ）及 ，得 与 矛盾
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知， > ,则 = ，所以 > ,从而 > .因为 ，
'( ) 0f x =
'( )f x ( )f x
,1−∞ 1,+∞
'( )f x
( )f x
( )f x ,1−∞ 1,+∞
( )f x 1
e
2xe −
2( ) ( 2)x xF x xe x e− −= + −
1 2( 1)( 1) 0x x− − = 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 1x x= = 1 2x x≠
1 2( 1)( 1) 0x x− − > 1 2( ) ( )f x f x= 1 2x x= 1 2x x≠
1 2 1 2( 1)( 1) 0, 1, 1.x x x x− − < < >不妨设
)2f ( x )2g( x )2g( x )2f ( 2- x )2f ( x )2f ( 2- x )1f ( x )2f ( 2- x 2 1x >所以 ，又由（Ⅰ）可知函数 f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以 > ,即 >2.22 1x− < 1x 22 x− 1 2x x+
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