高二年级 4 月月考数学试卷
一、选择题（本大题共 16 小题，共 80.0 分）
1.甲、乙等 人排一排照相，要求甲、乙 人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】B
【解析】
根据题意，甲、乙看做一个元素安排中间位置，共有 种排法，
其余 人排其它 个位置，共有 种排法，
利用乘法原理，可得不同的排法有 种．
故选 ．
点睛：本题考查的是排列组合问题.（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)
的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位
置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，
往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均
匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．
2.将 4 名学生分配到甲、乙、丙 3 个实验室准备实验，每个实验室至少分配 1 名学生的不同分
配方案共有
A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意首先把 4 名学生分为 3 组，则有 种分法，再把分好的 3 组分到甲、乙、丙 3 个实
验室，则有 种分法，进而再利用分步计数原理计算出答案.
【详解】因为 4 名学生分配到甲、乙、丙 3 个实验室准备实验，每个实验室至少分配 1 名学
生，
所以首先把 4 名学生分为 3 组，则有一个组有 2 人，共有 种分法，
再把分好的 3 组分到甲、乙、丙 3 个实验室，则有 种分法，
5 2
36 24 18 12
1 2
2 2C A 4=
3 3 3
3A 6=
4 6 24× =
B
（ ）
2
4C
3
3A
2
4C
3
3A所以共有 种分法.
故选 C.
【点睛】本题考查分步计数原理以及排列、组合的综合应用，在处理分组，分配问题时，常
常采用先分组再分配的方法，属于基础题.
3.已知随机变量 X 的分布列为
X 0 1
P p
则
A 0 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由随机变量 X 的分布列求出 ，求出 .
【详解】由随机变量 X 的分布列知： ，则 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查离散型随机变量的期望的求法，是基础题.
4.已知随机变量 X 服从二项分布 .若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由随机变量 X 服从二项分布 B（n，p），结合期望及方差的公式运算即可得解．
2 3
4 3 36C A =
1−
0.5 0.2
( )E X =（ ）
0.2− 0.1− 0.3−
0.3p = ( )E X
0.5 0.2 1p+ + = 0.3p =
( ) 1 0.5 0 0.2 1 0.3 0.2E X = − × + × + × = −
( ),B n p ( ) 2E X = ( ) 4
3D X = p =
3
4
2
3
1
3
1
4【详解】由随机变量 X 服从二项分布 B(n,p).
又 E(X)=2, ，
所以 np=2，np(1−p)= ，
解得：p= ，
故选：C.
【点睛】本题考查二项分布与 n 次独立重复试验的模型，运用二项分布的期望及方差的公式
运算即可求解，属于基础题.
5.有以下四个命题，其中正确的是（ ）
A. 由独立性检验可知，有 的把握认为物理成绩与数学成绩有关，若某人数学成绩优秀，
则他有 的可能物理成绩优秀
B. 两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于
C. 在线性回归方程 中，当变量 每增加一个单位时，变量 平均增加 个单
位
D. 线性回归方程对应的直线 至少经过样本数据点中的一个点
【答案】C
【解析】
对于 A.有 的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指“不出错的概率”，
不是“数学成绩优秀，物理成绩就有 的可能优秀”，A 错误；
对于 B，根据随机变量的相关系数知，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近
于 1，B 错误；
对于 C.根据线性回归方程 的系数 知，当解释变量 每增加一个单位时，
预报变量 平均增加 0.2 个单位，C 正确；
对于 D.线性回归方程对应的直线 过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故 D
错误；
故选 C．
6.凤鸣山中学的高中女生体重 (单位：kg)与身高 (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组
( ) 4
3D X =
4
3
1
3
99%
99%
0
0.2 12ˆy x= + x ˆy 0.2
ˆˆ ˆy bx a= +
99%
99%
0.2 12ˆy x= + ˆ 0.2b = x
ˆy
ˆˆ ˆy bx a= +
y x样本数据 （ ），用最小二乘法近似得到回归直线方程为
，则下列结论中不正确的是（ ）
A. 与 具有正线性相关关系
B. 回归直线过样本的中心点
C. 若该中学某高中女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg
D. 若该中学某高中女生身高为 160cm，则可断定其体重必为 50.29kg.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据回归直线方程可以判断 与 具有正线性相关关系，回归直线过样本的中心点 ，该
中学某高中女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg，该中学某高中女生身高为 160cm，只
能估计其体重，不能得出体重一定是多少.
【详解】根据回归直线方程 ，但看函数图象 单调递增，可以判断 与
具有正线性相关关系，所以 A 选项说法正确；
回归直线过样本的中心点 ，所以 B 选项说法正确；
根据斜率得该中学某高中女生身高增加 1cm，则其体重约增加 085kg，所以 C 选项说法正确；
该中学某高中女生身高为 160cm，根据回归直线方程只能估计其体重，D 选项说“可断定其体
重必为 50.29kg”，这种说法错误.
故选：D
【点睛】此题考查线性回归直线相关概念辨析，考查基础知识的掌握情况.
7.在 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式的常数项为 ．
A B. 7 C. D. 28
【答案】B
【解析】
试题分析：根据题意，由于在 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，那么
是
( ),i ix y 1,2,3,i n=
ˆ 0.85 85.71y x= −
y x
( ),x y
y x ( ),x y
ˆ 0.85 85.71y x= − y x
( ),x y
3
1
2
nx
x
−
( )
7− 28−
3
1
2
nx
x
− 可知 n 为偶数，n=8 则可知 ,可知当 r=6 时，可知为常数
项，故可知为 7，选 B.
考点：二项式定理
点评：主要是考查了二项式定理的运用，属于基础题．
8. 则 ( )
A. 1 B. C. 1023 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令二项式中的 ，又由于所求之和不含 ，令 ，可求出 的值，代入即求答案．
【详解】令 代入二项式 ，
得 ，
令 得 ，
，
故选 D．
【点睛】本题主要考查二项式定理 应用，一般在求解有二项式关系数的和等问题时通常会
将二项式展开式中的未知数 x 赋值为 1 或 0 或者是 进行求解 本题属于基础题型．
9.已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ）
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7
【答案】A
【解析】
∵P（x≤6）=0.9，
∴P（x＞6）=1﹣0.9=0.1．
∴P（x＜0）=P（x＞6）=0.1，
∴P（0＜x＜3）=0.5﹣P（x＜0）=0.4．
的
8
8
r+1 83 3
1 1( ) ( )2 2
r r rx xT C
x x
− − ∴ = −
10 2 10
0 1 2 10(2 ) .x a a x a x a x− = + + +…+ 1 2 3 10a a a a+ + +…+ =
1− 1023−
1x = 0a 0x = 0a
1x = 10 2 10
0 1 2 10(2 )x a a x a x a x− = + + +…+
10
0 1 10(2 1) 1a a a− = + +…+ =
0x = 0 1024a =
1 2 101024 1a a a∴ + + +…+ =
1 2 10 1023a a a∴ + +…+ = −
1− .
X ( )23,N σ ( )6 0.9P X ≤ = ( )0 3P X< < =故答案为 A．
10.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 ，从中随机取一件，其长
度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量 ξ 服从正态分布 ，则 ，
．）
A. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74%
【答案】B
【解析】
试 题 分 析 ： 由 题 意
故选 B．
考点：正态分布
11.已知函数 在定义域 上是减函数，且 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的单调性和定义域得出不等关系组，即得解.
【详解】已知函数 在定义域 上是减函数，且 ，
故选：B
【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式，考查了学生转化划归，数学运算能力，属
( )20,3N
( )2,N µ σ ( ) 68.26%P µ σ ξ µ σ− < < + =
( )2 2 95.44%P µ σ ξ µ σ− < < + =
13 3 68.26% 6 6 95.44% 3 6 95.44% 68.26% 13.59%2P P P（ ＜ ＜ ） ，（ ＜ ＜ ） ， （ ＜ ＜ ） （ ） ．ξ ξ ξ− = − = ∴ = − =
( )y f x= ( )1,1− ( ) ( )2 1 1f a f a− < − a
2 ,3
+∞
2 ,13
( )0,2 ( )0, ∞+
( )y f x= ( )1,1− ( ) ( )2 1 1f a f a− < −
2 1 1
21 2 1 1 131 1 1
a a
a a
a
− > −
∴ − < − < ∴ <
( )y xf x= 0x ≥ ( )y f x= 0x < ( )y f x=
( ) 0xf x < ( 2, 1) (1,2)− − ∪
( )f x x R∀ ∈ ( ) ( )2f x f x+ = [ )13x∈ ， ( ) 3 1f x log x= +
( )2019f （ ）
1−
( )f x ( ) ( ) ( )2019 1 2 1009 1f f f= + × =结合函数的解析式分析可得答案.
【详解】根据题意， 满足对 ， ，则 是周期为 2 的周期
函数，
则 ，
故选：C.
【点睛】本题考查函数的周期性和对数的运算，注意分析函数的周期，属于基础题.
14. 的展开式中 的系数为（ ）
A. 6 B. 18 C. 24 D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】
分析 中 的系数,再结合 分析即可.
【详解】 中含 的项为 ,含 的项为 .故展开式
中含 的项为 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了二项式定理求解特定项的系数,需要分情况讨论求和.属于基础题.
15.已知 的展开式中第 5 项与第 8 项的二项式系数相等，记展开式中系数最大的
项为第 k 项，则 k＝( )
A. 6 B. 7 C. 6 或 7 D. 5 或 6
【答案】B
【解析】
【分析】
由 的展开式中第 5 项与第 8 项的二项式系数相等可得 ，然后运用通项
求出系数最大项
( )f x x R∀ ∈ ( ) ( )2f x f x+ = ( )f x
( ) ( ) ( ) 32019 1 2 1009 1 1 1 1f f f log= + × = = + =
( )( )32 1 2x x+ − 2x
( )32x − 2,x x 2 1x +
( )32x − x ( )22 1
3 2 12C x x− = 2x ( )11 2 2
3 2 6C x x− = −
2x ( )2 22 12 1 6 18x x x x⋅ + ⋅ − =
1 n
x x
−
1 n
x x
− 4 7 11n = + =【详解】∵ 的展开式中第 5 项与第 8 项的二项式系数相等，
所以 ，
第 项系数为 ， 时 最大，
故展开式中系数最大的项为第 7 项．
故选 .
【点睛】本题主要考查了二项式定理，属于基础题．分清二项式系数与项的系数，这是本题
的易错点，所要求的是项的系数的最大值，而不是二项式系数的最大值．
16.投掷一枚均匀的骰子两次，则在第一次投掷出奇数的前提下，第二次掷出的点数为大于 4
的概率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用条件概率得 ， 的值，由 即可求解.
【详解】假设第一次投掷的点数是奇数为事件 A，第二次掷出的点数大于 4 为事件 B，
则 ， ，因此 .
故选 A.
【点睛】本题考查条件概率的求法，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的合理运用，
是基础题.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
17.二项式 展开式中含 项的系数是________（用数字回答）.
【答案】40
【解析】
【分析】
利用二项式 展开式的通项公式进行求解即可.
1 n
x x
−
4 7 11n = + =
1r + ( )1 11 1 r
rT C+ = − 6r＝ 1rT +
B
（ ）
1
3
2
3
1
2
2
9
( )P AB ( )P A
( )
( )( | ) P ABP B A P A
=
( ) 1 1
3 2
1 1
6 6
1
6
C CP AB C C
= = ( ) 3 1
6 2P A = =
( )
( )
1( | ) 3
P ABP B A P A
= =
( )51 2x+ 2x
( )51 2x+【详解】二项式 展开式的通项公式为： .
令 ，所以二项式 展开式中含 项的系数是 .
故答案为：
【点睛】本题考查了求二项式展开式中某项问题，考查了数学运算能力，属于基础题.
18. 的展开式中 的系数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项式定理的通项公式即可得出．
【详解】将原式子化为：（y+x2+x）5 其展开式中，通项公式 Tr+1 y5﹣r（x2+x）r，
令 5﹣r＝3，解得 r＝2．
（x2+x）2＝x4+2x3+x2，5 个括号里有 2 个出的是 x2+x，
∴x3y3 的系数为 2 20，
故答案为 20．
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．求二项
展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，
再由特定项的特点求出 值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数
项，再由通项写出第 项，由特定项得出 值，最后求出其参数.
19.将 10 个志愿者名额分配给 4 个学校，要求每校至少有一个名额，则不同的名额分配方法共
有______种. 用数字作答
【答案】84
【解析】
【分析】
根据题意，用隔板法分析：先将将 10 个名额排成一列，在空位中插入 3 个隔板，由组合数公
式计算即可得答案.
【详解】根据题意，将 10 个名额排成一列，排好后，除去 2 端，有 9 个空位，
在 9 个空位中插入 3 个隔板，可将 10 个名额分成 4 组，依次对应 4 个学校，
( )51 2x+ 5
1 5 51 (2 ) 2r r r r r r
rT C x C x−
+ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
2r = ( )51 2x+ 2x 2 2
5 2 40C ⋅ =
40
( )52x x y+ + 3 3x y
20
5
rC=
2
5C× =
1r +
r
1r + r
( )则有 种分配方法，
故答案为：84.
【点睛】本题考查组合数公式的应用，注意 10 个名额之间是相同的，运用隔板法求解，属于
基础题.
20.定义运算 ，已知函数 ，则 的最大值为
________
【答案】1
【解析】
【分析】
先画出函数 的图象与 的图象，然后根据新的定义找出函数 的图象，
结合图象一目了然，即可求出 的最大值.
【详解】
在同一坐标系中画出函数 的图象与 的图象，
令 ，得 或 ，由图可得：当 时，函数 取最大值 1，
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的图象，以及函数的最值及其几何意义等基础
知识，利用数形结合法求解一目了然，属于中档题.
三、解答题（本大题共 2 小题，共 20.0 分）
3
9 84C =
a a ba b b a b
≤⊗ = >
，
，
( ) ( )2 2f x x x= ⊗ − + ( )f x
y x= 2 2y x= − + ( )f x
( )f x
a a ba b b a b
≤⊗ = >
， ，，
( ) ( ) 2
2
2 2
22
2 2
x x xf x x x
x x x
≤ − +∴ = ⊗ − + = − + > − +
， ，
，
y x= 2 2y x= − +
2 2x x= − + 2x = − 1x = 1x = ( )f x21.为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共
有学生 960 人，其中男生 560 人，从全校学生中抽取了容量为 n 的样本，得到一周参加社区
服务的时间的统计数据如下表：
超过 1 小时 不超过 1 小时
男 20 8
女 12 m
（1）求 m，n；
（2）能否有 95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1 小时与性别有关？
（3）以样本中学生参加社区服务时间超过 1 小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学
生中随机调查 6 名学生，试估计 6 名学生中一周参加社区服务时间超过 1 小时的人数．
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1） ， （2）没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否
超过 1 小时与性别有关（3）估计这 6 名学生中一周参加社区服务时间超过 1 小时的人数是 4
人
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样比例列方程求出 n 的值，再计算 m 的值；
（2）根据题意完善 2×2 列联表，计算 K2，对照临界值表得出结论；
（3）计算参加社区服务时间超过 1 小时的频率，用频率估计概率，计算所求的频数即可．
( )2P K k≥
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
8m = 48n =【详解】（1）根据分层抽样法，抽样比例为 ，
∴n＝48；
∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；
（2）根据题意完善 2×2 列联表，如下；
超过 1 小时 不超过 1 小时 合计
男生 20 8 28
女生 12 8 20
合计 32 16 48
计算 K2 0.6857＜3.841，
所以没有 95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1 小时与性别有关；
（3）参加社区服务时间超过 1 小时的频率为 ，
用频率估计概率，从该校学生中随机调査 6 名学生，
估计这 6 名学生中一周参加社区服务时间超过 1 小时的人数为 6 4（人）．
【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题及用频率估计概率的应用问题，考查了
运算能力，属于中档题．
22.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上 40 件产品作为样
本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490, ，（495, ，……
（510, ，由此得到样本的频率分布直方图，如图 4 所示．
20 8
960 560
n +=
( )248 20 8 12 8
32 16 20 28
× × − ×= ≈× × ×
32 2
48 3
=
2
3
× =
495] 500]
515]（1）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量．
（2）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过 505 克的产品数量，求 Y 的分布
列．
（3）从流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率．
【答案】12，
【解析】
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