河北省2019-2020高二数学下学期期中试题（附解析Word版）

2019-2020 学年高二年级第二学期期中考试 数学试卷 说明： 1．考试时间 120 分钟，满分 150 分。 2．卷Ⅰ答案点击智学网上对应选项，卷Ⅱ将写在纸上对应题目的答案拍照上传至智学网，一题一 张.。 卷Ⅰ(选择题 共 60 分) 一．选择题（共 12 小题，每小题 5 分，计 60 分。） 1. 已知集合 ，集合 ，则 A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数 的定义域为 A. B. C. D. 4. 命题“ ， ，使得 ”的否定形式是 A. ， ，使得 B. ， ，使得 C. ， ，使得 D. ， ，使得 5. 若函数 有两个不同的极值点，则实数 a 的取值范围是 A. B. C. D. 6. 从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不 同的参赛方案种数为 A. 48 B. 72 C. 90 D. 96 7. 设函数 ，则使得 成立的 x 的取值范围是 A. B. C. D. 8. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 和 ，在目标被击中的情况下，甲、乙 同时击中目标的概率为 A. B. C. D. 9. 定义在 R 上的偶函数 满足 ，且在 上单调递减，设 ， ， ，则 a，b，c 大小关系是 A. B. C. D. 10. 一个五位自然 ， 1，2，3，4， ， ，2，3，4，5，当且仅当 ， 时称为“凹数” 如32014，53134 等 ，则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为 A. 110 B. 137 C. 145 D. 14611. 已知函数 的定义域为 ，且满足 是 的导函数 ，则不等式 的解集为 A. B. C. D. 12. 已知函数 ，若方程 有 8 个相异实根，则实数 b 的取值 范围 A. B. C. D. 卷Ⅱ(非选择题 共 90 分) 二．填空题（共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分） 13. 登山族为了了解某山高 与气温 之间的关系，随机统计了 4 次山高与相应的气温，并制作 了对照表： 气温 18 13 10 山高 24 34 38 h 由表中数据，得到线性回归方程 ，则 ______ ． 14. 若 的展开式中常数项为 60，则实数 a 的值是______． 15. 若实数 x，y 满足 ，且 ，则 的最小值为__________． 16. 若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. 若函数 ，当 时，函数 有极值 ． 求函数的解析式； 求函数的极值； 若关于 x 的方程 有三个零点，求实数 k 的取值范围． 18. 已知函数 ． 若 ，求函数 的定义域． 若函数 的值域为 R，求实数 m 的取值范围． 若函数 在区间 上是增函数，求实数 m 的取值范围． 晋级成功 晋级失败 合计 男 16 女 50 合计19. 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的 100 人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图 如图所示 ，规定 80 分及以上者晋级成功，否则晋级失败． Ⅰ 求图中 a 的值； Ⅱ 根据已知条件完成下面 列联表，并判断能否有 的把握认为“晋级成功”与性别有关？ Ⅲ 将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取 4 人进行约谈，记这 4 人中晋级失败的 人数为 X，求 X 的分布列与数学期望 ． 参考公式： ，其中 20. 已知函数 的图象关于原点对称，其中 a 为常数． 求 a 的值； 当 时， 恒成立，求实数 m 的取值范围； 若关于 x 的方程 在 上有解，求 k 的取值范围． 21. 近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态，要求员工实行 工作制，即 工作日早 9 点上班，晚上 21 点下班，中午和傍晚最多休息 1 小时，总计工作 10 小时以上，并且一周 工作 6 天的工作制度，工作期间还不能请假，也没有任何补贴和加班费．消息一出，社交媒体一片哗 然，有的人认为这是违反 劳动法 的一种对员工的压榨行为，有的人认为只有付出超越别人的努力 和时间，才能够实现想要的成功，这是提升员工价值的一种有效方式．对此，国内某大型企业集团管 理者认为应当在公司内部实行 工作制，但应该给予一定的加班补贴 单位：百元 ，对于每月的 补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部的 1000 名员工进行了补贴数额 单位百元 期 望值的网上问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表： 组别 单位：百 元 频数 人数 2 250 450 290 8 Ⅰ 求所得样本的中位数 精确到百元 ； Ⅱ 根据样本数据，可近似地认为员工的加班补贴 X 服从正态分布 ，若该集团共有员工 4000，试估计有多少员工期待加班补贴在 8100 元以上； Ⅲ 已知样本数据中期望补贴数额在 范围内的 8 名员工中有 5 名男性，3 名女性，现选其中 3 名员工进行消费调查，记选出的女职员人数为 Y，求 Y 的分布列和数学期望． 附 ： 若 ， 则 ， ，． 22. 已知函数 e 为自然对数的底数 ， 是 的导函数． Ⅰ 当 时，求证 ； Ⅱ 是否存在正整数 a，使得 对一切 恒成立？若存在，求出 a 的最大值；若不存 在，说明理由． 2019-2020 学年高二年级第二学期期中考试 数学答案和解析 1.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查一元二次不等式的求解及指数不等式的求解，同时考查集合的补集，属于基础题． 根据集合 A 是一元二次不等式的解集，集合 B 是指数不等式的解集，因此可求出集合 A，B，根据补集的 求法求得 ． 【解答】 解：因为 ， ， 则 ． 故选 A． 2.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，属于基础题． 利用复数的四则运算法则，化简求解即可． 【解答】 解：复数 ， 则复数 的共轭复数为 即共轭复数对应点的坐标 在第四象限． 故选 D． 3.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了函数的定义域，考查学生的计算能力，属于基础题． 由题意列出不等式组： ，解出即可求解． 【解答】解：由题意得： 解得 且 ， 函数 的定义域为 ． 故选 A． 4.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题． 直接利用全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题， 所以，命题“ ， ，使得 ”的否定形式是： ， ，使得 ． 故选 D． 5.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了利用导数研究函数的极值问题，属于中档题． 求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于 a 的不等式组，解出即可． 【解答】 解： 的定义域是 ， ， 若函数 有两个不同的极值点， 则 在 有 2 个不同的实数根， 对称轴为直线 ，在 y 轴右侧， 故 解得 ， 故选 D． 6.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查排列和计数原理的实际应用，注意优先考虑特殊元素，属于中档题． 根据题意，分两种情况讨论选出参加竞赛的 4 人， 选出的 4 人没有甲， 选出的 4 人有甲，分别求出 每一种情况下的参赛方案种数，由分类计数原理计算可得答案． 【解答】 解：根据题意，从 5 名学生中选出 4 名分别参加竞赛， 分两种情况讨论： 选出的 4 人没有甲，即选出其他 4 人即可，有 种参赛方案； 选出的 4 人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有 3 种选法，在剩余 4 人中任选 3 人，参加剩下的三 科竞赛，有 种参赛方案，则此时共有 种参赛方案；则有 种不同的参赛方案． 故选 D． 7.【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键， 属于中档题． 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论． 【解答】 解： 的定义域为 R， ， 函数 为偶函数， 且在 时， ， 而 为 上的单调递增函数， 且 为 上的单调递增函数， 函数 在 单调递增， 等价为 ， 即 ， 平方后整理得 ， 解得： ， 所求 x 的取值范围是 ． 故选 B． 8.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查条件概率的计算，是基础题，注意认清事件之间的关系，结合条件概率的计算公式正确计算即 可． 根据题意，记甲击中目标为事件 A，乙击中目标为事件 B，目标被击中为事件 C，由相互独立事件的概率 公式， 计算可得目标被击中的概率，进而计算在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率，可得答 案． 【解答】 解：根据题意，记甲击中目标为事件 A，乙击中目标为事件 B，目标被击中为事件 C， 则 ； 则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为 ； 故选 A． 9.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题． 由 条 件 可 得 函 数 的 周 期 为 2 ， 再 根 据 ， ， ， ，且函数 在 上单调递减，可得 a，b，c 大小关 系． 【解答】 解： 偶函数 满足 ， 函数的周期为 2． 由于 ， ， ， ，且函数 在 上单调递减， ， 故选 D． 10.【答案】D 【解析】【分析】 本题是一个分类计数问题，数字中 的值最小是 0，最大是 3，因此需要把 的值进行讨论，两边选出数 字就可以，没有排列，写出所有的结果相加． 本题考查分类计数问题，考查利用列举得到所有的满足条件的结果数，本题要注意在确定中间一个数字后， 两边的数字只要选出数字，顺序就自然形成，不用排列． 【解答】 解：由题意知本题是一个分类计数问题， 数字中 的值最小是 0，最大是 3，因此需要把 的值进行讨论， 当 时，前面两位数字可以从其余 5 个数中选，有 种结果，后面两位需要从其余 5 个数中选， 有 种结果，共有 种结果， 当 时，前面两位数字可以从其余 4 个数中选，有 6 种结果，后面两位需要从其余 4 个数中选，有 6 种结果，共有 36 种结果， 当 时，前面两位数字可以从其余 3 个数中选，有 3 种结果，后面两位需要从其余 4 个数中选，有 3 种结果，共有 9 种结果， 当 时，前面两位数字可以从其余 2 个数中选，有 1 种结果，后面两位需要从其余 2 个数中选，有 1 种结果，共有 1 种结果， 根据分类计数原理知共有 ． 故选：D． 11.【答案】D 【解析】【分析】 本题主要考查不等式的求解，考查利用导数判断函数的单调性，属于中档题． 根据条件构造函数 ，求函数 的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即 可． 【解答】 解：设 ，则 ， ， ，即 在 上为增函数，， 不等式 等价于 ， 即 ， 即 ， 在 上为增函数， ，解得 ，即 ， 故不等式的解集为 ． 故选 D． 12.【答案】D 【解析】解：令 ，则方程 方程 ． 如图是函数 ，的图象，根据 图象可得： 方 程 有 8 个 相 异 实 根 方 程 有两个不等实数解 ， 且 ， 可得 ． 故选：D． 作出函数 的图象，利用换元法转化为一元二次方程根的分布情况，利用数形结合是解决本题的关键． 本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次方程根的情况，利用数形结合以及分类讨论 是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 13.【答案】64 【解析】解：由题意， ， ． 代入到线性回归方程 ，可得 ， 故答案为：64． 将 代入回归方程，即可求出 h． 本题考查回归方程的运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 14.【答案】 【解析】【分析】 本题考查二项式系数的性质，熟记二项展开式的通项是关键，是基础题． 写出 的展开式的通项，分别由 x 的指数为 和 0 求得 r 值，进一步求得 的展 开式中常数项，由常数项为 60，求实数 a 的值．【解答】 解： 的展开式的通项 ． 由 ，可得 舍 ，由 ，得 ． 的展开式中常数项为 ，解得 ． 故答案为： ． 15.【答案】4 【解析】【分析】 本题考查了对数与对数运算和利用基本不等式求最值，属于中档题． 先根据对数的运算性质求出 ，再根据基本不等式求出最小值即可． 【解答】 解： ， ， ， ， 当且仅当 ， 时取等号， 的最小值为 4， 故答案为 4． 16.【答案】 【解析】【分析】 本题考查了导数的几何意义，属于中档题． 设切线与两曲线的切点的横坐标分别为 ， ，根据导数的几何意义得到 k 与切点横坐标的关系，由切点 在切线上，又在曲线上，列方程组，解之即可得到答案． 【解答】 解：设直线 与曲线 和 的切点横坐标分别为 ， ， 对函数 求导，得 ；对函数 求导，得 ． 由导数的几何意义可得 ， ， 再由切点既在切线上也在各自的曲线上，可得 代入 得， ， 得 ，代入 得 ， 将 ， 代入 ，得 ． 故答案为 ．17.【答案】解： ， 由题意知 解得 故所求的解析式为 ； 由 可得 ， 令 ，得 或 ， x 2 0 0 极大值 极小值 当 时， 有极大值 ， 当 时， 有极小值 ； 由 知，得到当 或 时， 为增函数； 当 时， 为减函数， 函数 的图象大致如图， 由图可知当 时， 与 有三个交点， 所以实数 k 的取值范围为 ． 【解析】本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系、函数的零点与方程的根的关系、函数 图象的应用，考查计算能力，属于中档题． 先对函数进行求导，然后根据 ， 可求出 a，b 的值，进而确定函数的解析式； 根据 中解析式然后求导，然后令导函数等于 0 求出 x 的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正 负之间的关系确定单调性，进而函数的极值； 由 得到函数的单调区间和极值进而确定函数的大致图象，最后找出 k 的范围． 18.【答案】解： 若 ，则 ，要使函数有意义，需 ，解得 ， 函数 的定义域为 ． 若函数 的值域为 R，则 能取遍一切正实数， ，即 ， 实数 m 的取值范围为 若函数 在区间 上是增函数， 则 在区间 上是减函数， 且 在区间 上恒成立， ，且 ， 即 且 ， ． 【解析】本题主要考查了对数函数和二次函数的图象和性质，函数定义域的求法，函数值域的意义，复合 函数的单调性，不等式恒成立问题的解法，属于中档题． 代入 ，根据对数函数和二次函数的性质求定义域即可； 根据值域为 R，二次函数取正值即可解得 m 的取值范围； 由复合函数的单调性可知 在区间 上是减函数，求解即可． 19.【答案】解： Ⅰ 由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1， 可知 ， 解得 ； Ⅱ 由频率分布直方图知，晋级成功的频率为 ， 所以晋级成功的人数为 人 ， 填表如下： 晋级成功 晋级失败 合计 男 16 34 50 女 9 41 50 合计 25 75 100 根据上表数据代入公式可得 ， 所以有超过 的把握认为“晋级成功”与性别有关； Ⅲ 由频率分布直方图知晋级失败的频率为 ， 将频率视为概率， 则从本次考试的所有人员中，随机抽取 1 人进行约谈，这人晋级失败的概率为 ， 所以 X 可视为服从二项分布，即 ，， 故 ， ， ， ， ． 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 数学期望为 或 ． 【解析】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题． Ⅰ 由频率和为 1，列出方程求 a 的值； Ⅱ 由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写 列联表，计算观测值，对 照临界值得出结论； Ⅲ 由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量 X 服从二项分布，计算对应的 概率值，写出分布列，计算数学期望． 20.【答案】解： 函数 的图象关于原点对称， 函数 为奇函数， ， 即 在定义域内恒成立， 所以 ，即 在定义域内恒成立， 所以 ， 解得： 或 ， 当 时， 无意义， 所以 ， 当 时， ，时， 恒成立， 实数 m 的取值范围为 ； 由 得： ， 即 ， 即 ，即 在 上有解， 因为 在 上单调递减， ， 则 的值域是 ， ． 即 k 的取值范围为 ． 【解析】本题主要考查了函数的单调性、最值问题，考查函数的奇偶性以及函数的值域问题，属于中档 题． 根据函数的奇偶性，求出 a 的值即可； 求出 ，根据函数的单调性求出 m 的范围即可； 问题转化为 在 上有解，由 在 上单调递减，根据函数 的单调性求出 的值域，从而求出 k 的范围即可． 21.【答案】解： Ⅰ 设中位数为 x，则 ， 解得 ， 所得样本的中位数为 百元 ． Ⅱ ， ， ， 加班补贴在 8100 元以上的概率为： ， 0.0228*4000=91 估计有 91 名员工期待加班补贴在 8100 元以上． Ⅲ 的可能取值为 0，1，2，3， ， ， ， ， 的分布列为： Y 0 1 2 3 P ． 【解析】 Ⅰ 设中位数为 x，则 ，由此能求出所得样本的中位数． Ⅱ ， ， ， 加 班 补 贴 在 8100 元 以 上 的 概 率 为 ，由此能估计有多少名员工期待加 班补贴在 8100 元以上． Ⅲ 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 Y 的分布列和 ． 本题考查中位数、离散型随机变量的分布列的求法及应用，考查概率的求法，考查频数分布表、离散型随 机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 22.【答案】解： Ⅰ 证明：当 时， ，则 ， 令 ，则 ， 令 ，得 ，故 在 时取得最小值， ， 在 上为增函数， ； Ⅱ ， 由 ，得 对一切 恒成立， 当 时，可得 ，所以若存在，则正整数 a 的值只能取 1，2． 下面证明当 时，不等式恒成立， 设 ，则 ， 由 Ⅰ ， ， 当 时， ；当 时， ， 即 在 上是减函数，在 上是增函数， ， 当 时，不等式恒成立， 所以 a 的最大值是 2． 【解析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题． Ⅰ 求出函数的导数，根据函数的单调性判断最值； Ⅱ 求出函数的导数，得到 ，问题转化为证明当 时，不等式恒成立，设 ， 根据函数的单调性证明即可．