四川省宜宾市第四中学2020届高三数学（文）三诊模拟试题（附答案Word版）

1 2020 年春四川省宜宾市第四中学高三三诊模拟考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合 ，则 A． B． C． D． 2．在复平面内，已知复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则 A． B． C． D． 3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为 6000 元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图. 该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月 就医费比刚退休时少 100 元，则目前该教师的月退休金为 A．6500 元 B．7000 元 C．7500 元 D．8000 元 4．等差数列 的前 项的和等于前 项的和，若 ，则 A． B． C． D． 5．将三个数 ， ， 从小到大排列得 { } { }0,2 , 1,1,0,1,2A B= = − A B∩ = { }0,2 { }1,2 { }0 { }2, 1,0,1,2− − z 1 i+ z i = 1 i+ 1 i− + 1 i− − 1 i− { }na 9 4 1 41, 0ka a a= + = k = 3 7 10 4 0.37 70.3 ln 0.32 A． B． C． D． 6．函数 的图象以下说法正确的是 A．最大值为 1，图象关于直线 对称 B．在 上单调递减，为偶函数 C．在 上单调递增，为偶函数 D．周期为 ，图象关于点 对称 7．已知 ，在区间 上任取一个实数 ，则 的概率为 A． B． C． D． [来 8．若 ，则 cos2α= A． B． C． D． 9．某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为 ，则图中 的值为 A．2 B． C．1 D． 10．对于函数 的图象，下列说法正确的是 A．关于直线 对称 B．关于直线 对称 C．关于点 对称 D．关于点 对称 11．已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则实 数 的取值范围是 A． B． C． D． 12．已知直线 与椭圆 交于 两点，且 （其中 为坐标 原点），若椭圆的离心率 满足 ，则椭圆长轴的取值范围是 A． B． C． D． 0.3 7ln 0.3 7 0.3< < 7 0.3ln 0.3 0.3 7< < 7 0.30.3 ln 0.3 7< < 0.3 77 ln 0.3 0.3< < ( ) sin(2 )2f x x π= − 2x π= 0, 4 π     3 ,8 8 π π −   π )0,(π siny x= [ ],−π π x y ≥ 1 2 − 7 12 2 3 3 4 5 6 3sin( )2 5 π α− = 7 25 24 25 7 25 − 24 25 − 4 3 x 2 1 2 ( ) 2 1xf x e = + 1x = y x= ( )1,0 ( )0,1 2( ) ( 0)xf x x e x= + < 2( ) ln( )g x x x a= + + y a ( , )e−∞ 1( , )e −∞ 1( , )ee − 1( , )e e − 1x y+ = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > ,P Q OP OQ⊥ O e 3 2 3 2e≤ ≤ [ 5, 6] 5 6[ , ]2 2 5 3[ , ]4 2 5[ ,3]23 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．若实数 满足约束条件 ，则 的最大值为__________. 14．已知函数 的图象在点 处的切线为 ， ______． 15．已知 ，则 的值为____________. 16．在边长为 的菱形 中， ，沿对角线 折起，使二面角 的大小 为 ，这时点 在同一个球面上，则该球的表面积为____. 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机 软件层出不穷，现从某市使用 和 两款订餐软件的商家中分别随机抽取 100 个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频 率分布直方图如下： (I)已知抽取的 100 个使用 未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为 18 分钟，现从使用 未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过 20 分钟的商家中随机抽取 3 个商家进行市场调研，求甲 商家被抽到的概率； (II)试估计该市使用 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数； (III)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从 和 两款订餐软件中选择一款订餐，你会 选择哪款？ ,x y 1 0 3 0 3 0 x y x y x − + ≥  + − ≥  − ≤ 2 3x y− axexf x +=)( ))0(,0( f 12 += xy =a 4sin 3cos 0+ =α α 2sin 2 3cos+α α 2 3 ABCD 60A °= BD A BD C− − 120° , , ,A B C D APP A B A A A A B4 18．（12 分）如图，在四棱锥 ABCD 中， 和 都是等边三角形，平面 PAD 平面 ABCD， 且 ， ． （I）求证：CD PA； （II）E，F 分别是棱 PA，AD 上的点，当平面 BEF//平面 PCD 时，求 四棱锥 的体积．] 19．（12 分）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 . （I）求 ； （II）设 ， .若 在边 上，且 ，求 的长. 20．（12 分）已知函数 . （Ⅰ）求函数 在区间 上的最小值； （Ⅱ）判断函数 在区间 上零点的个数. 21．（12 分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ， ， 为椭圆 上两点，圆 . （Ⅰ）若 轴，且满足直线 与圆 相切，求圆 的方程； （Ⅱ）若圆 的半径为 2，点 ， 满足 ，求直线 被圆 截得弦长的最大值. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 −P ∆PAD ∆BCD ⊥ 2 4= =AD AB 2 3=BC ⊥ −C PEFD ABC A B C， ， a b c， ， sin cos 2 sin cos A B c b B A b −= A 5b = 10 3ABCS =  D AB 3AD DB= CD ( ) ln ,( )af x x a Rx = + ∈ ( )f x (0, ]e ( )f x 2[ , )e− +∞ xOy 2 2 : 14 3 x yC + = A F P Q C 2 2 2: ( )0O x y r r+ = > PF x⊥ AP O O O P Q 3 4OP OQk k⋅ = − PQ O P D A E B C F5 分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以 O 为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，点 P 是曲线 上的动点，点 Q 在 OP 的延长线上，且 ，点 Q 的轨迹为 ． （Ⅰ）求直线 l 及曲线 的极坐标方程； （Ⅱ）若射线 与直线 l 交于点 M，与曲线 交于点 （与原点不重合），求 的最大值. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ， ，且 的解集为 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 ，且 ，求证 xOy 1 3 x t y t = −  = + 1C 2cosρ ϕ= 1C | | 3| |PQ OP= 2C 2C π(0 )2 θ α α= < < 2C N | | | | ON OM ( ) 2f x m x= − − m R∈ ( )2 0f x + ≥ [ ]1,1− m , ,a b c∈R 1 1 1 2 3 ma b c + + = 2 3 9a b c+ + ≥ P D A E B C F6 2020 年春四川省宜宾市第四中学高三三诊模拟考试 文科数学参考答案 1．A 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．B 8．C 9．C 10．D 11．A 12．A 13． 14．1 15． 16． 17．解：（1）使用 款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过 20 分钟的商家共有 个，分别记为甲， 从中随机抽取 3 个商家的情况如下：共 20 种. , , , , , , , , , , , , , , , , , , . 甲商家被抽到的情况如下：共 10 种． , , , , , , , , , 记事件 为甲商家被抽到，则 . （2）依题意可得，使用 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为 55，平均数为 . （3）使用 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为 ，所以选 款订餐软件． 18．证明：（I）因为 ， ， ，所以 ， ，且 ．又 是等边三角形，所以 ，即 ．…3 分 因为平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 所以 平面 ． 所以 CD PA． ……6 分 （II）因为平面 BEF//平面 PCD，所以 BF//CD， EF//PD，且 ． ……8 分 又在直角三角形 ABD 中，DF= ，所以 ． 所以 ． ……10 分 AB BD⊥ 90ADC∠ = ° PAD ⊥ ABCD ABCD AD= ABCD CD ⊥ PAD 6 24 25 28π A 100 0.006 10 6× × = , , , , ,a b c d e { },a b甲， { },a c甲， { },a d甲， { },a e甲， { },b c甲， { },b d甲， { },b e甲， { }{ }, ,c d c e甲， 甲， { },d e甲， { }, ,a b c { }, ,a b d { }, ,a b e { }, ,a c d { }, ,a c e { }, ,a d e { }, ,b c d { }, ,b c e { }, ,b d e { }, ,c d e { },a b甲， { },a c甲， { },a d甲， { },a e甲， { },b c甲， { },b d甲， { },b e甲， { },c d甲， { },c e甲， { },d e甲， A ( ) 10 1 20 2P A = = A 15 0.06 25 0.34 350.12 45 0.04 55 0.4 65 0.04 40× + × + + × + × + × = B 15 0.04 25 0.2 35 0.56 45 0.14 55 0.04 65 0.02 35 40× + × + × + × + × + × = < B 4=AD 2=AB 2 3=BD 2 2 2+ =AB BD AD 30°∠ =ADB BCD ⊥CD AD PAD ⊂CD ⊥ ⊥BF AD 2 3 cos30 3° = 1= =AE AF 1 1 15 34 4 sin60 1 1 sin602 2 4 = × × × ° − × × × ° =PEFDS四边形7 由（I）知 平面 ，故四棱锥 的 体积 ．…12 分 19：（1）因为 ，由正弦定理可得 ， 化简得： ， 所以 ，即 . 又因为 ，所以 .则 . 因为 ，所以 ，所以 . 因为 ，所以 . （2）因为 ， 因为 ，所以 ，即 ， 因为 ，即 ，所以 . 在 中， ， 由余弦定理得： ， 则 ，所以 . 20．解：（Ⅰ）因为 ， ①当 时， ，所以 在 上是增函数，无最小值； ②当 时，又 得 ，由 得 ∴ 在 上是减函数，在 上是增函数， 若 ，则 在 上是减函数，则 ； 若 ，则 在 上是减函数，在 上是增函数，∴ 综上：当 时， 的最小值为 ； 当 时， 的最小值为 CD ⊥ PAD −C PEFD 1 15 3 2 = =  PEFDV S CD sin cos 2 sin cos A B c b B A b −= sin cos 2sin sin sin cos sin A B C B B A B −= sin cos 2sin cos cos sinA B C A A B= − sin cos cos sin 2sin cosA B A B C A+ = ( )sin 2sin cosA B C A+ = A B C π+ + = ( ) ( )sin sin sinA B C Cπ+ = − = sin 2sin cosC C A= 0 C π< < sin 0C ≠ 1cos 2A = 0 A π< < 3A π= 1 1 5 3sin 5 sin2 2 3 4ABCS AB AC A AB AB π= ⋅ ⋅ = × × × =  10 3ABCS =  5 3 10 34 AB = 8AB = 3AD DB= 3 4AD AB= 6AD = ACD 5 6 3AC AD A π= = =， ， 2 2 2 2 cosCD AC AD AC AD A= + − ⋅ ⋅ 2 125 36 2 5 6 312CD = + − × × × = 31CD = 0x > ( ) 2 2 1 a x af x x x x =′ −= − 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( 20,e  0a > ( ) 0f x′ > x a> ( ) 0f x′ < x a< ( )f x ( )0,a ( ),a +∞ a e≥ ( )f x ( )0,e ( ) ( )min ln af x f e e e = = + a e< ( )f x ( )0,a ( ),a e ( ) ( )min ln 1f x f a a= = + a e≥ ( )f x ln ae e + a e< ( )f x ln 1a +8 （Ⅱ）由 得 令 ，则 ，由 得 ，由 得 ，所以 在 上是减函数，在 上是增函数， 且 ，且 ，当 时， ， 所以，当 时， 无有零点；当 或 时， 有 1 个零点； 当 时， 有 2 个零点. 21．解：（1）因为椭圆 的方程为 ，所以 ， ，因为 轴，所以 ， 根据对称性，可取 ， 则直线 的方程为 ，即 . 因为直线 与圆 相切，得 ，所以圆的方程为 . （2）圆 的半径为 2，可得圆 的方程为 . ①当 轴时， ，所以 ， 得 ， 此时得直线 被圆 截得的弦长为 . ②当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ， ， ， 首先由 ，得 ， 即 ，所以 （*）. 联立 ，消去 得 ， ( ) ln 0af x x x = + = lna x x− = ( ) 2 1ln ,g x x x x e = > ( ) ln 1g x x=′ + ( ) 0g x′ > 1x e > ( ) 0g x′ < 1x e < ( )g x 2 1 1,e e      1 ,e  +∞   2 2 1 2 1 10, 0g ge e e e    = − < = −        x → +∞ ( )g x → +∞ 1a e > ( )f x 1a e = 2 2a e < ( )f x 2 2 1ae e ≤ < ( )f x C 2 2 14 3 x y+ = ( 2,0)A − (1,0)F PF x⊥ 31, 2P ±   31, 2P     AP 1 ( 2)2y x= + 2 2 0x y- + = AP O 2 2 2 2 51 2 = + 2 2 4 5x y+ = O O 2 2 4x y+ = PQ x⊥ 2 3 4OP OQ OPk k k⋅ = − = − 3 2OPk = ± 2 2 3 2 4 y x x y  =  + = 2 16 7x = PQ O 16 4 212 4 7 7 − = PQ x PQ y kx b= + ( )1 1,P x y ( )( )2 2 1 2, 0Q x y x x ≠ 3 4OP OQk k⋅ = − 1 2 1 23 4 0x x y y+ = ( )( )1 2 1 23 4 0x x kx b kx b+ + + = ( ) ( )2 2 1 2 1 23 4 4 4 0k x x kb x x b+ + + + = 2 2 14 3 y kx b x y = + + = x ( )2 2 23 4 8 4 12 0k x kbx b+ + + − =9 在 时， ， 代入（*）式，得 ， 由于圆心 到直线 的距离为 ，所以直线 被圆 截得的弦长为 ，故当 时， 有最大值为 .综上，因为 ， 所以直线 被圆 截得的弦长的最大值为 . 22．（1）消去直线 l 参数方程中的 t，得 ， 由 ，得直线 l 的极坐标方程为 ，故 ． 由点 Q 在 OP 的延长线上，且 ，得 ，设 ，则 ， 由点 P 是曲线 上的动点，可得 ，即 ，所以 的极坐标方程为 ． （2）因为直线 l 及曲线 的极坐标方程分别为 ， ， 所以 ， ， 所以 ， 所以当 时， 取得最大值，为 ． 23． ， ，故 ，由题意可得 的解集为 ， 即 的解集为 ，故 ． （2）由 ， ， ，且 ，∴ ， 当且仅当 时，等号成立．所以 . > 0∆ 1 2 2 8 3 4 kbx x k + = − + 2 1 2 2 4 12 3 4 bx x k −= + 2 22 4 3b k= + O PQ 2 1 bd k = + PQ O 2 2 22 4 8 1l d k = − = + + 0k = l 10 4 2110 7 > PQ O 10 4x y+ = cos , sinx yρ θ ρ θ= = cos sin 4ρ θ ρ θ+ = 4 cos sin ρ θ θ= + | | 3| |PQ OP= | | 4| |OQ OP= ( ),Q ρ θ ,4P ρ θ     1C 2cos4 ρ θ= 8cosρ θ= 2C 8cosρ θ= 2C 4 cos sin ρ θ θ= + 8cosρ θ= 4 cos sinOM α α= + | | 8cosON α= ( )| | π2cos cos sin 1 cos2 sin2 1 2sin 2| | 4 ON OM α α α α α α = + = + + = + +   π 8 α = | | | | ON OM 2 1+ ( ) 2f x m x= − − m R∈ ( )2f x m x+ = − 0m x− ≥ [ 11]− ， x m≤ [ 11]− ， 1m = a b c R∈ 1 1 1 12 3 ma b c + + = = ( ) 1 1 12 3 2 3 2 3a b c a b c a b c  + + = + + + +   2 3 3 21 1 12 2 3 3 b c a c a b a a b b c c = + + + + + + + + 2 3 3 23 3 6 92 2 3 3 b c a c a b a a b b c c = + + + + + + ≥ + = 2 3 3 2 12 2 3 3 b c a c a b a a b b c c = = = = = = 2 3 9a b c+ + ≥