2020 年春四川省宜宾市第四中学高三三诊模拟考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无
效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．已知集合 ，则
A． B． C． D．
2．在复平面内，已知复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则
A． B． C． D．
3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为 6000 元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.
该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月
就医费比刚退休时少 100 元，则目前该教师的月退休金为
{ } { }0,2 , 1,1,0,1,2A B= = − A B∩ =
{ }0,2 { }1,2 { }0 { }2, 1,0,1,2− −
z 1 i+ z
i
=
1 i+ 1 i− + 1 i− − 1 i−
A．6500 元 B．7000 元 C．7500 元 D．8000 元
4．等差数列 的前 项的和等于前 项的和，若 ，则
A． B． C． D．
5．将三个数 ， ， 从小到大排列得
A． B． C． D．
6．函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则关于函数
以下说法正确的是
A．最大值为 1，图象关于直线 对称 B．在 上单调递减，为奇函数
C．在 上单调递增，为偶函数 D．周期为 ，图象关于点 对称
7．已知 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列命题：
①若 ， ，则 ；②若 ， ，则 ；
③若 是异面直线， ， ， ， ，则 ；
④若 不平行，则 与 不可能垂直于同一平面.，其中为真命题的是
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
{ }na 9 4 1 41, 0ka a a= + = k =
3 7 10 4
0.37 70.3 ln 0.3
0.3 7ln 0.3 7 0.3< < 7 0.3ln 0.3 0.3 7< < 7 0.30.3 ln 0.3 7< < 0.3 77 ln 0.3 0.3< <
( ) sin(2 )2f x x
π= − ( )g x 8x
π= ( )y g x=
2x
π= 0, 4
π
3 ,8 8
π π −
π 3 ,08
π
,m n α β
m α m n⊥ n α⊥ m α⊥ n α m n⊥
,m n m α⊂ m β n β⊂ n α α β∥
,m n m n8．岳阳高铁站 进站口有 3 个闸机检票通道口，高考完后某班 3 个同学从该进站口检票进站到外
地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不
同，都视为不同的进站方式，那么这 3 个同学的不同进站方式有（ ）种
A．24 B．36 C．42 D．60
9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，
两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我
还是不知道我的成绩，根据以上信息，则
A．乙、丁可以知道自己的成绩 B．乙可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．丁可以知道四人的成绩
10．在正方体 中，点 为线段 的中点，设点 在直线 上，直线 与平
面 所成的角为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
11．已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则实
数 的取值范围是
A． B． C． D．
12．已知直线 与椭圆 交于 两点，且 （其中 为坐标
原点），若椭圆的离心率 满足 ，则椭圆长轴的取值范围是
A． B． C． D．
第 II 卷 非选择题（90 分）
1B
1 1 1 1ABCD A B C D− O BD P 1CC OP
1A BD α sinα
6 ,13
3 ,13
6 2 2,3 3
3 6,3 3
2( ) ( 0)xf x x e x= + < 2( ) ln( )g x x x a= + + y
a
( , )e−∞ 1( , )e
−∞ 1( , )ee
− 1( , )e e
−
1x y+ = 2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > ,P Q OP OQ⊥ O
e 3 2
3 2e≤ ≤
[ 5, 6] 5 6[ , ]2 2
5 3[ , ]4 2
5[ ,3]2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若实数 满足约束条件 ，则 的最大值为__________.
14．已知随机变量 ，且 ，则 ______.
15．已知 ，则 的值为____________.
16．在边长为 的菱形 中， ，沿对角线 折起，使二面角 的大小
为 ，这时点 在同一个球面上，则该球的表面积为____.
三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）第 30 届夏季奥运会将于 2012 年 7 月 27 日在伦敦举行，当地某学校招募了 8 名男志
愿者和 12 名女志愿者．将这 20 名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：若身高在 180cm 以
上（包括 180cm）定义为“高个子”，身高在 180cm 以下（不包括 180cm）定义为“非高个子”,且只有“女
高个子”才能担任“礼仪小姐”．
（I）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人，再从这 5 人中选 2 人，那么至少
有一人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用 X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写
出 X 的分布列，并求 X 的数学期望．
,x y
1 0
3 0
3 0
x y
x y
x
− + ≥
+ − ≥
− ≤
2 3x y−
~ (6, )B pξ ( ) 2E ξ = (3 2)D ξ + =
4sin 3cos 0+ =α α 2sin 2 3cos+α α
2 3 ABCD 60A °= BD A BD C− −
120° , , ,A B C D18．（12 分）如图，在三棱锥 S﹣ABC 中，SA⊥底面 ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，D、E 分别
是 AC、BC 的中点，F 在 SE 上，且 SF＝2FE.
（Ⅰ）求证：平面 SBC⊥平面 SAE
（Ⅱ）若 G 为 DE 中点，求二面角 G﹣AF﹣E 的大小.
19．（12 分）已知函数 .
（Ⅰ）求 的单调递增区间；
（Ⅱ）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
20．（12 分）已知函数 .
（Ⅰ）求函数 在区间 上的最小值；
（Ⅱ）判断函数 在区间 上零点的个数.
21．（12 分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ，
， 为椭圆 上两点，圆 .
（Ⅰ）若 轴，且满足直线 与圆 相切，求圆 的方程；
（Ⅱ）若圆 的半径为 2，点 ， 满足 ，求直线 被圆 截得弦长的最大值.
( ) 4cos sin( ) 16f x x x
π= + −
( )f x
2 4sin ( ) 1 6cos6x a f x x
π+ ⋅ + + > ( , )4 4x
π π∈ − a
( ) ln ,( )af x x a Rx
= + ∈
( )f x (0, ]e
( )f x 2[ , )e− +∞
xOy
2 2
: 14 3
x yC + = A F
P Q C 2 2 2: ( )0O x y r r+ = >
PF x⊥ AP O O
O P Q 3
4OP OQk k⋅ = − PQ O（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以 O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，点 P 是曲线 上的动点，点 Q 在 OP
的延长线上，且 ，点 Q 的轨迹为 ．
（Ⅰ）求直线 l 及曲线 的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线 与直线 l 交于点 M，与曲线 交于点 （与原点不重合），求
的最大值.
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ， ，且 的解集为
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，且 ，求证
xOy 1
3
x t
y t
= −
= +
1C 2cosρ ϕ= 1C
| | 3| |PQ OP= 2C
2C
π(0 )2
θ α α= < < 2C N | |
| |
ON
OM
( ) 2f x m x= − − m R∈ ( )2 0f x + ≥ [ ]1,1−
m
, ,a b c∈R 1 1 1
2 3 ma b c
+ + = 2 3 9a b c+ + ≥2020 年春四川省宜宾市第四中学高三三诊模拟考试
理科数学参考答案
1．A 2．C 3．D 4．C 5．B 6．B 7．A 8．D 9．A 10．A 11．A
12．A
13． 14． 15． 16．
17．解：（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”8 人，“非高个子”12 人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 ，
所以选中的“高个子”有 人，“非高个子”有 人
用事件 表示“至少有一名“高个子”被选中”，
则它的对立事件 表示“没有一名“高个子”被选中”， 则
因此，至少有一人是“高个子”的概率是
（Ⅱ）依题意，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数 X 的取值分别为 ．
， ，
， ．
因此，X 的分布列如下：
X 0 1 2 3
6 12 24
25 28π
5 1
20 4
=
18 24
× = 112 34
× =
A
A ( ) 2
3
2
5
3 71 1 10 10
CP A C
= − = − =
7
10
0,1,2,3
( ) 3
4
3
8
10 14
CP X C
= = = ( ) 1 2
4 4
3
8
31 7
C CP X C
= = =
( ) 2 1
4 4
3
8
32 7
C CP X C
= = = ( ) 3
4
3
8
13 14
CP X C
= = =所以 X 的数学期望 .
18．（1）∵SA⊥底面 ABC，∴SA⊥BC，又∵AC＝AB，且点 E 是 BC 的中点，
∴BC⊥AE，∵SA∩AE＝A，∴BC⊥底面 SAE，∵BC⊂平面 SBC，∴平面 SBC⊥平面 SAE．
（2）以 A 点为坐标原点，分别以 AC，AB，AS 为 x，y，z 轴建立空间坐标系 O﹣xyz，
则 A（0，0，0），S（0，0，2），E（1，1，0），G（1， ，0），C（2，0，0），B（0，2，
0），
由 SF＝2FE 得 F（ ， ， ），∴ ＝（1，1，0）， ＝（ ， ， ）， ＝（1，
，0）， ＝（2，﹣2，0）.
设平面 AFG 的法向量为 ＝（x，y，z），则 ，令 y＝2，得到 x＝﹣1，z＝
﹣1，
即 ＝（﹣1，2，﹣1），设平面 AFE 的法向量为 ，
由（1）知 为平面 AES 的一个法向量， ＝ ＝（2，﹣2，0），
∴cosα＝ ＝ ＝ ，∵二面角 G﹣AF﹣E 的平面角
为锐角，∴二面角 G﹣AF﹣E 的大小为 .
P 1
14
3
7
3
7
1
14
1 3 3 1 30 1 2 314 7 7 14 2EX = × + × + × + × =
1
2
2
3
2
3
2
3 AE AF 2
3
2
3
2
3 AG
1
2 BC
m
2 2 2 03 3 3
1 02
x y z
x y
+ + =
+ =
m n
BC n BC
| || |
m n
m n
⋅
2 4
6 8
− −
⋅
3
2
−
π
619：（1）因为
，
由 ，得 ，
所以 的单调递减区间为 .
（2）由题意 ， ，
原不等式等价于 ，即 恒成立，
令 （ ）
由 ，所以 时， 的最大值为 ，因此 .
20．解：（Ⅰ）因为 ，
①当 时， ，所以 在 上是增函数，无最小值；
②当 时，又 得 ，由 得
∴ 在 上是减函数，在 上是增函数，
( ) 3 14cos sin 1 4cos sin cos 16 2 2f x x x x x x
π = + − = + −
23sin2 2cos 1 3sin2 cos2 2sin 2 6x x x x
π = + − = + = +
32 2 22 6 2k x k
π π ππ π+ ≤ + ≤ + 2 ,6 3k x k k Z
π ππ π+ ≤ ≤ + ∈
( )f x 2, ,6 3k k k Z
π ππ π + + ∈
,4 4x
π π ∈ − 2sin 2 2cos2 06 2f x x x
π π + = + = >
4 22cos2 6cos sin 1a x x x⋅ > − −
4 26cos sin 1
2cos2
x xa x
− −>
( ) ( )( )
( )
2 24 2
2
2
2cos 1 3cos 26cos sin 1 3 cos 12cos2 22 2cos 1
xx xg x xx
− +− −= = = +
−
2 1cos 2x ≠
,4 4x
π π ∈ − 0,cos 1x x= = ( )g x 5
2
5
2a >
0x > ( ) 2 2
1 a x af x x x x
=′ −= −
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( 20,e
0a > ( ) 0f x′ > x a> ( ) 0f x′ < x a<
( )f x ( )0,a ( ),a +∞若 ，则 在 上是减函数，则 ；
若 ，则 在 上是减函数，在 上是增函数，∴
综上：当 时， 的最小值为 ； 当 时， 的最小值为
（Ⅱ）由 得
令 ，则 ，由 得 ，由 得 ，所以
在 上是减函数，在 上是增函数，
且 ，且 ，当 时， ，
所以，当 时， 无有零点；当 或 时， 有 1 个零点；
当 时， 有 2 个零点.
21．解：（1）因为椭圆 的方程为 ，所以 ， ，因为 轴，所以
，
根据对称性，可取 ， 则直线 的方程为 ，即 .
因为直线 与圆 相切，得 ，所以圆的方程为 .
（2）圆 的半径为 2，可得圆 的方程为 .
a e≥ ( )f x ( )0,e ( ) ( )min ln af x f e e e
= = +
a e< ( )f x ( )0,a ( ),a e ( ) ( )min ln 1f x f a a= = +
a e≥ ( )f x ln ae e
+ a e< ( )f x ln 1a +
( ) ln 0af x x x
= + = lna x x− =
( ) 2
1ln ,g x x x x e
= > ( ) ln 1g x x=′ + ( ) 0g x′ > 1x e
> ( ) 0g x′ < 1x e
<
( )g x 2
1 1,e e
1 ,e
+∞
2 2
1 2 1 10, 0g ge e e e
= − < = − x → +∞ ( )g x → +∞
1a e
> ( )f x 1a e
= 2
2a e
< ( )f x
2
2 1ae e
≤ < ( )f x
C
2 2
14 3
x y+ = ( 2,0)A − (1,0)F PF x⊥
31, 2P ±
31, 2P
AP 1 ( 2)2y x= + 2 2 0x y- + =
AP O 2 2
2 2
51 2
=
+
2 2 4
5x y+ =
O O 2 2 4x y+ =①当 轴时， ，所以 ， 得 ，
此时得直线 被圆 截得的弦长为 .
②当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ， ， ，
首先由 ，得 ，
即 ，所以 （*）.
联立 ，消去 得 ，
在 时， ， 代入（*）式，得 ，
由于圆心 到直线 的距离为 ，所以直线 被圆 截得的弦长为
，故当 时， 有最大值为 .综上，因为 ，
所以直线 被圆 截得的弦长的最大值为 .
22．（1）消去直线 l 参数方程中的 t，得 ，
由 ，得直线 l 的极坐标方程为 ，故 ．
由点 Q 在 OP 的延长线上，且 ，得 ，设 ，则 ，
由点 P 是曲线 上的动点，可得 ，即 ，所以 的极坐标方程为
PQ x⊥ 2 3
4OP OQ OPk k k⋅ = − = − 3
2OPk = ±
2 2
3
2
4
y x
x y
=
+ =
2 16
7x =
PQ O 16 4 212 4 7 7
− =
PQ x PQ y kx b= + ( )1 1,P x y ( )( )2 2 1 2, 0Q x y x x ≠
3
4OP OQk k⋅ = − 1 2 1 23 4 0x x y y+ =
( )( )1 2 1 23 4 0x x kx b kx b+ + + = ( ) ( )2 2
1 2 1 23 4 4 4 0k x x kb x x b+ + + + =
2 2
14 3
y kx b
x y
= + + =
x ( )2 2 23 4 8 4 12 0k x kbx b+ + + − =
> 0∆ 1 2 2
8
3 4
kbx x k
+ = − +
2
1 2 2
4 12
3 4
bx x k
−= +
2 22 4 3b k= +
O PQ 2 1
bd
k
=
+ PQ O
2
2
22 4 8 1l d k
= − = + + 0k = l 10 4 2110 7
>
PQ O 10
4x y+ =
cos , sinx yρ θ ρ θ= = cos sin 4ρ θ ρ θ+ = 4
cos sin
ρ θ θ= +
| | 3| |PQ OP= | | 4| |OQ OP= ( ),Q ρ θ ,4P
ρ θ
1C 2cos4
ρ θ= 8cosρ θ= 2C．
（2）因为直线 l 及曲线 的极坐标方程分别为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以当 时， 取得最大值，为 ．
23． ， ，故 ，由题意可得 的解集为 ，
即 的解集为 ，故 ．
（2）由 ， ， ，且 ，∴
，
当且仅当 时，等号成立．所以 .
8cosρ θ=
2C 4
cos sin
ρ θ θ= + 8cosρ θ=
4
cos sinOM α α= + | | 8cosON α=
( )| | π2cos cos sin 1 cos2 sin2 1 2sin 2| | 4
ON
OM
α α α α α α = + = + + = + +
π
8
α = | |
| |
ON
OM 2 1+
( ) 2f x m x= − − m R∈ ( )2f x m x+ = − 0m x− ≥ [ 11]− ，
x m≤ [ 11]− ， 1m =
a b c R∈ 1 1 1 12 3 ma b c
+ + = = ( ) 1 1 12 3 2 3 2 3a b c a b c a b c
+ + = + + + +
2 3 3 21 1 12 2 3 3
b c a c a b
a a b b c c
= + + + + + + + + 2 3 3 23 3 6 92 2 3 3
b c a c a b
a a b b c c
= + + + + + + ≥ + =
2 3 3 2 12 2 3 3
b c a c a b
a a b b c c
= = = = = = 2 3 9a b c+ + ≥
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