高三三诊模拟考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2． ，若 ，则
A． B． C． D．
3．若 ，则
A． B． C． D．
4．函数 的图象大致为
{ }| 1 0A x x= − < { }2| 2 0B x x x= − < A B = { }| 0x x < { }| 1x x < { }1| 0x x< < { }|1 2x x< < z C∈ | | 1 2z z i− = + z = 3 22 i− 3 22 i+ 2 2i+ 2 2i− sin 78 m= sin 6 = 1 2 m + 1 2 m− 1 2 m + 1 2 m− ( ) 2 1xf x x −=
A． B． C． D．
5．已知等差数列 的前 项和为 则数列 的前 10 项和为
A． B． C． D．
6．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数为偶函数，则
的值为
A． B． C． D．
7．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出 1 个球，摸到红球、白球和黄
球的概率分别为 ，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸 3 次，则记下的
颜色中有红有白，但没有黄的概率为
A． B． C． D．
8．已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，则双曲线 的
离心率为
A． B． C． D．
9．设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，则
{ }na n ,nS 9 12 2
1 6, 4,2a a a= + = 1{ }
nS
11
12
10
11
9
10
8
9
( ) sin 2f x x= 0 2
πϕ ϕ ≤ ≤
ϕ
12
π
6
π
3
π
4
π
1 1 1, ,2 3 6
5
36
5
6
5
12
1
2
2 2
1 : 110
x yC m m
+ =−
2
2
2 : 14
yC x − = 1C
5
4 5 5 5
2
ABC A B C a b c
6C
π= 12a b+ =
面积的最大值为
A．8 B．9 C．16 D．21
10．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该
多面体外接球的表面积为
A． B． C． D．
11．已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，点 为抛物线上任意一点
的平分线与 轴交于 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
12．若函数 在 上单调递增，则实数
的取值范围为
A． B． C． D．
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． ．
ABC
2 4y x= F x K P
KPF∠ x ( ,0)m m
3 2 2− 2 3 3− 2 3− 2 2−
( ) ( ) ( )1 cos2 3 sin cos 4 12f x x a x x a x= + − + − ,02
π − a
1 ,17
11, 7
−
] [1, 1,7
−∞ − ∪ +∞
[ )1,+∞
=+ oo 75cos75sin
14．设 是两个向量，则“ ”是“ ”的__________条件.
15．圆 的切线与椭圆 交于两点 分别以 为切点的
的切线交于点 ，则点 的轨迹方程为__________．
16．已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围
是______．
三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．(12 分)已知正项等比数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足
，且 ．
（I）求数列 的通项公式； （II）求数列 的前 项和．
18．(12 分)如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 底面 ，
，点 是 的中点.
（I）求证： 平面 ；
（II）若直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的大小.
19．(12 分)在某市高中某学科竞赛中，某一个区 名考生的参赛成
绩统计如图所示.
,a b a b a b+ > − 0a b⋅ >
2 2 1x y+ =
2 2
14 3
x y+ = ,A B ,A B
2 2
14 3
x y+ =
P P
3 2( ) 3 1f x ax x= − + ( )f x 0x 0 0x < a { }nb n nS 3 4b = 3 7S = { }na ( )* 1 1n na a n n N+ − = + ∈ 1 1a b= { }na 1 na n P ABCD− ABCD PD ⊥ ABCD PD DC= E PC / /PA BDE BD PBC 30° C PB D− − 4000
（I）求这 名考生的竞赛平均成绩 （同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（II）由直方图可认为考生竞赛成绩 服正态分布 ，其中 ， 分别取考生的平均
成绩 和考生成绩的方差 ，那么该区 名考生成绩超过 分（含 分）的人数
估计有多少人？
（III）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考
生中随机抽取 名考生，记成绩不超过 分的考生人数为 ，求 .（精确到
）
附：① ， ；② ，则
， ；③ .
20．(12 分)中心在原点的椭圆 E 的一个焦点与抛物线 的焦点关于直线 对称，
且椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为 .
（I）求椭圆 E 的标准方程；
（II）过点 的直线 l（直线的斜率 k 存在且不为 0）交 E 于 A，B 两点，交 x 轴于点 P
点 A 关于 x 轴的对称点为 D，直线 BD 交 x 轴于点 Q.试探究 是否为定值？请说明
理由.
4000 x
z 2( , )N µ σ µ 2σ
x 2s 4000 84.81 84.81
4 84.81 ξ ( 3)P ξ ≤
0.001
2 204.75s = 204.75 14.31= 2( , )z N µ σ
( ) 0.6826P zµ σ µ σ− < < + = ( 2 2 ) 0.9544P zµ σ µ σ− < < + = 40.8413 0.501= 2: 4C x y= y x= ( )2,0 ( )0, 2− | | | |OP OQ⋅
21．(12 分)已知函数 ．
（I）当 时，求 的单调区间；
（II）若 有两个极值点 ,且 ，求 取值范围．（其中 e 为自然对数的
底数）．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知直线 ： ( 为参数)，曲线 ： （ 为参数）．
(I)设 与 相交于 两点，求 ；
(II)若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，得到曲线 ，
设点 P 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最大值．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知： ， ，且
（I）若 求 x 的取值范围；
2( ) 2lnf x x ax x= − +
5a = ( )f x
( )f x 1 2,x x 1 2
1 1
3 x xe
< < < a l 11 2 3 2 x t y t = + = t 1C cos sin x y θ θ = = θ l 1C ,A B AB 1C 1 2 3 2 2C 2C l 0x > 0y > 6x y+ =
| 5| | 4 | 6x y− + − ≤
（II） 恒成立，求 m 的取值范围.| 5| | 4 | | 2 |x y m− + − ≥ −
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理科数学参考答案
1．C 2．B 3．B 4．D 5．B 6．D 7．C 8．C 9．B 10．C
11．A 12．D
13． 14．充分必要 15． . 16．
17．（Ⅰ）根据题意，设 的公比为 ，所以 解得
又 ，
所以
．
（Ⅱ）因为 ，
所 以
．
18．（1）连接 交 于 ，连接 ，
由题意可知， ， ，
又 在平面 外， 平面 ，所以 平面 .
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系
2
6 1916
22
=+ yx ),2( +∞
{ }nb q
2
1
2
1 1 1
4,{
7,
b q
b b q b q
=
+ + =
1 1,{ 2.
b
q
=
=
1 1n na a n+ − = +
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a a a− − −= − + − +…+ − + − +
( ) ( ) 211 2 1 2 2
n n n nn n
+ += + + +…+ + = =
2
1 2 1 12 1na n n n n
= = − + +
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 2 12 2 3 1 1 1 1n
n
a a a n n n n n n
+ + + = − + − +…+ − + − = − = − + + +
AC BD O OE
,PE EC AO OC= = / /PA EO∴
PA BED EO ⊂ BED / /PA BED
( )2 D , ,DA DC DP x y z
，设 ， ，则 ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
由 ，得 ，取 ，
又由直线 与平面 所成的角为 ，
得 ，解得 ，
同理可得平面 的法向量 ，
由向量的夹角公式，可得 ，
又因为二面角 为锐二面角，所以二面角 的大小为 .
19．（1）由题意知：
中间值
概率
∴ ，
D xyz− 1PD CD= = AD a= ( ,0,0)A a ( ,1,0) (0,1,0)B a C， 1(0 )0,P ，
( ,1,0)DB a= ( , )1, 1PB a= − ( )0,1, 1PC = −
PBC ( , )n x y z= ，
· 0
· 0
PB n
PC n
=
=
0
0
ax y z
y z
+ − =
− = (0,1,1)n =
BD PBC 30
2
1 1cos , 21 2
DB n
DB n
DB n a
= = =
+ ×
1a =
PBD 1, )0( 1,m = −
1 1cos , 22 2
n mn m
n m
= = =
×
C PB D− − C PB D− − 60°
45 55 65 75 85 95
0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1
45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3x = × + × + × + × 85 0.15 95 0.1 70.5+ × + × =
∴ 名考生的竞赛平均成绩 为 分.
（2）依题意 服从正态分布 ，其中 ， ，
，∴ 服从正态分布 ，而
，∴
.∴竞赛成绩超过 分的人数估计为
人 人.
（3）全市竞赛考生成绩不超过 分的概率 .而 ，∴
.
20．（1）因为椭圆 E 的一个焦点与抛物线 的焦点关于直线 对称，
所以椭圆 E 的右焦点为 ，所以 .
又椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为 ，所以 ，又 ，
所以椭圆 E 的标准方程为 .
（2）设直线 l 的方程为 ， ，则点 ，设
则点 ，联立直线 l 与椭圆 E 的方程有 ，
得 ，所以有 ，即
且 ，即直线 BD 的方程为
4000 x 70.5
z ( )2,N µ σ 70.5xµ = = 2 204.75Dσ ξ= =
14.31σ = z ( ) ( )2 2, 70.5,14.31N Nµ σ =
( ) (56.19 84.81) 0.6826P z P zµ σ µ σ− < < + = < < = ( ) 1 0.682684.81 0.15872P z −≥ = = 84.81 0.1587 4000 634.8× = 634≈ 84.81 1 0.1587 0.8413− = ( )4,0.8413Bξ ∼ ( ) ( ) 4 4 43 1 4 1 0.8413P P Cξ ξ≤ = − = = − ⋅ 1 0.501 0.499= − = 2: 4C x y= y x= 1,0（ ） 1c = 2,0（ ） 2a = 2 2 2 3b a c= − = 2 2 14 3 x y+ = 2y kx= − 0k ≠ 2 ,0P k ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )1 1,D x y− 2 2 14 3 2 x y y kx + = = − ( )2 23 4 16 4 0k x kx+ − + = ( )248 4 1 0k∆ = − > 2 1
4k >
1 2 2
1 2 2
16
3 4
4
3 4
kx x k
x x k
+ = +
= +
1 1
2 1 2 1
y y x x
y y x x
+ −=+ −
令\ ，得点 Q 的横坐标为 ，
代入得： ，
所以 ，所以 为定值 4.
21.（1） 的定义域为 ， ，
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .
（2∵ ， 有两个极值点
∴令 ，则 的零点为 ，且 .
∴ ＞０, ∴ 或 ∵ ， ∴ .
根据根的分布，则 且 g( ) 1 2 02
ax x+ = > 1 2 1=x x 4a >
1( ) 03g > 1
e
1 12 2 09 3 a× − + > 2
12 2 0a
e e
⋅ − + < 2 202 3e ae + < < l ( )3 1y x= − 1C 2 2 1x y+ = 2 2 3( 1) 1 y x x y = − + = ( ) 1 31,0 , ,2 2A B − AB 2 21 3(1 ) (0 ) 12 2 − + + =
（2）曲线 ： （ 为参数）．设所求的点为 ，
则 到直线 的距离 .
当 时， 取得最大值 ．
23．（1）把 代入原不等式得 ，
此不等式等价于 或 或
分别解得： 或 货 ，故原不等式解集为
（2） ，当且仅当 ， 时取等号，
∴ ，故 .
2C
1 cos2
3 sin2
x
y
θ
θ
=
=
θ 1 3cos , sin2 2P θ θ
P l
3 3cos sin 32 2
3 1
d
θ θ− −
= =
+
1 6 cos( ) 32 2 4
πθ + −
cos( ) 14
pq + = - d 3 6
2 4
+
6y x= − | 5| | 2 | 6x x− + − ≤
2
5 2 6
x
x x
− + − ≤
1 22 x≤ < 2 5x≤ ≤ 135 2x< ≤ 1 13,2 2 | 5| | 4 | | 9 | 3x y x y− + − ≥ + − = 0 5x< ≤ 0 4y< ≤ | 2 | 3m − ≤ 1 5m− ≤ ≤
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