1
2020 年春四川省泸县第四中学高三三诊模拟考试
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无
效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题(60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。
1.已知复数 ,则复数 在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合 ,则满足 的集合 的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
3.若实数 满足 则 的最小值是
A. B. C. D.
4.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三
人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人所得与丙、丁、
戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代
的一种重量单位).这个问题中,甲所得为
A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱
5.定义运算 ,则函数 的大致图象是
i
iz 21
43
−
−=
{ }2| 0,A x x x x R= + = ∈ { }0, 1,1A B = − B
,x y
5
2
1
x y
x y
x
+ ≥
≤
≥
2z x y= +
9 20
3
10
3 2
5
4
4
3
3
2
5
3
a b ad bcc d
= − ( )
1 sin2
1
xf x
x
=2
A. B. C.
D.
6.已知 ,且 是第四象限角,则 的值是
A. B. C. D.
7.已知圆 : ,定点 ,直线 : ,则“点 在圆 外”是“直线 与
圆 相交”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.在边长为 4 的正方形 ABCD 内部任取一点 M,则满足 为锐角的概率为
A. B. C. D.
9.函数 在 单调递减,且为奇函数.若 ,则满足 的 的
取值范围是
A. B. C. D.
10.函数 的图象向右平移 个单位后关于原点对称,则函数 在
上的最大值为
A. B. C. D.
11.已知双曲线 : 的焦距为 ,焦点到双曲线 的渐近线的距离为
,则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
4sin( ) 5
π α+ = α cos( 2 )α π−
3
5-
3
5
3
5
± 4
5
C 2 2 1x y+ = ( )0 0,P x y l 0 0 1x x y y+ = P C l
C
AMB∠
1 8
π−
8
π
1 4
π−
4
π
( )f x ( , )−∞ +∞ (2) 2f = − 2 ( 2) 2f x− ≤ − ≤ x
[ ]2 2− , [ ]1,3 [ ]1,1− [ ]0,4
( ) ( )sin 2 2f x x
πϕ ϕ = + > 2c C
3
2 c
3y x= ± 2y x= ± y x= ± 2y x= ±3
12.已知 ,则 , 不可能满足的关系是
A. B. C. D.
第 II 卷 非选择题(90 分)
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.已知函数 在 处取得极值,则 的值为___________.
14.已知向量 , ,则 在 方向上的投影为___________.
15.若过点 且斜率为 的直线与抛物线 的准线 相交于点 ,与 的
一个交点为 ,若 ,则 ____.
16.如图,正方体 的棱长为 1,线段 上有两个动点 ,且 ,现
有如下四个结论: ; 平面 ; 三棱锥 的体积为定值; 异
面直线 所成的角为定值,其中正确结论的序号是______.
三.解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考
题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)在 中, , , .
(I)求角 (II)设 为 的中点,求中线 的长.
18.(12 分)在某外国语学校举行的 (高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数
之比为 ,且成绩分布在 ,分数在 以上(含 )的同学获奖.按女生、男生用分层抽样的
方法抽取 人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.
2 3 6a b= = a b
a b ab+ = 4a b+ > ( ) ( )2 21 1 2a b− + − < 2 2 8a b+ >
( ) 3 3f x ax x= − 1x = a
( 3, 1)a = − ( 3,1)b = a b
( )2,0M 3 ( )2: 0C y ax a= > l B C
A BM MA= a =
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B D ,E F 2
2EF =
AC BE① ⊥ / /EF② ABCD ③ A BEF− ④
,AE BF
ABC∆ 10a = 4c = 5cos 5C = −
A D AB CD
HIMCM
1:3 [40,100] 80 80
2004
第19题图
E
P
A B
D
C
F
(Ⅰ)求 的值,并计算所抽取样本的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)填写下面的 列联表,并判断在犯错误的概率不超过 的前提下能否认为“获奖与女生、男
生有关”.
女生 男生 总计
获奖
不获奖
总计
附表及公式:
其中 , .
19.(12 分)四棱锥 中, 平面 , , , 为
的中点, ,过点 作 于 .
(1) 求证: ;
(2) 求三棱锥 的体积.
a x
2 2× 0.05
5
200
( )2
0P K k≥
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
ABCDE − ⊥AP ABCD 22
1 ==== ABBCDCAD 3=AP E
AP CDAB // A BPAF ⊥ F
/ /DE BCP平面
P EFC−5
20.(12 分)已知 为圆 上一点,过点 作 轴的垂线交 轴于点 ,点 满足
(I)求动点 的轨迹方程;
(II)设 为直线 上一点, 为坐标原点,且 ,求 面积的最小值.
21.(12 分)已知函数 , ,且 点 处
取得极值.
(Ⅰ)若关于 的方程 在区间 上有解,求 的取值范围;
(Ⅱ)证明: .
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计
分。
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
已知曲线 C 的极坐标方程是 .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,
建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是: ( 是参数).
(Ⅰ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且 ,试求实数 m 值.
(Ⅱ)设 为曲线 上任意一点,求 的取值范围.
23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
已知函数 , .
(Ⅰ)若不等式 对 恒成立,求正实数 的取值范围;
(Ⅱ)设实数 为(Ⅰ)中 的最大值.若正实数 , , 满足 ,求
4cosρ θ=
2
2
2
2
x m t
y t
= +
=
t
| | 14AB =
( )yxM , C x y+
A 2 2: 1C x y+ = A y y B P
2 .BP BA=
P
Q : 3l x = O OP OQ⊥ POQ∆
2( ) ln( )f x x a x x= + − + 2( ) 1( 0)xg x x e x x= ⋅ − − > ( )f x 1x =
x 5( ) 2f x x b= − + [1,3] b
( ) ( )g x f x≥
( ) 2f x x m x= − + x∈R
( ) 2f x m≥ x∀ ∈R m
t m a b c
2
tabc = ( )( )( )1 1 1a b c+ + +6
的最小值.7
2020 年春四川省泸县第四中学高三三诊模拟考试
文科数学参考答案
1.A 2.A 3.B 4.B 5.A 6.B 7.C 8.A 9.D 10.B
11.A12.C
13.1 14.1 15. 16.
17.(1)∵ ,∴ . 分
由正弦定理 ,即 . 分
得 ,∵ ,∴ 为钝角, 为锐角,故 . 分
(2∵ ∴
.由正弦定理得 ,即 得 .
分
在 中由余弦定理得: ,
∴ . 分
18.解:(Ⅰ) , 分
. 分
(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为 ,不获奖的人数为 ,
列联表如下:
女生 男生 总计
获奖
8 ①②③
5cos 5C = − 2 1 2 5sin 1 cos 1 5 5C C= − = − = 2
sin sin
a c
A C
=
10 4
sin 2 5
5
A
=
4
2sin 2A = 5cos 05C = − < C A 4A
π= 6
( )B A Cπ= − + ( )sin sin sin cos cos sinB A C A C A C= + = +
2 5 2 2 5 10
2 5 2 5 10
= × − + × = sin sin
b a
B A
=
10
10 2
10 2
b =
2b =
9
ACD∆ 2 2 2 2 cosCD AD AC AD AC A= + − ⋅ ⋅ 22 4 2 2 2 22
= + − × × × =
2CD = 12
1
10a = × [1 (0.01 0.015 0.03− + + + 0.015 0.005) 10] 0.025+ × = 3
45 0.1 55 0.15 65x = × + × + 0.25 75 0.3 85 0.15 95 0.05 69× + × + × + × = 6
40 160
2 2×
5 35 408
不获奖
总计
因为 , 分
所以在犯错误的概率不超过 的前提下能认为“获奖与女生,男生有关.”
19.(I)证明:取 的中点 ,连接 ,因为 是 的中点,
,
故 ,
四边形 CDEM 为平行四边形, 分
, ,
所以 分
(II)过 C 作 交 AB 于 N 点,因为 平面
, ,所以 CN 为点 C 到面 PEF 的距离
而
在直角 中, , ,
AP=5, , 分
, 分
三棱锥 的体积 分
20.解:(1) 设 ,由题意得: ,由 ,
可得点 是 的中点,故 ,所以 ,又因为点 在圆上,
所以得 ,故动点 的轨迹方程为 . 分
(2)设 ,则 ,且 ,当 时, ,此时 ;
ABCD
45 115 160
50 150 200
2
2 200 (5 115 35 45)
40 160 150K
× × − ×= × × 4.167 3.841≈ > 12
0.05
PB M MCEC, E AP
∴ ABEM // ABEM 2
1=
CDEM // CDEM =
∴ 3
MCED // CBPCM 面⊂ CBPDE 面⊄
BCPDE 平面// 5
ABCN ⊥ ⊥AP
∴ CNAP ⊥ ABPCN 面⊥
322 =−= BNCBCN
ABP∆ BPAF ⊥ 3=AP 4=AB
5
12=⋅=
BP
APABAF 5
922 =−= AFAPPF 8
∴
25
27
4
1
2
1 =⋅== ∆∆ PFAFSS PAFPEF 325
9
3
1
PEF- =⋅= ∆PEFC SCNV三棱锥 10
PEF-CEFCP VV 三棱锥三棱锥 =−
∴ EFCP − 325
9 12
( ),P x y ( ) ( )1, , 0,A x y B y 2BP BA=
A BP 10 2x x+ = 1 2
xx = A
2
2 14
x y+ = P
2
2 14
x y+ = 4
( )1 1,P x y 1 0y ≠ 2
21
1 14
x y+ = 1 0x = 1 1y = ± ( ) 33,0 , 2POQQ S∆ =
ME
P
A B
D
C
F9
当 时, 因为 ,即 故 , ,
, ①, 分
代入①
设 因为 恒成立, 在 上是减函数,
分
当 时有最小值,即 ,综上: 的最小值为 分
21.解:(Ⅰ)∵ , ∴
∵函数 在点 处取得极值, 分
∴ ,即当 时 ,∴ ,则得 .经检验符合题意 2 分
∵ ,∴ , ∴ .
令 , 则 . 分
∴当 时, 随 的变化情况表:
1 (1,2) 2 (2,3) 3
+ 0 -
↗ 极大值 ↘
计算得: , , ,
1 0x ≠ 1
1
,OP
yk x
= OP OQ⊥ 1
1
,OQ
xk y
= − 1
1
33, xQ y
−
2 2
1 1OP x y∴ = +
2 22
1 11
2
1 1
3 1 3 x yxOQ y y
+= + =
2 2
1 1
1
1 3
2 2POQ
x yS OP OQ y∆
+= = ⋅ 8
2
21
1 14
x y+ =
2
1
1
1 1
4 33 3 4 32 2POQ
yS yy y∆
−= ⋅ = −
( )10 1y< ≤
( ) ( )4 3 0 1f x x xx
= − < ≤ ( ) 2
4f x 3 0
x
′ = − − < ( )f x∴ ( ]0,1
10
1 1y = 3
2POQS∆ ≥ POQS∆
3.2 12
2( ) ln( )f x x a x x= + − + 1( ) 2 1f x xx a
−+
′ = +
2( ) ln( )f x x a x x= + − + 1x = 2
'(1) 0f = 1x = 1 2 1 0xx a
− + =+
1 1 01 a
− =+ 0a =
5( ) 2f x x b= − + 2 5ln 2x x x x b− + = − + 2 7ln 2x x x b− + =
2 7( ) ln ( 0)2h x x x x x= − + > 1 7 (4 1)( 2)'( ) 2 2 2
x xh x xx x
+ −= − + = − 4
[ ]1,3x∈
5(1) 2h = 3 5(3) ln3 2 2h = + > (2) ln 2 3h = + 5( ) ,ln 2 32h x ∴ ∈ + 10
所以 的取值范围为 . 6 分
(Ⅱ)证明:令 ,
则 ,
令 ,则 ,
函数 在 递增, 在 上的零点最多一个
又 , , 存在唯一的 使得 , 9 分
且当 时, ;当 时, .
即当 时, ;当 时, .
在 递减,在 递增,从而 .
由 得 即 ,两边取对数得: , ,
,从而证得 . 12 分
考点:1.函数的极值与最值;2.导数的应用;3.函数的单调性.
22.解:(Ⅰ)曲线 C 的极坐标方程是 化为直角坐标方程为:
直线 的直角坐标方程为:
圆心到直线 l 的距离(弦心距) 圆心 到直线 的距离为 :
或 5 分
(Ⅱ)曲线 的方程可化为 ,其参数方程为
为曲线 上任意一点,
的取值范围是 10 分
23.(1) ,当且仅当 时等号成立,
4cosρ θ=
0422 =−+ xyx l mxy −=
∴ ,2
2)2
14(2 22 =−=d mxy −=
1|2|2
2
2
|02| =−⇒=−−
mm ∴ 1=m 3=m
C
( ),M x y C
x y∴ +
b 5 ,ln 2 32
+
( ) ( ) ( )F x g x f x= − ln 1xx e x x= ⋅ − − − ( )0x >
( ) ( ) 11 1xF x x e x
= + ⋅ − −′ ( ) ( )1 1xx x ex
+= ⋅ ⋅ −
( ) 1xG x x e= ⋅ − ( )( ) 1 0( 0)xG x x e x= + ⋅ > >′
∴ ( )G x ( )0,+∞ ( )G x ( )0,+∞
(0) 1 0G = − < (1) 1 0G e= − > ∴ ( )0,1c∈ ( ) 0G c =
( )0,x c∈ ( ) 0G x < ( ),x c∈ +∞ ( ) 0G x >
( )0,x c∈ ( ) 0F x′ < ( ),x c∈ +∞ ( ) 0F x′ >
∴ ( )F x ( )0,c ( ),c +∞ ( )F x ≥ ( ) ln 1cF c c e c c= ⋅ − − −
( ) 0G c = 1 0cc e⋅ − = 1cc e⋅ = ln 0c c+ = ∴ ( ) 0F c =
∴ ( ) ( ) 0F x F c≥ = ( ) ( )g x f x≥
(2,0)
2 22) 4x y− + =( 2 2cos
2sin
x
y
θ
θ
= +
= (θ为参数)
2 2 2 sin( )4x y
πθ+ = + +
[2 2 2,2 2 2]− +
( ) 2 2 2f x x m x x m x m= − + ≥ − − = ( )2 0x m x− ≤11
,解得 , 正实数 的取值范围为 . 分
(2)由(1)知, ,即 .
, ,
,
当且仅当 时 取得最小值为 8. 分
2 2m m∴ ≤ 2 2m− ≤ ≤ ∴ m ( ]0,2 5
2t = 1abc =
1 2 0a a+ ≥ > 1 2 0b b+ ≥ > 1 2 0c c+ ≥ >
( )( )( )1 1 1 8 8a b c abc∴ + + + ≥ =
1a b c= = = ( )( )( )1 1 1a b c+ + + 10