四川省泸县第四中学2020届高三数学（理）三诊模拟试题（附答案Word版）

2020 年春四川省泸县第四中学高三三诊模拟考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．已知复数 ，则复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合 ，则满足 的集合 的个数是 A．4 B．3 C．2 D．1 3．若实数 满足 则 的最小值是 A． B． C． D． 4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三 人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、 戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代 的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 { }2| 0,A x x x x R= + = ∈ { }0, 1,1A B = − B ,x y 5 2 1 x y x y x + ≥  ≤  ≥ 2z x y= + 9 20 3 10 3 2A． 钱 B． 钱 C． 钱 D． 钱 5．定义运算 ，则函数 的大致图象是 A． B． C． D． 6．已知 ，且 是第四象限角，则 的值是 A． B． C． D． 7．已知圆 : ，定点 ，直线 : ，则“点 在圆 外”是“直线 与 圆 相交”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8． A． B． C． D． 9．函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足 的 的 取值范围是 A． B． C． D． 10．函数 的图象向右平移 个单位后关于原点对称，则函数 在 5 4 4 3 3 2 5 3 a b ad bcc d = − ( ) 1 sin2 1 xf x x = 4sin( ) 5 π α+ = α cos( 2 )α π− 3 5- 3 5 3 5 ± 4 5 C 2 2 1x y+ = ( )0 0,P x y l 0 0 1x x y y+ = P C l C 1 2 0 11 2x x dx − + =  ∫ 1 4 π + 1 2 π + 1 2 4 π + 1 4 π + ( )f x ( , )−∞ +∞ (2) 2f = − 2 ( 2) 2f x− ≤ − ≤ x [ ]2 2− , [ ]1,3 [ ]1,1− [ ]0,4 ( ) ( )sin 2 2f x x πϕ ϕ = + > 2c C 3 2 c 3y x= ± 2y x= ± y x= ± 2y x= ± 2 3 6a b= = a b a b ab+ = 4a b+ > ( ) ( )2 21 1 2a b− + − < 2 2 8a b+ > ( 3, 1)a = − ( 3,1)b = a b A B C D C D B A D C ( )2,0M 3 ( )2: 0C y ax a= > l B C A BM MA=  a =16．如图，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动点 ，且 ，现 有如下四个结论： ； 平面 ； 三棱锥 的体积为定值； 异 面直线 所成的角为定值，其中正确结论的序号是______． 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考 题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）在 中， ， ， . （I）求角 （II）设 为 的中点，求中线 的长. 18．（12 分）在某外国语学校举行的 (高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数 之比为 ,且成绩分布在 ,分数在 以上(含 )的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的 方法抽取 人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)求 的值,并计算所抽取样本的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (Ⅱ)填写下面的 列联表,并判断在犯错误的概率不超过 的前提下能否认为“获奖与女生、男 生有关”． 女生 男生 总计 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B D ,E F 2 2EF = AC BE① ⊥ / /EF② ABCD ③ A BEF− ④ ,AE BF ABC∆ 10a = 4c = 5cos 5C = − A D AB CD HIMCM 1:3 [40,100] 80 80 200 a x 2 2× 0.05获奖 不获奖 总计 附表及公式： 其中 , ． 19．（12 分）在如图所示的几何体中，四边形 是菱形， 是矩形， ， ， ， ， 为 的中点. （I）平面 平面 （II）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小 为 ？若存在，求出 的长度；若不存在，请说明理由. 20．（12 分）已知 为圆 上一点，过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，点 满足 5 200 ( )2 0P K k≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ABCD ADNM DAB 60°∠ = AD 2= AM 1= ME 2= E AB ADNM ⊥ ABCD AM P P EC D− − 6 π AP A 2 2: 1C x y+ = A y y B P 2 .BP BA= （I）求动点 的轨迹方程； （II）设 为直线 上一点， 为坐标原点，且 ，求 面积的最小值. 21．（12 分）已知函数 ， ，且 点 处 取得极值． （Ⅰ）若关于 的方程 在区间 上有解，求 的取值范围； （Ⅱ）证明： ． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 已知曲线 C 的极坐标方程是 ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是： （ 是参数）． （Ⅰ）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且 ，试求实数 m 值． （Ⅱ）设 为曲线 上任意一点，求 的取值范围． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ， . （Ⅰ）若不等式 对 恒成立，求正实数 的取值范围； 4cosρ θ= 2 2 2 2 x m t y t  = +  = t | | 14AB = ( )yxM , C x y+ P Q : 3l x = O OP OQ⊥ POQ∆ 2( ) ln( )f x x a x x= + − + 2( ) 1( 0)xg x x e x x= ⋅ − − > ( )f x 1x = x 5( ) 2f x x b= − + [1,3] b ( ) ( )g x f x≥ ( ) 2f x x m x= − + x∈R ( ) 2f x m≥ x∀ ∈R m（Ⅱ）设实数 为（Ⅰ）中 的最大值.若正实数 ， ， 满足 ，求 的最小值. t m a b c 2 tabc = ( )( )( )1 1 1a b c+ + +2020 年春四川省泸县第四中学高三三诊模拟考试 理科数学参考答案 1．A 2．A 3．B 4．B 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．B 11．A12．C 13．1 14．B 15． 16． 17．（1）∵ ，∴ . 由正弦定理 ，即 . 得 ，∵ ，∴ 为钝角， 为锐角，故 . （2）∵ ∴ . 由正弦定理得 ，即 得 . 在 中由余弦定理得： ， ∴ . 18．解：(Ⅰ) , ． 8 ①②③ 5cos 5C = − 2 1 2 5sin 1 cos 1 5 5C C= − = − = sin sin a c A C = 10 4 sin 2 5 5 A = 2sin 2A = 5cos 05C = − < C A 4A π= ( )B A Cπ= − + ( )sin sin sin cos cos sinB A C A C A C= + = + 2 5 2 2 5 10 2 5 2 5 10  = × − + × =    sin sin b a B A = 10 10 2 10 2 b = 2b = ACD∆ 2 2 2 2 cosCD AD AC AD AC A= + − ⋅ ⋅ 22 4 2 2 2 22 = + − × × × = 2CD = 1 10a = × [1 (0.01 0.015 0.03− + + + 0.015 0.005) 10] 0.025+ × = 45 0.1 55 0.15 65x = × + × + 0.25 75 0.3 85 0.15 95 0.05 69× + × + × + × =(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为 ,不获奖的人数为 , 列联表如下： 女生 男生 总计 获奖 不获奖 总计 因为 , 所以在犯错误的概率不超过 的前提下能认为“获奖与女生,男生有关．” 19．（1）证明：由题意知，四边形 为矩形，所以 ， 又∵四边形 为菱形， 为 中点， 所以 ， ， ，所以 ，所以 ， 又 ，所以 平面 ，又 平面 ， 所以平面 平面 （2）假设线段 上存在点 ，使二面角 的大小为 ，在 上取一点 ，连接 ， . 由于四边形 是菱形，且 ， 是 的中点，可得 . 又四边形 是矩形，平面 平面 ，∴ 平面 ， 所以建立如图所示的空间直角坐标系 40 160 2 2× 5 35 40 45 115 160 50 150 200 2 2 200 (5 115 35 45) 40 160 150K × × − ×= × × 4.167 3.841≈ > 0.05 ADMN AM AD⊥ ABCD E AB 1AM = 1AE = 2ME = 2 2 2AE AM ME+ = AE AM⊥ AE AD A∩ = AM ⊥ ABCD AM ⊂ ADNM ABCD ⊥ ADNM AM P P EC D− − 6 π AM P EP CP ABCD 60DAB °∠ = E AB DE AB⊥ ADMM ADNM ⊥ ABCD DN ⊥ ABCD D xyz−则 ， ， ， ， 则 ， ，设平面 的法向量为 ， 则 ，∴ ，令 ，则 ， 又平面 的法向量 ，所以 ，解得 ， 所以在线段 上存在点 ，使二面角 的大小为 ，此时 . 20．解：（1） 设 ，由题意得： ，由 ， 可得点 是 的中点，故 ，所以 ，又因为点 在圆上， 所以得 ，故动点 的轨迹方程为 . （2）设 ，则 ，且 ，当 时， ，此时 ； 当 时， 因为 ,即 故 ， ， ， ①， 代入① 设 因为 恒成立， 在 上是减函数， 当 时有最小值，即 ,综上： 的最小值为 ( )0,0,0D ( )3,0,0E ( )0,2,0C ( )3, 1,P h− ( )3, 2,0CE = − ( )0, 1,EP h = − PEC ( )1 , ,n x y z= 1 1 · 0 · 0 cE n EP n  = =     3 2 0 0 x y y hz  − = − + = 3y h= ( )1 2 , 3 , 3n h h = DEC ( )2 0,0,1n = 1 2 1 2 2 1 2 · 3 3cos , 27 3 n nn n n n h = = = +      7 7h = AM P P EC D− − 6 π 7 7h = ( ),P x y ( ) ( )1, , 0,A x y B y 2BP BA=  A BP 10 2x x+ = 1 2 xx = A 2 2 14 x y+ = P 2 2 14 x y+ = ( )1 1,P x y 1 0y ≠ 2 21 1 14 x y+ = 1 0x = 1 1y = ± ( ) 33,0 , 2POQQ S∆ = 1 0x ≠ 1 1 ,OP yk x = OP OQ⊥ 1 1 ,OQ xk y = − 1 1 33, xQ y  −    2 2 1 1OP x y∴ = + 2 22 1 11 2 1 1 3 1 3 x yxOQ y y += + = 2 2 1 1 1 1 3 2 2POQ x yS OP OQ y∆ += = ⋅ 2 21 1 14 x y+ = 2 1 1 1 1 4 33 3 4 32 2POQ yS yy y∆  −= ⋅ = −    ( )10 1y< ≤ ( ) ( )4 3 0 1f x x xx = − < ≤ ( ) 2 4f x 3 0 x ′ = − − < ( )f x∴ ( ]0,1 1 1y = 3 2POQS∆ ≥ POQS∆ 3.221．解：（Ⅰ）∵ ， ∴ ∵函数 在点 处取得极值， ∴ ，即当 时 ，∴ ，则得 ．经检验符合题意 2 分 ∵ ，∴ ， ∴ ． 令 ， 则 ． ∴当 时， 随 的变化情况表： 1 （1，2） 2 （2，3） 3 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 计算得： ， ， ， 所以 的取值范围为 ． 6 分 （Ⅱ）证明：令 ， 则 ， 令 ，则 ， 2( ) ln( )f x x a x x= + − + 1( ) 2 1f x xx a −+ ′ = + 2( ) ln( )f x x a x x= + − + 1x = '(1) 0f = 1x = 1 2 1 0xx a − + =+ 1 1 01 a − =+ 0a = 5( ) 2f x x b= − + 2 5ln 2x x x x b− + = − + 2 7ln 2x x x b− + = 2 7( ) ln ( 0)2h x x x x x= − + > 1 7 (4 1)( 2)'( ) 2 2 2 x xh x xx x + −= − + = − [ ]1,3x∈ 5(1) 2h = 3 5(3) ln3 2 2h = + > (2) ln 2 3h = + 5( ) ,ln 2 32h x  ∴ ∈ +   b 5 ,ln 2 32  +   ( ) ( ) ( )F x g x f x= − ln 1xx e x x= ⋅ − − − ( )0x > ( ) ( ) 11 1xF x x e x = + ⋅ − −′ ( ) ( )1 1xx x ex += ⋅ ⋅ − ( ) 1xG x x e= ⋅ − ( )( ) 1 0( 0)xG x x e x= + ⋅ > >′函数 在 递增， 在 上的零点最多一个 又 ， ， 存在唯一的 使得 ， 9 分 且当 时， ；当 时， ． 即当 时， ；当 时， ． 在 递减，在 递增，从而 ． 由 得 即 ，两边取对数得： ， ， ，从而证得 ． 12 分 考点：1．函数的极值与最值；2．导数的应用；3．函数的单调性． 22．解：（Ⅰ）曲线 C 的极坐标方程是 化为直角坐标方程为： 直线 的直角坐标方程为： 圆心到直线 l 的距离（弦心距） 圆心 到直线 的距离为 ： 或 5 分 （Ⅱ）曲线 的方程可化为 ，其参数方程为 为曲线 上任意一点， 的取值范围是 10 分 23．（1） ，当且仅当 时等号成立， 4cosρ θ= 0422 =−+ xyx l mxy −= ∴ ,2 2)2 14(2 22 =−=d mxy −= 1|2|2 2 2 |02| =−⇒=−− mm ∴ 1=m 3=m C ( ),M x y C x y∴ + ∴ ( )G x ( )0,+∞ ( )G x ( )0,+∞  (0) 1 0G = − < (1) 1 0G e= − > ∴ ( )0,1c∈ ( ) 0G c = ( )0,x c∈ ( ) 0G x < ( ),x c∈ +∞ ( ) 0G x > ( )0,x c∈ ( ) 0F x′ < ( ),x c∈ +∞ ( ) 0F x′ > ∴ ( )F x ( )0,c ( ),c +∞ ( )F x ≥ ( ) ln 1cF c c e c c= ⋅ − − − ( ) 0G c = 1 0cc e⋅ − = 1cc e⋅ = ln 0c c+ = ∴ ( ) 0F c = ∴ ( ) ( ) 0F x F c≥ = ( ) ( )g x f x≥ (2,0) 2 22) 4x y− + =（ 2 2cos 2sin x y θ θ = +  = (θ为参数） 2 2 2 sin( )4x y πθ+ = + + [2 2 2,2 2 2]− + ( ) 2 2 2f x x m x x m x m= − + ≥ − − = ( )2 0x m x− ≤，解得 ， 正实数 的取值范围为 . （2）由（1）知， ，即 . ， ， ， 当且仅当 时 取得最小值为 8. 2 2m m∴ ≤ 2 2m− ≤ ≤ ∴ m ( ]0,2 2t = 1abc = 1 2 0a a+ ≥ > 1 2 0b b+ ≥ > 1 2 0c c+ ≥ > ( )( )( )1 1 1 8 8a b c abc∴ + + + ≥ = 1a b c= = = ( )( )( )1 1 1a b c+ + +