2020届北京市东城区高三下学期一模线上统练数学试题 word版带答案

- 1 - 北京市东城区 2019-2020 高三一模线上统练 数学二 班级 姓名 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1） 已知集合 A = {x ∈ R x2 − 2x = 0} ，则满足 A U B ={0,1, 2} 的集合 B 的个数是（ ）. （A） 2 （B） 3 （C） 4 （D） 5 （2） 在复平面内，已知复数 z 对应的点 Z 与复数 2 −i对应的点关于虚轴对称，则点 Z 的坐标为（ ）. （A） (2,1) （B） (−2,1) （C） (−2, −1) （D） (−1, −2) （3） 已知点 A(2，a)为抛物线 y2 = 4x 图象上一点，点 F 为抛物线的焦点，则 AF 等于（ ）. （A） 3 （B） 2 （4） 下列函数中，与函数 f (x) = (1) 5 （C） 2 （D） x 的定义域和值域都相同的是（ ）. （A） y = x2 + 2x, x > 0 （B） y = x +1 （C） y = 10− x （5） 已知两个向量a ， b ，则“ a （D） y = x + 1 x = b ”是“ a + b = a − b ”的（ ）. （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （6） 已知α 和 β 是两个不同平面，α I 那么下列命题正确的是 （ ）. β =l ， l1 , l2 是与 不同的两条直线，且l1 ⊂ α , l2 ⊂ β ， l1 P l2 ， （A） l 与 l1 , l2 都不相交 （B） l 与l1 , l2 都相交 （C） l 恰与l1 , l2 中的一条相交 （D） l 至少与l1 , l2 中的一条相交 （7） 两条平行直线 2x − y + 3 = 0 和 ax + 3y − 4 = 0 间的距离为 d ，则 a, d 的值分别为（ ）. 2 2- 2 - （A）a = 6, d = 6 3 （B）a = −6, d = 5 3 （C） a = 6, d = 5 3 （D）a = −6, d = 6 3 （8） 数列{an } 是等差数列 ，{bn } 是各项均为正数的等比数列，公比 q > 1 ，且 a4 = b4 ，则（ ）. （A） a2 + a6 > b3 + b5 （C） a2 + a6 < b3 + b5 （B） a2 + a6 =b3 + b5 （D） a2 + a6 与b 3 + b5 大小不确定 π （9） 若函数 f (x) = sin 2x 的图象向右平移 6 个单位长度得到函数 g(x) 的图象，若函数 g(x) 在区间[0, a] 上单调递增，则 a 的最大值为（ ）. （A） 5π 12 π （B） 2 （C） 7π 12 2π （D） 3 （10） 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式， 标准对数远视力表各行为正方形“ E ”形视标，且从视力5.2 的视标所在行开始往上， 每一行“ E ”的边长都是下方一行“ E ”边长的 10 10 倍，若视力 4.1 的视标边长为 a ， 则视力 4.9 的视标边长为（ ）. 9 （A）1010 a （B） − 9 10 10 a 4 （C）105 a （D） − 4 10 5 a 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分。 （11） 二项式(2x − 1 )n 的展开式共有 7 项，则 n = ；常数项为 . x （12） 已知角α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，将角α 的终边按逆时针方向旋转 π 6 点 (−1, 3) ，则sin α = ?. （13） 某四面体的三视图如图所示．该四面体的 六条棱的长度中，最大的是 后经过- 3 - （14）函数 y = f (x), x ∈[1, +∞) ，数列{a } 满足a = f (n) , n ∈N* ， n n ①函数 f (x) 是增函数； ②数列{an } 是递增数列． 写出一个满足①的函数 f (x) 的解析式 . 写出一个满足②但不满足①的函数 f (x) 的解析式 . （15）在中国决胜全面建成小康社会的关键之年，如何更好地保障和改善民生，如何切实增强政策“获得感”， 成为 2019 年全国两会的重要关切．某地区为改善民生调研了甲、乙、丙、丁、戊 5 个民生项目，得到如 下信息： ①若该地区引进甲项目，就必须引进与之配套的乙项目； ②丁、戊两个项目与民生密切相关，这两个项目至少要引进一个； ③乙、丙两个项目之间有冲突，两个项目只能引进一个； ④丙、丁两个项目关联度较高，要么同时引进，要么都不引进； ⑤若引进项目戊，甲、丁两个项目也必须引 进． 则该地区应引进的项目为 三、解答题共 6 题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 14 分） 在四棱锥 P − ABCD 中，∆PAD 为正三角形，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，E 为 AD 的中点，AB // CD ， AB ⊥ AD ， CD = 2AB = 2AD = 4 . P （Ⅰ）求证：平面 PCD ⊥ 平面 PAD ； （Ⅱ）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱CD 上是否存在点 M ，使得 AM ⊥ 平面 PBE ?若存在， A E D DM 求出 的值；若不存在，说明理由． B DC C- 4 - （17）（本小题 14 分） 在① a4 = b4 ，② a2 + b5 = 2 ，③ S6 = −24 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数 k 存在，求k 的值；若 k 不存在，请说明理由． 设 Sn 为等差数列{an } 的前 n 项和，{bn } 是等比数列， ， b1 = a5 ， b3 = −9 ， b6 = 243 ．是 否存在 k ，使得 Sk > Sk −1 且 Sk +1 < Sk ？- 5 - （18）（本小题 14 分） 2019 年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取 某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取 5 个数 据，记为 A 组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取 5 个数据，记为 B 组. A 组：128，100，151，125，120 B 组：100，102，96，101， a 己知 B 组数据的中位数为 100，且从中随机抽取一个数不小于 100 的概率是 4 . 5 （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）该路公交车全程所用时间不超过 100 分钟，称为“正点运行”从 A，B 两组数据中各随机抽取一个 数据，记两次运行中正点运行的次数为 X，求 X 的分布列及期望； （Ⅲ）试比较 A，B 两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义.- 6 - （19）（本小题 15 分） 已知函数 f ( x) = ax + ln x 其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数． （Ⅰ）当 a = −1 时，求 f ( x ) 过切点为(1, f ( x)) 的切线方程； （Ⅱ）若 f ( x ) 在区间(1, e) 上的最大值为−3 ，求 a 的值； （Ⅲ）若不等式 f ( x) ≤ x 恒成立，求 a 的取值范围．- 7 - 2 （20）（本小题 14 分） x2 y2 1已知椭圆C : + a2 b2 = 1(a > b > 0) 的左、右顶点分别为 A，B，且| AB |= 4 ，离心率为 . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设点Q(4, 0) , 若点 P 在直线 x = 4 上，直线 BP 与椭圆交于另一点 M. 判断是否存在点 P ，使得四边 形 APQM 为梯形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由- 8 - （21）（本小题 14 分） 数列 满足： ．记 的前 项和为 ，并 ； 规定 ．定义集合 ． （Ⅰ）对数列 ，求集合 ； （Ⅱ）若集合 （ ， ），证明： （Ⅲ）给定正整数 ．对所有满足 的数列 ，求集合 的元素个数的最小值．- 9 - P A E 3 参考答案： 1-10：BCACD ABCAD 11. 6 ；−160 12. 1 13. 2  4 2 14. f ( x) = x2 ； f ( x) =  x −    答案不唯一 15. 丙丁 16. 证明：（Ⅰ）法一： 因为∆PAD 为正三角形， E 为 AD 的中点， 所以 PE ⊥ AD . 因为平面 PAD ⊥底面 ABCD ，平面 PAD I 底面 ABCD = AD ， 所以 PE ⊥平面 ABCD . 因为CD ⊂ 平面 ABCD ， 所以 PE ⊥ CD . 因为 AB // CD ， AB ⊥ AD ， D 所以CD ⊥ AD . 因为 PE I B AD = E ， C 所以CD ⊥ 平面 PAD . 因为CD ⊂ 平面 ABCD ， 所以平面 PCD ⊥ 平面 PAD ...................................................................................4 分 法二： 因为 AB // CD ， AB ⊥ AD ， 所以CD ⊥ AD . 因为平面 PAD ⊥底面 ABCD ，平面 PAD I 底面 ABCD = AD ， 所以CD ⊥ 平面 PAD . 因为CD ⊂ 平面 ABCD ， 所以平面 PCD ⊥ 平面 PAD......................................................................................4 分 （Ⅱ）在平面 ABCD 内作直线 EF ⊥ AD . 所以 EF ⊥ 平面 PAD . 所以 EF ⊥ PE . 7- 10 - 3 −3 − 3 2 2 × 2 3 6  以 E 为原点建立空间直角坐标系 E − xyz 如图所示. 则 P(0, 0, 3), A(0, −1, 0), B(2, −1, 0), C(4,1, 0), D(0,1, 0) . 所以 PB = (2, −1, − 3), PC = (4,1, − 3), PD = (0,1, − 3) . 设平面 PCD 的法向量为n = (x, y, z) . r uuurn ⋅ PC = 0, 4x + y − 3z = 0,所以 r uuur 即  n ⋅ PD = 0.  y − 3z = 0. 令 z = ，则 y = 3, x = 0 . 所以n = (0,3, 3) 设直线 PB 与平面 PCD 所成的角为α . r uuur 则sinα = cos n, PB = = . 4 所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 6.....................................9 分 4 （Ⅲ）在棱CD 上存在点 M ，使得 AM ⊥ 平面 PBE . 因为 PE ⊥平面 ABCD , 所以 PE ⊥ AM . 要使平面 PBE 成立，只需 AM ⊥ EB 成立. DM设 M (x , y , z ) ， = λ . λ ∈[0,1] 0 0 0 DC 所以 DM = λDC . 即 (x, y −1, z) = λ(4, 0, 0) . 所以 x = 4λ, y = 1, z = 0 . 所以 M (4λ,1, 0) . 因为 EB = (2, −1, 0)， AM = (4λ, 2, 0) 所以由 EB ⊥ AM 可得 EB ⋅ AM = 0 ， 即8λ − 2 = 0 . 所以λ = 1 ∈[0,1] . 4 即 DM = 1.....................................................................................14 分 DC 4 17. 解：方案①，设等比数列{bn }的公比为q ，设等差数列{an } 的公差为d ， 由b = −9 ， b = b ⋅ q3 = −9× q3 = 243，得q = −3 ， 3 6 3 又b = b q2 = b ×(−3)2 = −9 ， 3 1 1- 11 - ∴ b = −1 ，故b = −(−3)n−1 ， 1 n 又 a5 = b1 = −1， a4 = b4 = 27 ， ∴ d = a5 − a4 = −28 ， ∴a1 = 27 − 3×(−28) = 111， ∴ an = −28n +139 ， 由 Sk > Sk +1 且 Sk +1 < Sk ， Sk − Sk −1 = ak > 0 可得   k +1 − Sk = ak +1 < 0 ak = −28k +139 > 0 可知 a = −28(k +1) +139 < 0 ，  k +1 得111 < k < 139 ，又 k 为正整数，则k = 4 ， 28 28 ∴存在 k = 4 ，使得 Sk > Sk −1 且 Sk +1 < Sk ． 方案②，设等比数列{bn }的公比为q ，设等差数列{an } 的公差为 d ， 由b = −9 ， b = b ⋅ q3 = −9× q3 = 243，得q = −3 ， 3 6 3 又b = b q2 = b ×(−3)2 = −9 ， 3 1 1 ∴ b = −1 ，故b = −(−3)n−1 ． 1 n 又 a5 = b1 = −1， a2 + b5 = 2 ,∴a2 = 2 − b5 = 83 ， ∴ d = a5 − a2 = −28 ， 5 − 2 ∴a1 = 27 − 3×(−28) = 111， ∴ an = −28n +139 ． 由 Sk > Sk +1 且 Sk +1 < Sk ， Sk − Sk −1 = ak > 0 可得   k +1 − Sk = ak +1 < 0 ， S S- 12 -  ak = −28k +139 > 0 可知 a = −28(k +1) +139 < 0 ，  k +1 得111 < k < 139 ， 28 28 又 k 为正整数，则k = 4 ， ∴存在 k = 4 ，使得 Sk > Sk −1 且 Sk +1 < Sk ． 方案③，设等比数列{bn }的公比为q ，设等差数列{an } 的公差为 d ， 由b = −9 ， b = b ⋅ q3 = −9× q3 = 243， 3 6 3 得 q = −3 ， 又b = b q2 = b ×(−3)2 = −9 ， 3 1 1 ∴ b = −1 ，故b = −(−3)n−1 ． 1 n a1 + 4d = −1 , 又 a = b = −1， S = −24 ，即  ， 5 1 6  6a + 6× 5 d = −24 a1 = 111 , 解得  d = −28 ，  1 2 ∴ an = −28n +139 ． 由 Sk > Sk +1 且 Sk +1 < Sk ， Sk − Sk −1 = ak > 0 可得   k +1 − Sk = ak +1 < 0 ， ak = −28k +139 > 0 可知 a = −28(k +1) +139 < 0 ，  k +1 得111 < k < 139 ， 28 28 又 k 为正整数，则k = 4 ， ∴存在 k = 4 ，使得 Sk > Sk −1 且 Sk +1 < Sk ． S- 13 - 18. （1）B 组数据的中位数为 100，根据 B 组的数据 a ≤ 100 ， 从 B 组中随机抽取一个数不小于 100 的概率是 4 ， 5 B 组中不小于 100 的有 4 个数，所以a = 100 ； （Ⅱ）从 A，B 两组数据中各随机抽取一个数据， “正点运行”概率分别为 1 , 3 ， 5 5 从 A，B 两组数据中各随机抽取一个数据， 记两次运行中正点运行的次数为 X， X 可能值为0,1, 2 ， P( X = 0) = 4 × 2 = 8 ， 5 5 25 P( X = 0) = 1 × 2 + 4 × 3 = 14 ， 5 5 5 5 25 P( X = 2) = 1 × 3 = 3 ， 5 5 25 X 的分布列为： X 0 1 2 P 8 25 12 25 3 25 E( X ) = 0× 8 +1× 14 + 2× 3 = 4 ， 25 25 25 5 X 期望为 4 ； 5 （Ⅲ）对比两组数据， B 组数据方差更小，说明疏堵工程完成后公交车运行时间更为稳定. 19. 解：（Ⅰ）当 a = −1 时， f ( x ) = −x + ln x ，则 f ′( x) = −1+ 1 ，∴ k = f ′(1) = 0 ， x 切 切点(1, f (1)) ，即(1, −1) ，∴切线方程为 y − (−1) = 0( x −1) ，即 y = −1． （Ⅱ） f '( x) = a + 1 = ax +1 ， x x 当 a ≥ 0 时， f ′( x) > 0 ， f ( x ) 在(1, e) 上单调递增， f ( x) < f (e) = ae +1，无最大值． 当 a < 0 时，在  0, − 1  上 f ′( x) > 0 ， f ( x ) 单调递增；在  − 1 , +∞ 上 f ′( x) < 0 ， f ( x ) 单调递增， a   a      若函数在(1, e) 上取得最大值−3 ，则1 < − 1 < e ，且 f  − 1  = 3 ，则a = −e2 ． a  a   - 14 - y x = 4  x 1 （Ⅲ）不等式 f ( x) ≤ x 恒成立，则ax + ln x ≤ x 恒成立， a ≤ 1− ln x ， x 令 g ( x) = 1− ln x ，（ x x > 0 ），g '( x) = −1+nxl ， x2 在(0, e) 上， g′( x) < 0 ， g ( x) 单调递减；在(e, +∞) 上， g′( x) > 0 ， g ( x) 单调递增， ∴ g ( x) = g (e) = 1− 1 ，∴ a ≤ 1− 1 ． min e e 20. 解法 1：（Ⅰ）由已知2a = 4, a = 2 ，又e = 1 , 所以c = 1. 2 故b2 = 3 ，所以椭圆方程为 x 2+ = 1. 4 3 （Ⅱ）假设存在点 P, 使得四边形 APQM 为梯形. 由题可知，显然 AM , PQ 不平行，所以 AP 与 MQ 平行，即kAP = kMQ . k = y0 k = y1 设点 P(4, y0 ) ， M (x1 , y1 ) ， AP MQ 6 ， 1 − 4 , y0 = ∴ 6 y1 x1 − 4 ① ∴直线 PB 方程为 y = y0 (x − 2) 2 ， y = y0 (x − 2) 由点 M 在直线 PB 上，则 2 1 ② y0 (x − 2) y0 = ①②联立， 6 2 1 x1 − 4 ，显然 y0 ≠ 0 ，可解得 x1 = 1 . 1 y 2 + 1 = 1 y = ± 3 M (1, ± 3) 又由点 M 在椭圆上， 4 3 1 ，所以 2 ，即 2 ， 将其代入①，解得 y0 = ±3 ，∴ P(4, ±3) . 解法 2：设直线 AP 方程为 y = k(x + 2) .  y = k(x + 2) 6k 由  ，所以 y = 6k ，所以 P(4,6k) ，又 B(2,0) ，所以 kPB = 2 = 3k .  y = 3k (x − 2) ∴直线 PB 方程为 y = 3k(x − 2) ，由3x 得(12k2 +1)x2 − 48k2x + 48k2 − 4 = 0 . 2 + 4 y2 − 12 = 0 ，消 y ， 2- 15 - 48k 2 24k 2 − 2 又 B(2,0) , 所以 2 + x1 = 12k 2 +1 ，即 x1 = 12k 2 +1 ， y = 3k(x − 2) = −12k 1 1 12k 2 + 1 24k 2 − 2M ( 12k 2 + , −12k 2∴ 6k =6 .∴ −12k 12k 2 + 124k 2 − 2 1 12k +1 . 1 3 由kAP = kMQ 可得 12k 2 + 1 − 4 ，解得 k =± 2 , ∴ M (1, ± 2) ， P(4, ±3) ， 解法 3：假设存在点 P, 使得四边形 APQM 为梯形. 由题可知，显然 AM , PQ 不平行，所以 AP 与MQ 平行, | BQ | = | BM | | BM | = 1 ∴ | AB | | BP | ，所以 | BP | 2 . | BH | = | BM | = 1 过点 M 作 MH ⊥ AB 于 H ，则有 | BQ | | BP | 2 ， y =± 3 ∴ | BH |=1，∴ H (1,0) ，即 x1 = 1 ，代入椭圆方程，求得 1 2 ， ∴ P(4, ±3) . 21.（Ⅰ）因为 ， ， ， ， ， ， 所以 ． （Ⅱ）由集合 的定义知 ，且 是使得 成立的最小的 ， 所以 ． 又因为 ， 所以 ． 所以 ． （Ⅲ）因为 ，所以 非空． 设集合 ，不妨设 ， 则由（Ⅱ）可知 ， )- 16 - 同理 ，且 ． 所以 因为 ，所以 的元素个数 ． 取常数数列 ，并令 ， 则 ，适合题意， 且 ，其元素个数恰为 ． 综上， 的元素个数的最小值为 ．- 17 -