2019届天津市滨海新区高三高考模拟数学（文） 试题（5月份解析版）

第 1 页 共 17 页 2019 届天津市滨海新区高三高考模拟（5 月份）数学（文） 试题 一、单选题 1．已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据交集的概念，求得两个集合的交集. 【详解】 依题意 ，故选 B. 【点睛】 本小题主要考查两个集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．若 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】画出可行域，向上平移基准直线 到可行域边界位置，由此求得目标 函数的最小值. 【详解】 画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数 在点 处取得最小值为 .故选 C. { } { }1 0 1 2 0A B x x− >，，， ， A B = { }0 1 2，， { }1 2， { }1 0− ， { }1− { }1,2A B = x y， 1 0 1 0 3 3 0 x y x y x y + − ≥  − + ≥  − − ≤ 3z x y= − 2− 7− 3− 3 0x y− = 3z x y= − ( )2,3A 2 3 3 7− × = −第 2 页 共 17 页 【点睛】 本小题主要考查线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基 础题. 3．设 ，则“ ”是“ ” 的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解绝对值不等式 求得 的取值范围.然后根据两者的范围判断正确选 项. 【详解】 由 ，得 ，解得 ， 是 的子集，故 “ ”是“ ”的充分而不必要条件.故选 A. 【点睛】 本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 4．执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】运行程序进行计算，退出循环后计算出输出的 的值. 【详解】 x∈R 0 3x< < 1 2x − < 1 2x − < x 1 2x − < 2 1 2x− < − < 1 3x- < < ( )0,3 ( )1,3− 0 3x< < 1 2x − < 9n = S 8 9 9 10 10 11 11 12 S第 3 页 共 17 页 输入 ， ，判断是， ，判断是， ， 判断是，……，依次类推， ，判断否，输出 .故选 B. 【点睛】 本小题主要考查程序框图计算输出结果，考查裂项求和法，属于基础题. 5．已知函数 ，且 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数 为偶函数化简 ，比较自变量的大小，然后根据函数的单调性 判断出 的大小关系. 【详解】 由于函数 为偶函数，故 .而 ，而当 时，函数 为增函数，故 . 所以本小题选 A. 【点睛】 本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查指数式和对数式比较大小，属 于中档题. 6．过双曲线 的右焦点且与对称轴垂直的直线与双曲线交于 ， 两点， 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线右焦点坐标 .把 代入双曲线方程，求出 ，则 的面 9n = 0, 1S i= = 1 , 21 2S i= =× 1 1 , 31 2 2 3S i= + =× × 1 1 1 , 101 2 2 3 9 10S i= + + + =× × × 1 1 1 1 2 2 3 9 10S = + + +× × × 1 1 1 1 1 1 91 12 2 3 9 10 10 10 = − + − + + − = − = ( )f x x= ( )1 2 3 1ln log 22 3a f b f c f −   = = =      ， ， a b c， ， a c b< < b c a< < c a b< < b a c< < ( )f x b , ,a b c ( )f x ( )2 2 1log log 33b f f = =   1 12 2 3 1ln ln 2 1 log 32 2e −< = = < < 0x > ( )f x a c b< < ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > A B OAB 13 3 bc 13 2 13 3 22 2 22 3 ( ),0c x c= AB OAB第 4 页 共 17 页 积 ，结合已知条件，可求双曲线的离心率. 【详解】 双曲线右焦点坐标 ，其中 . 把 代入 ，得 , . 的面积 , 又 的面积为 ， . 双曲线的离心率 . 故选： . 【点睛】 本题考查双曲线的离心率，属于基础题. 7．已知函数 ，其中 .若函数 的 最小正周期为 ，且当 时， 取最大值，是（ ） A． 在区间 上是减函数 B． 在区间 上是增函数 C． 在区间 上是减函数 D． 在区间 上是增函数 【答案】B 【解析】先根据题目所给已知条件求得 的解析式，然后求函数的单调区间，由此 得出正确选项. 【详解】 由于函数 的最小正周期为 ，故 ，即 ， .所以 .由 ，解得 ，故函数的递增区间是 1 2S AB c= ( ),0c 2 2 2c a b= + x c= 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21, 1 ,c y y c c a b bya b b a a a a −− = ∴ = − = = ∴ = ± 22bAB a ∴ = OAB∴ 2 21 1 2 2 2 b c b cS AB c a a = = × = OAB 13 3 bc 2 13 13,3 3 bc b a b c a ∴∴ = = ∴ 222 2 2 2 2 13 221 1 3 3 c c a b be a a a a  +  = = = = + = + =        D ( ) ( )sin xf x x Rω φ+= ∈， 0ω π φ π> − 2 2 2 1 2 121 a a a − = × − + 3a = ± 28 3 π第 8 页 共 17 页 画出图像如下图所示，设 是底面的外心，则球心在其正上方，也即 中点 的位置. 故外接球的半径 ，故外接球的表面积为 . 【点睛】 本小题主要考查几何体外接球表面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查空间 想象能力，属于中档题. 13．已知 为正实数，则 的最小值为_________. 【答案】 【解析】化简题目所求表达式，然后利用基本不的等式求得最小值. 【详解】 原式 ，令 ，则上式变为 ，当且仅当 时等号成 立，故最小值为 . 【点睛】 本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档 题. B BC O 2 2 2 2 2 3 71 3 3r OA OB AB  = = + = + =    2 7 284π 4π π3 3r = × = x y， 2 2 x x y x y x +++ 3 22 + 1 221 y y x x = + + + 0yt x = > 1 21 2 tt + ++ ( )1 1 31 21 2 2 2tt = + + ++ ( )1 1 3 32 1 2 21 2 2 2 2tt ≥ ⋅ + + = ++ ( )1 1 2 11 2 ,1 2 2 2t tt −= + =+ 3 22 +第 9 页 共 17 页 14．如图，在梯形 ， ， ， ， ，且 ，则 的值为______. 【答案】 【解析】将 转化为用 来表示，解方程求得 的值. 【详解】 依题意 , ，解得 . 【点睛】 本小题主要考查向量的加法和减法运算，考查向量数量积的运算，考查化归与转化的数 学思想方法，属于中档题. 三、解答题 15．为了调查居民对城市共享单车的满意度，随机选取了 100 人进行问卷调查，并将 问卷中的 100 人根据其满意度评分值按照 分为 5 组，得到号如图所示的频率 分布直方图. （Ⅰ）求满意度分值不低于 70 分的人数. ABCD 4 3 2AB CD AB AD CD= = =∥ ， ， ， 3 2AB AD⋅ =  AM ADλ=  ( )( )0 1λ ∈ ， 3AC BM⋅ = −  λ 2 3 3AC BM⋅ = −  ,AB AD  λ ( )1 32AC BM AD AB AD ABλ ⋅ = + − = −         2 21 11 32 2AD AB AD ABλ λ + − ⋅ − = −       2 3 λ = [ ) [ ) [ ) [ ) [ )50 60 60 70 70 80 80 90 90 100， ， ， ， ， ， ， ， ，第 10 页 共 17 页 （Ⅱ）已知满意度分值在 内的男性与女性的比为 3：4，为提高共享单车的满 意度，现从满意度分值在 的人中随机抽取 2 人进行座谈，求这 2 人中只有一 位男性的概率. 【答案】（Ⅰ）73 人（Ⅱ） 【解析】（I）计算出 分以上的频率，然后乘以 得到所求的人数.（II）先求得 内的人数为 人，其中男性 人，女性 人，利用列举法和古典概型概率计算 公式计算出所求的概率. 【详解】 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知满意度分值不低于 70 分的人数为： （人）， ∴满意度分值不低于 70 分的人数为 73 人. （Ⅱ） 的样本内共有居民 人，3 名男性，4 名女性， 设三名男性分别表示为 ，四名女性分别表示为 则从 7 名居民随机抽取 2 名的所有可能结果为： ，共 21 种. 设事件 为“抽取 2 人中只有一位男性”，则 中所含的结果为： 共 12 种 ∴事件 发生的概率为 . 【点睛】 [ )50 60， [ )50 60， ( ) 4 7P M = 70 100 [ )50,60 7 3 4 ( )0.035 0.030 0.008 10 100 73+ + × × = [ )50 60， 0.007 10 100 7× × = A B C， ， D E F G， ， ， { } { } { } { } { } { }A B A C A D A E A F A G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， { } { } { } { } { }B C B D B E B F B G， ， ， ， ， ， ， ， ， { } { } { } { }C D C E C F C G， ， ， ， ， ， ， { } { } { }D E D F D G， ， ， ， ， { } { }E F E G， ， ， { }F G， M M { } { } { } { }A D A E A F A G， ， ， ， ， ， ， { } { } { } { }B D B E B F B G， ， ， ， ， ， ， { } { } { } { }C D C E C F C G， ， ， ， ， ， ， M ( ) 12 4 21 7P M = =第 11 页 共 17 页 本小题主要考查频率分布直方图计算频率和频数，考查列举法求解古典概型问题，属于 中档题. 16．在 中，内角 的对边分别为 ， . （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）若 ，求 的值. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】（I）利用正弦定理化简已知条件，求得 的值，由此求得 的大小.（II） 根据余弦定理求得 ，利用正弦定理求得 ，利用同角三角函数关系式求得 ， 由二倍角公式求得 的值，再由两角差的正弦公式求得 的值. 【详解】 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得 ∴ ，∴ ，∵ ，∴ （Ⅱ）因为 ， ，由余弦定理得 ，∴ 由 ，因为 为锐角，所以 ， 【点睛】 本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式， 考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，属于中档题. 17．如图，四棱锥 的底面 是矩形， ，点 为 的中点， 与 交于点 . ABC∆ 、 、A B C a b c， ， ( )2 cos cos cos 0C a B b A c+ + = C 2 2a b= =， ( )sin 2B C− 3 4C π= 7 2 10 − cosC C c sin B cos B sin 2 ,cos2B B ( )sin 2B C− ( )2 cos sin cos sin cos sin 0C A B B A C+ + = 2 cos sin sin 0C C C+ = 2cos 2C = − 0 C π< < 3 4C π= 2 2a b= =， 3 4C π= 2 2 2 22 cos 2 4 2 2 2 102c a b ab C  = + − = + − × × × − =    10c = 5sinsin sin 5 c b BC B = ⇒ = B 2 5cos 5B = 5 2 5 4sin 2 2 5 5 5B = × × = 2 2 3cos2 cos sin 5B B B= − = ( ) 4 2 3 2 7 2sin 2 sin 2 cos cos2 sin 5 2 5 2 10B C B C B C  − = − = × − − × = −    P ABCD− ABCD 2 2 6PA PB AB BC PC= = = = =， ， E AB AC BD O第 12 页 共 17 页 （Ⅰ）求异面直线 与 所成角的余弦值； （Ⅱ）求证： ； （Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见证明；（Ⅲ） 【解析】（I）根据 判断出 是异面直线成角，判断三角形 是直角 三角形后，直接计算出线线角的余弦值.（II）先证得 ,然后证得 ， 由此证得 平面 ，从而证得平面 平面 .（III）过点 作 与 的延长线交于点 ，证得 直线 与平面 所成角，在 中，求得线面角的正弦值. 【详解】 解：（Ⅰ）∵ 是矩形，∴ ∴ 是异面直线成角 在 中， ∴在 中， ∴异面直线成角余弦值为 . （Ⅱ）∵ ，点 为 的中点∴ ， 又∵ ∴ 又∵ ，∴ 又∵ ∴ （Ⅲ）过点 作 与 的延长线交于点 ， ∵ ， 为斜线 在面 内的射影 PC AD PCE ABCD⊥平面 平面 PA PCE 3 3 6 6 / /AD BC PCB∠ PBC PE AB⊥ PE EC⊥ PE ⊥ ABCD PCE ⊥ ABCD A AH EC⊥ EC H APH∠ PA PCE Rt APH∆ ABCD AD BC∥ PCB∠ PBC∆ 2 6 2PB PC BC= = =， ， Rt PBC∆ 3cos 3 BCPCB PC ∠ = = 3 3 2PA PB AB= = = E AB 3 3PE AB PE EC⊥ = =， ， 6PC = PE EC⊥ AB EC E AB CE ABCD∩ = ⊂， ， 面 PE ABCD⊥ 面 PE PCE⊂ 面 PCE ABCD⊥平面 平面 A AH EC⊥ EC H AH PCE⊥ 平面 PH PA PCE第 13 页 共 17 页 ∴ 直线 与平面 所成角 在 中， ∴ ∴直线 与平面 所成角的正弦值 【点睛】 本小题主要考查线线角余弦值的求法，考查面面垂直的证明，考查线面角正弦值的求法， 考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 18．已知 为等差数列，前 项和为 ， 是首项为 的等比数列， 且公比大于 0， . （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）求 的前 项和 . 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】（I）根据基本元的思想列方程，解方程求得 的值，由此求得数列 的通项公式（II）利用错位相减求和法求得数列的前 项和 . 【详解】 解：（1）∵ ∴ 或 （舍） ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2） ∴ APH∠ PA PCE Rt APH∆ 6 23AH AP= =， 6sin 6 AHAPH AP ∠ = = PA PCE 6 6 { }na n nS ( )*n N∈ { }nb 1 2 2 3 4 3 1 9 83 17b b b a a S b+ = = − = +，， { }na { }nb { }2n na b n nT 22 1 2n n na n b −= − = ( )6 55 49 9 n n nT −= + 1, ,q a d ,n na b n nT 2 3 1 13 2b b b+ = =， 2q = 3− 4 3 1b a a= − 2d = 9 817S b= + 59 81a = 1 1a = 22 1 2n n na n b −= − = ( ) ( )2 2 1 2 2 1 2 2 1 4n n n na b n n− −= − = − ( )0 1 2 11 4 3 4 5 4 2 1 4n nT n −= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ( ) ( )1 2 14 1 4 3 4 2 3 4 2 1 4n n nT n n−= ⋅ + ⋅ + + − + − ( ) ( )2 3 13 1 2 4 4 4 4 2 1 4n n nT n−− = + + + + + − − ( ) ( ) 14 1 4 1 2 2 1 41 4 n nn −− = + − −− ( )6 55 49 9 n n nT −= +第 14 页 共 17 页 【点睛】 本小题主要考查利用基本元的思想求等差、等比数列的通项公式，考查错位相减求和法， 属于中档题. 19．已知椭圆 的左焦点在抛物线 的准线上，且椭圆 的短轴长为 2， 分别为椭圆的左，右焦点， 分别为椭圆的左，右顶点，设 点 在第一象限，且 轴，连接 交椭圆于点 ，直线 的斜率为 . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若三角形 的面积等于四边形 的面积，求 的值； （Ⅲ）设点 为 的中点，射线 （ 为原点）与椭圆交于点 ，满足 ，求 的值. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 【解析】（I）根据抛物线的准线求得 ，根据短轴长求得 ，由此求得 ，进而求得椭 圆方程.（II）设出直线 的方程，联立直线 的方程和椭圆方程，求得 点的坐标， 令 求得 点坐标.利用三角形的面积公式计算出 和 的面积，根据题 目已知条件，这两个三角形的面积相等，由此列方程，解方程求得 的值.（III）根据 （II）求得 点坐标，由此求得 的斜率，设 所在直线方程为 ，代入 椭圆方程，求得 点坐标，计算出 到直线 的距离 ， 的长度，化简 得到 ，利用 列方 程，解方程求得 的值. 【详解】 解：（Ⅰ）由已知得， ，故 ，椭圆方程为： ， （Ⅱ）设 直线方程为 ∴ ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 4 3y x= 1 2F F， A B， P PB x⊥ PA C PA k ABC OBPC k N AC NO O M 2 61 4 tank AMC MA MC + ∠ = ⋅  k 2 2 14 x y+ = ( )2 04k k= > 3 6k = c b a PC PC C 2x = P AOC∆ PBC∆ k N ON NO 1 4y xk = − M M ON d AC 2 61 4 tank AMC MA MC + ∠ = ⋅  2 3 4 1AMCS k ∆ = + 1 2AMCS AC d∆ = ⋅ k 3 1c b= =， 2a = 2 2 14 x y+ = PC ( ) 2 2 ( 2) 2 , 14 y k x y k x x y = += +  + = ( )2 2 2 24 1 16 16 4 0k x k x k+ + + − =第 15 页 共 17 页 ∴ ∴ ∴ ，令 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ （Ⅲ）由（II）和中点坐标公式，得 ，设 所在直线方程为 ，则 ，∴ ∴ ， 到直线 的距离： ， ， ∴ 即 ， ，化简得 ， ∵ ，∴ . 【点睛】 本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形的面积 公式，考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，综合性很强，属于难题. 20．已知函数 ． （Ⅰ）求函数 在 处的切线方程； ( ) 2 2 16 12 4 4c kx k − −= + 2 2 8 2 4 1c kx k − += + 2 4 4 1c ky k = + 2x = ( )2 4P k， 2 2 1 4 422 4 1 4 1AOC k kS k k∆ = × × =+ + 2 3 2 2 1 2 8 324 22 4 1 4 1PBC k kS k k k∆  −= × × − = + +  PBC AOCS S∆ ∆= ( )2 04k k= > 2 2 2 8 2,4 1 4 1 k kN k k  −  + +  NO 1 4y xk = − 2 2 4 4 4 xy k x y  = −  + = 2 2 2 16 4 1 kx k = + 2 2 4 1 4 1 4 1 kM k k  −  + +  ， M NO 2 2 22 4 1 2 4 1 4 11 k k kd AC kk + + += = ++ ， 2 61 4 tank AMC MA MC + ∠ = ⋅  2 sin 61 4 cos cos AMCk AMC MA MC AMC ∠+ =∠ ⋅ ∠  2 3 4 1AMCS k ∆ = + 2 2 AMC 22 2 3 1 4 1 2 4 1 2 4 14 1 1 k k kS kk k ∆ + + += = ⋅ ++ + 24 1 4k k+ = 0k > 3 6k = ( ) 3 2 4x a xf xx = − + + ( )f x 0x =第 16 页 共 17 页 （Ⅱ）若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围； （Ⅲ）当 时，设函数 ．证明：对于任意的 ，函数 有 且只有一个零点． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）求 ，求切线的斜率 ，求 ，点斜式写出切线的方程； （Ⅱ）不等式 可化为 ，参变量分离得 .令 ，求导数 ，判断 的单调性，只需 ； （Ⅲ）当 时， .分 和 讨论函数 的 零点的个数.当 时，求 ，判断 的单调性，结合零点存在定理可得 在 上有且只有一个零点；当 时，令 ，则 ，求 的最小值，证明 恒成立，故 在 上没有零点.即证对于任意的 ，函数 有且只有一个零点． 【详解】 （Ⅰ） ， 切线的斜率 ， 切线的方程为 ，即 . （Ⅱ）对任意的 ， 恒成立， 即对任意的 ， 恒成立， 即对任意的 ， 恒成立. 令 ，则 . 由 得 ；由 得 . 在 上单调递减，在 上单调递增， ( )0,x∈ +∞ ( ) ( ) 4ln 8f x f x x+ − ≥ + a 3a = ( ) ( )g x f x kx= − 1k < ( )g x 4 0x y− + = 1, e ∞ − −   ( )'f x ( )' 0f ( )0f ( ) ( ) 4ln 8f x f x x+ − ≥ + 2 2ln 0ax x+ ≤ 2 2ln xa x −≤ ( ) 2 2ln , 0xh x xx −= > ( )'h x ( )h x ( )mina h x≤ 3a = ( ) ( )3 23 1 4x x xg x k= − + − + 0x ≤ 0x > ( )g x 0x ≤ ( )'g x ( )g x ( )g x ( ],0−∞ 0x > ( ) 3 23 4m x x x= − + ( ) ( ) ( ) ( )1g x m x k x m x= + − > ( )m x ( ) 0g x > ( )g x ( )0, ∞+ 1k < ( )g x ( ) ( )3 2 ' 24, 3 2 1f x x ax x f x x ax= − + + ∴ = − + ∴ ( ) ( )' 1, 00 4f f= = ∴ 4 0y x− = − 4 0x y− + = ( )0,x∈ +∞ ( ) ( ) 4ln 8f x f x x+ − ≥ + ( )0,x∈ +∞ 2 2ln 0ax x+ ≤ ( )0,x∈ +∞ 2 2ln xa x −≤ ( ) 2 2ln , 0xh x xx −= > ( ) ( )' 3 2 2ln 1xh x x −= ( )' 0h x > x e> ( )' 0h x < 0 x e< < ( )h x∴ ( )0, e ( ),e +∞第 17 页 共 17 页 ， . 故 的取值范围为 . （Ⅲ）证明：当 时， . . 当 时， 在 上单调递增. 又 ， 由零点存在定理可得函数 在 上至少有一个零点， 又 在 上单调递增， 在 上有且只有一个零点. 当 时，令 ，则 . , 令 ，得 ；令 ，得 . 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上恒成立， 恒成立，即 在 上没有零点. 综上，对于任意的 ，函数 有且只有一个零点． 【点睛】 本题考查利用导数求曲线在某点处的切线的方程，考查利用导数研究不等式恒成立和函 数的零点的问题，属于较难的题目. ( ) ( )min 2ln 1eh x h e e e −∴ = = = − 1a e ∴ ≤ − a 1, e ∞ − −   3a = ( ) ( )3 23 1 4x x xg x k= − + − + 1, 1 0k k< ∴ − > 0x ≤ ( ) ( )' 23 6 1 0,g x x x k g x= − + − > ∴ ( ],0−∞ ( ) ( ) ( ) ( )0 4, 1 1 0, 1 0 0g g k g g= − = − < ∴ − < ( )g x ( )1,0− ( )g x ( ],0−∞ ( )g x∴ ( ],0−∞ 0x > ( ) 3 23 4m x x x= − + ( ) ( ) ( ) ( )1g x m x k x m x= + − > ( ) ( )' 23 6 3 2m x x x x x∴ = − = − ( )' 0m x > 2x > ( )' 0m x < 0 2x< < ( )m x∴ ( )0,2 ( )2,+∞ ( ) ( ) ( )min 2 0, 0m x m m x∴ = = ∴ ≥ ( )0, ∞+ ( ) 0g x∴ > ( )g x ( )0, ∞+ 1k < ( )g x