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2020 届湖北省武汉市武昌区高三下学期四月调研测试数学
（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意分别计算出集合 、 ，再由集合交集的概念即可得解.
【详解】
由题意 ， ，
则 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式、对数不等式的求解，考查了集合的交集运算，属于基础题.
2． 为虚数单位，复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由复数的运算法则可得 ，再由复数虚部的概念即可得解.
【详解】
由题意 ，
所以复数 的虚部为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了复数的运算与虚部的概念，属于基础题.
3．设等差数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，则 （ ）
{ }2 2 3 0A x x x= − − < { }2log 0B x x= > A B =
{ }1 2x x< < { }0 2x x< < { }1 3x x< < { }0 1x x< <
A B
{ } { }2 2 3 0 1 3A x x x x x= − − < = − < < { } { }2log 0 1B x x x x= > = >
{ } { } { }1 3 1 1 3A B x x x x x x∩ = − < < ∩ > = < <
i ( )2
1 2
1
iz
i
−=
+
1
2
1
2
− 1
2 i 1
2 i−
11 2z i= − −
( )
( )
2 2
1 21 2 1 2 112 2 21
i ii iz ii ii
− ⋅− −= = = = − −
+
z 1
2
−
{ }na n nS 0na ≠ 5 33a a= 5
9
S
S
=第 2 页 共 24 页
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由等差数列前 n 项和公式及等差数列的性质结合题意可得 ，即可得
解.
【详解】
由题意 ， ， ，
则 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了等差数列前 n 项和公式及等差数列性质的应用，属于基础题.
4．已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意结合奇函数的性质可得 ，解出 后利用
即可得解.
【详解】
函数 是定义域为 的奇函数，
， ，
又当 时， ， .
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性的应用及指数的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.
5．已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．－7 B．－6 C．1 D．6
5
9
9
5
5
3
5
27
5 3
9 5
5
9
S a
S a
=
1 5
5 35 52
a aS a
+= × = 1 9
9 59 92
a aS a
+= × = 3
5
1
3
a
a
=
5 3
9 5
5 5 1 5
9 9 3 27
S a
S a
= = × =
( )f x R 0x > ( ) 2 2xf x x a= + −
( )1f − =
3 3− 2− 1−
( )0 1 0f a= − = 1a =
( ) ( )1 1f f− = −
( )f x R
∴ ( )0 1 0f a= − = ∴ 1a =
0x > ( ) 2 2 1xf x x= + − ∴ ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 3f f− = − = − + − = −
,x y
2 2 0
3 3 0
2 4 0
x y
x y
x y
+ − ≥
− − ≤
− + ≥
3z x y= −第 3 页 共 24 页
【答案】A
【解析】作出约束条件的可行域，根据目标函数表示的几何意义即可求解.
【详解】
画出约束条件的可行域，如图（阴影部分）所示：
由图可知向上平移直线 ，
到边界 的位置时， 取得最小值，此时
故选：A
【点睛】
本题主要考查了线性规划问题，考查的核心素养是直观想象，属于基础题
6．已知 的展开式中常数项为 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意结合二项式定理可得二项式 展开式的通项公式为
，分别令 、 即可得 ，即可得解.
【详解】
由题意二项式 展开式的通项公式为 ，
令 即 ， ，
令 即 ， ，
3 0x y− =
( )2,3B z 2 3 3 7z = − × = −
( ) 513 1x a x
+ − 14 a
1− 1 4
5
4
5
−
51 1x
−
( ) 5
1 5 1 rr r
rT C x −
+ = ⋅ − ⋅ 5 1r − = − 5 0r − = 3 5 14a× − =
51 1x
−
( ) ( )5
5
1 5 5
1 1 1
r
r rr r r
rT C C xx
−
−
+
= ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅
5 1r − = − 4r = ( ) ( )44
5 51 1 5rrC C⋅ − = ⋅ − =
5 0r − = = 5r ( ) ( )55
5 51 1 1rrC C⋅ − = ⋅ − = −第 4 页 共 24 页
所以 的展开式中常数项为 ，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.
7．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意结合诱导公式、三角恒等变换可得
，再利用同角三角函数的商数关系即可得
解.
【详解】
由题意
.
故答案为：B.
【点睛】
本题考查了同角三角函数的商数关系、诱导公式及三角恒等变换的应用，属于中档题.
8．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由对数的运算法则与对数函数的单调性可得 ，即可得解.
【详解】
( ) 513 1x a x
+ − 3 5 14a× − = 1a =
2tan 3tan 7
πα =
3cos 14
2sin 7
πα
πα
− = −
1 2 3 4
3 2 2cos sin cos cos sin14 7 7
2 22 sin cos cos sinsin 7 77
π π πα α α
π ππ α αα
− + = −−
3 3 2cos sin sin14 14 2 7
2 2 2sin sin sin7 7 7
π π π πα α α
π π πα α α
− − + + = = − − −
2 2 2 2sin cos cos sin tan tan 4tan7 7 7 7 22 2 2 2sin cos cos sin tan tan 2tan7 7 7 7
π π π πα α α
π π π πα α α
+ +
= = = =
− −
ln3a = 3 ln 2b = 3log 2c =
c b a< < c a b< < a b c< < a c b< <
3log 2 1 ln3 3 ln 2< < = ∴ 8
52 3> ∴ 8
3 52 2 3> >
∴ 3ln 2 ln3 1> > 3 3log 2 log 3 1c = < =
∴ 3log 2 ln3 3 ln 2< < c a b< <
1 1 1ABC A B C− 6 O 1AB AC= =
1 2 3AA = 2
3BAC
π∠ = O
32
3
π
3π 4
3
π 24
3
π
ABC 1O r 2 2r =
2 2
1 1OA O O O A= +
ABC 1O r 1O O
1O O ⊥ ABC
1AB AC= = 1 2 3AA = 2
3BAC
π∠ =
∴
12 21sin
2
ABr ACB
= = =∠ 1 1O A = 1 1
1 32O O AA= =
∴ 2 2
1 1 3 1 2OA O O O A= + = + =
∴ O 34 32
3 3V OAπ π= ⋅ =第 6 页 共 24 页
【点睛】
本题考查了直棱柱的几何特征及外接球体积的求解，考查了空间思维能力，属于中档题.
10．如图所示，在由 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三
角形中，设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】建立直角坐标系，设 ， ，由余弦定理求得
后，再由余弦定理得 ，由同角三角函数的平方关系
可得 ，进而可得点 ，由 即可得解.
【详解】
如图建立直角坐标系，
由题意易知 ≌ ，则 ， ，
不妨设 ， ，则 ， ，
3
3DF FA=
36 24
63 63AD AB AC= + 36 12
63 63AD AB AC= +
48 24
63 63AD AB AC= + 48 12
63 63AD AB AC= +
1AB = 3 3DF FA x= =
1
21
BD x= = 9cos
2 21
DAB∠ =
3sin
2 21
DAB∠ = 6 2 3,7 21D
6
7 2
2 3 3
21 2
µλ
µ
= +
=
AFC△ BDA BD AF= 120ADB∠ =
1AB = 3 3DF FA x= = 4AD x= BD x=第 7 页 共 24 页
所以 ， ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 解得 ， ，
则 即 ，
所以 ，
所以点 即 ，
所以 ，
设 ，
则 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了余弦定理和平面向量的综合应用，考查了计算能力和转化化归思想，属于中
档题.
1 3,2 2AC
=
( )1,0AB =
ADB△ 2 2 2 2 cosAB AD BD AD BD ADB= + − ⋅ ⋅ ∠
2 2 21 16 4x x x= + + 1
21
BD x= = 44
21
AD x= =
2 2 2
cos 2
AB AD BDDAB AB AD
+ −∠ = ⋅
16 11 921 21cos 4 2 212 1
21
DAB
+ −
∠ = =
× ×
2
2 9 3sin 1 sin 1
2 21 2 21
DAB DAB
∠ = − ∠ = − =
( )cos , sinD AD DAB AD DAB⋅ ∠ ⋅ ∠ 6 2 3,7 21D
6 2 3,7 21AD
=
AD AB ACλ µ= +
6
7 2
2 3 3
21 2
µλ
µ
= +
=
16 48
21 63
4 12
21 63
λ
µ
= =
= =
48 12
63 63AD AB AC= + 第 8 页 共 24 页
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 为双曲
线 的右支上一点，点 和 分别是 的重心和内心，且 与 轴平行，
若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设点 ， ， ，由题意 ，则
点 到直线 、 、 的距离均为 ，点 到 的距离为 ，利用三角形
面积公式可得 ，再由 即可得解.
【详解】
不妨设点 ， ， ，则 ，
， ，
由点 是 的重心， 点 即 ，
又 与 轴平行，点 是 的内心，
点 到直线 、 、 的距离均为 ，点 到 的距离为 ，
，
又 ， ，
， .
故选：A.
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > 1F 2F P
C M N 1 2PF F△ MN x
1 4PF a=
3
2 2 3 2
( )( )0 0 0, 0P x y y > ( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c 0 0,3 3
x yM
N 1PF 2PF 1 2F F 0
3
y P 1 2F F 0y
( )0
033
y a c y c+ = ce a
=
( )( )0 0 0, 0P x y y > ( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c 1 2 2F F c=
1 4PF a= ∴ 2 4 2 2PF a a a= − =
M 1 2PF F△ ∴ 0 0,3 3
x c c yM
+ −
0 0,3 3
x yM
MN x N 1 2PF F△
∴ N 1PF 2PF 1 2F F 0
3
y P 1 2F F 0y
∴ ( ) ( )
1 2
0 0
11 2 2
1 32 3 3PF F
y yS PF PF F F a c+ += ⋅ = +△
1 2 1 0 02
1
2PF FS F F y y c= ⋅ =△ ∴ ( )0
033
y a c y c+ =
∴ 2
3a c= ∴ 3
2
ce a
= =第 9 页 共 24 页
【点睛】
本题考查了双曲线性质的应用和离心率的求解，考查了三角形内心、重心性质的应用，
属于中档题.
12．已知一个正方形的四个顶点都在函数 的图像上，则此正方形的
面积为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】由题意可得正方形的中心为 ，设直线 的方程为 ，
则直线 的方程为 ，联立方程组可得 ， ，再由
可得 或 ，最后利用 化简即可得解.
【详解】
设正方形 ， ， ，
， ，
， ，
，
又 ，
，
( ) 3 9 12f x x x= − +
5 17
2 5 10 5 17 10 17
( )0,1P AC ( )1 0y kx k= + >
BD 1 1y xk
= − + 2
1
9
2x k= + 2
2
1 9
2x k
= − +
PA PB= 22 2 0k k+ − = 2 4 1 0k k+ − = 22S PA=
ABCD 3
1 1 1
9, 12A x x x − +
3
2 2 2
9, 12B x x x − +
3
3 3 3
9, 12C x x x − +
3
4 4 4
9, 12D x x x − +
∴ 1 3 2 4x x x x+ = + 3 3 3 3
1 1 3 3 2 2 4 4
9 9 9 91 1 1 12 2 2 2x x x x x x x x− + + − + = − + + − +
∴ ( )( ) ( )( )2 2 2 2
1 3 1 1 3 3 2 4 2 2 4 4x x x x x x x x x x x x+ − + = + − +
( ) ( )3 3
1 3 1 3 2 2
1 1 3 3
1 3
9
92
2AC
x x x x
k x x x xx x
− − −
= = − + −−
( ) ( )3 3
2 4 2 4 2 2
2 2 4 4
2 4
9
92
2BD
x x x x
k x x x xx x
− − −
= = − + −−第 10 页 共 24 页
当 时， ，
又函数 的图象可看做是由奇函数 的图象向上平移
一个单位所得，
函数 的图象的对称中心为 ，
正方形的中心为 ，符合题意；
当 时，则 即可得 ，
此时 ，不合题意；
不妨设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
则 ，消去 得 ，由 可得 ，
同理可得 ，
，
，
由 可得 即 ，
化简可得 即 ，
或 即 或 ，
正方形面积 ，
当 时， ；
当 时， ；
所以此正方形的面积为 10 或 17.
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数图象与正方形对称性的应用，考查了运算能力和转化化归思想，属于中
1 3 2 4 0x x x x+ = + = 3 3
1 1 3 3
9 91 1 22 2x x x x− + + − + =
( ) 3 9 12f x x x= − + ( ) 3 9
2g x x x= −
∴ ( ) 3 9 12f x x x= − + ( )0,1
∴ ( )0,1P
1 3 2 4 0x x x x+ = + ≠ 2 2 2 2
1 1 3 3 2 2 4 4x x x x x x x x− + = − + 1 3 2 4x x x x=
AC BDk k=
AC ( )1 0y kx k= + > BD 1 1y xk
= − +
3
1
9 12
y kx
y x x
= + = − +
y 3 9
2x x kx− = 1 0x ≠ 2
1
9
2x k= +
2
2
1 9
2x k
= − +
∴ ( ) ( )22 2 2 2 2 2
1 1 1 1 11 1PA x y x k x x k= + − = + = +
( ) 2
22 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 11 1PB x y x x xk k
= + − = + − ⋅ = +
PA PB= ( )2 2 2
1 2 2
11 1x k x k
+ = +
( ) 2
2
2
9 1 9 112 2
kk k k k
+ + + = − + ⋅
2
2
1 9 1 02k kk k
+ + − =
21 9 1 2 02k kk k
− + − + =
∴ 1 1
2k k
− = − 1 4k k
− = − 22 2 0k k+ − = 2 4 1 0k k+ − =
∴ ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2
1
92 2 1 2 1 2 9 12S PA x k k k k k = = + = + + = + +
22 2 0k k+ − = ( )( ) 2
2 2 362 9 1 172
k kS k k
− − += + + = =
2 4 1 0k k+ − = ( )( ) ( )2 22 9 1 8 4 18 10S k k k k= + + = − + + =第 11 页 共 24 页
档题.
二、填空题
13．数列 的前 项和为 ， ， ，则 ______.
【答案】
【解析】由题意结合分组求和法以及等比数列前 n 项和公式即可得解.
【详解】
由题意得
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了分组求和法和等比数列前 n 项和公式的应用，考查了计算能力，属于基础题.
14．有人收集了七月份的日平均气温 （摄氏度）与某次冷饮店日销售额 （百元）的
有关数据，为分析其关系，该店做了五次统计，所得数据如下：
日平均气温 （摄氏度） 31 32 33 34 35
日销售额 （百元） 5 6 7 8 10
由资料可知， 关于 的线性回归方程是 ，给出下列说法：
① ；
②日销售额 （百元）与日平均气温 （摄氏度）成正相关；
③当日平均气温为 摄氏度时，日销售额一定为 百元.
其中正确说法的序号是______.
【答案】①②
【解析】由 计算后可判断①，由统计表可判断②，由线性回归方程的概念
可判断③，即可得解.
{ }na n nS 1 1a = 1
1 4 3n
n na a −
++ = × 2020S =
2020
2020
3 1
2S
−=
( ) ( ) ( ) ( )2020 1 2 3 4 5 6 2019 2020S a a a a a a a a= + + + + + +⋅⋅⋅+ +
( ) ( )2020 2020
0 2 4 2018
2
1 1 3 3 14 3 3 3 3 4 1 3 2
× − −= × + + +⋅⋅⋅+ = × =−
2020
2020
3 1
2S
−=
t y
t
y
y t 1.2y t a= +
32.4a = −
y t
33 7
1.2a y t= −第 12 页 共 24 页
【详解】
由统计表可得 ， ，
则 ，故①正确；
由统计表可得日销售额 （百元）与日平均气温 （摄氏度）成正相关，故②正确；
由线性回归方程的概念可得当日平均气温为 摄氏度时，日销售额的预计值为
，故③错误.
故答案为：①②.
【点睛】
本题考查了线性相关关系及回归直线方程的应用，属于基础题.
15．已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线上的动点，且 的坐标为 ，
则 的最小值是______.
【答案】
【解析】由题意 ， ，则
，按照 、 、 分类讨论，结合基本不等式求
得 的最值即可得解.
【详解】
由题意 可变为 ，其准线为 ，
设点 ，
则 ， ，
所以 ，
当 时， ；
31 32 33 34 35 335t
+ + + += = 5 6 7 8 10 7.25
+ + + += =y
1.2 7.2 1.2 33 32.4a y t= − = − × = −
y t
33
1.2 33 32.4 7.2y = × − =
F 21
8y x= P A ( )3, 2−
PF
PA
5
5
0 2PF y= + ( ) ( )2 2
0 03 2PA x y= − + +
2
0
0
1
3 12
PF
PA x
y
=
− + +
0 3x = 0 3x > 0 3x <
0
0
3
2
x
y
−
+
21
8y x= 2 8x y= 2x = −
( )0 0,P x y
( )0 02 2PF y y= − − = + ( ) ( )2 2
0 03 2PA x y= − + +
( ) ( )
0
2 2 2
0 0 0
0
2 1
3 2 3 12
PF y
PA x y x
y
+= =
− + + − + +
0 3x = 1PF
PA
=第 13 页 共 24 页
当 时， ；
当 时， ，当且仅当
时，等号成立，此时 ，
所以 ；
当 时， ，当且仅当
时，等号成立，此时 ，
所以 ；
综上所述， 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了抛物线性质及两点之间距离公式的应用，考查了基本不等式的应用及运算求
解能力，属于中档题.
16．已知 ，函数 的图像在区间 上有且仅有一条对称
轴，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意结合三角函数的性质可得 ， ，
0 3x ≠
( )
( )
00 0
2 2
00 0
0
0
8 33 3 8
252 16 3 62 38
xx x
xy x x x
−− −= = =+ + − + ++ −
0 3x > ( ) ( )0 0
0 0
25 253 6 2 3 6 163 3x xx x
− + + ≥ − ⋅ + =− −
0
0
253 3x x
− = −
0
0
3 8 10 2 16 2
x
y
−< ≤ =+
2
1 2 5
51 12
PF
PA
≥ =
+
0 3x < ( ) ( )0 0
0 0
25 253 6 2 3 6 43 3x xx x
− + + ≤ − − ⋅ + = −− −
0
0
253 3x x
− = −
0
0
32 02
x
y
−− ≤ ω ( ) sin 4f x x
πω = − ,2
π π
ω
3 3 7 11 7 15, , ,4 2 4 4 2 4
2 4T
πω = ≤ ( )
( )
1 3 ,4 2
1 3 14
1 3 14 2
x k
k
k
π ππ πω
π π πω
π ππω
= + ∈
+ + ≥
+ − ≤ 第 14 页 共 24 页
整理后按照 、 、 、 分类讨论即可得解.
【详解】
函数 的图像在区间 上有且仅有一条对称轴， ，
函数 的周期 ， ，
令 ，则 ，
，整理得 ， ，
且 ，
当 时，原不等式可化为 ，解得 ；
当 时，原不等式可化为 ，解得 ；
当 时，原不等式可化为 ，解得 ；
当 时，原不等式可化为 ，无解；
0k = 1k = 2k = 3k =
( )f x ,2
π π
0>ω
∴ ( )f x
2 2T
π ππ≥ − = ∴ 2 4T
πω = ≤
( )
4 2x k k Z
π πω π− = + ∈ ( )1 3
4x k k Z
π πω
= + ∈
∴ ( )
( )
( )
1 3 ,4 2
1 3 1 ,4
1 3 14 2
x k
k k Z
k
π ππ πω
π π πω
π ππω
= + ∈
+ + ≥ ∈
+ − ≤
( )
( )
3
2 4
3 14
3 14 2
k
k
k
ω ω
ω
ω
< + 0∆
AB 2 1
3 3y k x = − −
2 1,3 3M −
PM AB⊥第 19 页 共 24 页
点 到直线 的最大距离 ；
当直线 的斜率不存在时，设其方程为 ，由 ， ，
代入 可得 ，
结合 可得 或 （舍去），
当 时，点 到直线 的距离为 ，
综上，点 到直线 的最大距离为 .
【点睛】
本题考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档
题.
20．某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅
为单位（一套住宅为一户）.
阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯
月用水范围（吨）
为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了 户居民的月用水量（单
位：吨），得到统计表如下：
居民用水户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
用水量（吨） 7 8 8 9 10 11 13 14 15 20
（1）若用水量不超过 吨时，按 元/吨计算水费；若用水量超过 吨且不超过 吨
时，超过 吨部分按 元/吨计算水费；若用水量超过 吨时，超过 吨部分按 元/
吨计算水费.试计算：若某居民用水 吨，则应交水费多少元？
（2）现要在这 户家庭中任意选取 户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望；
（3）用抽到的 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取
户，若抽到 户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求 的值.
P AB
2 22 1 4 22 13 3 3d PM = = − + + =
AB x n= 1 2x x n= = 1 2y y= −
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 21 2 4y y y y x x x x− + + = − + + − 2 2
1 1 4 4y n n− + = − + −
22
1 16 3
yn + = 2
3n = 2n =
2
3n = P 2
3x = 4
3
P AB 4 2
3
( ]0,12 ( ]12,16 ( )16,+∞
10
12 4 12 16
12 5 16 16 7
17
10 3
10 10
k k第 20 页 共 24 页
【答案】（1）75 元（2）见解析， （3）6
【解析】（1）由题意直接计算 即可得解；
（2）由超几何分布的概率公式求得 、 、 、 ，即
可列出分布列，由期望公式计算即可求得期望，即可得解；
（3）由二项分布的概率公式可得 ， ，由
题意列出不等式 ，即可得解.
【详解】
（1）若某居民用水 吨，则需交费 （元）；
（2）设取到第二阶梯电量的用户数为 ，可知第二阶梯电量的用户有 户，则 可取
，
， ， ，
.
故 的分布列是
0 1 2 3
所以 ；
（3）由题可知从全市中抽取 户，其中用电量为第一阶梯的户数 满足
，
9
10
12 4 4 5 1 7× + × + ×
( )0P ξ = ( )1P ξ = ( )2P ξ = ( )3P ξ =
( ) 10
10
3 2
5 5
k k
kP X k C
− = =
0,1,2 10k = ⋅⋅⋅
( )
( )
10 1 10 1
1
10 10
10 1 10 1
1
10 10
3 2 3 2
5 5 5 5
3 2 3 2
5 5 5 5
k k k k
k k
k k k k
k k
C C
C C
− + − +
+
− − − −
−
≥
≥
17 12 4 4 5 1 7 75× + × + × =
ξ 3 ξ
0,1,2,3
( ) 3
7
3
10
70 24
CP C
ξ = = = ( ) 2 1
7 3
3
10
211 40
C CP C
ξ = = = ( ) 1 2
7 3
3
10
72 40
C CP C
ξ = = =
( ) 3
3
3
10
13 120
CP C
ξ = = =
ξ
ξ
P 7
24
21
40
7
40
1
120
( ) 7 21 7 1 90 1 2 324 40 40 120 10E ξ = × + × + × + × =
10 X
3~ 10, 5X B
第 21 页 共 24 页
于是为 ， ，
由 ，
化简得 ，解得 .
因为 ，所以 .
【点睛】
本题考查了二项分布和超几何分布的应用，考查了离散型随机变量分布列和期望的求解，
属于中档题.
21．已知函数 （ 为自然对数的底数）.
（1）求函数 的零点，以及曲线 在其零点处的切线方程；
（2）若方程 有两个实数根 ，求证： .
【答案】（1）零点为 ； ； ；（2）见解析.
【解析】（1）由题意可得函数 的零点为 ， ，求导后，求出 ，
，再求出 ，利用点斜式即可求得切线方程；
（2）利用导数证明 、 ，设
，由函数单调性可知 、 ，利用
即可得证.
【详解】
（1）由 ，得 或 ，所以函数 的零点为 ， ，
因为 ，所以 ， .
又因为 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，
在 处的切线方程为 ；
( ) 10
10
3 2
5 5
k k
kP X k C
− = =
0,1,2 10k = ⋅⋅⋅
( )
( )
10 1 10 1
1
10 10
10 1 10 1
1
10 10
3 2 3 2
5 5 5 5
3 2 3 2
5 5 5 5
k k k k
k k
k k k k
k k
C C
C C
− + − +
+
− − − −
−
≥
≥
1
10 10
1
10 10
2 3
3 2
k k
k k
C C
C C
+
−
≥
≥
28 33
5 5k≤ ≤
*k ∈N 6k =
( ) ( )lnf x e x x= − e
( )f x ( )y f x=
( ) ( )0f x m m= ≠ 1 2,x x 1 2 1 1
emx x e e
− < − − −
1,e ( )( )1 1y e x= − − y x e= − +
( )f x 1 e ( )1 1f e′ = −
( ) 1f e′ = − ( ) ( )1 0f f e= =
( ) ( )( )ln 1 1e x x e x− ≤ − − ( )lne x x x e− ≤ − +
( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 4g x f x f x h x m= = = = 1 3x x> 4 2x x>
1 2 4 3x x x x− < −
( ) ( )ln 0f x e x x= − = 1x = x e= ( )f x 1 e
( ) ln 1ef x xx
′ = − − ( )1 1f e′ = − ( ) 1f e′ = −
( ) ( )1 0f f e= =
( )y f x= 1x = ( )( )1 1y e x= − −
x e= y x e= − +第 22 页 共 24 页
（2）证明：因为函数 的定义为 ， ，
令 ，则 ，所以 即 单调递
减，
由 ， ，
所以存在 ，使得 在 上单调递增，在 上单调递减；
不妨设 ，且 ， ，
令 ， ，
记 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 单调递增，且 ，
故 在 单调递减， 在 单调递增，
所以 ，即 ；
记 ，则 ，
所以 单调递增，且 ，故 在 单减， 在 单增.
则 ，即 ；
不妨设 ，
因为 ，且 为增函数，所以 .
由 ，得 ；
同理 ， ；
所以 .
所以 ，
所以 .
【点睛】
本题考查了导数的综合应用，考查了计算能力和推理能力，属于难题.
( )f x ( )0, ∞+ ( ) ln 1ef x xx
′ = − −
( ) ( )ln 1 0ep x x xx
= − − > ( ) 2
1 0ep x x x
′ = − − < ( )p x ( )f x′
( )1 1 0f e′ = − > ( ) 1 0f e′ = − <
( )0 1,x e∈ ( )f x ( )00, x ( )0 ,x +∞
1 0 2x x x< < 1 1x ≠ 2x e≠
( ) ( )( )( )1 1 0g x e x x= − − > ( ) ( )0h x x e x= − + >
( ) ( )( ) ( )1 1 lnm x e x e x x= − − − − ( ) ln em x x ex
′ = − +
( ) ( )ln 0eq x x e xx
= − + > ( ) 2
1 0eq x x x
′ = + >
( )m x′ ( )1 0m′ =
( )m x ( )0,1 ( )m x ( )1,+∞
( ) ( )1 0m x m≥ = ( ) ( )( )ln 1 1e x x e x− ≤ − −
( ) ( )lnn x x e e x x= − + − − ( ) ln en x x x
′ = −
( )n x′ ( ) 0n e′ = ( )n x ( )0,e ( )m x ( ),e +∞
( ) ( ) 0n x n e≥ = ( )lne x x x e− ≤ − +
( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 4g x f x f x h x m= = = =
( ) ( ) ( )1 1 3g x f x m g x> = = ( ) ( )( )1 1g x e x= − − 1 3x x>
( ) ( )( )3 31 1g x e x m= − − = 3 11
mx e
= +−
4 2x x> 4x e m= −
3 1 2 411
m x x x x e me
+ = < < < = −−
1 2 4 3 1 11 1
m emx x x x e m ee e
− < − = − − + = − − − −
1 2 1 1
emx x e e
− < − − −第 23 页 共 24 页
22．在直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 是参数），
以 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
（1）求曲线 和曲线 的普通方程；
（2）曲线 与 轴交点 ，与曲线 交于点 两点，求 的值.
【答案】（1）曲线 的普通方程 ，曲线 的普通方程 ，
（2）
【解析】（1）消去参数即可得曲线 的普通方程；变 的极坐标方程为
，利用 即可得曲线 的普通方程；
（2）写出直线 的参数方程可写为 ，代入 后，利用
即可得解.
【详解】
（1）消去参数后可得曲线 的普通方程为 ；
由 可得 ，
即 ，由 可得曲线 的曲线方程为 ；
（2）由题意可知点 ，则直线 的参数方程可写为 ，
代入 得 ， ，
xOy 1C 2cos
3 2sin
x
y
θ
θ
=
= +
θ
O x C
sin 2 24
πρ θ + =
1C 2C
2C x P C ,A B 1 1
PA PB
+
1C ( )22 3 4x y+ − = 2C 4x y+ =
2
3
1C 2C
sin cos 4ρ θ ρ θ+ = sin
cos
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= 2C
2C
24 2
2
2
x t
y t
= −
=
( )22 3 4x y+ − =
1 1 1 1
A BPA PB t t
+ = +
1C ( )22 3 4x y+ − =
sin 2 24
πρ θ + =
2 2sin cos 2 22 2
ρ θ ρ θ+ =
sin cos 4ρ θ ρ θ+ = sin
cos
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= 2C 4x y+ =
( )4,0P 2C
24 2
2
2
x t
y t
= −
=
( )22 3 4x y+ − = 2 7 2 21 0t t− + = 14 0∆ = >第 24 页 共 24 页
， ，
所以 .
【点睛】
本题考查了极坐标方程、参数方程和直角坐标方程的转化，考查了直线参数方程 t 的几
何意义的应用，属于中档题.
23．（1）解不等式 ；
（2）若 ， ，求证： .
【答案】（1） 或 ；（2）见解析.
【解析】（1）按照 、 、 分类讨论，分别解不等式即可得解；
（2）两边同时平方后作差可得 ，即可得证.
【详解】
（1）当 时，原不等式可转化为 解得 ；
当 时，原不等式可转化为 ，不等式不成立；
当 时，原不等式可转化为 ，解得 ；
所以原不等式的解集为 或 ；
（2）证明：由题意 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，所以 即 ，
所以 .
【点睛】
本题考查了含绝对值不等式的求解与证明，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于
中档题.
7 2 0A Bt t+ = > 21 0A Bt t = >
1 1 1 1 1 1 7 2 2
21 3
A B
A B A B A B
t t
PA PB t t t t t t
++ = + = + = = =
2 3 9x x− + + ≥
1a < 1b < 1ab a b+ > +
{ 5x x ≤ − }4x ≥
3x ≤ − 3 2x− < < 2x ≥
( )( )2 2 2 21 1 1 0ab a b a b+ − + = − − >
3x ≤ − 2 3 9x x− − − ≥ 5x ≤ −
3 2x− < < 2 3 9x x− + + ≥
2x ≥ 2 3 9x x− + + ≥ 4x ≥
{ 5x x ≤ − }4x ≥
( )( )2 2 2 21 1 1ab a b a b+ − + = − −
1a < 1b < 2 1 0a − < 2 1 0b − <
( )( )2 21 1 0a b− − > 2 21 0ab a b+ − + > 2 21ab a b+ > +
1ab a b+ > +
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