2020届北京市东城区高三一模线上统练数学（二）试题（解析版）

第 1 页 共 19 页 2020 届北京市东城区高三一模线上统练数学（二）试题 一、单选题 1．已知集合 ，则满足 的集合 B 的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】解一元二次方程求得集合 ，根据并集结果可确定所有可能的集合 的情况， 进而得到结果. 【详解】 ， ， 或 或 或 ，共 个. 故选： . 【点睛】 本题考查根据并集运算结果求解集合的问题，涉及到一元二次方程的求解，属于基础题. 2．在复平面内，已知复数 z 对应的点 Z 与复数 对应的点关于虚轴对称，则点 Z 的 坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据 对应点的坐标和对称关系即可求得结果. 【详解】 对应的点为 ，又 关于虚轴对称的点为 ， 点 的坐标为 . 故选： . 【点睛】 本题考查复数对应点的坐标的求解，属于基础题. 3．已知点 为抛物线 图象上一点，点 F 为抛物线的焦点，则 等于 （ ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A { }2 2 0A x x x= ∈ − =R { }0,1,2A B = A B ( ){ } { }2 0 0,2A x R x x= ∈ − = = { }0,1,2A B =  { }1B∴ = { }0,1 { }1,2 { }0,1,2 4 C 2 i− ( )2,1 ( )2,1− ( )2, 1− − ( )1, 2− − 2 i− 2 i− ( )2, 1− ( )2, 1− ( )2, 1− − ∴ Z ( )2, 1− − C ( )2,A a 2 4y x= AF 2 2 2第 2 页 共 19 页 【解析】由抛物线焦半径公式可直接求得结果. 【详解】 由抛物线方程知： ， . 故选： . 【点睛】 本题考查抛物线焦半径的求解，关键是熟练应用抛物线的定义得到焦半径公式. 4．下列函数中，与函数 的定义域和值域都相同的是（ ） A． ， B． C． D． 【答案】C 【解析】根据指数函数性质得到 定义域和值域，依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】 由指数函数性质知： 的定义域为 ，值域为 . 对于 ，定义域为 ，与 不同， 错误； 对于 ，值域为 ，与 不同， 错误； 对于 ，定义域为 ，值域为 ，与 相同， 正确； 对于 ，定义域为 ，与 不同， 错误. 故选： . 【点睛】 本题考查函数定义域和值域的求解问题，属于基础题. 5．设 是向量，则“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由 无法得到 ，充分性不成立；由 ，得 ，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选 D. ( )1,0F 2 1 3AF∴ = + = A ( ) 1 5 x f x  =    2 2y x x= + 0x > 1y x= + 10 xy −= 1y x x = + ( )f x ( ) 1 5 x f x  =    R ( )0, ∞+ A ( )0, ∞+ ( )f x A B [ )0,+∞ ( )f x B C R ( )0, ∞+ ( )f x C D { }0x x ≠ ( )f x D C ,a b a b=  a b a b+ = −   a b=  a b a b+ = −   a b a b+ = −   0a b⋅ =第 3 页 共 19 页 【考点】 充要条件,向量运算 【名师点睛】 由向量数量积的定义 ( 为 ， 的夹角)可知，数量积的值、模的 乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行 运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近 几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法. 6．已知 α 和 β 是两个不同平面，α∩β=l， ， 是不同的两条直线，且 α， β， ∥ ，那么下列命题正确的是（ ） A．l 与 ， 都不相交 B．l 与 ， 都相交 C．l 恰与 ， 中的一条相交 D．l 至少与 ， 中的一条相交 【答案】A 【解析】根据直线和平面的平行性质得到 ， 得到答案. 【详解】 ，则 ，因为 ，则 ，同理 故选： 【点睛】 本题考查了直线和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力. 7．两条平行直线 和 间的距离为 d，则 a，d 的值分别为 （ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【解析】根据两直线平行可构造方程求得 ；利用平行直线间距离公式可求得 . 【详解】 两条直线为平行直线， ，解得： ， cosa b a b θ⋅ = ⋅ ⋅   a b 1l 2l 1l ⊂ 2l ⊂ 1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l 2l l 1l l∥ 1 2 1,l l l α⊆ 2l α 2,a l lβ β= ⊆ 2l l 1l l∥ A 2 3 0x y− + = 3 4 0ax y+ − = 6a = 6 3d = 6a = − 5 3d = 6a = 5 3d = 6a = − 6 3d = a d  ( )2 3 1 a∴ × = − ⋅ 6a = −第 4 页 共 19 页 方程为 ，即 ， . 故选： . 【点睛】 本题考查根据两条直线平行求解参数值、平行直线间距离的求解问题，考查基础公式的 应用；关键是明确两条直线平行则 . 8．数列 是等差数列， 是各项均为正数的等比数列，公比 ，且 ， 则（ ） A． B． C． D． 与 大小不确定 【答案】C 【解析】利用基本不等式和等比数列性质可求得 ，结合等差数列性质可求 得结果. 【详解】 由等差数列性质知： ；由等比数列性质知： ， ， （当且仅当 时取等号）， 又 ， ， ， ， ，即 . 故选： . 【点睛】 本题考查利用等差和等比数列的下标和的性质比较大小的问题，涉及到基本不等式的应 用，关键是能够熟练应用等差和等比数列的性质. 9．若函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，若函数 在区间 上单调递增，则 a 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 3 4 0ax y∴ + − = 6 3 4 0x y− + − = 42 03x y− + = 43 53 35 d − ∴ = = B 1 2 2 1A B A B= { }na { }nb 1q > 4 4a b= 2 6 3 5a a b b+ > + 2 6 3 5a a b b+ = + 2 6 3 5a a b b+ < + 2 6a a+ 3 5b b+ 4 3 52b b b< + 2 6 42a a a+ = 2 3 5 4b b b⋅ = 0nb > 3 5 4 3 52 2b b b b b∴ ⋅ = ≤ + 3 5b b= 1q > 3 5b b∴ ≠ 3 5 4 3 52 2b b b b b∴ ⋅ = < + 4 4a b= 4 4 3 52 2a b b b∴ = < + 2 6 3 5a a b b+ < + C ( ) sin 2f x x= 6 π ( )g x ( )g x [ ]0,a 5 12 π 2 π 7 12 π 2 3 π第 5 页 共 19 页 【解析】根据三角函数平移变换可求得 ，利用代入检验的方式得到 整体的 范围，根据正弦函数单调区间可构造不等式求得结果. 【详解】 向右平移 个单位得： ， 当 时， ， 在 上单调递增， ，解得： ， 的最大值为 . 故选： . 【点睛】 本题考查根据正弦型函数的单调性求解参数范围的问题，涉及到三角函数的平移变换问 题；关键是能够熟练应用整体对应的方式，结合正弦函数的单调区间来构造不等式求得 结果. 10．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准 对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力 5.2 的视标所在行开始往上，每一行 “E”的边长都是下方一行“E”边长的 倍，若视力 4.1 的视标边长为 ，则视力 4.9 的视标边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C ( )g x 2 3x π− ( )f x 6 π ( ) sin 26 3g x f x x π π   = − = −       [ ]0,x a∈ 2 ,23 3 3x a π π π − ∈ − −   ( )g x [ ]0,a 23 3 2a π π π∴− < − ≤ 50 12a π< ≤ a∴ 5 12 π A 10 10 a 4 510 a 9 1010 a 4 510 a − 9 1010 a −第 6 页 共 19 页 【解析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】 设第 行视标边长为 ，第 行视标边长为 由题意可得： 则数列 为首项为 ，公比为 的等比数列 即 则视力 4.9 的视标边长为 故选：C 【点睛】 本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题. 二、双空题 11．二项式 的展开式共有 7 项，则 ______；常数项为______． 【答案】6 【解析】由展开式的项数可确定 ，令展开式通项中的 的幂指数等于零可求得 ， 代入展开式的通项公式可求得常数项. 【详解】 展开式共有 项， ； 展开式的通项公式为 ， 令 ，解得： ， 展开式的常数项为 . 故答案为： ； . 【点睛】 本题考查利用二项式定理求解指定项的问题，涉及到根据展开式的项数求解幂指数的问 题；关键是熟练掌握二项展开式通项公式的形式. n na 1n − 1na − 10 1 10 1 1 110 0n n n n aa a a − − − = ⇔ = { }na a 1 1010 − 9 11 4 10 5 9 10 10a a a − − − = =    4 510 a − 12 n x x  −   n = 160− 6n = x r 12 n x x  −   7 6n∴ = 612x x  −   ( ) ( )6 6 6 2 1 6 6 12 1 2 r r rr r r r rT C x C xx − − − +  = ⋅ − = − ⋅   6 2 0r− = 3r = 612x x  ∴ −   3 3 4 62 160T C= − = − 6 160−第 7 页 共 19 页 12．函数 y=f（x），x∈[1，+∞），数列{an}满足 ， ①函数 f（x）是增函数； ②数列{an}是递增数列． 写出一个满足①的函数 f（x）的解析式______． 写出一个满足②但不满足①的函数 f（x）的解析式______． 【答案】f（x）=x2 【解析】本题第一个填空可用到常用的函数 f（x）=x2；第二个填空要考虑到函数和对 应的数列增减性不同． 【详解】 由题意可知：在 x∈[1，+∞）这个区间上是增函数的函数有许多，可写为：f（x） =x2． 第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为： ． 则这个函数在[1， ]上单调递减，在[ ，+∞）上单调递增， ∴ 在[1，+∞）上不是增函数，不满足①． 而对应的数列为： 在 n∈N 上越来越大，属递增数列． 故答案为 f（x）=x2； ． 【点睛】 本题主要考查常用函数的增减性的熟悉以及函数和数列对应的增减性的区别，属于中档 题． 三、填空题 13．已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，将角 的终边按逆时针 方向旋转 后经过点 ，则 ______________. 【答案】1 【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得 的值，可得 的值. 【详解】 ( ) * na f n n N，= ∈ ( ) 24( )3f x x= − ( ) 24 3f x x = −   4 3 4 3 ( ) 24 3f x x = −   24 3na n = −   ( ) 24 3f x x = −   α α 6 π ( )1, 3− sinα = α sinα第 8 页 共 19 页 角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合， 将角 的终边按逆时针方向旋转 后经过点 ， ， ， 所以 ， . 故答案为：1. 【点睛】 本题考查已知终边上一点求三角函数值的问题，涉及到三角函数的定义，是一道容易题. 14．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是______． 【答案】 【解析】由长方体切割得到三视图所给的四面体，从而确定最长棱. 【详解】 由三视图可知：几何体是由如下图所示的长、宽、高分别为 的长方体截得的 四面体 ， 其中 分别为 中点， 平面 ， ， ， ， 最长棱为 ，长度为 . 故答案为： .  α α 6 π ( )1, 3− 3tan 36 1 πα ∴ + = = −  −  2 2 ,6 3 k k Z π πα π+ = + ∈ 2 ,2 k k Z πα π= + ∈ sin sin( 2 ) 12 k πα π= + = 2 7 4,2 3,2 P ACE− ,P E 1 1,C D CD PE ⊥ ABCD 4AB = 2 3BC = 2PE = ∴ AC 16 12 2 7+ = 2 7第 9 页 共 19 页 【点睛】 本题考查由三视图还原几何体的问题，关键是能够通过长方体切割得到所给的几何体， 以便于后期的计算. 15．在中国决胜全面建成小康社会的关键之年，如何更好地保障和改善民生，如何切实 增强政策“获得感”，成为 2019 年全国两会的重要关切．某地区为改善民生调研了甲、 乙、丙、丁、戊 5 个民生项目，得到如下信息： ①若该地区引进甲项目，就必须引进与之配套的乙项目； ②丁、戊两个项目与民生密切相关，这两个项目至少要引进一个； ③乙、丙两个项目之间有冲突，两个项目只能引进一个； ④丙、丁两个项目关联度较高，要么同时引进，要么都不引进； ⑤若引进项目戊，甲、丁两个项目也必须引进． 则该地区应引进的项目为______． 【答案】丙丁 【解析】依次假设引进的项目为甲、乙、丙，通过所给条件找到满足所有条件的情况即 可得到结果. 【详解】 假设引进甲项目，由①知，乙项目需引进 由③知，丙项目不引进 由④知，丁项 目不引进 由②知，戊项目需引进 由⑤知，甲、丁必须引进，与丁项目不引进相 矛盾； 假设不引进甲项目，引进乙项目 由③知，丙项目不引进 由④知，丁项目不引进 由②知，戊项目需引进 由⑤知，甲、丁必须引进，与假设矛盾； 假设不引进甲、乙项目，引进丙项目，由④知，丁项目需引进；由②知，戊项目可引 进，也可不引进，若引进戊项目，由⑤知，需引进甲项目，与假设矛盾，则不能引进 戊项目；所以引进的项目为丙和丁. 故答案为：丙丁. 【点睛】 本题考查逻辑推理知识的应用，关键是能够通过所给条件找到与假设矛盾的点，由排除 法得到结果. 四、解答题 16．在四棱锥 中， 为正三角形，平面 平面 ，E 为 的中点， ， ， ． ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ P ABCD− PAD△ PAD ⊥ ABCD AD //AB CD AB AD⊥ 2 2 4CD AB AD= = =第 10 页 共 19 页 （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱 上是否存在点 M，使得 平面 ?若存在，求出 的值；若 不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）在棱 上存在点M 满足题意， ． 【解析】（Ⅰ）根据面面垂直的性质定理可证得 平面 ，由面面垂直的判定定 理证得结论； （Ⅱ）取 中点 ，可证得 两两互相垂直，由此以 为坐标原点建立空 间直角坐标系，根据线面角的向量求法可求得结果； （Ⅲ）假设存在点 满足题意，由线面垂直的性质可知 ， ，由此得到 ，解出 后即可得到结果. 【详解】 （Ⅰ） ， ， ， 平面 平面 ，平面 底面 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ， 平面 平面 . （Ⅱ）取 中点 ，连接 ， 分别为 中点， ， 平面 ； 为等边三角形， 为 中点， ， 平面 平面 ，平面 底面 ， 平面 ， 平面 ， PCD ⊥ PAD PB PCD CD AM ⊥ PBE DM DC 6 4 CD 1 4 DM DC = CD ⊥ PAD BC E , ,PE DE EF E ( ),1,0M m AM PB⊥ AM PE⊥ 0 0 AM PB AM EP  ⋅ = ⋅ =     m //AB CD AB AD⊥ CD AD∴ ⊥  PAD ⊥ ABCD PAD  ABCD AD= CD ⊂ ABCD CD\ ^ PAD CD ⊂ PCD ∴ PCD ⊥ PAD BC F EF ,E F ,AD BC //EF CD∴ EF∴ ⊥ PAD PAD E AD PE AD⊥∴  PAD ⊥ ABCD PAD  ABCD AD= PE ⊂ PAD PE∴ ⊥ ABCD第 11 页 共 19 页 则以 为坐标原点， 所在直线为 轴，可建立如下图所示空间直角坐 标系， 则 ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，令 ，则 ， ， ， 设直线 与平面 所成角为 ， . 即直线 与平面 所成角的正弦值为 . （Ⅲ）假设在棱 上存在点 ，使得 平面 ，则 ， ， 设 ，又 ， ， ， ， ，解得： ，即 ， 在棱 上存在点 ，使得 平面 ，此时 . 【点睛】 本题考查立体几何中面面垂直关系的证明、空间向量法求解线面角和存在性问题；利用 空间向量法求解存在性问题的关键是首先假设存在，采用待定系数法的方式得到所求点 所满足的方程，解方程求得系数即可. E , ,EF DE PE , ,x y z ( )0,0, 3P ( )0,1,0D ( )4,1,0C ( )2, 1,0B − ( )2, 1, 3PB → ∴ = − − ( )0,1, 3PD → = − ( )4,0,0DC → = PCD ( ), ,n x y z → = 3 0 4 0 n PD y z n DC x  ⋅ = − = ⋅ = =   1z = 0x = 3y = ( )0, 3,1n → ∴ = PB PCD θ 2 3 6sin 42 2 2 PB n PB n θ → → → → ⋅ ∴ = = = ×⋅ PB PCD 6 4 CD M AM ⊥ PBE AM PB⊥ AM PE⊥ ( ),1,0M m ( )0, 1,0A − ( ),2,0AM m → ∴ = ( )2, 1, 3PB → = − − ( )0,0, 3EP → = 2 2 0 0 AM PB m AM EP  ⋅ = − =∴ ⋅ =     1m = 1DM = ∴ CD M AM ⊥ PBE 1 4 DM DC =第 12 页 共 19 页 17．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面 问题中，若问题中的正整数 k 存在，求 k 的值；若 k 不存在，请说明理由． 设 为等差数列 的前 n 项和， 是等比数列，______， ， ， ．是否存在 k，使得 且 ？ 【答案】方案①：存在 满足题意； 方案②：存在 满足题意； 方案③：存在 满足题意. 【解析】方案①②③解题思路均为如下思路：根据等比数列通项公式可求得 ，进 而得到 ；根据两数列中的项的等量关系和等差数列通项公式可求得 ，将结论变为 ，从而构造出不等式，结合 为正整数即可求得结果； 【详解】 方案① 设等比数列 的公比为 ，等差数列 的公差 ， 由 ， 得： ， 又 ，∴ ，故 ， 又 ， ， ， ， ， 由 且 可得： ，即 ， 解得： ，又 为正整数， ， 存在 ，使得 且 ． 方案② 设等比数列 的公比为 ，等差数列 的公差 ， 由 ， 得： ， 又 ，∴ ，故 ， 4 4a b= 2 5 2a b+ = 6 24S = − nS { }na { }nb 1 5b a= 3 9b = − 6 243b = 1k kS S −> 1k kS S+ < 4k = 4k = 4k = 1,b q nb na 1 1 1 0 0 k k k k k k S S a S S a − + + − = >  − = 1k kS S+ < 1 1 1 0 0 k k k k k k S S a S S a − + + − = >  − =   = − + + 1k kS S+ < { }nb q { }na d 3 9b = − 3 3 6 3 9 243b b q q= ⋅ = − × = 3q = − ( )22 3 1 1 3 9b b q b= = × − = − 1 1b = − ( ) 13 n nb −= − −第 13 页 共 19 页 又 ， ， ， ， ， ． 由 且 可得： ，即 ， 解得： ，又 为正整数， ， 存在 ，使得 且 ． 方案③ 设等比数列 的公比为 ，等差数列 的公差 ， 由 ， 得： ， 又 ，∴ ，故 ， 又 ， ，即 ，解得： ， ． 由 且 可得： ，即 ， 解得： ，又 为正整数， ， 存在 ，使得 且 ． 【点睛】 本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，涉及到等差数列和等比数列的通项公式 的求解、根据前 项和的最大项求解参数值的问题；关键是能够利用前 项和的最大项 得到项的符号，由此在简化运算的同时构造出不等关系求得结果. 18．2019 年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时 段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据， 从疏堵工程完成前的数据中随机抽取 5 个数据，记为 A 组，从疏堵工程完成后的数据 中随机抽取 5 个数据，记为 B 组. A 组：128，100，151，125，120 B 组：100，102，96，101， 5 1 1a b= = − 2 5 2a b+ = 2 52 83a b∴ = − = 5 2 285 2 a ad −∴ = = −− ( )1 27 3 28 111a∴ = − × − = 28 139na n∴ = − + 1k kS S −> 1k kS S+ < 1 1 1 0 0 k k k k k k S S a S S a − + + − = >  − =   = − + + 1k kS S+ < { }nb q { }na d 3 9b = − 3 3 6 3 9 243b b q q= ⋅ = − × = 3q = − ( )22 3 1 1 3 9b b q b= = × − = − 1 1b = − ( ) 13 n nb −= − − 5 1 1a b= = − 6 24S = − 1 1 4 1, 6 56 242 a d a d + = − ×+ = − 1 111 28 a d =  = − 28 139na n∴ = − + 1k kS S −> 1k kS S+ < 1 1 1 0 0 k k k k k k S S a S S a − + + − = >  − =   = − + + 1k kS S+ < n n a第 14 页 共 19 页 己知 B 组数据的中位数为 100，且从中随机抽取一个数不小于 100 的概率是 . （1）求 a 的值； （2）该路公交车全程所用时间不超过 100 分钟，称为“正点运行”从 A，B 两组数据中 各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为 X，求 X 的分布列及期望； （3）试比较 A，B 两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义. 【答案】（1） ；（2）分布列详见解答，期望为 ；（3）详见解答. 【解析】（1）由已知中位数 100，确定 的范围，再求出不小于 100 的数的个数，即可 求出 ； （2）随机变量 X 可能值为 ，根据每组车“正点运行”概率求出 X 可能值为 的 概率，即可求出随机变量的分布列，进而求出期望; （3）利用方差表示数据集中的程度，说明疏堵工程完成后公交车的稳定程度. 【详解】 （1）B 组数据的中位数为 100，根据 B 组的数据 ， 从 B 组中随机抽取一个数不小于 100 的概率是 ， B 组中不小于 100 的有 4 个数，所以 ； （2）从 A，B 两组数据中各随机抽取一个数据， “正点运行”概率分别为 ， 从 A，B 两组数据中各随机抽取一个数据， 记两次运行中正点运行的次数为 X， X 可能值为 ， ， ， ， X 的分布列为： X 0 1 2 ， 4 5 100a = 4 5 a a 0,1,2 0,1,2 100a ≤ 4 5 100a = 1 3,5 5 0,1,2 4 2 8( 0) 5 5 25P X = = × = 1 2 4 3 14( 0) 5 5 5 5 25P X = = × + × = 1 3 3( 2) 5 5 25P X = = × = P 8 25 12 25 3 25 8 14 3 4( ) 0 1 225 25 25 5E X = × + × + × =第 15 页 共 19 页 X 期望为 ； （3）对比两组数据， 组数据方差更小，说明疏堵工程完成后公交车运行时间更为稳 定. 【点睛】 本题考查中位数和概率求参数，考查随机变量的分布列和期望，属于基础题. 19．已知函数 其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数. （1）当 时，求 过切点为 的切线方程； （2）若 在区间 上的最大值为 ，求 a 的值； （3）若不等式 恒成立，求 a 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） ；（3） . 【解析】(1)利用导数的几何意义求解出切线斜率即可求解出对应切线方程； (2)根据 的范围分析函数的单调性，确定出最值即可求解出 的值； (3)采用分离参数的方法，构造新函数，根据新函数的最值即可求解出 的取值范围. 【详解】 （1）当 时， ， 则 ， 所以 ， 切点 ，即 ， 所以切线方程为 ，即 . （2） ， 当 时， ， 在 上单调递增， ，无最大 值. 当 时，在 上 ， 单调递增， 在 上 ， 单调递增， 若函数在 上取得最大值 ，则 ，且 ， 4 5 B ( ) lnf x ax x= + 1a = − ( )f x ( )( )1, f x ( )f x ( )1,e 3− ( )f x x≤ 1y = − 2e− 11a e ≤ − a a a 1a = − ( ) lnf x x x= − + ( ) 11f x x ′ = − + ( )1 0k f ′= =切 ( )( )1, 1f ( )1, 1− ( ) ( )1 0 1y x− − = − 1y = − ( ) 1' 1axa xf xx += + = 0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1,e ( ) ( ) 1f x f e ae< = + 0a < 10, a  −   ( ) 0f x′ > ( )f x 1 ,a  − +∞   ( ) 0f x′ < ( )f x ( )1,e 3− 11 ea < − < 1 3f a  − =  第 16 页 共 19 页 则 . （3）不等式 恒成立，则 恒成立， ， 令 ，（ ） ， 在 上， ， 单调递减， 在 上， ， 单调递增， 所以 ， 所以 . 【点睛】 本题考查导数与函数的综合应用，难度一般.(1)含参函数在区间上的最值分析，注意根 据参数的范围进行分类讨论；(2)已知不等式恒成立，求解参数范围的两种方法：分类讨 论法、参变分离法. 20．已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为 ， ，且 ，离心率为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设点 ，若点 在直线 上，直线 与椭圆交于另一点 .判 断是否存在点 ，使得四边形 为梯形？若存在，求出点 的坐标；若不 存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】试题分析：（1）由题意 求出 ，可得椭圆 的方程； （Ⅱ）假设存在点 ，使得四边形 为梯形. 由题意知，显然 ， 不平 行，所以 ，则 ．设点 ， ， 过点 作 于 ，则有 ，即可求出点 的坐标 2a e= − ( )f x x≤ lnax x x+ ≤ ln1 xa x ≤ − ( ) ln1 xg x x = − 0x > ( ) 2 1' lnxg x x − += ( )0,e ( ) 0g x′ < ( )g x ( ),e +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x ( ) ( )min 11g x g e e = = − 11a e ≤ − C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > A B 4AB = 1 2 C ( )4,0Q P 4x = BP M P APQM P 2 2 14 3 x y+ = ( )4, 3P ± 2 3a c= =， b C P APQM AM PQ / /AP MQ 1 2 BM BP = ( )1 1,M x y ( )4,P t M MH AB⊥ H 1 2 BH BM BQ BP = = P第 17 页 共 19 页 试题解析：（Ⅰ）由 ，得 . 又因为 ，所以 ，所以 ， 所以椭圆 的方程为 ．　 （Ⅱ）假设存在点 ，使得四边形 为梯形. 由题意知，显然 ， 不平行，所以 ， 所以 ，所以 ． 设点 ， ， 过点 作 于 ，则有 ， 所以 ，所以 ，所以 ， 代入椭圆方程，求得 ， 所以 ． 点睛：本题考查椭圆的简单性质，考查直线和圆锥曲线位置关系的应用，训练了比例关 系在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题 21．数列 ： 满足： ．记 的前 项 和为 ，并规定 ．定义集合 ， ， ． （Ⅰ）对数列 ： ， ， ， ， ，求集合 ； （Ⅱ）若集合 ， ，证明： ； （Ⅲ）给定正整数 ．对所有满足 的数列 ，求集合 的元素个数的最小 值． 【答案】（Ⅰ） ．（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） ． 【解析】（Ⅰ）根据题中所给的定义，即可求出结果；（Ⅱ）根据所给的条件，由集合 4AB = 2a = 1 2 ce a = = 1c = 2 2 2 3b a c= − = C 2 2 14 3 x y+ = P APQM AM PQ / /AP MQ BQ BM AB BP = 1 2 BM BP = ( )1 1,M x y ( )4,P t M MH AB⊥ H 1 2 BH BM BQ BP = = 1BH = ( )1,0H 1 1x = 1 3 2y = ± ( )4, 3P ± nA ( )1 2, , , 2na a a n ≥ ( )1 1,2, ,ka k n< =  nA k kS 0 0S = *{nE k N= ∈ |k n≤ k jS S> 0,1, , 1}j k= − 5A 0.3− 0.7 0.1− 0.9 0.1 5E { }1 2, , , ( 1n mE k k k m= > 1 2 )mk k k< < < ( ) 1 1 1,2, , 1i ik kS S i m+ − < = − C nS C> nA nE { }5 2,4,5E = 1C + nE第 18 页 共 19 页 的定义知 ，再结合 ，可推出 ；（Ⅲ）利用 （Ⅱ）的结论，进一步求出关系，即集合的最小值． 【详解】 （Ⅰ）因为 ， ， ， ， ， ， 所以 ． （Ⅱ）由集合 的定义知 ，且 是使得 成立的最小的 k， 所以 ． 又因为 ，所以 所以 ． （Ⅲ）因为 ，所以 非空． 设集合 ，不妨设 ，则由（Ⅱ）可知 ， 同理 ，且 ． 所以 ． 因为 ，所以 的元素个数 ． 取常数数列 ： ，并令 ，则 ，适合题意，且 ，其元素个数恰 为 ． 综上， 的元素个数的最小值为 ． 【点睛】 解决集合新定义问题的方法： （1）紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能 够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在. （2）用好集合的性质.集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型 集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些 因素，在关键之处用好集合的性质. 1i ik kS S+ > 1ka < 1 1 11 1i i i ik k k kS S a S+ + +−= + < + 0 0S = 1 0.3S = − 2 0.4S = 3 0.3S = 4 1.2S = 5 1.3S = { }5 2,4,5E = nE 1i ik kS S+ > 1ik + ik kS S> 1 1i ik kS S+ − ≤ 1 1ika + < 1 1 11 1.i i i ik k k kS S a S+ + +−= + < + 1 1i ik kS S+ − < 0nS S> nE { }1 2, , ,n mE k k k=  1 2 mk k k< < nE 1m C≥ + nA ( )1 1,2, , 12i Ca i CC  += = ++ 1n C= + ( )2 21 2 1 2 2n C C CS CC C + + += = >+ + { }1,2, , 1nE C= + 1C + nE 1C +第 19 页 共 19 页