2020届北京市怀柔区高三一模数学试题（解析版）

第 1 页 共 17 页 2020 届北京市怀柔区高三一模数学试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据交集的概念，可得结果. 【详解】 由题可知： ， 所以 故选：A 【点睛】 本题考查交集的概念，属基础题. 2．已知复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把 两边同乘以 ，则有 ， ，故选 C. 3．函数 的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据二倍角的余弦公式，可得 ，然后利用 ，可得结果. 【详解】 由题可知： 所以最小正周期为 故选：B 【点睛】 {1,2}A = { }0 2B x x= < < A B = {1} {1,2} {0,1,2} { }0 2x x< < {1,2}A = { }0 2B x x= < < { }1A B∩ = z 1iz i= − z = 1 i− − 1 i− 1 i− + 1 i+ i 1 iz = − i− ( )( )1 i · i 1 iz = − − = − − 1 iz∴ = − + 22cos 1y x= − 2 π π 2π 4π cos2y x= 2T ω π= 22cos 1 cos2y x x= − = 2 2 2T π π πω= = =第 2 页 共 17 页 本题考查二倍角的余弦公式以及三角函数最小正周期的求法，重在识记公式，属基础题. 4．函数 f(x)=|log2x|的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】试题分析：易知函数值恒大于等于零，同时在（0，1）上单调递减且此时的图 像是对数函数 的图像关于 x 轴的对称图形，在 单调递增．故选 A． 【考点】已知函数解析式作图． 5．在等差数列 中，若 ，则 （ ） A．6 B．10 C．7 D．5 【答案】B 【解析】根据等差数列的性质，可得 ，然后由 ，简单计算结果. 【详解】 由题可知： 又 ，所以 故选：B 【点睛】 本题主要考查等差数列的性质，若 ，则 ，考验计算，属 基础题. 6．已知圆 C 与圆(x－1)2＋y2＝1 关于原点对称，则圆 C 的方程为（ ） A．x2＋y2＝1 B．x2＋(y＋1)2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x＋1)2＋y2＝1 { }na 4 5 6 15a a a+ + = 2 8a a+ = 5a 2 8 52a a a+ = 4 5 6 5 53 15 5+ + = = ⇒ =a a a a a 2 8 52a a a+ = 2 8 10a a+ = m n p q+ = + m n p qa a a a+ = +第 3 页 共 17 页 【答案】D 【解析】利用对称性，可得点 坐标以及圆 的半径，然后可得结果. 【详解】 由题可知：圆 的圆心 ，半径为 所以圆 的方程为： 故选：D 【点睛】 本题考查圆的方程，直观形象，简单判断，对圆的方程关键在于半径和圆心，属基础题. 7．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】C 【解析】根据向量的垂直关系，可得 ，简单计算，可得结果. 【详解】 由 ，则 又 ，所以 若 ，且 ，所以 ，则 所以“ ”是“ ”的充要条件 故选：C 【点睛】 本题考查向量的垂直的数量积表示以及计算，同时考查了充分、必要条件，识记概念与 计算公式，属基础题. 8．如图，网格纸上小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几 何体的体积为（ ） C C C ( )1,0C − 1 C ( )2 21 1x y+ + = 1a = ( )a a b⊥ +   1a b⋅ = −  ( ) 0a a b⋅ + =  ( )a a b⊥ +   2( ) 0 0⋅ + = ⇒ + ⋅ =    a a b a a b 1a = 1a b⋅ = −  1a b⋅ = −  1a = 2 0+ ⋅ = a a b ( )a a b⊥ +   ( )a a b⊥ +   1a b⋅ = − 第 4 页 共 17 页 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用数形结合，还原出原几何体的直观图，可得该几何体为一个三棱锥，然后 根据锥体体积公式简单计算即可. 【详解】 根据三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥 ， 如图 可知 ，点 到平面 的距离为 所以 故选：D 【点睛】 本题考查三视图还原以及几何体体积，关键在于三视图的还原，熟悉常见的几何体的三 视图，比如：圆锥，圆柱，球，三棱锥等，属中档题. 9．已知 ，则下列不等式成立的是 （ ） A． B． C． D． 2 3 4 3 3 3 2 P ABC− 3, 1,= = ⊥AB BC AB BC P ABC 3h = 1 1 33 12 2 2△ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =ABCS AB BC 1 1 3 333 3 2 2△− = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =P ABC ABCV S h 0a b< < 2 2a b< 2a ab< 1 1 a b < 1b a ∴ >（ 2a ab− 2( ) 0, .a a b a ab− > ∴ > 1 1 a b − 1 10, .b a ab a b − > ∴ > 1b a − 0, 1.b a b a a − < ∴ < D故选： π 263 π π 3.1415 3.1416 π π π 0.01 sin15 0.2588≈ 3.05 3.10第 6 页 共 17 页 C． D． 【答案】C 【解析】假设圆的半径为 ，根据以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的 24 个等 腰三角形，顶角为 ，计算正二十四边形的面积，然后计算圆的面积，可得结果. 【详解】 设圆的半径为 ， 以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的 24 个等腰三角形 且顶角为 所以正二十四边形的面积为 所以 故选：C 【点睛】 本题考查分割法的使用，考验计算能力与想象能力，属基础题. 二、双空题 11．已知抛物线 的焦点与双曲线 的右顶点重合，则抛物线的焦点 坐标为__________；准线方程为___________. 【答案】 ； 【解析】计算双曲线的右顶点坐标，可得抛物线的焦点坐标，进一步可得准线方程. 【详解】 由题可知：双曲线 的右顶点坐标为 所以可知抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为 故答案为： ； 【点睛】 本题主要考查抛物线的方程的应用，审清题意，注意细节，属基础题. 三、填空题 3.11 3.14 r 360 24  r 360 1524 =  2124 sin15 12 sin152 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = r r r 2 212 sin15 12sin15 3.11π π= ⇒ = ≈ r r 2 2y px= 2 2 14 x y− = (2,0) 2x = − 2 2 14 x y− = ( )2,0 ( )2,0 2x = − (2,0) 2x = −第 7 页 共 17 页 12． 的展开式中 的系数是___________. 【答案】 ； 【解析】根据二项式定理的通项公式 ，简单计算，可得结果. 【详解】 由题可知： 的通项公式为 ， 令 所以 的系数是 故答案为： 【点睛】 本题考查二项式中指定项的系数，掌握公式，细心计算，属基础题. 13．在 中， ， ， 为 的中点，则 ___________. 【答案】 ； 【解析】计算 ，然后将 用 表示，最后利用数量积公式可得结果. 【详解】 由 ， ， 所以 又 为 的中点， 所以 所以 故答案为： 【点睛】 本题考查向量的数量积运算，给出已知的线段与相应的夹角，通常可以使用向量的方法， 将几何问题代数化，便于计算，属基础题. 14．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过 600 元， 则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过 600 元，则超过 600 元部分享 受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算. 7( 1)x + 3x 35 1 Cr n r r r nT a b− + = 7( 1)x + 7 1 7 r r rT C x − + = 7 3 4− = ⇒ =r r 3x 4 7 35C = 35 ABC∆ 60ABC∠ =  2 2BC AB= = E AC AB BE⋅ =  1− BA BC⋅  BE ,BA BC  60ABC∠ =  2 2BC AB= = 1cos 1 2 12 ⋅ = ∠ = × × =   BA BC BA BC ABC E AC ( )1 2 = +  BE BA BC ( ) 21 1 1 1 1 12 2 2 2 2 ⋅ = − ⋅ + = − − ⋅ = − − = −       AB BE BA BA BC BA BA BC 1−第 8 页 共 17 页 某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为 30 元，则他实际所付金额为____元． 【答案】1120 【解析】明确折扣金额 y 元与购物总金额 x 元之间的解析式，结合 y＝30＞25，代入可 得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】 由题可知：折扣金额 y 元与购物总金额 x 元之间的解析式， y ∵y＝30＞25 ∴x＞1100 ∴0.1（x﹣1100）+25＝30 解得，x＝1150， 1150﹣30＝1120， 故此人购物实际所付金额为 1120 元． 【点睛】 本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是 解答的关键． 15．若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是 ___________. 【答案】 . 【解析】使用等价转化的思想，转化为 在 恒成立，然后利用分离参 数的方法，结合辅助角公式，可得 ，简单计算和判断，可得 结果. 【详解】 由题可知： ( ) ( ) 0 0 600 0.05 600 600 1100 0.1 1100 25 1100 x x x x x  ≤ = − ≤  − + ，＜ ， ＜ ， ＞ ( ) (cos )xf x e x a= − ( , )2 2 π π− a [ 2, )+∞ ' ( ) 0f x ≤ ( , )2 2 π π− max 2 cos 4 π  ≥ +    a x第 9 页 共 17 页 函数 在区间 上单调递减 等价于 在 恒成立 即 在 恒成立 则 在 恒成立 所以 ， 由 ，所以 故 ，则 所以 ，即 故答案为： 【点睛】 本题考查根据函数的单调性求参，难点在于得到 在 恒成立，通过等 价转化的思想，化繁为简，同时结合分离参数方法的，转化为最值问题，属中档题. 四、解答题 16．已知在 中， ， ，同时还可能满足以下某些条件： ① ；② ；③ ；④ . （1）直接写出所有可能满足的条件序号； （2）在（1）的条件下，求 及 的值. 【答案】（1）①，③；（2） ； 【解析】（1）根据大边对大角，可得 ，然后根据正弦定理，可得 . （2）利用正弦定理，可得 ，然后利用余弦定理 ，简单计算 可得结果. 【详解】 解：（1）①，③. ( ) (cos )xf x e x a= − ( , )2 2 π π− ' ( ) 0f x ≤ ( , )2 2 π π− ( )' ( ) cos sin 0= − − ≤xf x e x x a ( , )2 2 π π− cos sin 2 cos 4 π ≥ − = +  a x x x ( , )2 2 π π− max 2 cos 4 π  ≥ +    a x ( , )2 2x π π∈ − 3,4 4 4 π π π + ∈ −  x 2cos ,14 2 π   + ∈ −       x (2 cos 1, 24 π  + ∈ −   x 2a ≥ )2,∈ +∞a )2, +∞ ' ( ) 0f x ≤ ( , )2 2 π π− ABC∆ 2a = 2b = π 4A = B A> sin sinB A< 4c = B c 6B π= 3 1c = + A B> sin sinB A< B 2 2 2 2 cosa b c bc A= + −第 10 页 共 17 页 （2）由 ，可得 解得 或 （舍）. 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，识记公式，熟练使用正弦定理、余弦定理，边 角互化，考验计算能力，属中档题. 17．如图，已知四棱锥 的底面 ABCD 为正方形， 平面 ABCD，E、F 分别是 BC，PC 的中点， ，． （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】【详解】 sin sin a b A B = 2 2 sinsin 4 Bπ = 22 sin 2 14 2sin 2 22B π × ∴ = = = 2 2 6a b A B B π= > = ⇒ > ⇒ = 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 ( 2) 2 2 2a b c bc A c c= + − ⇒ = + − × × ×由 3 1c = + 3 1c = − + P ABCD− PA ⊥ 2, 2AB AP= = BD ⊥ PAC E AF C− − 6 π第 11 页 共 17 页 （1） （2）以 A 为原点，如图所示建立直角坐标系 ，， 设平面 FAE 法向量为 ，则 ， ， 18．某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为 分， 规定测试成绩在 之间为“体质优秀”，在 之间为“体质良好”，在 之间为“体质合格”，在 之间为“体质不合格”.现从这两个年级中各随机抽取 名 学生，测试成绩如下： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 高一年级 60 85 80 65 90 91 75 高二年级 79 85 91 75 60 其中 是正整数. （1）若该校高一年级有 学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数； （2）若从高一年级抽取的 名学生中随机抽取 人，记 为抽取的 人中为“体质良 好”的学生人数，求 的分布列及数学期望； （3）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试 成绩的方差最小时，写出 的值.（只需写出结论） 【答案】（1） ；（2）详见解析；（3） 【解析】（1）根据表中数据计算样本中的优秀率，然后用样本估计整体，简单计算可得 结果. （2）写出 所有可能取值，并求得相应的概率，列出分布列，然后根据数学期望公式， PA ABCD PA BD ABCD AC BD BD PAC ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  平面 正方形 平面 (0,0,0) (2,1,0) (1,1,1) (2,1,0) (1,1,1) A E F AE AF= =  ( , , )n x y z= 2 0{ 0 x y x y z + = + + = (1, 2,1)n = − ( 2,2,0)BD = − · 2 4 3cos 22 2· 6| |· ,6 6 n BD n BD E AF C θ π πθ += = = ∴ = − −   即二面角 的大小为 100 [85,100] [75,85) [60,75) [0,60) 7 m n ,m n 280 7 2 X 2 X ,m n 120 78m n= = X第 12 页 共 17 页 可得结果. （3）根据两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，可得 之间关系，然后利 用方差公式，结合二次函数，可得结果. 【详解】 解：（1）高一年级随机抽取的 7 名学生中， “体质优秀”的有 3 人，优秀率为 ，将此频率视为概率， 估计高一年级“体质优秀”的学生人数为 . （2）高一年级抽取的 7 名学生中 “体质良好”的有 2 人，非“体质良好”的有 5 人. 所以 的可能取值为 所以 所以随机变量 的分布列为： （3） 【点睛】 本题考查离散性随机变量的分布列以及数学期望，同时考查平均数与方差，本题主要考 验计算，牢记计算的公式，掌握基本统计量的概念，属基础题. 19．已知函数 . （1）求 在点 处的切线方程； （2）当 时，证明： ； （3）判断曲线 与 是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明 理由. ,m n 3 7 3 280 1207 × = 人 X 0,1,2 0 2 1 1 2 5 2 5 2 2 7 7 10 10( 0) , ( 1) ,21 21 = = = = = =C C C CP X P XC C 2 0 2 5 2 7 1( 2) 21 = = =C CP X C X X 0 1 2 P 10 21 10 21 1 21 10 10 1 12 4( ) 0 1 221 21 21 21 7E X = × + × + × = = 78m n= = ( ) ln , ( ) xf x x g x e= = ( )y f x= (1, (1))f 0x > ( ) ( )f x x g x< < ( )f x ( )g x第 13 页 共 17 页 【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）存在；存在 2 条公切线 【解析】（1）计算 ，根据曲线在该点处导数的几何意义可得切线的斜率，然后计 算 ，利用点斜式，可得结果. （2）分别构造 ，通过导数研究 的性质，可得 ， ，简单判断，可得结果. （3）分别假设 与 的切线，根据公切线，可得 ，利用导数 研究函数 零点个数，根据 性质可得结果. 【详解】 解：（1） 的定义域 又 所以 在点 处的切线方程为： . （2）设 ， ， ↑ 极大值 ↓ 设 则 在 上恒成立 1y x= − ( )'f x ( )1f ( ) ln , ( )= − = − xh x x x s x x e ( ), ( )h x s x max( ) 0h x < ( ) (0) 1s x s< = − ( )f x ( )g x (1 ) 1 0− + + =x x xe ( ) (1 ) 1xh x e x x= − + + ( )h x ( ) lnf x x= (0, )+∞ 1( ) (1) 1f x k fx = ⇒ ′=′ =由 (1) 0f = ( )y f x= (1, (1))f 1y x= − ( ) ( ) ln ( 0)h x f x x x x x= − = − > 1 1'( ) 1 0 1xh x xx x −= − = = ⇒ =由 '( ), ( )h x h x x随 变化如下: x (0,1) 1 (1, )+∞ )'(h x + 0 − ( )h x max( ) (1) ln1 1 1 0h x h∴ = = − = − < ( )f x x∴ < ( ) ( ) ,= − = − xs x x g x x e '( ) 1 e 0xs x = − < (0, )x∈ +∞ (0,( ) )xs x ∈ +∴ ∞在 上单调递减 ( ) (0) 1 0 ( )∴ < = − < ⇒ ( )h x ( ),0−∞ 0x > ( )'' ( ) 1 0= − + 2 2( 2) 3 1 0, (2) 3 0−− = − < = − + > 2 2 2 ,A B A AE x⊥ E BE D ABD∆ 2 2 14 2 x y+ = 22, 2 cb a = = 2 2 2a b c= + ( )1 1,A x y ( ), yD DD x ( )1 1,B x y− − ( )1,0E x 2 1 12 1 8 3 8D yx xy −= − 3 1 2 13 8D yy y −= − 1AB ADk k = − ABD∆ 22, 2 cb a = = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 c a b a a a a − −= = = 2a = 2 2 14 2 x y+ = ( )1 1,A x y ( ), yD DD x ( )1 1,B x y− − ( )1,0E x BE ( )1 1 12 yy x xx = − 2 2 14 2 x y+ = 2 2 2 21 1 1 2 1 1 1 4 02 2 y y yx xx x  + − + − =    Dx 1x− ( ) 2 1 2 21 1 12 22 1 11 2 1 4 82 21 2 D y yx x xx yy x − −− = = + +    2 2 1 1 14 2 x y+ =第 16 页 共 17 页 所以 ，代入直线方程得 所以 ，即 是直角三角形. 【点睛】 本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理计算能力. 21．已知数列 ，且 .若 是一个 非零常数列，则称 是一阶等差数列，若 是一个非零常数列，则称 是二阶 等差数列. （1）已知 ，试写出二阶等差数列 的前五项； （2）在（1）的条件下，证明： ； （3）若 的首项 ，且满足 ，判断 是否为 二阶等差数列. 【答案】（1） ， ， ， ， ;（2）证明见解析；（3） 不是二阶等差数列 【解析】（1）根据 ，以及 ，简单计算， 可得结果. （2）根据 ，可知 ，利用 ，使用迭加法，可得 . （3）根据题意可得 ，进一步可得 ，然后可得 ，简单判断，可得结果. 【详解】 解：（1） ， ， ， ， . （2） 2 1 12 1 8 3 8D yx xy −= − 3 1 2 13 8D yy y −= − 3 1 1 2 2 1 1 1 2 2 11 1 1 12 1 3 8 2 4 18 3 8 AB AD yyy y yk k yx xx xy + − −= = = −−− −   AB AD⊥ ABD∆ { } { } { }, ,n n na b c 1 1, ( )n n n n n nb a a c b b n N ∗ + += − = − ∈ { }nb { }na { }nc { }na 1 11, 1, 1na b c= = = { }na 2 2 2n n na − += { }na 1 2a = 1 1 3 2 ( )n n n nc b a n N+ ∗ +− + = − ∈ { }na 1 1a = 2 2a = 3 4a = 4 7a = 5 11a = { }na 1 11, 1, 1na b c= = = 1 1,+ += − = −n n n n n nb a a c b b 1 1+ − = =n n nb b c nb n= 1n n na a+ − = na 1 1 2 4( 2 )+ + + = +n n n na a na 9 4 2= ⋅ −n n nc 1 1a = 2 2a = 3 4a = 4 7a = 5 11a = 1 1, 1,2,3,n n nb b c n+ − = = = ⋅⋅⋅第 17 页 共 17 页 又 . （3） 不是二阶等差数列.理由如下： 数列 满足 又 ， （ ） 由 则 数列 是首项为 ，公比为 4 的等比数列 ，显然 非常数列 不是二阶等差数列. 【点睛】 本题考查数列中新定义的理解，关键在于发现 之间的关系，考查观察能力，分 析能力以及逻辑思维能力，新定义的理解同时考查了阅读理解能力，属难题. 1 1 1 1 1 n n i i b c b n n − = ∴ = + = − + =∑ 1 , 1,2,3,n n na a b n n+ − = = = ⋅⋅⋅ 21 1 1 ( 1) 212 2 n n i i n n n na b a − = − − +∴ = + = + =∑ { }na  { }na 1 1 3 2 ( )n n n nc b a n N+ ∗ +− + = − ∈ 1n n nb a a+= − 1+= −n n nc b b n ∗∈N ∴ 1 1 1 13 2 4 2+ + + +− + = − ⇒ = +n n n n n n nc b a a a 1 1 2 4( 2 )+ + + = +n n n na a ∴ { }2n na + 1 2 4a + = 12 4 4 4 4 2n n n n n n na a−∴ + = ⋅ = ⇒ = − 9 4 2n n nc∴ = ⋅ − { }nc { }na∴ , ,n n na b c