2020届湖南湖北四校高三下学期4月学情调研联考数学（文）试题（解析版）

第 1 页 共 25 页 2020 届湖南湖北四校高三下学期 4 月学情调研联考数学（文） 试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】化简集合 Q,根据集合的并集运算即可. 【详解】 由题意得， ， ， ∴ ，故选 D. 【点睛】 本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题. 2．x，y 互为共轭复数，且 则 （ ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】C 【解析】利用待定系数法求解，设复数 ，则其共轭复数 ，然后将 x， y 代入 中化简，可求出 的值，从而可求出复数 x，y 的模. 【详解】 设 ， ，代入得 ， 所以 ， ，解得 ， ，所以 . 故选：C 【点睛】 此题考查复数和其共轭复数，复数的运算，复数的模，属于基础题. 3．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证 明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角 为 ，若向弦图内随机抛掷 200 颗米粒（大小忽略不计，取 ），则落在小 正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ） { | 0 4}P x R x= ∈ ≤ ≤ { || | 3}Q x R x= ∈ < P Q = [3,4] ( 3, )− +∞ ( ,4]−∞ ( 3,4]− [0,4]P = ( 3,3)Q = − ( 3,4]P Q∪ = − ( )2 3 i 4 6ix y xy+ − = − x y+ = 2 2 ix a b= + iy a b= − ( )2 3 i 4 6ix y xy+ − = − ,a b ix a b= + iy a b= − ( ) ( )2 2 22 3 i 4 6ia a b− + = − ( )22 4a = ( )2 23 6a b+ = 1=a 1=b 2 2x y+ = 30° 3 1.732≈第 2 页 共 25 页 A．20 B．27 C．54 D．64 【答案】B 【解析】设大正方体的边长为 ，从而求得小正方体的边长为 ，设落在小 正方形内的米粒数大约为 ，利用概率模拟列方程即可求解。 【详解】 设大正方体的边长为 ，则小正方体的边长为 ， 设落在小正方形内的米粒数大约为 ， 则 ，解得： 故选：B 【点睛】 本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。 4．如图所示，在 中，点 在线段 上，且 ，若 ，则 （ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】分析：从 A 点开始沿着三角形的边转到 D，则把要求的向量表示成两个向量 的和，把 写成 的实数倍，从而得到 ，从而确定出 ，最后求得结果. x 3 1 2 2x x− N x 3 1 2 2x x− N 2 2 3 1 2 2 200 x x N x  −    = 27N ≈ ABC∆ D BC 3BD DC= AD AB ACλ µ= +   λ µ = 1 2 1 3 2 3 BD BC AD 1 3 4 4AB AC= +  1 3,4 4 λ µ= =第 3 页 共 25 页 详解： ， 所以 ，从而求得 ，故选 B. 点睛：该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系， 结合三角形法则，求得结果. 5．已知定义在 R 上的函数 （m 为实数）为偶函数，记 ， ， 则 a，b，c 的大小关系为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据 f（x）为偶函数便可求出 m＝0，从而 f（x）＝ ﹣1，根据此函数的奇 偶性与单调性即可作出判断. 【详解】 解：∵f（x）为偶函数； ∴f（﹣x）＝f（x）； ∴ ﹣1＝ ﹣1； ∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|； （﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2； ∴mx＝0； ∴m＝0； ∴f（x）＝ ﹣1； ∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且 a＝f（| |）＝f（ ）， b＝f（ ），c＝f（2）； ∵0＜ ＜2＜ ； ∴a ( )1 0F c－ ， ( )2 0F c， N 23c, 2 b a  −   C M 2 4MF MN b>+ C第 5 页 共 25 页 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先根据双曲线的定义， ，转化为 ，即 ，根据数形结合可知，当点 三点共线时， 最小，转化为不等式 ，最后求离心 率的范围. 【详解】 由已知可得 ，若 ， 即 ，左支上的点 均满足 ， 如图所示，当点 位于 点时， 最小， 故 ，即 , , 或 或 或 或 双曲线 的离心率的取值范围为 . 【点睛】 本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是 根据几何关系分析 的最小值，转化为 的代数关系，最后求 的范 围. 13 , 53       ( 5, 13) 131, ( 5, )3   +∞    (1, 5) ( 13, )+∞ 2 1 2MF MF a= + 1 2 4MF MN a b+ + > ( )1 min 2 4MF MN a b+ + > 1, ,M F N 1MF MN+ 23 2 42 b a ba + > 2 1 2MF MF a− = 2 | | 4MF MN b+ > 1 | | | 2 4MF MN a b+ + >‖ M 2 | | 4MF MN b+ > M H 1 | |MF MN+ 23 2 42 b a ba + > 2 23 4 8b a ab+ > 2 23 8 4 0, (2 )(2 3 ) 0b ab a a b a b∴ − + > ∴ − − > 2 3a b∴ > 2 22 , 4 9a b a b< ∴ > 2 2 2 24 , 9 13a b c a< ∴ < 2 2 135 , 1 3 cc a a > ∴ < < 5,c a > ∴ C 131, ( 5, )3   +∞    1 | | |MF MN+‖ ,a b c a第 6 页 共 25 页 8．为计算 ，设计了下面的程序框图，则在空白框中 应填入 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累 加量为隔项. 详解：由 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加， 最后再相减.因此在空白框中应填入 ，选 B. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的 相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、 循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 9．设 的内角 所对的边分别为 ，且 ，则 的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∴由正弦定理，得 1 1 1 1 11 2 3 4 99 100S = − + − + + −… 1i i= + 2i i= + 3i i= + 4i i= + 1 1 1 1 11 2 3 4 99 100S = − + − +…+ − 2i i= + ABC△ , ,A B C , ,a b c 3cos cos 5a B b A c− = ( )tan A B− 3 2 3 4 3 2 3 3cos cos 5a B b A c − = 3 5sinAcosB sinBcosA sinC− = ，第 7 页 共 25 页 ，， ∴ 整理，得 ，同除以 得 ， 由此可得 是三角形内角，且 与 同号， 都是锐角，即 当且仅当 ，即 时， 的最大值为 ． 故选 B． 10．已知函数 在区间 上 是增函数，且在区间 上恰好取得一次最大值 1，则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先将 化简为 ，由 在区间 上恰好取得一次最大 值，有 ， 在区间 上是增函数，可得 ，从而 得出答案. 【详解】 ， . 令 可得 ， 在区间 上恰好取得一次最大值， C A B sinC sin A Bπ= − + ⇒ = + （ ） （ ） 3 5sinAcosB sinBcosA sinAcosB cosAsinB− = +（ ）， 4sinAcosB sinBcosA= cosAcosB， 4tanA tanB= 2 3 3 11 1 4 4 tanA tanB tanBtan A B tanAtanB tan B tanBtanB （ ） ，−− = = =+ + + A B 、 tan A tanB A B∴ 、 0 0tanA tanB＞ ， ＞ ， 1 14 2 4 4tanB tanBtanB tanB + ≥ ⋅ = 3 3 1 44 tan A B tanBtanB − = ≤ + （ ） ， 1 4tanBtanB = 1 2tanB = tan A B−（ ） 3 4 ( ) ( )2 2π2sin cos sin 02 4 rf x x x ωω ω ω = ⋅ − − >   2π 5π,3 6  −   [ ]0,π w 30, 5      1 3,2 5      1 3,2 4      1 5,2 2     ( )f x ( ) sinf x xω= ( )f x [ ]0,π π0 π2ω≤ ≤ ( )f x 2π 5π,3 6  −   2π π 3 2 5π 3 6 5 ω ω − ≥ −  ≤ ≤ 2 π π2cos 1 cos 1 sin2 4 2 x x x ω ω ω   − = + − = +       ( ) ( ) 2sin 1 sin sin sinf x x x x xω ω ω ω= + − = π 2 π2x kω = + π 2 π 2 kx ω ω= + ( )f x [ ]0,π第 8 页 共 25 页 解得 . 令 ，解得： ， 在区间 上是增函数， ，解得 .综上， . 故选：B. 【点睛】 本题考查利用三角函数的单调性和最值情况求参数范围，考查了分析解决问题的能力， 属于中档题. 11．过双曲线 右焦点 的直线交两渐近线于 、 两点，若 ， 为坐标原点，且 内切圆半径为 ，则该双曲线的离心率 为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设内切圆圆心为 ，则 在 平分线 上，过点 分别作 于 ， 于 ，由 得四边形 为正方形,则 可 得离心率. 【详解】 因为 ，所以双曲线的渐近线如图所示， 设内切圆圆心为 ，则 在 平分线 上， 过点 分别作 于 ， 于 ，由 得四边形 为正方 形，由焦点到渐近线的距离为 得 ，又 ，所以 ， ，所以 ， π0 π2ω∴ ≤ ≤ 1 2 ω ≥ π π2 π 2 π2 2k x kω− + ≤ ≤ + π 2 π π 2 π 2 2 k kxω ω ω ω− + ≤ ≤ + ( )f x 2π 5π,3 6  −   2π π 3 2 5π π 6 2 ω ω − ≥ −∴  ≤ 3 5 ω ≤ 1 3 2 5 ω≤ ≤ ( )2 2 2 2 1 0x y a b a b − = > > F A B 0OA AB⋅ =  O OAB 3 1 2 a − 2 3 3 3 4 3 3 3 1+ M M AOB∠ OF M MN OA⊥ N MT AB⊥ T FA OA⊥ MTAN tanb AOFa = ∠ 0a b> > M M AOB∠ OF M MN OA⊥ N MT AB⊥ T FA OA⊥ MTAN b FA b= OF c= OA a= 3 1 2NA MN a= = − 3 1 3 3 2 2NO OA AN a a a= − =− −= −第 9 页 共 25 页 所以 ，得 . 故选：A. 【点睛】 本题考查求双曲线的离心率，考查双曲线的几何性质，属于中档题. 12．已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先证得 平面 ，再求得 ，从而得 为 正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】 解法一: 为边长为 2 的等边三角形， 为正三棱 锥， ，又 ， 分别为 、 中点， ， ，又 ， 平面 ， 平面 ， ， 为正方体一 部分， ，即 ，故 选 D． tan 3 3 MNb AOFa NO = ∠ = = 2 2 31 3 be a  = + =   8 6π 4 6π 2 6π 6π PB ⊥ PAC 2PA PB PC= = = P ABC− ,PA PB PC ABC= = ∆ P ABC∴ − PB AC∴ ⊥ E F PA AB / /EF PB∴ EF AC∴ ⊥ EF CE⊥ ,CE AC C EF= ∴ ⊥ PAC PB ⊥ PAC 2APB PA PB PC∴∠ = 90°,∴ = = = P ABC∴ − 2 2 2 2 6R = + + = 36 4 4 6 6, 62 3 3 8R V R= ∴ = π = × = ππ第 10 页 共 25 页 解法二: 设 ， 分别为 中点， ，且 ， 为边长为 2 的等边三角形， 又 中余弦定理 ，作 于 ， ， 为 中点， ， ， ， ，又 ， 两两垂直， ， ， ，故选 D. 【点睛】 本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱 两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 2PA PB PC x= = = ,E F ,PA AB / /EF PB∴ 1 2EF PB x= = ABC∆ 3CF∴ = 90CEF∠ = ° 2 13 , 2CE x AE PA x∴ = − = = AEC∆ ( )2 24 3 cos 2 2 x x EAC x + − − ∠ = × × PD AC⊥ D PA PC= D AC 1cos 2 ADEAC PA x ∠ = = 2 24 3 1 4 2 x x x x + − +∴ = 2 2 1 22 1 2 2 2x x x∴ + = ∴ = = 2PA PB PC∴ = = = = = =2AB BC AC , ,PA PB PC∴ 2 2 2 2 6R∴ = + + = 6 2R∴ = 34 4 6 6 63 3 8V R∴ = π = π× = π第 11 页 共 25 页 二、填空题 13．命题“ ， ”的否定是______． 【答案】 ， 【解析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可． 【详解】 命题是特称命题，则命题的否定是全称命题， 即 ， ； 故答案为： ， ； 【点睛】 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 14．观察分析下表中的数据： 多面体 面数（ ） 顶点数（ ) 棱数（ ) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中， 所满足的等式是_________. 【答案】 【解析】试题分析：①三棱锥： ,得 ；② 五棱锥： ,得 ；③立方体： ,得 ；所以归纳猜想一般凸多面体中， 所满足的等式是： ，故答案为 【考点】归纳推理. ( )0x 0, ∞∃ ∈ + 0 0lnx x 1= − ( )x 0, ∞∀ ∈ + lnx x 1≠ − ( )x 0, ∞∀ ∈ + lnx x 1≠ − ( )x 0, ∞∀ ∈ + lnx x 1≠ − 2F V E+ − = 5, 6, 9F V E= = = 5 6 9 2F V E+ − = + − = 6, 6, 10F V E= = = 6 6 10 2F V E+ − = + − = 6, 8, 12F V E= = = 6 8 12 2F V E+ − = + − = 2F V E+ − = 2F V E+ − =第 12 页 共 25 页 15．设函数 ，函数 ，若对于任意的 ，总存在 ，使得 ，则实数 m 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】由题意可知， 在 上的最小值大于 在 上的最小值，分别 求出两个函数的最小值，即可求出 m 的取值范围. 【详解】 由题意可知， 在 上的最小值大于 在 上的最小值. ，当 时， ，此时函数 单调递减； 当 时， ，此时函数 单调递增. ，即函数 在 上的最小值为-1. 函数 为直线， 当 时， ，显然 不符合题意； 当 时， 在 上单调递增， 的最小值为 ，则 ，与 矛盾； 当 时， 在 上单调递减， 的最小值为 ，则 ， 即 ，符合题意. 故实数 m 的取值范围是 . 【点睛】 本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数 的最值，属于中档题. 16．某小商品生产厂家计划每天生产 型、 型、 型三种小商品共 100 个，生产一 个 型小商品需 5 分钟，生产一个 型小商品需 7 分钟，生产一个 型小商品需 4 分 钟，已知总生产时间不超过 10 小时．若生产一个 型小商品可获利润 8 元，生产一个 型小商品可获利润 9 元，生产一个 型小商品可获利润 6 元．该厂家合理分配生产 任务使每天的利润最大，则最大日利润是__________元. 【答案】850 ( ) ( )e 1xf x x= − ( )g x mx= [ ]1 2,2x ∈ − [ ]2 1,2x ∈ ( ) ( )1 2f x g x> 1( , )2 −∞ − ( )f x [ ]2 2− , ( )g x [ ]1,2 ( )f x [ ]2 2− , ( )g x [ ]1,2 ( ) exf x x′ = [ ]2,0x∈ − ( ) 0f x′ ≤ ( )f x ( ]0,2x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) ( )00 e 0 1 1f = − = − ( )f x [ ]2 2− , ( )g x mx= 0m = ( ) 0g x = 1 0− < 0m > ( )g x [ ]1,2 ( )g x ( )1g m= 1m < − 0m > 0m < ( )g x [ ]1,2 ( )g x ( )2 2g m= 1 2m− > 1 2m < − 1, 2  −∞ −   A B C A B C A B C第 13 页 共 25 页 【解析】由题意将原问题转化为线性规划的问题，然后利用线性规划的方法求解最值即 可. 【详解】 依题意，每天生产的玩具 A 型商品 x 个、B 商品 y 个、C 商品的个数等于：100−x−y， 所以每天的利润 T=8x+9y+6(100−x−y)=2x+3y+600. 约束条件为： ， 整理得 . 目标函数为 T=2x+3y+600. 如图所示,做出可行域. 初始直线 l0:2x+3y=0，平移初始直线经过点 A 时，T 有最大值。 由 得 . 最优解为 A(50,50)， 此时 Tmax=850(元). 即最大日利润是 850 元. 【点睛】 本题主要考查线性规划的实际应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. 三、解答题 17．已知数列 、 满足： ， ， . （1）证明： 是等差数列，并求数列 的通项公式； ( ) * 5 7 4 100 600 100 0 0, 0, , x y x y x y x y x y N  + + − −  − −  ∈     * 3 200 100 , x y x y x y N +  +  ∈   3 200 100 x y x y + =  + = 50 50 x y =  = { }na { }nb 1 1 4a = 1n na b+ = 1 21 n n n bb a+ = − 1 1nb    −  { }nb第 14 页 共 25 页 （2）设 ，求实数 为何值时 恒成立． 【答案】（1）见解析， ；（2） 【解析】（1）由已知变形为 ，再构造 ，从而证明数列 是等差数列，并求通项公式； （2）由（1）可知 ，再写出 ，利用裂项相消法求和， 恒成立整理为 恒成立，分 ， 和 三种情况讨论 时恒成立求 的取值范围. 【详解】 （1）∵ ， ∴ ，∴ ． ∴数列 是以-4 为首项，-1 为公差的等差数列． ∴ ，∴ ． （2）∵ ． ∴ ， ∴ ． 由条件可知 恒成立即可满足条件，设 ， 当 时， 恒成立， 1 2 2 3 3 4 1n n nS a a a a a a a a += + + +⋅⋅⋅+ a 4 n naS b< 2 3n nb n += + 1a ≤ 1 1 2n n b b+ = − 1 1 1 11 1n nb b+ − = −− − 1 1nb    −  11 3n na b n = − = + nS 4 n naS b< ( ) ( ) ( )( ) 21 3 6 824 04 3 3 4n n a n a nan naS b n n n n − + − −+− = − = 1a < *n N∈ a ( )( ) ( )1 1 1 1 2 2 n n n n n n n n b bb a a b b b+ = = =− + − − 1 11 12n n b b+ − = −− 1 21 111 1 1 n n n n b b b b+ −= = − +− − − 1 1nb    −  ( )1 4 1 31n n nb = − − − = − −− 1 21 3 3n nb n n += − =+ + 11 3n na b n = − = + ( )( )1 2 2 3 1 1 1 1 4 5 5 6 3 4n n nS a a a a a a n n+= + +⋅⋅⋅+ = + +⋅⋅⋅× × + + ( ) 1 1 4 4 4 4 n n n = − =+ + ( ) ( ) ( )( ) 21 3 6 824 4 3 3 4n n a n a nan naS b n n n n − + − −+− = − =+ + + + ( ) ( )21 3 6 8 0a n a n− + − − < ( ) ( ) ( )21 3 2 8f n a n a n= − + − − 1a = ( ) 3 8 0f n n= − − 1a < 3 2 3 11 02 1 2 1 a a a −  − ⋅ = − − 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2e = 3 2 a b + 2 4y x= − 2 2 14 3 x y+ = 125 6 16 4 2: 6 63 3MP y x= − +第 19 页 共 25 页 【解析】（1）由题意， 和 ，得到 ， ，根据 取 最小值时 ，即可求得抛物线和椭圆的方程； （2）用 表示出椭圆的方程，联立方程组得出 点的坐标，计算出 的三边关 于 的式子，从而确定实数 的值，求出 得距离和 到直线 的距离，利用二 次函数的性质，求得 面积取最大值，即可求解． 【详解】 （1）由题意，抛物线 的准线方程为 ， 椭圆 的右焦点 ，所以 ， 又由 ，则 ， ，所以 取最小值时 ， 所以抛物线 C1: ， 又由 ， ，所以椭圆 C2 的方程为 ． （2）因为 ， ，则 ， ， 设椭圆的标准方程为 ， ， 联立方程组 ，得 ， 所以 或 （舍去），代入抛物线方程得 ，即 ，于是 ， ， ， 又 的边长恰好是三个连续的自然数，所以 ， 此时抛物线方程为 ， ， ， 则直线 PQ 的方很为 ，联立 ，得 或 c m= 1 2 ce a = = 2a m= 3b m= 3 2 a b + 1m = m P 1 2PF F∆ m m PQ M PQ MPQ∆ 2 1 : 4 ( 0)C y mx m= − > :l x m= 2 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 ( ,0)F c c m= 1 2 ce a = = 2a m= 3b m= 3 2 a b + 1m = 2 4y x= − 2a = 2 3b = 2 2 14 3 x y+ = c m= 1 2 ce a = = 2a m= 3b m= 2 2 2 2 14 3 x y m m + = 0 0 1 1( , ), ( , )P x y Q x y 2 2 2 2 2 14 3 4 x y m m y mx  + =  = − 2 23 16 12 0x mx m− − = 0 2 3x m= − 0 6x m= 0 2 6 3y m= 2 2 6,3 3 m mP  −    1 5 3 mPF = 2 1 72 3 mPF a PF= − = 1 2 62 3 mF F m= = 1 2PF F∆ 3m = 2 12y x= − 1( 3,0)F − ( 2,2 6)P − 2 6( 3)y x= + 2 2 6( 3) 12 y x y x  = + = − 1 9 2x = − 1 2x = −第 20 页 共 25 页 （舍去），于是 .所以 ， 设 到直线 的距离为 ，则 ， 当 时， ， 所以 的面积最大值为 ， 此时 MP： . 【点睛】 本题主要考查椭圆和抛物线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应 用,解答此类题目，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的 关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查 考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21．已知函数 ，其中 为常数． （1）若直线 是曲线 的一条切线，求实数 的值； （2）当 时，若函数 在 上有两个零点．求实数 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设切点 ， 由题意得 ，解方程组即可得结果； （2）函数 在 上有两个零点等价于，函数 的图象与直线 有两个交点，设 ， 利用导数可得函数 在 处取得极大值 ，结合 ， ，从而可得结果. 9 , 3 62Q − −   2 29 25| | 2 (2 6 3 6)2 2PQ  = − + + + =   2 , ( ( 3 6,2 6))12 tM t t  − ∈ −   PQ d 2 6 6 75 30 2 2d t  = × + −    6 2t = − max 6 75 5 6 30 2 4d = × = MPQ∆ 1 25 5 6 125 6 2 2 4 16 × × = 4 26 63 3y x= − + ( ) lnxf x a xe = + a 2y xe = ( )y f x= a 1a = − ( ) ( ) ln xg x f x bx = − + [ )1 + ∞， b 1a = 1 1,b e e  ∈ −   ( )0 0,x y 0 0 0 0 1 2 , 2 ln a e x e xx a xe e  + =  = + ( ) ( ) ln xg x f x bx = − + [ )1 + ∞， lnln x xy x x e = + − y b= ln( ) ln ( 0)x xh x x xx e = + − > ( )h x x e= 1( )h e e = 1(1)h e = − ( )3 2 3 3 13h e ee e = + − < −第 21 页 共 25 页 【详解】 （1）函数 的定义域为 ， ， 曲线 在点 处的切线方程为 . 由题意得 解得 ， .所以 的值为 1. （2）当 时， ，则 ， 由 ，得 ，由 ，得 ，则 有最小值为 ， 即 ， 所以 ， ， 由已知可得函数 的图象与直线 有两个交点， 设 ， 则 ， 令 ， ， 由 ，可知 ，所以 在 上为减函数， 由 ，得 时， ，当 时， ， 即当 时， ，当 时， ， 则函数 在 上为增函数，在 上为减函数， 所以，函数 在 处取得极大值 ， 又 ， ， 所以，当函数 在 上有两个零点时， 的取值范围是 ， 即 . ( )f x (0, )+∞ 1( ) a x aef x e x ex +′ = + = ( )y f x= ( )0 0,x y 2y xe = 0 0 0 0 1 2 , 2 ln a e x e xx a xe e  + =  = + 1a = 0x e= a 1a = − ( ) lnxf x xe = − 1 1( ) x ef x e x ex −′ = − = ( ) 0f x′ > x e> ( ) 0f x′ < 0 x e< < ( )f x ( ) 0f e = ( ) 0f x  ln( ) lnx xg x x be x = − − + ( 0)x > lnln x xy x x e = + − y b= ln( ) ln ( 0)x xh x x xx e = + − > 2 1 1 ln 1( ) xh x x x e −′ = + − 2 2 lnex e e x x ex + − −= 2( ) lnx ex e e x xϕ = + − − 22( ) 2e ex e xx e xx x ϕ − −′ = − − = 22 0ex e x− − < ( ) 0xϕ′ < ( )xϕ (0, )+∞ ( ) 0eϕ = 0 x e< < ( ) 0xϕ > x e> ( ) 0xϕ < 0 x e< < ( ) 0h x′ > x e> ( ) 0h x′ < ( )h x (0, )e ( , )e +∞ ( )h x x e= 1( )h e e = 1(1)h e = − ( )3 2 2 3 3 13 4 1h e e ee e = + − < − < − < − ( )g x [1, )+∞ b 1 1be e −