2020届河南省郑州市高三第二次质量预测数学（文）试题（解析版）

第 1 页 共 20 页 2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测数学（文）试题 一、单选题 1．设函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别求出两个函数的定义域 ，进而求出 即可. 【详解】 由题意，对于函数 ， ，解得 ，即 ； 对于函数 ， ，解得 ，即 ， 所以 . 故选：D. 【点睛】 本题考查函数的定义域，考查集合的交集，属于基础题. 2．已知复数 ，若 ，则复数 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出 的表达式，再结合 ，可求出 的值，即可求出答案. 【详解】 由题意， ， ，所以 ，解得 ，故 . 故选：B. 【点睛】 本题考查共轭复数，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 3．已知命题 ： ，则 ；命题 ：若 ，则 ，下列命题为真命 题的是( ) A． B． C． D． 29y x= − A ln(3 )y x= − B A B = ( ,3)−∞ ( 8, 3)− − {3} [ 3,3)− ,A B A B 29y x= − 29 0x− ≥ 3 3x− ≤ ≤ [ ]3,3A = − ln(3 )y x= − 3 0x− > 3x < ( ),3B = −∞ A B = [ 3,3)− i( )z a a= − ∈R 8z z+ = z = 4 i+ 4 i− 4 i− + 4 i− − z 8z z+ = a i( )z a a= − ∈R iz a= + i i 8a a− + + = 4a = z = 4 i− p 0x∀ > 3 1x > q a b< 2 2a b< p q∧ p q∧ ¬ p q¬ ∧ p q¬ ∧ ¬第 2 页 共 20 页 【答案】B 【解析】由指数函数的性质可知命题 p 为真命题，则￢p 为假命题，命题 q 是假命题， 则￢q 是真命题．因此 p∧￢q 为真命题． 【详解】 命题 ： ，则 ，则命题 p 为真命题，则￢p 为假命题； 取 a=-1，b=-2，a＞b，但 a2＜b2，则命题 q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p∧q 是假命题，p∧￢q 是真命题，￢p∧q 是假命题，￢p∧￢q 是假命题． 故选 B． 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查了全称命题的否定，训练了函数零点存在性定理 的应用方法，考查复合命题的真假判断，是基础题． 4．设 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是 （ ）． A．若 ，则 B． ，则 C．若 ∥ ， ，则 D． ∥ ，则 ∥ 【答案】C 【解析】试题分析：A．错，因为没说明 垂直于两平面的交线，B．错，垂直于同一 平面的两个平面相交或平行，C．正确，因为平面 存在垂直于 的线，D．错，因为 与 有可能相交．故选 C． 【考点】线线，线面，面面位置关系 5．郑州市 2019 年各月的平均气温 数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（ ） A．20 B．21 C．20.5 D．23 p 0x∀ > 3 1x > ,m n , ,α β γ ,m β α β⊂ ⊥ m α⊥ ,α β α γ⊥ ⊥ β γ⊥ m α m β⊥ α β⊥ , ,m n mα γ β γ∩ = ∩ = n α β ( )℃第 3 页 共 20 页 【答案】C 【解析】根据茎叶图结合中位数的定义读出即可． 【详解】 解：由题意得，这组数据是：01，02，15，16，18，20，21，23，23， 28，32，34， 故中位数是： ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了茎叶图的读法，考查中位数的定义，属于基础题． 6．在如图所示的程序框图中，若输出的值是 3，则输入的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】 解：设输入 ， 第一次执行循环体后， ， ，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后， ， ，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后， ， ，满足退出循环的条件； 故 ，且 ， 解得： ， 故选：B． 20 21 20.52 + = x (2, )+∞ (4,10] (2,4] (4, )+∞ i x a= 3 2x a= − 1i = 9 8x a= − 2i = 27 26x a= − 3i = 9 8 82a −  27 26 82a − > (4,10]a∈第 4 页 共 20 页 【点睛】 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方 法解答，属于中档题． 7． 是边长为 1 的等边三角形，点 分别是边 的中点，连接 并延 长到点 ，使得 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析：设 ， ，∴ ， ， ，∴ . 【考点】向量数量积 【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐 标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解 和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将 “形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量 运算完全代数化，将数与形紧密结合起来． 8．已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则双曲 线的离心率为（ ） A． B．10 C．3 D． 【答案】D 【解析】由题可知直线 与渐近线 垂直，可求出 的值，进而由 可求出离心率. 【详解】 由题意，双曲线的渐近线方程为 ， ABC∆ ,D E ,AB BC DE F 2DE EF= ·AF BC  5 8 − 1 8 1 4 11 8 BA a= BC b = 1 1 ( )2 2DE AC b a= = −  3 3 ( )2 4DF DE b a= = −  1 3 5 3( )2 4 4 4AF AD DF a b a a b= + = − + − = − +   25 3 5 3 1 4 4 8 4 8AF BC a b b⋅ = − ⋅ + = − + =  2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3 5 0x y− + = 10 10 3 3 5 0x y− + = by xa = − b a 2 1c be a a  = = +    by xa = ±第 5 页 共 20 页 又因为直线 的斜率为 ，所以与该直线垂直的渐近线方程为 ， 则 ，即 ，故双曲线的离心率 . 故选：D. 【点睛】 本题考查双曲线的渐近线与离心率，考查垂直直线的性质，考查学生的计算求解能力， 属于基础题. 9．函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先判断函数 的奇偶性，可排除A、B 选项，再根据 时， ， 时， ，可选出答案. 【详解】 由题意，函数 的定义域为 ， 又 ，即 ，所以 是偶函数，可排除 A、B 选项； 当 时， ；当 时， ，显然只 有选项 D 符合题意. 故选：D. 【点睛】 3 5 0x y− + = 3 0> by xa = − 3 1b a  − = −   1 3 b a = 2 1 101 1 9 3 c be a a  = = + = + =   2 | |( ) 2 4x xf x = − ( )f x ( )0,2x∈ ( ) 0f x < ( )2,x∈ +∞ ( ) 0f x > 2 | |( ) 2 4x xf x = − }{ , 2x x x∈ ≠ ±R ( )2 2 | | | |( ) 2 4 2 4x x x xf x − −− = =− − ( ) ( )f x f x− = ( )f x ( )0,2x∈ 2 ( ) 02 4x xf x = −第 6 页 共 20 页 本题考查函数图象的识别，常常利用函数的定义域、奇偶性、单调性及特殊值等方法， 考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题. 10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提 出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线 时，表示收入完全平等，劳 伦茨曲线为折线 时，表示收入完全不平等.记区域 为不平等区域， 表示其面积， 为 的面积．将 ，称为基尼系数．对于下列说法： ① 越小，则国民分配越公平； ②设劳伦茨曲线对应的函数为 ，则对 ，均有 ； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 ，则 ； 其中正确的是：（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解析】结合基尼系数曲线的特点，可判断出①正确；由劳伦茨曲线为一条凹向横轴 的曲线，可知 ，均有 ，可知②错误；再结合 对应的图形特征，可求出对应的 ，进而可求出 ，即可判断③是否正确. 【详解】 对于①，根据基尼系数公式 ，可得基尼系数越小，不平等区域的面积 越小， 国民分配越公平，所以①正确； 对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知 ，均有 ，可 得 ，所以②错误； 对于③，易知 表示圆心为 ，半径为 1 的 圆弧，则 OL OKL A a S OKL△ aGini S = Gini ( )y f x= (0,1)x∀ ∈ ( ) 1f x x > 21 1 ( [0,1])y x x= − − ∈ π 12Gini = − (0,1)x∀ ∈ ( )f x x< 21 1 ( [0,1])y x x= − − ∈ ,a S Gini aGini S = a (0,1)x∀ ∈ ( )f x x≤ ( ) 1f x x ≤ 21 1 ( [0,1])y x x= − − ∈ ( )0,1 1 4第 7 页 共 20 页 ， ，故 ，所以③正确. 故选：B. 【点睛】 本题考查新定义，考查不等式证明，考查几何图形面积的计算，考查学生的推理能力与 计算求解能力，属于中档题. 11．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，三棱锥 A1-BC1D 内切球的表面积为 ，则正方体 外接球的体积为( ) A． B．36 C． D． 【答案】B 【解析】利用体积相等求出正四棱锥的高，从而可得正四棱锥的棱长，可求得正方体的 棱长，利用正方体外接球直接就是正方体对角线长，可求外接球的半径，进而可得结果. 【详解】 设正方体的棱长为 ，则 ， 因为三棱锥 内切球的表面积为 ， 所以三棱锥 内切球的半径为 1， 设 内切球的球心为 ， 到面 的距离为 ， 则 ， ， ， 又 ， ， 又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长， 正方体外接球的半径为 ， 其体积为 ，故选 B. 【点睛】 解答多面体内切球的表面积与体积问题，求出内切球半径是解题的关键，求内切球半径 21 1 1 1π 1 1 1 π4 2 4 2a = ⋅ − × × = − 1 2S = 1 1π π4 2 11 2 2 aGini S − = = = − 4π 8 6π π 32 3π 64 6π a 2BD a= 1 1A BC D− 4π 1 1A BC D− 1 1A BC D− O 1A 1BC D h 1 1 1 4A BC D O BC DV V− −= 1 1 1 14 13 3BC D BC DS h S∆ ∆× = × × × 4h∴ = ( ) 2 2 3 62 2 23 3h a a a  = − × = ×    6 2 4, 2 33 a a∴ × = = ∴ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 2 3 2 3 32 + + = 34 3 363 π π× =第 8 页 共 20 页 的常见方法有两种：一是对特殊几何体（例如正方体，正四面体等等）往往直接找出球 心，求出半径即可；二是对不规则多面体，往往将多面体分成若干个以多面体的面为底 面以内切球的球心为高的棱锥，利用棱锥的体积和等于多面体的体积列方程求出内切球 半径. 12．已知函数 ， ，当 ，且 时， 方程 根的个数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】分别判断两个函数的奇偶性及单调性，进而做出二者的图象，根据图象交点个 数可得出答案. 【详解】 由题意，函数 ，在 上是奇函数，且是反比例函数， 又 ，所以 在 上是奇函数. 又 ，所以 时， ； 时， ； 时， ； 时， . 所以 在 上单调递减；在 上单调递增；在 单调递减；在 上单调递增. 作出 的图象，如下图所示， ， ， ， ，则 与 的图象在 上有 1 个交点； ， ， ，则 与 的图象在 上有 1 个交点； ， ， ，则 与 的图象在 π( ) 2f x x = − ( ) cos sing x x x x= − [ 4π,4π]x∈ − 0x ≠ ( ) ( )f x g x= π( ) 2f x x = − [ ) ( ]4π,0 0,4π−  ( ) ( ) ( )( ) cos sin cos sing x x x x x x x g x− = − − − − = − + = − ( )g x [ ) ( ]4π,0 0,4π−  ( ) sing x x x′ = − ( )0,πx∈ ( ) 0g x′ < ( )π,2πx∈ ( ) 0g x′ > ( )2π,3πx∈ ( ) 0g x′ < ( )3π,4πx∈ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0,π ( )π,2π ( )2π,3π ( )3π,4π ( ), ( )f x g x ( )0 0g = ( )π πg = − ( ) 1π 2f = − ( ) ( )π πf g> ( )f x ( )g x ( )0,πx∈ ( )2π 2πg = ( ) 12π 4f = − ( ) ( )2π 2πg f> ( )f x ( )g x ( )π,2πx∈ ( )3π 3πg = − ( ) 13π 6f = − ( ) ( )3π 3πf g> ( )f x ( )g x第 9 页 共 20 页 上有 1 个交点； ， ， ，则 与 的图象在 上有 1 个交点. 故 与 的图象在 上有 4 个交点，根据对称性可知，二者图象在 上 4 个交点，故当 ，且 时，方程 根的个数是 8. 故选：D. 【点睛】 本题考查函数图象交点问题，考查函数图象的应用，考查学生的推理能力，属于中档题. 二、填空题 13．幂函数 的图象关于 轴对称，则实数 _______. 【答案】2 【解析】根据幂函数的定义得到 的值，再根据图象关于 轴对称验证 的值. 【详解】 函数 是幂函数， 解得： 或 ， ( )2π,3πx∈ ( )4π 4πg = ( ) 14π 8f = − ( ) ( )4π 4πg f> ( )f x ( )g x ( )3π,4πx∈ ( )f x ( )g x ( ]0,4π [ )4π,0− [ 4π,4π]x∈ − 0x ≠ ( ) ( )f x g x= ( )2( ) 3 3 mf x m m x= − + y m = m y m ( )2( ) 3 3 mf x m m x= − + 2 3 3 1,m m∴ − + = 1m = 2m =第 10 页 共 20 页 当 时，函数 的图象不关于 轴对称，舍去， 当 时，函数 的图象关于 轴对称， ∴实数 ． 【点睛】 幂函数 ，若 为偶数，则图象关于 轴对称. 14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 ，则直线 与圆 有公共点的概率为________. 【答案】 【解析】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 得 种结果，由直线与 圆 有公共点可得 ，故满足 的结果有 种，由古典概型的计算公式可得：直线 与圆 有公共点的概率为 ，应填答案 ． 15．在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ， ，则 的面积的最大值为_______． 【答案】 【解析】由正弦定理边角转化，并结合 ，可得到 ，从而可得 ，即可求出角 ，再结合余弦定理， 可得到 ，利用基本不等式可求得 ，进而由 ， 可求出答案. 【详解】 由正弦定理可得， ， 又 ， 所以 ，则 ， 1m = y x= y 2m = 2y x= y 2m = y xα= α y ,a b 0ax by+ = 2 2( 2) 2x y− + = 7 12 ,a b可 6 6 36n = × = ( )2 22 2x y− + = 2 2 2 2a a b a b ≤ ⇒ ≤ + a b≤ 6 5 4 3 2 1 21m = + + + + + = 0ax by+ = ( )2 22 2x y− + = 21 7 36 12 mP n = = = 7 12 ABC , ,A B C , ,a b c 3b = 3 (sin 3cos )c A A b= + ABC 3 3 4 ( )sin sinC A B= + 3sin cos sin sinA B A B= tan 3B = B 2 23 a c ac= + − 3ac ≤ 1 sin2ABCS ac B=△ 3sin (sin 3 cos )sinC A A B= + ( )sin sin sin cos sin cosC A B A B B A= + = + ( )3 sin cos sin cos (sin 3 cos )sinA B B A A A B+ = + 3sin cos sin sinA B A B=第 11 页 共 20 页 因为 ，所以 ，即 ，故 . 由余弦定理 ，可得 ， 又 ，当且仅当 时等号成立， 所以 ，且 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，考查学生 的计算求解能力，属于中档题. 16．据国家统计局发布的数据，2019 年 11 月全国 （居民消费价格指数），同比上 涨 ， 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响 上涨 3.27 个百分点．下图是 2019 年 11 月 一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论 正确的有______． ① 一篮子商品中权重最大的是居住 ② 一篮子商品中吃穿住所占权重超过 ③猪肉在 一篮子商品中权重为 ④猪肉与其他禽肉在 一篮子商品中权重约为 【答案】①②③ 【解析】结合两个图，对四个结论逐个分析可得出答案. 【详解】 对于①， 一篮子商品中居住占 ，所占权重最大，故①正确； 对于②， 一篮子商品中吃穿住所占 ，权重超过 ， 故②正确； 对于③，由第二个图可知，猪肉在 一篮子商品中权重为 ，故③正确； sin 0A ≠ 3 cos sinB B= tan 3B = π 3B = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 23 a c ac= + − 2 2 2 23 2a c ac a c ac ac= + − ≥ − = a c= 3ac ≤ 1 1 3 3 3sin 32 2 2 4ABCS ac B= ≤ × × =  3 3 4 CPI 4.5% CPI CPI CPI CPI CPI 50% CPI 2.5% CPI 0.18% CPI 23% CPI 19.9% 8% 23% 50.9%+ + = 50% CPI 2.5%第 12 页 共 20 页 对于④，由第二个图可知，猪肉与其他禽肉在 一篮子商品中权重约为 ，故④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】 本题考查统计图的识别和应用，考查学生的分析问题、解决问题的能力，属于基础题. 三、解答题 17．已知数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由 时， ， 时， ，可求出 的通项公式； （2）由 时， ， 时， ，进而结合裂项相消 求和法可求出 . 【详解】 （1）当 时， ． 当 时， ． 而 ， 所以数列 的通项公式为 . （2）当 时， ， 当 时， ， 所以 ， CPI 2.5% 2.1% 4.6%+ = { }na n nS 2 2 1nS n n= + − { }na { }nb ( )* 1 1 n n n b na a + = ∈N { }nb n nT 2, 1, 2 1, 2.n na n n ==  + ≥ 4 1 20 30n nT n += + 1n = 1 1a S= 2n ≥ 1n n na S S −= − { }na 1n = 1 1 2 1b a a = 2n ≥ 1 1 1 2 2 1 2 3nb n n  = − + +  nT 1n = 1 1 2a S= = 2n ≥ ( )2 2 1 2 1 ( 1) 2( 1) 1 2 1n n na S S n n n n n−  = − = + − − − + − − = +  1 2 2 1 1a = ≠ × + { }na 2, 1 2 1, 2n na n n ==  + ≥ 1n = 1 1 2 1 1 1 2 5 10b a a = = =× 2n ≥ 1 1 1 1 (2 1)(2 3) 2 2 1 2 3nb n n n n  = = − + + + +  1 , 110 1 1 1 . , 22 2 1 2 3 n n b nn n  ==    − ≥  + + 第 13 页 共 20 页 当 时， ， 当 时， ． 又 ，符合 ， 所以 ． 【点睛】 本题考查数列通项公式的求法，考查利用裂项相消法求数列的前 项和 ，考查学生的 计算求解能力，属于中档题. 18．在改革开放 40 年成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 1 2 3 4 5 6 年产量（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 （1）根据表中数据，建立 关于 的线性回归方程 ． （2）根据线性回归方程预测 2020 年该地区该农产品的年产量． 附：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线方程 的斜 率和截距的最小二乘估计分别为 ， ．（参考数据： ，计算结果保留到小数点后两位） 【答案】（1） ；（2）7.56 万吨 【解析】（1）先求出 和 的值，然后求出 ，进而由 1n = 1 1 1 10T b= = 2n ≥ 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 10 2 5 7 7 9 2 1 2 3n nT b b b b n n       = + + + + = + − + − + + −      + +        1 1 1 1 4 1 10 2 5 2 3 20 30 n n n + = + − = + +  1 1 4 1 1 10 20 1 30T × += = × + 4 1 20 30n nT n += + 4 1 20 30n nT n += + ( )*Nn∈ n nT x y x ˆˆ ˆy bx a= + ( )1 1,x y ( )2 2,x y ( ),n nx y ˆˆ ˆy bx a= + ( )( ) ( ) 1 2 1 n i i i n i i x x y y b x x = = − − = − ∑ ∑  ˆˆa y bx= − ( )( )6 1 2.8i i i x x y y = − − =∑  0.16 6.44y x= + x y ( )6 2 1 i i x x = −∑第 14 页 共 20 页 ， ，可求出 ，从而可求出 关于 的线性回归 方程； （2）当年份为 2020 年时，年份代码为 ，由（1）求得的回归方程，求出 的值 即可． 【详解】 （1）由题意可知： ， ， ， 所以 ， 又 ， 故 关于 的线性回归方程为 ． （2）由（1）可得，当年份为 2020 年时，年份代码为 ，此时 ． 所以可预测 2020 年该地区该农产品的年产量约为 7.56 万吨． 【点睛】 本题考查线性回归方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 19．如图，三棱柱 中，平面 平面 ， 是 的中点． （1）求证： 平面 ； ( )( ) ( ) 1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x = = − − = − ∑ ∑ a y bx= −  ˆ,b a y x 7x = ˆy 1 2 3 4 5 6 3.56x + + + + += = 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 76y + + + + += = ( )6 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2.5) ( 1.5) ( 0.5) 0.5 1.5 2.5 17.5i i x x = − = − + − + − + + + =∑ ( )( ) ( ) 1 2 1 2.8ˆ 0.1617.5 n i i i n i i x x y y b x x = = − − = = = − ∑ ∑  7 0.16 3.5 6.44a y bx= − = − × = y x  0.16 6.44y x= + 7x =  0.16 7 6.44 7.56y = × + = 1 1 1ABC A B C− 1 1AA B B ⊥ ABC D AC 1 //B C 1A BD第 15 页 共 20 页 （2）若 ， ， ， ，求三棱锥 的体积． 【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】（1）连结 交 于点 ，则 为 的中点，可知 ，进而由线 面平行的判定定理可证明 平面 ； （2）在 中，利用余弦定理可求得 ，进而可知 ，即 ，再结合平面 平面 ，可知 平面 ，进而求出 ，从而由 可求出答案. 【详解】 （1）连结 交 于点 ，则 为 的中点， 因为 是 的中点，所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． （2） ， ， ， ， ， ， ． 又 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ． ， ，∴四边形 为菱形， 为正三角形， . ． 1 60AAB ACB∠ =∠ = ° 1AB BB= 2AC = 1BC = 1C AA B− 3 4 1AB 1A B O O 1AB 1//OD B C 1 //B C 1A BD ABC 3AB = 2 2 2AC AB BC= + AB BC⊥ 1 1AA B B ⊥ ABC BC ⊥ 1 1AA B B 1A ABS△ 1 1 1 3C A AB AA BV S BC− = ⋅  1AB 1A B O O 1AB D AC 1//OD B C OD ⊂ 1A BD 1B C ⊂/ 1A BD 1 //B C 1A BD 2AC = 1BC∴ = 60ACB∠ = ° 2 2 2 12 cos 4 1 2 2 1 32AB AC BC AC BC ACB∴ = + − ⋅ ⋅ ∠ = + − × × × = 3AB∴ = 2 2 2AC AB BC∴ = + AB BC∴ ⊥  1 1AA B B ⊥ ABC 1 1AA B B Ç ABC AB= BC ⊂ 1 1AA B B BC∴ ⊥ 1 1AA B B 1 60A AB = °∠ 1AB BB= 1 1AA B B 1ABA△ 1 3AA AB∴ = = 1 1 1 1 1 3 3 3sin 3 32 2 2 4A ABS AB AA A AB∴ = ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = × × × =△第 16 页 共 20 页 ． 【点睛】 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，考查学生的空间想象能力与计算求 解能力，属于基础题. 20．已知椭圆 的短轴长为 ，离心率为 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）直线 平行于直线 ，且与椭圆 交于 两个不同的点，若 为钝 角，求直线 在 轴上的截距 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由短轴长为 ，离心率为 ，可求出椭圆中 的值，进而可求出 椭圆的标准方程； （2）由直线 平行于直线 ，可设直线 的方程为 ，与椭圆方 程联立，可得到关于 的一元二次方程，由 ，可求得 ，再结合 为钝角，可得 ，且 ，将该式展开，并结合韦达定理，可求出 ， 进而可求出 的取值范围，再结合直线 在 轴上的截距 ，可求出 的取值范 围． 【详解】 （1）由题意可得 ，所以 ， ，解得 ， 1 1 1 1 3 3 313 3 4 4C A AB AA BV S BC−∴ = ⋅ = × × =  2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 3 2 C l by xa = C ,A B AOB∠ l x m 2 2 18 2 x y+ = ( 2 2,0) (0,2 2)− ∪ 2 2 3 2 ,a b l by xa = l 1 ( 0)2y x n n= + ≠ x > 0∆ 2 2n− < < AOB∠ 0OA OB⋅ 2 2n− < < ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2x x n+ = − 2 1 2 2 4x x n= − AOB∠ 0OA OB⋅ ( ) 1f x x≤ − (0,e) (e, )+∞ ( )f x (e) 0f ′ = a ( )f x第 18 页 共 20 页 单调性即可；（2）当 时，要证 即证 ，进而构造函 数 ，求导并判断单调性可知 ，从而可证明 结论. 【详解】 （1） ， ， ， 又曲线 在点 处的切线方程为 ，则 ，即 ， ， 令 ，得 ，即 ； 令 ，得 ，即 ， 所以 的单调增区间是 ，单调减区间是 ． （2）当 时，要证 即证 ， 令 ， 则 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 所以 ，即当 时， ． 【点睛】 本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明， 考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题. 22．在极坐标系中，圆 的方程为 ．以极点为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线 的参数方程为 （ 为参数）． 0x > ( ) 1f x x≤ − 2ln 0x x x− + ≤ 2( ) ln ( 0)g x x x x x= − + > ( ) (1) 0g x g≤ = ln( ) xf x x a = + 2 ln ( ) ( ) x a xxf x x a + − ′∴ = + 2 e(e) (e ) a f a ′∴ = + ( )y f x= (e, (e))f 1 ey = (e) 0f ′ = 0a = 2 1 ln( ) xf x x −′∴ = ( ) 0f x′ > 1 ln 0x− > 0 ex< < ( ) 0f x′ < 1 ln 0x− < ex> ( )f x (0,e) (e, )+∞ 0x > ( ) 1f x x≤ − 2ln 0x x x− + ≤ 2( ) ln ( 0)g x x x x x= − + > 21 1 2 ( 1)(2 1)( ) 2 1 x x x xg x xx x x + − − +′ = − + = = − 0 1x< < ( ) 0g x′ > ( )g x 1x > ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) (1) 0g x g≤ = 0x > ( ) 1f x x≤ − C 2 sin ( 0)a aρ θ= > x l 3 1, 4 3 x t y t = +  = + t第 19 页 共 20 页 （Ⅰ）求圆 的标准方程和直线 的普通方程， （Ⅱ）若直线 与圆 交于 两点，且 ．求实数 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） . 【解析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆 的标准方程，消去参数即可求直线 的普通方程； （Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可． 【详解】 解：（Ⅰ）因为圆 的方程为 ，所以圆 的直角坐标方程为 ， 直线 的参数方程为 （ 为参数），消去 得到 （Ⅱ）由圆的方程可得圆心 ，半径 ， 则圆心到直线的距离 ， ． ， 即 ， 则 ， 即 ， 则 ， 则 ， 由 解得 ，解得 ． 即实数 的取值范围是 ． 【点睛】 本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的关系，以及直线和圆相交的弦长公式 的应用，考查学生的转化能力，属于中档题． 23． C l l C ,A B | | 3AB a≥ a 2 2 2: ( )C x y a a+ − = : 4 3 5 0l x y− + = 10 1011 a≤ ≤ C l C 2 sin ( 0)a aρ θ= > C 2 2 2( )x y a a+ − = l 3 1, 4 3 x t y t = +  = + t t 4 3 5 0x y− + = (0, )C a R a= 2 2 | 5 3 | | 5 3 | 53 4 a ad − −= = +  | | 3AB a 2 22 3a d a∴ −  2 2 23 4a d a−  2 2 4 ad  2 ad | 5 3 | 5 2 a a−  3 5 2 5 2 a a a−−   3 5 2 5 3 5 5 2 a a a a −− −    10 11 10 a a     10 1011 a  a 10 1011 a 第 20 页 共 20 页 已知函数 ． （1）当 时，解不等式 ； （2）若 ，求 的最小值． 【答案】(1) . (2) . 【解析】分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解 a=﹣2 时对应的不等式即可； （2）由 f（x）≤a|x+3|得 a≥ ，利用绝对值三角不等式处理即可. 详解：（1）当 时， 的解集为： （2）由 得： 由 ，得： 得 （当且仅当 或 时等号成立）， 故 的最小值为 . 点睛：绝对值不等式的解法： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． ( ) 1 1f x x a x= + − − 2a = − ( ) 5f x > ( ) 3f x a x≤ + a 4( , ) (2, )3 −∞ − ∪ +∞ 1 2 1 3 1 x x x + + + − 2a = − ( ) 1 3 , 1 3, 1 1 3 1, 1 x x f x x x x x − ≤ − = − + − < ≤  − > ( ) 5f x > ( )4, 2,3  −∞ − ∪ +∞   ( ) 3f x a x≤ + 1 1 3 xa x x +≥ − + + 1 3 2 1x x x− + + ≥ + 1 1 1 3 2 x x x + ≤− + + 1 2a ≥ 1x ≥ 3x ≤ − a 1 2