2020届湖南省永州市高三第三次模拟数学（理）试题（解析版）

第 1 页 共 23 页 2020 届湖南省永州市高三第三次模拟数学（理）试题 一、单选题 1．已知集合 ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出集合 ，与集合 取交集，即得答案. 【详解】 或 ， . 故选:C. 【点睛】 本题考查集合的运算，属于基础题. 2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则在复平面内复数 对应的点位 于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】根据复数的运算，求出复数 ，即得. 【详解】 由 ， 得 ， 在复平面内复数 对应的点的坐标为 ，位于第四象限， 故选：D. 【点睛】 本题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题. 3．已知 ，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据指数函数 的单调性，可以判断 的大小；根据作商法可得 ( ){ }2{ | 1 3}, | lg 1M x x N x y x= − < < = = − M N = { | 1 3}x x− < < { | 1 1}x x− < < { |1 3}x x< < { | 1 1}x x− <  N M { }2| 1 0 { | 1N x x x x= − > = > 1}, { | 1 3}x M x x< − = − < < { |1 3}M N x x∴ ∩ = < < z (1 2 ) | 3 4 |z i i⋅ + = − i z z (1 2 ) | 3 4 | 5z i i⋅ + = − = 5 5(1 2 ) 5(1 2 ) 1 21 2 (1 2 )(1 2 ) 5 i iz ii i i − −= = = = −+ + − z ( )1, 2− 0.3 0.3 0.40.4 , 0.3 , 0.3a b c= = = a c b> > a b c> > c a b> > b c a> > 0.3xy = ,b c第 2 页 共 23 页 ,可得答案. 【详解】 ，且 是减函数， . 而 ，即 ， ， 故选:B. 【点睛】 本题考查指数函数的单调性和作商法比较大小，属于基础题. 4．图 1 为某省 2019 年 1 至 4 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2019 年 1 至 4 月快递 业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（“同比”指与去年同月相比）( ) A．2019 年 1 至 4 月的快递业务收入在 3 月最高，2 月最低，差值超过 20000 万元 B．2019 年 1 至 4 月的快递业务收入同比增长率不低于 30%，在 3 月最高 C．从 1 至 4 月来看，该省在 2019 年快递业务量同比增长率逐月增长 D．从两图来看 2019 年 1 至 4 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率不完全 一致 【答案】C 【解析】根据统计图，可知增长率不稳定，即得答案. 【详解】 由统计图易知，从 1 至 4 月来看，该省在 2019 年快递业务量同比增长率先降低，再增 加，故 C 错. 故选：C. 【点睛】 本题考查统计图，属于基础题. 5．下列说法正确的是( ) A．若“ ”为真命题，则“ ”为真命题 B．命题“ ”的否定是“ ” 1a b > 0.3 0.40.3 0.3> 0.3xy = 0b c∴ > > 0.3 0.30.4 4 10.3 3 a b    = = >       a b> a b c∴ > > p q∨ p q∧ 0, 1 0xx e x∀ > − − > 0 0 00, 1 0xx e x∃ − − 第 3 页 共 23 页 C．命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题 D．“ ”是“ ”的必要不充分条件 【答案】C 【解析】选项 A，根据“或”一真则真，“且”一假则假，可得正误；选项 B，含有一个量 词的命题的否定要注意：一改量词，二改结论；选项 C，通过判断原命题的真假，可得 C 的正误；选项 D，求出方程的根，即得 D 的正误. 【详解】 “ ”为真，则命题 有可能一真一假,则“ ”为假，故选项 A 说法不正确； 命题“ ”的否定应该是“ ”，故选项 B 说法不正 确； 因命题“若 ，则 ”为真命题,所以其逆否命题为真命题，故选项 C 说法正确； 若 ，则 ；若 ，则 或 .所以“ ”是 “ ”的充分不必要条件，选项 D 说法不正确. 故选：C. 【点睛】 本题考查逻辑连结词、命题和充分必要条件，属于基础题. 6．在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ， 则角 的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理、两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式可得 ， 可求 .在锐角三角形中， ，且 ，可求 的取值范围. 【详解】 ， 由正弦定理可得： ， 或 1x ≥ 1 1x ≤ 1x = − 2 5 6 0x x− − = p q∨ p q， p q∧ 0, 1 0xx e x∀ > − − > 0 0 00, 1 0xx e x∃ > − − ≤ 1x ≥ 1 1x ≤ 1x = − 2 5 6 0x x− − = 2 5 6 0x x− − = 1x = − 6x = 1x = − 2 5 6 0x x− − = ABC A B C， ， a b c， ， cos cos 2 cosb C c B c C− = ⋅ C ,8 6 π π     0, 6 π     ,6 2 π π     ,8 2 π π     sin( ) sin 2B C C− = 3B C= 3 2B C π= < ( ) 2A B C ππ= − + < C cos cos 2 cosb C c B c C− = ∴ sin cos sin cos 2sin cosB C C B C C− = sin( ) sin 2B C C∴ − = 2B C C∴ − = 2B C Cπ− = −第 4 页 共 23 页 ，或 （舍）. 是锐角三角形， ，且 ， . 故选：A. 【点睛】 本题考查正弦定理、两角差的正弦公式、倍角公式在解三角形中的应用，属于基础题. 7．已知平面向量 ， ， 均为单位向量，若 ，则 的最大值是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知求得 ，再把所求展开结合数量积即可求解结论. 【详解】 平面量 ， ， 均为单位向量， ， . , 当且仅当 与 反向时取等号. 故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积，属于基础题目. 8．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹， 构成种类繁多的精美图案.如图所示的窗棂图案，是将边长为 的正方形的内切圆六等 分，分别以各等分点为圆心，以 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形.若在正 方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为( ) 3B C∴ = B C π+ = ABC 3 2B C π∴ = < ( ) 2A B C ππ= − + < 8 6c π π∴ < < a b c 1 2a b⋅ =  ( ) ( )a b b c+ ⋅ −    1 3+ 3 3 32 + 1 2 32 + | | 3a b+ =   a b c 2 22( ) 2 3a b a a b b∴ + = + ⋅ + =      | | 3a b∴ + =  2 ( ) ( ) ( )a b b c a b b a b c∴ + ⋅ − = ⋅ + − + ⋅          3 3 3( ) | | | | 32 2 2a b c a b c= − + ⋅ ≤ + + ⋅ − = +      a b+  c 2R R第 5 页 共 23 页 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，阴影部分是由 12 个全等的弓形组成的.求出阴影部分的面积，利用 几何概型的概率公式计算概率. 【详解】 连接 ，得等边三角形 ，边长为 1，如图所示 则阴影部分的面积为 阴影 ， 故所求概率为 . 故选：B. 【点睛】 本题考查几何概型，属于基础题. 9．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， .若对任意的 ， 成立，则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数 的图象.易知 的图象可以看成是 的图象 向左（ 时）或向右（ 时）平移 个单位而得，分 及 ，结合图象 观察即得. 【详解】 是定义在 上的奇函数，当 时， . 作出 的图象，如图所示 3 31 π− 3 3 2 4 π − 3 32 π− 3 2 4 π − A B O、 、 OAB S 2 2 21 112 sin 60 (2 3 3)6 2R R Rπ π° = × × − × × = −   2 2 2 (2 3 3) 3 3 2 4(2 ) 4 S R R R π π−= = −阴 ( )f x R 0x < ( ) 2 | 2 |f x x= − + [ ]1,2x∈ − ( ) ( )f x a f x+ > a ( )0,2 (0,2) ( , 6)∪ −∞ − ( )2,0− ( ) (2,0 6, )− ∪ +∞ ( )f x ( )y f x a= + ( )y f x= 0a > 0a < a 0a > 0a < ( )f x R 0x < ( ) 2 2f x x= − + ( )f x第 6 页 共 23 页 的图象可以看成是 的图象向左（ 时）或向右（ 时） 平移 个单位而得. 当 时， 的图象至少向左平移 6 个单位（不含 6 个单位）才能满足 成立， 当 时， 的图象向右平移至多 2 个单位（不含 2 个单位）才能满足 成立（对任意的 ）， 故 . 故选：D. 【点睛】 本题考查函数图象的应用，考查函数奇偶性及不等式的恒成立问题，考查数形结合思想， 属于中档题. 10．已知双曲线 的左、右顶点分别为 ，左焦点为 为 上一点，且 轴，过点 的直线 与线段 交于点 （异于 ），与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 .若 （ 为坐标原 点），则 的离心率为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】不妨设 在第二象限.画出图形,由 ， ,列出比 例关系,可得 ，即求离心率. 【详解】 不妨设 在第二象限，如图所示 ( )y f x a= + ( )y f x= 0a > 0a < a 0a > ( )y f x= ( ) ( )f x a f x+ > 0a < ( )y f x= ( ) ( )f x a f x+ > [ 1,2]x∈ − ( 2,0) (6, )a ∈ − ∪ +∞ 2 2 2 2: 1 ( 0, 0)x yC a ba b − = > > A B， F P， C PF x⊥ A l PF M P F， y M MB y H 3HN OH= −  O C P AFM AON△ ∽△ BOH BFM△ ∽△ 3c a= P第 7 页 共 23 页 设 ，由 ，可得 . 由 ，得 （1） 由 ，得 （2） 由（1），（2）两式相乘得 ，即 . 所以离心率 . 故选：B. 【点睛】 本题考查双曲线的离心率，属于中档题. 11．已知函数 在区间 上有且仅有 2 个零点，对 于下列 4 个结论：①在区间 上存在 ，满足 ；② 在 区间 有且仅有 1 个最大值点；③ 在区间 上单调递增；④ 的取值 范围是 ，其中所有正确结论的编号是( ) A．①③ B．①③④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【解析】对①， ，则为 最大值 减最小值 ，需要找到在 上是否存在最大值 和最小值 ；对②， 对应的 值有可能在 上；对④，由 在区间 上有且仅有 2 个根，得 ， 求出 的范围；对③，由 的范围，确定 的范围，进而确定 的单调性. 【详解】 ， ， 令 ，则 ， | | , (0, )( 0)FM m H h h= > 3HN OH= −  (0, 2 )N h− AFM AON△ ∽△ 2 m c a h a −= BOH BFM△ ∽△ h a m c a = + 1 2 c a c a −= + 3c a= 3ce a = = 1( ) sin ( 0), ( )3 2xf x f x πω ω = + > =   [ ]0,π ( )0,π 1 2,x x ( ) ( )1 2 2f x f x− = ( )f x ( )0,π ( )f x 0,15 π     ω 11 5,6 2     ( ) ( )1 2 2f x f x− = ( )f x 1 1− ( )0,π 1 1− 5 3 2x π πω + = x [ ]0,π 1( ) 2f x = [ ]0,π 13 17 6 3 6 π π πωπ≤ + < ω ω 3x πω + ( )f x [0, ]x π∈ 3 3x , 3 π π πω ωπ ∴ + ∈ +   3z x πω= + ,3 3z π πωπ ∈ +  第 8 页 共 23 页 由题意 在 上只能有两解 和 ， ，（） 因为 上必有 ， 故在 上存在 满足 ，①成立； 开对应的 （显然在 上）一定是最大值点， 因 对应的 值有可能在 上，故②结论错误； 解（）得 ，所以④成立； 当 时， ， 由于 ， 故 ， 此时 是增函数，从而 在 上单调递增. 所以③成立 综上，①③④成立， 故选：B. 【点睛】 本题考查函数与方程，考查三角函数的性质，属于较难的题目. 12．设函数 恰有两个极值点，则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求得 .函数 恰有两个极值点，即 恰有两个 零点，等价于函数 有一个不等于 1 的零点.可得 ，令 ，判断 的单调性，作出 的图象，注意到 ，对 分类讨论即可得出. 【详解】 1sin 2z = ,3 3 π πωπ +   5 6z π= 13 6z π= 13 17 6 3 6 π π πωπ∴ ≤ + < ,3 3z π πωπ ∈ +   3sin sin 22 2 π π− = (0, )π 1 2,x x ( ) ( )1 2 2f x f x− = 2z π= x [ ]0,π 5 2z π= x [ ]0,π 11 5 6 2 ω≤ < 0,15x π ∈   ,3 15 3z π ωπ π ∈ +   11 5 6 2 ω≤ < , ,3 15 3 3 2z π ωπ π π π   ∈ + ⊆       siny z= ( )f x 0,15 π     1( ) 1 2 xef x t nx xx x  = + − −   t (1, )2 e  ∪ +∞    [1, )3 e ∪ +∞   , [1, )2 3 e e  ∪ +∞    [1, )+∞ ( ) ' 2 1 (2 1) ( ) xx e x t f x x  − − + = ( )f x ' ( )f x (2( ) 1) x xx e tϕ = − + 2 1 xet x = + ( ) ( 0)2 1 xeh x xx = >+ ( )h x ( )h x (0) 1, (1) 13 eh h= = < t第 9 页 共 23 页 函数 的定义域为 . . 函数 恰有两个极值点， 即 恰有两个零点，等价于函数 有一个不等 于 1 的零点. 令 ，得 . 令 ， ， 则 在 递减，在 递增，在 取得最小值 ， 作 的图象，并作 的图象，如图所示 又 .（原定义域中 ，这里为方便讨论，考虑 ） 当 时，直线 与 只有一个交点，即 只有一个零点（该零点值 大于 1）； 当 时， 在 两侧附近同号， 不是极值点； 当 时，函数 有两个不同零点（其中一个零点等于 1）， 但此时 在 两侧附近同号，使得 不是极值点不合. 故选：D. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的极值点，考查分类讨论，考查学生的逻辑推理能力和计算 能力，属于难题. 二、填空题 ( )f x ( )0, ∞+ ( ) ' 2 1 (2 1)1( ) 1 2 ( ) xx x e x tef x t nx x f xx x x  − − +   = + − − ∴ =   1( ) 1 2 xef x t nx xx x  = + − −   ( ) ' 2 1 (2 1) ( ) xx e x t f x x  − − + = (2( ) 1) x xx e tϕ = − + (2 ) 1) 0( x xx teϕ − + == 2 1 xet x = + ( ) ( 0)2 1 xeh x xx = >+ ' 2 2 1( ) (2 1) xxh x ex −∴ = + ( )h x 10, 2      1 ,2  +∞   1 2x = 2 e ( )h x y t= (0) 1, (1) 13 eh h= = < 0x > ( )0h 1t ≥ y t= ( ) 2 1 xeh x x = + ( )xϕ 2 et = 2 1( ) (2 1)xxf x e x tx −′  = − +  1 2x = 1 2x = 3 et = ( ) (2 1)xx e x tϕ = − + 2 1( ) (2 1)xxf x e x tx −′  = − +  1x = 1x =第 10 页 共 23 页 13．二项式 的展开式中 的系数是_____________. 【答案】 【解析】求出展开式的通项公式，令 的指数为 ，即求 的系数. 【详解】 展开式通项 ， 令 ，得 ， 的系数是 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查二项式定理，属于基础题. 14．在今年的疫情防控期间，某省派出 5 个医疗队去支援武汉市的 4 个重灾区，每个重 灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有_____________种.（用数字填写答案） 【答案】240 【解析】根据题意，分 2 步进行分析:先选出一个重灾区分配有两个医疗队，再为剩下 的 3 个重灾区各分配一个医疗队，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】 根据题意，将 5 个医疗队分派到 4 个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队， 则其中有一个重灾区安排两个医疗队，剩下 3 个重灾区各安排一个医疗队. 分 2 步进行分析： 先选出一个重灾区分配有两个医疗队，有 种分配法， 再为剩下的 3 个重灾区各分配一个医疗队，有 种分配法， 所以不同的分配方案数共有 . 故答案为：240. 【点睛】 本题考查排列组合，属于基础题. 15．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 且斜率为 的直线交抛物线 于点 （ 在第一象限）， ，垂足为 ，直线 交 轴于点 ，则 _____________. 52x x  −   2x− 80− x 2− 2x− ( ) ( ) 5 35 2 1 5 5 2 2 r rr rr r rT C x C xx −− +  = − = −   5 3 22 r− = − 3r = 2x−∴ ( )3 3 52 80C− = − 80− 1 2 4 5C C 3 3A 1 2 3 4 5 3 240C C A = 2 4y x= F l F 3 M M MN l⊥ N NF y D | |MD =第 11 页 共 23 页 【答案】 【解析】由抛物线定义知 ，再由题意可得 为等边三角形， 为 的中点 ，可得 为三角形 的中位线，可得 为 的中点， 为等 边角形 的高，由 中， 可得 的值，进而求出 的值. 【详解】 如图所示 设准线与 轴交于 .易知 ， ，由抛物线定义知 . 由题意 ， ， 为等边三角形， ， . 又 是 的中位线， 就是该等边 的高， . 故答案为： . 【点睛】 本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题. 16．在四面体 中， 平面 ， 平 面 ， 分别为线段 的中点，当四面体以 为轴旋转时，直线 与直 线 夹角的余弦值的取值范围是____________. 【答案】 【解析】由题意可得 .取 中点 ，连接 ，则 ，从 而 ，得 .当四面体绕 旋转时，由 ，得 绕 旋转， 由此能求出 与直线 所成角的范围，即得余弦值的取值范围 2 3 | | | |MN MF= MNF O EF //DO NE DO EFN D NF DM MNF NFE 60NFE∠ = ° NF MD x E ( )1,0F 2EF = | | | |MN MF= 60MFx∠ = ° 60NMF∴∠ = ° NMF∴ 60NFE∴∠ = ° 2 4cos60 EFNM FE∴ = = =° OD FEN△ MD∴ NMF | | 2 3MD∴ = 2 3 ABCD , , 6, 8,CA CB DA DB AB CD AB= = = = ⊂ α l ⊥ α ,E F AD BC， AB EF l 40, 5      AB CD⊥ AC G ,GE GF // , //GE CD GF AB GE GF⊥ 5EF = AB //GF AB EF GF EF l第 12 页 共 23 页 【详解】 平面 ， 平面 ， . 在四面体 中， ，可得 . 又 分别为线段 的中点，取 中点 ，连接 ，如图所示 则 ， ， 得 . 当四面体绕 旋转时，由 ，即 绕 旋转， 故 与直线 所成角的范围为 ， 直线 与 直线夹角的余弦值的取值范围是 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查两条异面直线所成的角，考查空间中线线、线面的位置关系，属于较难的题目. 三、解答题 17．已知 是公差不为零的等差数列 的前 项和， 是 与 的等比中 项. （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 ，数列 的前 项和为 ，若 ， 求正整数 的最小值. 【答案】（1） ；（2）505. 【解析】（1）设等差数列的公差为 .由题意，列方程组求 ，即求通项公式； （2）求得 ，由裂项相消法求 ，解不等式可得 的最小值. 【详解】 l ⊥ α AB Ì α l AB∴ ⊥  ABCD , , 6, 8CA CB DA DB AB CD= = = = AB CD⊥ E F， AD BC， AC G ,GE GF // , //GE CD GF AB GE GF∴ ⊥ 5EF = AB //GF AB EF GF EF l [ ]90 ,90GFE° − ∠ ° ∴ EF l 40, 5      40, 5      nS { }na n 3 36,S a= 1a 9a { }na ( )* 2 4( 1) 4 1 n n n ab n Nn = − ∈− { }nb 2n 2nP 2 11 2020nP + < n *, Nna n n= ∈ , 0d d ≠ 1,a d 2 4 1 1( 1) ( 1) 2 1 2 14 1 n n n nb n nn  = − = − + − +−   2nP n第 13 页 共 23 页 （1）公差 不为零的等差数列 ，由 是 与 的等比中项，可得 ，即 ，解得 . 又 ，可得 ， 所以数列 是以 1 为首项和公差的等差数列， 所以 . （2）由（1）可知 ， ， ， 所以 的最小值为 505. 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式，考查裂项法求和，属于中档题. 18．在如图的空间几何体中，四边形 为直角梯形， ， ， ，且平面 平面 ， 为棱 中点. （1）证明： ； （2）求二面角 的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】（1）取 中点为 ，连接 和 ，先证明四边形 为平行四边形， 可得 .由题意得 ，则 ，即得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，用向量的方法求解. 【详解】 （1）证明：取 中点为 ，连接 和 ，如图所示 d { }na 3a 1a 9a 2 1 9 3a a a⋅ = ( ) ( )2 1 1 18 2a a d a d+ = + 1a d= 3 13 3 6S a d= + = 1 1a d= = { }na *, Nna n n= ∈ ( ) ( )2 4 1 11 14 1 2 1 2 1 n n n nb n n n  = − = − + − − +  2 1 1 1 1 1 1 1 1 11 3 3 5 5 7 4 3 4 1 4 1 4 1nP n n n n ∴ = − − + + − − + − − + +− − − + 11 4 1n = − + + 2 1 1 20191 4 1 2020 4nP nn + = < ∴ >+ n BCED 90 , 2DBC BC DE°∠ = = 2AB AC= = 3CE AE= = BCED ⊥ ABC F AB DF AC⊥ B AD E− − 30 6 AC G GE GF GFDE //GE DF GE AC⊥ DF AC⊥ ABD ADE AC G GE GF第 14 页 共 23 页 因为 ，且 ， 又因为 ，且 ， 故 ，且 ， 即四边形 为平行四边形，故 ， ， 为 中点， ； 又 ， . （2） 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 又 平面 ， . 由（1）知 ， 平面 ， 平面 ，而 平面 ， ， ， . 取 中点 连接 和 ，四边形 为直角梯形，则 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ， 平面 ，故 ， ， 分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立直角坐标系，如图所示 ， 则 ， ， ， ， 故 ， ， ， 易知平面 的一个法向量为 ， //GF BC 1 2GF BC= //DE BC 1 2DE BC= //GF DE GF DE= GFDE //GE DF CE AE= G AC GE AC∴ ⊥ //GE DF DF AC∴ ⊥  BCED ⊥ ABC BCED  ABC BC DB AC= ⊥， DB∴ ⊥ ABC AC ⊂ ABC DB AC∴ ⊥ ,DF AC BD DF D⊥ ∩ = ,BD DF ⊂ ABC AC∴ ⊥ ABD AB Ì ABD AC AB∴ ⊥ 2AB AC= = 2 2, 2BC DE∴ = = BC O OE OA BCED / /OE DB DB ⊥ ABC OE∴ ⊥ ABC BC ⊂ ABC OA ⊂ ABC OE BC OE OA⊥ ⊥， ,AB AC OA BC= ∴ ⊥ ∴ OA OB OE x y z 3, 1CE AE OE= = ∴ = (0, 2,1)D (0,0,1)E ( 2,0,0)A (0, 2,0)C − ( 2, 2,1)AD = − ( 2,0,1)AE = − ( 2, 2,0)CA = ABD ( 2, 2,0)CA =第 15 页 共 23 页 设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，令 ， . 设二面角 的为 ，则 ， . 二面角 的正弦值为 . 【点睛】 本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查利用空间向量求面面角，考查学 生的逻辑推理能力及运算能力，属于中档题. 19．已知椭圆 与抛物线 有共同的焦点 ，且两曲 线的公共点到 的距离是它到直线 （点 在此直线右侧）的距离的一半. （1）求椭圆 的方程； （2）设 为坐标原点，直线 过点 且与椭圆交于 两点，以 为邻边作 平行四边形 .是否存在直线 ，使点 落在椭圆 或抛物线 上？若存在，求 出点 坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ；（2）不存在直线 ，使点 落在抛物线 上，存在直线 ，使点 落在椭圆 上，理由见解析. 【解析】(1)由题意 ，则 .设点 是两曲线在第二象限内的交点，求出点 的坐标，代入椭圆方程得关于 的方程，求得 的值，即求椭圆方程； （2）当直线 的斜率存在且不为 0 时，设直线 的方程为 ，与椭圆方 程联立，利用根与系数的关系，结合 为平行四边形，即 ，可得 的坐标，分别代入椭圆与抛物线方程，得到关于 的方程，均无解；当直线斜率不存在 ADE ( , , )n x y z= 0 0 n AD n AE  ⋅ =  ⋅ =   2 2 0 2 0 x y z x z − + + = − + = 2, 1, 0z x y= ∴ = = (1,0, 2)n∴ = B AD E− − θ 6| cos | | cos , | 6| || | n CAn CA n CA θ ⋅= 〈 〉 = =      2 6 30sin 1 6 6 θ æ öç ÷ç ÷\ = - =ç ÷ç ÷è ø ∴ B AD E− − 30 6 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2: 4D y x= − F F 4x = − F C O l F A B， OA OB， OAMB l M C D M 2 2 14 3 x y+ = l M D l ( )2,0M − C 1c = 2 2 1a b= + Q Q ,a b ,a b AB AB ( )1y k x= + OABM OM OA OB= +   M k第 16 页 共 23 页 时，易知存在点 在椭圆 上，即得答案. 【详解】 （1）由题意知 ，因而 ，即 ， 又两曲线在第二象限内的交点 到 的距离是它到直线 的距离的一半， 即 ， 得 ，则 ， 代入到椭圆方程，得 . 由 ， 解得 ， 所求椭圆的方程为 . （2）当直线 的斜率存在且不为 0 时，设直线 的方程为 由 ， 得 ， 设 ， 则 ， 由于 为平行四边形，得 ， 故 ，又 ， 可得 . 若点 在椭圆 上，则 ，代入得 ，无解. ( )2,0M − C ( )1,0F − 1c = 2 2 1a b= + ( ),Q QQ x y F 4x = − ( )4 2 1Q Qx x+ = − + 2 3Qx = − 2 8 3Qy = 2 2 4 8 19 3a b + = 2 2 2 2 4 8 19 3 1 a b a b  + =  = + 2 24, 3a b= = ∴ 2 2 14 3 x y+ = AB AB ( )1y k x= + 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y = + + = ( )2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ + + − = ( ) ( ) ( )0 0 1 1 2 2, , , , ,M x y A x y B x y 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12,3 4 3 4 k kx x x xk k − −+ = ⋅ =+ + OABM OM OA OB= +   0 1 2 0 1 2 x x x y y y = +  = + ( ) ( )1 1 2 21 , 1y k x y k x= + = + 2 20 2 2 2 0 2 8 8 63 4 , ,3 4 3 46 3 4 kx k kk M k kky k  −=  − + ∴  + +  = + M C 2 2 0 0 14 3 x y+ = ( ) 4 2 22 16 12 1 3 4 k k k + = +第 17 页 共 23 页 若点 在抛物线 上，则 ，代入得 ，无解. 当直线斜率不存在时， ，此时存在点 在椭圆 上. 故不存在直线 ，使点 落在抛物线 上，存在直线 ，使点 落在椭圆 上. 【点睛】 本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查考查学生的运算能力， 属于中档题. 20．为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第 一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由 组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数 都 在 内，在以组距为 5 画分数的频率分布直方图（设“ ”)时，发现 满足 . （1）试确定 的所有取值，并求 ； （2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于 85 分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛； 分数在 的参赛者评为一等奖；分数在 的同学评为二等奖，但通过附加 赛有 的概率提升为一等奖；分数在 的同学评为三等奖，但通过附加赛有 的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生 和 均参加了本次比赛，且学生 在第一阶段评为二等奖. （ ）求学生 最终获奖等级不低于学生 的最终获奖等级的概率； （ ）已知学生 和 都获奖，记 两位同学最终获得一等奖的人数为 ，求 的 分布列和数学期望. 【答案】（1） ；（2）（ ） ；（ ）分布列见解析， . 【解析】（1） 在 内，按组距为 5 可分成 6 个小区间，分别是 , , ， ， ， .由 ， ，能求出 的所有取值和 ； （2）（ ）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.学生 的分数属于区间 ， M D 2 0 0: 4D y x= − ( ) 2 2 2 22 36 32 3 43 4 k k kk = ++ : 1l x = − ( 2,0)M − C l M D l ( )2,0M − C X [70,100) =Y频率 组距 Y * 8 109 , 16300 , N ,5 5( 1)1 1 , 1615 20 n n Y n n X n k nn − = ∈ < +  − ⋅ > −   n k [ )95,100 [90,95) 1 11 [85,90) 1 7 A B A i B A ii A B A B， ξ ξ 314,15,16,17,18,19, 50k = i 51 220 ii 20 99 X [ )70,100 [70,75) [ )75,80 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 70 100X≤ < ( )5 5 1n X n≤ < + *n∈N n k i B [ )70,75第 18 页 共 23 页 ， ， ， ， 的概率分别是 ， ， ， ， ， .用符号 或（ ）表示学生 （或 ）在第一轮获奖等级为 ，通 过附加赛最终获奖等级为 ，其中 ，记“学生 最终获奖等级不低于学生 的最终获奖等级”为事件 ，由此能求出学生 最终获奖等级不低于学生 的最终获奖 等级的概率； （ ）学生 最终获得一等奖的概率是 ，学生 最终获得一等奖的概率是 ， 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，求出 的分布列和 . 【详解】 （1）根据题意， 在 内，按组距为 5 可分成 6 个小区间， 分别是 ， ， 由 ， . 每个小区间的频率值分别是 . 由 ，解得 . 的所有取值为 ， . （2）（ ）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率. 由（1）知，学生 的分数属于区间 的概 率分别是： ， ， ， ， ， . 我们用符号 （或 )表示学生 （或 ）在第一轮获奖等级为 ，通过附加赛最终获 奖等级为 ，其中 . 记“学生 最终获奖等级不低于学生 的最终获奖等级”为事件 ， 则 [ )75,80 [ )80,85 [ )85,90 [ )90,95 [ )95,100 3 60 11 60 19 60 14 60 11 60 2 60 ijA ijB A B i j ( ), 1,2,3j i j≤ = B A W B A ii A ( )21 1 11P A = B ( )1 21 2 11 1 1 27 27 11 9P B B′ ′+ = + ⋅ = ξ ξ Eξ X [70,100) [70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100) 70 100X≤ 1( ) ln( 1) 0f x x′ = + > 1( )f x [ ]0,1 1 1( ) (0) 0f x f≥ = 1( ) ( ) 0f x f x x= − ≥ ( )x f x≤ 2 ( ) ( ) ( ) ( 1) cos 1 cos2 2 x xg x f x g x x a x x x x a x − ≤ − = − + − = − + −   ( ) 1 cos2 xt x a x= − + − 1( ) sin 02t x x′ = + > ( )t x [ ]0,1 (0) 2 0t a= − < ( )0,m 0 1m< < ( )0,x m∈ ( ) 0t x < ( ) ( ) ( ) 0g x f x xt x− ≤ < ( ) ( )f x g x≤ a [2, )+∞第 21 页 共 23 页 本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，属于 难题. 22．在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的方程为 .以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 . （1）写出曲线 C 的极坐标方程，并求出直线 l 与曲线 C 的交点 M，N 的极坐标； （2）设 P 是椭圆 上的动点，求 面积的最大值. 【答案】（1） ， ， ；（2） . 【解析】（1）利用公式即可求得曲线 的极坐标方程；联立直线和曲线 的极坐标方 程，即可求得交点坐标； （2）设出点 坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题即可求得. 【详解】 （1）曲线 的极坐标方程： 联立 ，得 ，又因为 都满足两方程， 故两曲线的交点为 ， . （2）易知 ，直线 . 设点 ，则点 到直线 的距离 （其中 ）. 面积的最大值为 . 【点睛】 本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用椭圆的参数方程求面积 的最值问题，属综合中档题. 23．已知 . 2 22 0x x y− + = ( ) 3 R πθ ρ= ∈ 2 2 14 x y+ = PMN 2cosρ θ= ( )0,0M 1, 3N π     13 4 C C P C 2cosρ θ= 2cos 3 ρ θ πθ = = 1, 3N π     ( )0,0M ( )0,0M 1, 3N π     1MN = : 3l y x= ( )2cos ,sinP α α P l 2 3 cos sin 2d α α− = ∴ ( )13sin1 2 4PMNS MN d α ϕ ′ − = ⋅ ⋅ =  tan 2 3ϕ = PMN∴△ 13 4 ( ) 2 2 1f x x x= + −第 22 页 共 23 页 （1）解关于 x 的不等式： ； （2）若 的最小值为 M，且 ，求证： . 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】（1）分类讨论求解绝对值不等式即可； （2）由（1）中所得函数，求得最小值 ，再利用均值不等式即可证明. 【详解】 （1）当 时， 等价于 ，该不等式恒成立， 当 时， 等价于 ，该不等式解集为 ， 当 时， 等价于 ，解得 ， 综上， 或 ， 所以不等式 的解集为 . （2） ， 易得 的最小值为 1，即 因为 ， ， ， 所以 ， ， ， 所以 ， 当且仅当 时等号成立. 【点睛】 本题考查利用分类讨论求解绝对值不等式，涉及利用均值不等式证明不等式，属综合中 ( ) 2xf x x > ( )f x ( ), ,a b c M a b c R++ + = ∈ 2 2 2 2 2 2 2a b a c c b c b a + + ++ + ≥ ( ) ( ),0 5 1,−∞ ∪ − +∞ M 0x < ( ) 2xf x x > 2 2 1 2x x+ − > − 0 1x< ≤ ( ) 2xf x x > 2 2 0x x− > φ 1x > ( ) 2xf x x > 2 2 2 2x x+ − > 5 1x > − 0x < 5 1x > − ( ) 2xf x x > ( ) ( ),0 5 1,−∞ ∪ − +∞ ( ) 2 2 2 2 2, 12 1 2 2, 1 x x xf x x x x x x  + − ≥= + − =  − +