2020届浙江省衢州、丽水、湖州三地市高三下学期教学质量检测数学试题（4月解析版）

第 1 页 共 21 页 2020 届浙江省衢州、丽水、湖州三地市高三下学期 4 月教学 质量检测数学试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先计算出集合 与 ，再利用集合交集的概念即可得解. 【详解】 由题意 ， ， 则 . 故选：A. 【点睛】 本题考查了集合的运算，属于基础题. 2．椭圆 的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆的一般式求得 、 、 ，利用 即可得解. 【详解】 由题意该椭圆 ， ，由椭圆性质可得 ， 所以离心率 . 故选：D. 【点睛】 本题考查了椭圆一般式的应用和离心率求解，属于基础题. 3．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） [ ]0,4A = { }R | 1B x x= ∈ ≤ ( )R A B = [ )1,0− [ ]1,0− [ ]0,1 ( ]1,4 R A B ( ) ( )R ,0 4,A = −∞ +∞ { } { }R | 1 R | 1 1B x x x x= ∈ ≤ = ∈ − ≤ ≤ ( ) [ )R 1,0A B = − 2 2 12 x y+ = 1 2 1 3 2 3 2 2 2 2a = 2 1b = 2 1c = 2 2 ce a = 2 2a = 2 1b = 2 2 2 1c a b= − = 2 2 1 2 2 2 ce a = = =第 2 页 共 21 页 A． B．4 C． D．8 【答案】C 【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积． 【详解】 解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 所以 . 故选：C. 【点睛】 本题考查由三视图还原几何体之间的直观图和棱锥的体积公式，主要考查学生的运算能 力和转换能力及思维能力． 4．明朝的程大位在《算法统宗》中（1592 年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.它的意思是说：求某个数（正整 数）的最小正整数值，可以将某数除以 3 所得的余数乘以 70，除以 5 所得的余数乘以 21， 除以 7 所得的余数乘以 15，再将所得的三个积相加，并逐次减去 105，减到差小于 105 为止，所得结果就是这个数的最小正整数值.《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知 数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几 何.”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件（ ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】C 32 3 16 3 1 2 4 23V × × ×＝ 16 3 ＝第 3 页 共 21 页 【解析】由题意先计算出 ，再计算 即可 得解. 【详解】 由题意可得 ， 则 . 故答案为：C. 【点睛】 本题考查了算法的应用，属于基础题. 5．函数 的图象大致为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，求出函数的定义域 ，分析可得 为偶函数，进而分析 可得当 时， ，当 时， ，当 时， ， 分析选项，从而选出正确的结果. 【详解】 根据题意，函数的定义域 ， 因为 ，所以 为偶函数，图象关于 轴对称，排除 B 项， 当 时， ，当 时， ，排除 选项， 当 时， ，所以 D 项是正确的， 故选 D. 【点睛】 该题考查的是有关函数图象的选择问题，在选择的过程中，注意从函数的定义域，图象 70 2 3 21 2 15 233× + × + × = 233 105 2 23− × = 70 2 3 21 2 15 233× + × + × = 233 105 2 23− × = ( ) ( )lnx xf x e e x−= + { }| 0x x ≠ ( )f x 1x > ( ) 0f x > 0 1x< < ( ) 0f x < 0x → ( )f x → −∞ { }| 0x x ≠ ( ) ( )lnx xf x e e x−= + ( )f x y 1x > ( ) 0f x > 0 1x< < ( ) 0f x < ,A C 0x → ( )f x → −∞第 4 页 共 21 页 的对称性，函数值的符号，函数图象的变化趋势，属于简单题目. 6．若实数 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意画出可行域，设 ，数形结合即可得解. 【详解】 由题意画出可行域，如图所示， 令 ，转化可得 ， 数形结合可得，当直线 分别过点 、点 时， 取最小值和最大值， 由 可得点 ，由 可得点 ， 所以 ， . 所以 的取值范围是 . 故选：A. 【点睛】 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合思想，属于基础题. 7．若 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由基本不等式可得：若 ，则 成立；举出反例可得若 ，则 不一定成立，由充分条件和必要条件的概念即可得解. 2 3 0 2 3 0 0 x y x y x y − + ≥  − − ≤  + ≥ 2 3x y+ [ ]1,15− [ ]1,15 [ ]1,16− [ ]1,16 2 3z x y= + 2 3z x y= + 2 3 3 zy x= − + 2 3 3 zy x= − + A B z 2 3 0 0 x y x y − − =  + = ( )1, 1A − 2 3 0 2 3 0 x y x y − − =  − + = ( )3,3B min 2 3 1z = − = − max 2 3 3 3 15z = × + × = 2 3x y+ [ ]1,15− 0, 0a b> > 4ab ≤ 1ab a b ≤+ 4ab ≤ 1ab a b ≤+ 1ab a b ≤+ 4ab ≤第 5 页 共 21 页 【详解】 ， ， 若 ，则 ，当且仅当 时取等号，所以 ； 当 ， 时， ，但 ； “ ”是“ ”充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】 本题考查了基本不等式的应用和充分条件、必要条件的概念，属于基础题. 8．已知任意 ，若存在实数 b 使不等式 对任意的 恒成 立，则（ ） A．b 的最小值为 4 B．b 的最小值为 6 C．b 的最小值为 8 D．b 的最小值为 10 【答案】B 【解析】转化条件得 ，设 ， ，根据 、 分类，分别求出函数 的最值即可得解. 【详解】 由题意 ， 设 ， ，其图象为开口向上，对称轴为 的抛物线的一部分， 当 即 时， ， ； 当 即 时， ， ； 若要 对于任意 ， 均成立，  0a > 0b > 4ab ≤ = 122 ab ab ab a b ab ≤ ≤+ 2a b= = 1ab a b ≤+ 1a = 5b = 5 16 ab a b = ≤+ 5 4ab = > ∴ 4ab ≤ 1ab a b ≤+ [ ]1 2a∈ − ， 2x ax b− ≤ [ ]0 2x∈ ， 2b x ax b− ≤ − ≤ ( ) 2f x x ax= − [ ]0 2x∈ ， [ ]1 0a∈ − ， ( ]0,2a∈ ( )f x 2 2x ax b b x ax b− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ( ) 2f x x ax= − [ ]0 2x∈ ， 2 ax = [ ]1 0a∈ − ， 1 02 2 a  ∈ −  ， ( ) ( )min 0 0f x f= = ( ) ( )max 2 4 2 6f x f a= = − ≤ ( ]0,2a∈ ( ]0,12 a ∈ ( ) 2 min 12 4 a af x f  = = − ≥ −   ( ) ( )max 2 4 2 4f x f a= = − < 2x ax b− ≤ [ ]1 2a∈ − ， [ ]0 2x∈ ，第 6 页 共 21 页 则 即 ，所以 b 的最小值为 6. 故选：B. 【点睛】 本题考查了绝对值不等式和利用函数单调性求函数的最值，考查了恒成立问题的解决和 分类讨论思想，属于中档题. 9．如图，正方形 的中心与圆 的圆心重合， 是圆 上的动点，则下列叙述 不正确的是（ ） A． 是定值. B． 是定值. C． 是定值. D． 是定值. 【答案】C 【解析】建立直角坐标系后，设正方形边长为 ，圆的半径为 ，表示出各点坐标， 利用坐标运算即可判断 A、B、D，举出反例即可判断 C，即可得解. 【详解】 如图建立直角坐标系，设正方形边长为为 ，圆的半径为 ，设点 ， 则 ， ， ， ， ， 则 ， ， ， ， 对于 A， ，故 A 正确； 对于 B， 6 1 b b ≥ − ≤ − 6b ≥ ABCD O P O PA PC PB PD⋅ + ⋅    PA PB PB PC PC PD PD PA⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅        PA PB PC PD+ + +    2 2 2 2 PA PB PC PD+ + +    2a r 2a r ( ),P x y ( ),A a a ( ),B a a− ( ),C a a− − ( ),D a a− 2 2 2x y r+ = ( ),PA a x a y= − − ( ),PB a x a y= − − − ( ),PC a x a y= − − − − ( ),PD a x a y= − − − PA PC PB PD⋅ + ⋅    ( )2 2 2 2 22 4 2 4x y a r a= + − = − ( ) ( )PA PB PB PC PC PD PD PA PB PA PC PD PA PC⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + ⋅ +             第 7 页 共 21 页 ，故 B 正确； 对于 C，不妨令 ， ， 当点 ， ； 当点 ， ； 故 C 错误. 对于 D， ，故 D 正确. 故选：C. 【点睛】 本题考查了平面向量的应用，考查了圆的方程的应用和运算能力，属于中档题. 10．对任意的实数 ，不等式 恒成立，则实数 的最小值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】排除 的情况，存在唯一解 ，使则函数在 上单调递减，在 上单调递增，故 ， ，代换得到 ，代入计算得 到答案. 【详解】 设 ，则 . 当 时， ，故 单调递减，当 时， ，不成立； ( ) ( ) ( )2 2 24 4PB PD PA PC x y r= + ⋅ + = + =    1a = 2r = ( )0,2P ( ) ( )2 22 22 2 1 1 2 2 1 1PA PB PC PD+ + + = − + + + +    2 2 2 10= + ( )2, 2P 22 2 2 2 2 2 2 4 2 6PA PB PC PD+ + + = − + + + + = +    ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2 22 2 2 2P a x a x aA PB PC aPD y y= − + + + −+ ++ ++    ( )2 2 2 2 28 4 8 4a x y a r= + + = + 0x > 22 ln ln 0xae x a− + ≥ a 2 e 1 2 e 2 e 1 2e 0a ≤ 0x ( )00, x ( )0 ,x +∞ ( ) ( )0minf x f x= 02 0 14 0xae x − = 0 1 2x ≤ ( ) 22 ln lnxf x ae x a= − + ( ) 2 1' 4 xf x ae x = − 0a ≤ ( )' 0f x < ( )f x x → +∞ ( )f x → −∞第 8 页 共 21 页 当 时，取 ，根据图像知，方程有唯一解设为 ， 则函数在 上单调递减，在 上单调递增， 故 ，且 ， 代换得到： ， 易知函数 在 上单调递减，且 ，故 . ，故当 时，有最小值为 . 故选： . 【点睛】 本题考查了隐零点问题，不等式恒成立求参数，设出极值点是解题的关键. 二、填空题 11．若复数 （i 为虚数单位），则 ________. 【答案】 【解析】由复数的运算法则得 ，由复数模的概念即可得解. 【详解】 由题意 ，所以 . 0a > ( ) 2 1' 4 0xf x ae x = − = 0x ( )00, x ( )0 ,x +∞ ( ) ( ) 02 0min 02 ln ln 0xax x ef xf a= = − + ≥ 02 0 14 0xae x − = 0 0 0 1 2ln 2 2ln 2 02 x xx − − − ≥ ( ) 1 2ln 2 2ln 22g x x xx = − − − ( )0, ∞+ 1 02g   =   0 1 2x ≤ 02 0 1 1 4 2xa x e e = ≥⋅ 0 1 2x = 1 2e D 2 1 iz = + z = 2 1z i= − ( ) ( )( ) 2 1 i2 11 i 1 i 1 iz i −= = = −+ + − 2 21 1 2z = + =第 9 页 共 21 页 故答案为： . 【点睛】 本题考查了复数的运算和复数模的概念，属于基础题. 12．在平面直角坐标系 中，已知点 M 是双曲线 上的异于顶 点的任意一点，过点 M 作双曲线的切线 l，若 ，则双曲线离心率 等于 _______. 【答案】 【解析】利用导数证明在双曲线上点 处的切线方程为 ，转化条件 得 ，再利用 即可得解. 【详解】 当 时，由 可得 ， 求导得 ， 所以在双曲线上点 处的切线方程为 ， 化简得 ，同理可得当 时依然成立； 设点 ，则 ， ， 由 得 ，所以 ， 2 xOy 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 3OM lk k⋅ = e 2 3 3 ( )0 0,x y 0 0 2 2 1x yx ya b − = 2 2 1 3 m n b n a m ⋅ = 2 21 be a = + 0y > 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 2 1xy ba  = − ⋅    2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 1 1 122 1 1 b b by xa x x a ax xb b y a a ′ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =    − ⋅ − ⋅       ( )0 0,x y ( )2 0 0 02 0 by y x xa y x− = ⋅ − 0 0 2 2 1x yx ya b − = 0y ≤ ( ),M m n 2 2l n b mk a = OM nk m = 1 3OM lk k⋅ = 2 2 1 3 m n b n a m ⋅ = 2 2 1 3 b a =第 10 页 共 21 页 所以双曲线离心率 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查了利用导数求切线，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题. 13．已知函数 ， ， ， ，则实数 的取值范围是________. 【答案】 或 【解析】设 ， 是方程 的两个实根，则可得 或 ，进而可得 ，由 可得对任意 ，均有 ，即可得 ，由韦达定理和根的判别式列出不等式组 即可得解. 【详解】 由 ，可设 ， 是方程 即 的两个实根， 则 ， 或 ， 则 ， = . 由 可得对任意 ，均有 ， 即 对任意 均成立， 由 ， ， 可得 对任意 均成立， 所以 ， 2 2 1 2 31 1 3 3 b ae + = + == 2 3 3 2( )f x x ax a= + + { }R ( )A x f x x= ∈ ≤ { }R [ ( )] ( )B x f f x f x= ∈ ≤ ,A A B≠ ∅ ⊆ a 0 3 2 2a≤ ≤ − 3 2 2 6a+ ≤ ≤ 1x ( )2 1 2x x x≤ ( )f x x= [ ] 1( ) ( ) ( )f f x f x f x x= ⇔ = 2x [ ]( ) ( )f f x f x− 1 2 1 2( )( )( 1)( 1)x x x x x x x x= − − − + − + A B⊆ 1 2x x x≤ ≤ [ ]( ) ( ) 0f f x f x− ≤ 1 2 1 0x x− + ≥ A ≠ ∅ 1x ( )2 1 2x x x≤ ( )f x x= ( )2 1 0x a x a+ − + = { } { }1 2R ( ) RA x f x x x x x x= ∈ ≤ = ∈ ≤ ≤ [ ] 1( ) ( ) ( )f f x f x f x x= ⇔ = 2x ( ) ( )( )1 2f x x x x x x− = − − [ ] [ ][ ]1 2( ) ( ) ( ) ( )f f x f x f x x f x x− = − − [ ][ ]21( ) ( )f x x x x f x x x x− + − − + − ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 21 1 1x x x x x x x x x x x x   = − − + − − − + −    1 2 1 2( )( )( 1)( 1)x x x x x x x x= − − − + − + A B⊆ 1 2x x x≤ ≤ [ ]( ) ( ) 0f f x f x− ≤ 1 2 1 2( )( )( 1)( 1) 0x x x x x x x x− − − + − + ≤ 1 2x x x≤ ≤ 1 0x x− ≥ 2 0x x− ≤ 1 1 0x x− + > 2 1 0x x− + ≥ 1 2x x x≤ ≤ 1 2 1 0x x− + ≥第 11 页 共 21 页 所以 即 ， 解得 或 . 故答案为： 或 . 【点睛】 本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查了转化化归思想和计算能力， 属于中档题. 三、双空题 14．在数列 中， 为它的前 项和，已知 ， ，且数列 是等 比数列，则 ______ ， =_______. 【答案】 【解析】设 ，由等比数列的性质先求得 ，进而求得 ； 再利用分组求和法即可求得 . 【详解】 设 ，数列 的公比为 ， 则由题意 ， ， ， ， ， ， . 故答案为： ， . 【点睛】 本题考查了构造新数列求数列通项和利用分组求和法求数列前 n 项和，考查了计算能力， 属于中档题. ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 4 0 1 4 1 0 a a x x x x x x ∆ = − − ≥ − + = − + − + ≥ ( ) ( ) 2 2 1 4 0 1 4 1 a a a a  − − ≥ − − ≤ 0 3 2 2a≤ ≤ − 3 2 2 6a+ ≤ ≤ 0 3 2 2a≤ ≤ − 3 2 2 6a+ ≤ ≤ { }na nS n 2 1a = 3 6a = { }na n+ na = nS 13n n− − 23 1 2 2 n n n+ +− n nb a n= + 13n nb −= 13n na n−= − nS n nb a n= + { }nb q 2 2 2 3b a= + = 3 3 3 9b a= + = ∴ 3 2 3bq b = = 2 1 1bb q= = ∴ 1 1 1 3n n nb b q − −= = ∴ 13n n na b n n−= − = − ∴ ( ) ( )2 1 2 11 1 3 2 3 3 3 1 3 3 3 1 2 3n n n nS n− −= − + − + − +⋅⋅⋅+ − = + + +⋅⋅⋅+ − + + +⋅⋅⋅+ ( ) ( ) 21 1 3 1 3 1 1 3 2 2 2 n nn n n n⋅ − + + += − = −− 13n n− − 23 1 2 2 n n n+ +−第 12 页 共 21 页 15．二项式 的展开式的各项系数之和为______， 的系数为________． 【答案】 【解析】令 即可求得该二项式的展开式的各项系数之和；写出该二项式展开式的 通项公式 ，令 即可求得 的系数. 【详解】 令 ， ， 故该二项式的展开式的各项系数之和为 ； 二项式 的展开式的通项公式为 ， 令 即 ， ，故 的系数为 . 故答案为： ， . 【点睛】 本题考查了二项式定理的应用，考查了计算能力，属于基础题. 16．已知直线 若直线 与直线 平行，则 m 的值为________， 动直线 被圆 截得的弦长最短为_________. 【答案】 【解析】由直线平行的性质可得 ，解方程即可得 ；由题意知直线 恒过点 ，圆的圆心 ，半径 ，由圆的性质即可得所求弦长最小值 为 ；即可得解. 【详解】 直线 与直线 平行， ，解得 ； 由题意可知直线 恒过点 ， 圆 的圆心 ，半径 ， ， 61( )2 x x − 4x 1 64 3 16 − 1x = 2 6 1 6 1 2 r r r rT C x − +  = ⋅ − ⋅   2 6 4r − = 4x 1x = 6 61 11 2 1( 6)2 4 x x  = − =   − 1 64 61( )2 x x − 6 2 6 1 6 6 1 1 2 2 r r r r r r r xT C C xx − − +      = ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅           2 6 4r − = = 5r 5 5 6 1 3 2 16C  ⋅ − = −   4x 3 16 − 1 64 3 16 − : 1,l mx y− = l 1 0x my− − = l 2 2 2 8 0x y y+ − − = 1− 2 5 1 1 1 1 m m − −= ≠− − 1m = − l ( )0, 1P − ( )0,1C 3r = 22 r CP−  : 1l mx y− = 1 0x my− − = ∴ 1 1 1 1 m m − −= ≠− − 1m = − : 1l mx y− = ( )0, 1P − 2 2 2 8 0x y y+ − − = ( )0,1C 3r = 2CP =第 13 页 共 21 页 易知当 时，直线被圆截得的弦长最短， 此时弦长为 . 故答案为： ， . 【点睛】 本题考查了两直线平行的性质，考查了直线过定点和直线与圆的位置关系，属于中档题. 17．已知随机变量 的分布列如下表： X 0 2 a P b 其中 .且 ，则 b=_______ ， =_________. 【答案】 24 【解析】由概率和为 1 即可的 ，由题意结合期望公式可得 ，根据方差公式 求得 后利用 即可得解. 【详解】 由题意 ，解得 ， ； 所以 ， 所以 . 故答案为： ， . 【点睛】 本题考查了分布列的应用，考查了利用分布列进行期望和方差的相关计算，属于基础题. 四、解答题 18．在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 已知 . （1）求 的值； （2）若 的面积 ， ，求 的值. CP l⊥ 2 22 2 9 5 2 5r CP− = − = 1− 2 5 X 1 2 1 4 0 0a b> >， ( ) 2E X = ( )2 1D X − 1 4 1 4b = 6a = ( )D X ( ) ( )22 1 2D X D X− = ⋅ ( ) 1 1 12 4 1 10 2 22 4 b E X b a  + + =  = × + + = 1 4b = 6a = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 10 2 2 2 6 2 62 4 4D X = − × + − × + − × = ( ) ( )22 1 2 24D X D X− = ⋅ = 1 4 24 ABC , ,a b c tan( ) 34 A π + = 2sin 2 cosA A+ ABC 1S = 2c = a第 14 页 共 21 页 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由两角差的正切公式可得 ，转化条件 即可得解； （2）由同角三角函数的关系结合题意可得 ， ，由三角形面积 公式 可得 ，再由余弦定理即可得解. 【详解】 （1）由题意 ， 所以 . （2）由（1） 可得： 即 ， 又 ， ，所以 ， ； 又 ， 可得 ； ； 所以 . 【点睛】 本题考查了利用同角三角函数的关系和三角恒等变换进行化简求值，考查了余弦定理和 三角形面积公式的应用，属于中档题. 19．如图，已知四棱锥 ，正三角形 与正三角形 所在平面互相垂 直， 平面 ，且 ， . （1）求证： ； 8 5 1a = 1tan 2A = 2 2 2tan 1sin 2 cos tan 1 AA A A ++ = + 5sin 5A = 2 5cos 5A = 1 sin2S bc A= 5b = tan( ) tan 14 4tan tan ( )4 4 21 tan( ) tan4 4 A A A A π π π π π π + − = + − = =   + + ⋅ 2 2 2 2 2 2sin cos cos 2tan 1 8sin 2 cos sin cos tan 1 5 A A A AA A A A A + ++ = = =+ + 1tan 2A = sin 1tan cos 2 AA A = = cos 2sinA A= 2 2sin cos 1A A+ = ( )0,A π∈ 5sin 5A = 2 5cos 5A = 1 sin 12S bc A= = 2c = 5b = 2 2 2 2 cos 5 4 8 1a b c bc A= + − = + − = 1a = A BCDE− ABC ABE / /BC ADE 2BC = 1DE = / /BC DE第 15 页 共 21 页 （2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】（1）由线面平行的性质即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而可得平面 的一个法向量是 和 直线 的方向向量 ，利用 即可得解. 【详解】 （1）证明：因为 平面 ， ，且平面 平面 ， 所以 （2）取 中点 ，连接 ， ，由题意可得 、 、 两两垂直， 如图所示建立空间直角坐标系， 各点的坐标分别为 ， ， ， ，.. 所以 ， ， 所以 ， . 所以 ，所以 . 所以 ， 因为平面 的一个法向量是 设 与平面 所成的角为 ， 则 ， 所以 与平面 所成角的正弦值为 . 2AF FD=  CF ABE 21 7 ABE OC CF CF sin cos ,OC CFθ =   / /BC ADE BC BCED⊂ BCED  =ADE DE / /BC DE AB O EO CO OC OB OE ( )1,0,0A − ( )1,0,0B ( )0, 3,0C ( )0,0, 3E ( )1, 3,0BC = − 1 1 3, ,02 2 2ED BC  = = −      1 3, , 32 2D  −    1 3, , 32 2AD  =      2 1 3 2 3, ,3 3 3 3AF AD  = =       2 3 2 3, ,3 3 3  −    F 2 2 3 2 3, ,3 3 3  −= −    CF ABE ( )0 3,0OC = ， CF ABE θ 2 21sin cos , 72 73 3 OC CF OC CF OC CF θ ⋅ −= = = = ⋅ ⋅       CF ABE 21 7第 16 页 共 21 页 【点睛】 本题考查了利用线面平行的性质证明线线平行，考查了利用空间向量求线面角，属于中 档题. 20．已知数列 的前 项和 ，且 . （1）写出 的值，并求出数列 的通项公式； （2）设 ， 为数列 的前 项和；求证： . 【答案】（1） ， ， 6， .（2）见解析 【解析】（1）分别令 、、 、 即可得 、 、 的值；当 时，利 用 可得 ，则数列 是首项为 2，公差为 2 的等差数列，即可得解； （2）由等差数列前 n 项和公式结合题意可得 ，根据 即可得 ，根据 即可得 ，即可得证. 【详解】 （1）因为 ， 当 时， ，所以 ， 当 时， ，所以 ， 当 时， ，所以 ， { }na n 2 2 4 n n n a aS += *0( N )na n> ∈ 1 2 3, ,a a a { }na n nb S= nT { }nb n 2 2 2 2 2n n n n nT + +< < 1 2a = 2 4a = 3a = 2na n= 1n = 2n = 3n = 1a 2a 3a 2n ≥ 1n n na S S −= − ( )( )1 1 2 0n n n na a a a− −+ − − = { }na ( 1)nb n n= + nb n> 2 2n n nT +> ( 1) 2n n nb + +< 2 2 2n n nT < + 0na > 1n = 2 1 1 1 1 2 4 a aa S += = 1 2a = 2n = 2 2 2 2 2 1 2 4 a aS a a +== + 2 4a = 3n = 3 3 3 2 3 2 1 2 4 a aS a a a += + + = 3 6a =第 17 页 共 21 页 当 时， ， 化简得 ， 因为 ，所以 ； 所以数列 是首项为 2，公差为 2 的等差数列， . （2）证明：由（1）可得 ， ； 所以 ，所以 ； 又 ； 所以 ； 综上可得 . 【点睛】 本题考查了数列通项和前 n 项和的求解，考查了放缩法证明不等式，属于中档题. 21．如图，设抛物线方程为 (p＞0)，M 为直线 上任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B. （1）求直线 AB 与 轴的交点坐标； （2）若 E 为抛物线弧 AB 上的动点，抛物线在 E 点处的切线与三角形 MAB 的边 MA， MB 分别交于点 ， ，记 ，问 是否为定值？若是求出该定值；若不是 请说明理由. 2n ≥ 2 2 1 1 1 2 2 4 4 n n n n n n n a a a aa S S − − − + += − = − ( )( )1 1 2 0n n n na a a a− −+ − − = 0na > 1 2 0n na a −− − = { }na ( )2 2 1 2na n n= + − = ( )2 2 12n nS n n n += ⋅ = + ( 1)nb n n= + nb n> 1 2 2 1 2 2nn b nT nb b n+>= + +⋅⋅⋅ + +⋅⋅⋅+ =+ ( 1) 1( 1) 2 2n n nb n n n + += + < = + 1 2 21 1 1 ( 1) 21 22 2 2 2 2 2nn b b b n n n n nT n + +     < + + + +⋅⋅⋅+ + = + =         = + +⋅⋅  ⋅+  2 2 2 2 2n n n n nT + +< < 2 2x py= 2y p= − y C D EAB MCD S S λ = △ △ λ第 18 页 共 21 页 【答案】（1） （2）是定值，定值为 2 【解析】（1）设 ， ，求导后可得直线 的方程与直线 方 程，联立方程组可得 ，写出直线 的方程为 ，令 即可得解； （2）设点 ，联立方程组可得 ， ，进而可得 ，设 ，记 ，表示出各三角形 面积后，即可得解. 【详解】 （1）设 ， ，抛物线方程 可变为 ， 所以 ，所以 ， ， 直线 的方程为 ，直线 方程为 ， 则 解得 ， ， 又 ，所以直线 的方程为 ， 化简得 ， 令 ， ， 又 ， 所以 ， 所以直线 AB 与 轴的交点坐标为 . （2）记 ，设点 ， (0,2 )p 2 1 1, 2 xA x p      2 2 2 , 2 xB x p      AM BM 1 2 2M p x xy = AB ( )2 1 2 1 12 2 xy x xp x x p +− = − 0x = ( )3 3,E x y 1 3 2C xx x+= 2 3 2D xx x+= AC CE MD CM ED DB = = AC CE MD CM ED tDB = = = MCES S=△ 2 1 1, 2 xA x p      2 2 2 , 2 xB x p      ( )2 2 0x py p= > 2 2 xy p = xy p ′ = 1 AM xk p = 2 BM xk p = AM ( )2 1 1 12y x xp x x p − = − BM ( )2 2 2 22y x xp x x p − = − ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 x xy x xp p x xy x xp p  − = −  − = − 2 1 2M xx x+= 1 2 2M p x xy = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2AB x x xp pk x p x x − += =− AB ( )2 1 2 1 12 2 xy x xp x x p +− = − ( )1 2 1 2 02x x py xxx − − =+ 0x = 1 2 2p xy x= − 1 2 22My pp x x= = − 2y p= y ( )0,2p 1 2 2M x xx += 3 2 3 2, xxE p      第 19 页 共 21 页 可得直线 的方程为 ， 由 可得 ，同理 ， 所以 ， 所以 ，同理 ， 所以 ， 设 ，记 ，则 ， ， ， ， ， 于是 ， 所以 ， 所以 . 【点睛】 本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了运算能力，属于中档题. 22．已知 ， （1）当 时，判断函数 的单调性； CD ( )3 3 2 3 2y x xp x x p − = − ( ) ( ) 2 1 1 1 2 3 3 3 2 2 x xy x xp p x xy x xp p  − = −  − = − 1 3 2C xx x+= 2 3 2D xx x+= 1 1 1 3 1 11 32 2 3 3 2 2 2 C M C x x xx x x xAC x xx xCM x x x x + − = = =++ − − − −− 3 3 3 1 3 3 1 3 3 3 2 2 2 2 C D xxxx x x x xx x x CE xED x x = = =+ − +−− − − − AC CE CM ED = 3 2 1 3 x xMD DB x x − −= AC CE MD CM ED DB = = AC CE MD CM ED tDB = = = MCES S=△ ACES tS=△ MDE SS t =△ 2BDE SS t =△ ( )211 1 1 MAB MCD tMA MBS t t S MC MD t t ++ += = ⋅ =△ △ 1 MCD tS St += ⋅△ ( ) ( ) ( )2 2 3 2 1 11 1 MAB MCD t t tS S St t t t tS + + += = ⋅ + ⋅ =△ △ EAB MAB MCD ACE BDES S S S S= − − −△ △ △ △ △ ( ) ( )3 2 2 11 2 1t tt SS tS StSt t t += ⋅ −+ +− − = ⋅ 2EAB MCD S S λ = =△ △ ( ) ( )2 xf x x a e−= − ( ) ( )1xg x a e−= + 1a = ( )f x第 20 页 共 21 页 （2）当 时，记 的两个极值点为 ，若不等式 恒成立，求实数 的值. 【答案】（1）单调递减区间为 ， ，单调递增区间为 （2） 【解析】（1）求出导函数后，找到 、 的解集即可得解； （2）由题意结合韦达定理可知 ，原条件可化为 ，根据 、 、 分类讨论，即可得 解. 【详解】 （1）当 时， ，所以 ， 令 ，得 ， 所以 ， ， 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以 单调递减区间为 ， ， 单调递增区间为 . （2）因为 ， ， 所以 有两个不等实根， 由题意 ， 为方程 即 的两相异根， 1a > − ( )f x ( )1 2 1 2,x x x x< ( ) ( ) ( )2 1 2 1'x f x f x g xλ≤ −   λ ( ),1 2−∞ − ( )1 2 ++ ∞， ( )1 2,1 2− + 1λ = ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < 1 2 1 2 2 + =2 = 2 0i i x x x x a x x a   − − + + = ( ) 1 2 1 1 22 01 xx x e λ − − ≤ +  ( )1,0a∈ − =0a ( )0,a∈ +∞ 1a = ( ) ( )2 1 xf x x e−= − ( ) ( )2 2 1 xf x x x e−′ = − + + ( ) ( )2 2 1 =0xf x x x e−′ = − + + 2 2 1=0x x− + + 1 1 2x = − 2 1 2x = + x ( ),1 2−∞ − 1 2− ( )1 2,1 2− + 1 2+ ( )1 2 ++ ∞， ( )f x′ − + − ( )f x ( )f x ( ),1 2−∞ − ( )1 2 ++ ∞， ( )1 2,1 2− + ( ) ( )2 2 xf x x x a e−′ = − + + 1a > − 2 2 0x x a− + + = 1x 2x ( )2 2 =0xx x a e−− + + 2 2 =0x x a− −第 21 页 共 21 页 则 ， 所以 ， 所以 可以转化为 ， 所以上式可化为 ， 则 即 ， ①当 时，由 、 、 可得 ， 所以 ， 所以 恒成立，因为此时 所以 ； ②当 时 ， ， 显然 恒成立，即 ； ③当 时，由 可得 ， ， 所以 恒成立，因为此时 ，所以 ； 综上可知： . 【点睛】 本题考查了导数的综合运用，考查了推理能力和分类讨论思想，属于难题. 1 2 1 2 2 + =2 = 2 0i i x x x x a x x a   − − + + = ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 0 +1 1x xf x g x a e a e− −′ − = − = − + ( ) ( ) 1 1 1 12 2 1 2 1 2 1 1 2= 2 =2 2x x x xx f x x x a e x x e x x e ae− − − −= − ⋅ = − ( ) ( ) ( )2 1 2 1x f x f x g xλ ′≤ −   ( )1 12 1x xae a eλ− −− ≤ − + ( ) ( )1 12 1 12 1 2 0x xx x e eλ − − − + − ≤  ( ) ( )1 1 2 1 1 22 1 01 x xx x ee λ − − − + ≤ +  ( ) 1 2 1 1 22 01 xx x e λ − − ≤ +  ( )1,0a∈ − 1 20 1x x< < 1 2+ =2x x 1 2x x< ( )1 0,1x ∈ 2 1 12 0x x− < 1 2 01 xe λ − ≥+ 1 2 2 1 1xe e  ∈ + + ,1 1λ ≥ =0a 1 0x = 2 1 12 0x x− = ( ) 1 2 1 1 22 01 xx x e λ − − ≤ +  Rλ ∈ ( )0,a∈ +∞ 1 2 0x x < ( )1 ,0x ∈ −∞ 2 1 12 0x x− > 1 2 01 xe λ − ≤+ ( ) 1 2 11 xe ∈+ ,2 1λ ≤ 1λ =