2020届山东省泰安市高三一轮检测数学试题（解析版）

第 1 页 共 26 页 2020 届山东省泰安市高三一轮检测数学试题 一、单选题 1．已知全集 ，集合 ， ，则阴影部分表示的 集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求出集合N 的补集 ，再求出集合 M 与 的交集，即为所求阴影部分 表示的集合. 【详解】 由 ， ，可得 或 ， 又 所以 . 故选：D. 【点睛】 本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题. 2．已知复数 ，其中 ， ， 是虚数单位，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】试题分析：由 ,得 ,则 ，故选 D. 【考点】1、复数的运算；2、复数的模. 3．已知 的展开式中的常数项为 8，则实数 （ ） A．2 B．-2 C．-3 D．3 【答案】A U = R { | 3 1}M x x= − < < { || | 1}N x x=  [ 1,1]− ( 3,1]− ( , 3) ( 1, )−∞ − − +∞ ( 3, 1)− − U N U N U = R { || | 1}N x x=  { 1U N x x= < − 1}x > { | 3 1}M x x= − < < { 3 1}UM N x x∩ = − < < − 2 1ai bii − = − a b R∈ i a bi+ = 1 2i− + 1 5 5 2 1ai bii − = − ( )2 1 , 1, 2ai i bi b i a b− = − = + ∴ = − = ( )2 21 2 , 1 2 1 2 5a bi i a bi i+ = − + ∴ + = − + = − + = 31(2 )(1 )mx x − − m =第 2 页 共 26 页 【解析】先求 的展开式，再分类分析 中用哪一项与 相乘，将 所有结果为常数的相加，即为 展开式的常数项，从而求出 的值. 【详解】 展开式的通项为 ， 当 取 2 时，常数项为 ， 当 取 时，常数项为 由题知 ，则 . 故选：A. 【点睛】 本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对 所取的项要进行分 类讨论，属于基础题. 4．已知函数 ，且 )，则“ 在 上是单调 函数”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不 必要条件 【答案】C 【解析】先求出复合函数 在 上是单调函数的充要条件，再看其和 的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案. 【详解】 ，且 )， 由 得 或 ， 即 的定义域为 或 ，（ 且 ） 令 ，其在 单调递减， 单调递增， 在 上是单调函数，其充要条件为 即 . 31(1 )x − (2 )mx− 31(1 )x − 31(2 )(1 )mx x − − m 31(1 )x − 3 1 3 3 11 ( ) ( 1)r r r r r r rT C C xx − − + = ⋅ − = ⋅ − (2 )mx− 0 32 2C× = (2 )mx− mx− 1 1 3 ( 1) 3m C m− × × − = 2 3 8m+ = 2m = (2 )mx− ( ) log (| 2 | )( 0af x x a a= − − > 1a ≠ ( )f x (3, )+∞ 0 1a< < ( )f x (3, )+∞ 0 1a< < ( ) log (| 2 | )( 0af x x a a= − − > 1a ≠ 2 0x a− − > 2x a< − 2x a> + ( )f x { 2x x a< − 2 }x a> + 0,a > 1a ≠ 2t x a= − − ( ,2 )a−∞ − (2 , )a+ +∞ ( )f x (3, )+∞ 2 3 0 1 a a a + ≤  >  ≠ 0 1a< ( )f x 3(0, )4x π∈ ( ) sinxf x e x= (sin) ) 0c( osx xf x e x+′ = > ( )f x第 10 页 共 26 页 且 在 连续，故 在 单调递增， 故选项 B 正确； 当 时， ， ， 令 得， ， 当 时， ， ， 令 得， , 因此， 在 内有 20 个极值点，故选项 C 错误； 当 时， ，则 ， 当 时， ， 设 ， ， 令 ， ， 单调递增， ， ， 在 单调递增， 又由洛必达法则知： 当 时， ，故答案 D 正确. 故选：BD. 【点睛】 本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数研究 单调性以及利用导数研究恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属较难题. 三、填空题 13．已知 ，则 __________． ( )f x 3( , )4 4 π π− ( )f x 3( , )4 4 π π− [0,10 )x π∈ ( ) sinxf x e x= (sin c )s( ) oxf x e x x+′ = ( ) 0f x′ = ( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k π π= − + = ( 10 ,0)x π∈ − ( ) sinxf x e x−= (co( s) sin )x xf x e x−= −′ ( ) 0f x′ = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)4x k k π π= + = − − − − − − − − − − ( )f x ( 10 ,10 )π π− 0x = ( ) 0 0f x ax= ≥ = a R∈ (0, ]4x π∈ sin( ) xe xf x ax a x ≥ ⇔ ≤ sin( ) xe xg x x = 2 ( sin cos sin )( ) xe x x x x xg x x + −′∴ = ( ) sin cos sinh x x x x x x= + − (0, ]4x π∈ ( ) sin (cos sin ) 0h x x x x x′∴ = + − > ( )h x ( ) (0) 0h x h∴ > = ( ) 0g x′∴ > ( )g x (0, ]4 π 0x → 0 sin (sin cos )( ) 11 x x x e x e x xg x x = += → = 1a∴ ≤ ( )3 3 12, , ,sin ,sin4 5 4 13 π πα β π α β β   ∈ + = − − =       cos 4 πα + =  第 11 页 共 26 页 【答案】 【解析】∵ ， ∴ , ∴ ． 又 ， ∴ ． ∴ ． 答案： 14．一个房间的地面是由 12 个正方形所组成，如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面， 已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即 或 ，则用 6 块瓷砖铺满房间地面的方法有_______种. 【答案】11 【解析】将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定，再由此进行分类，在每一类里面又分 按两种形状的瓷砖的数量进行分类，在其中会有相同元素的排列问题，需用到“缩倍 法”. 采用分类计数原理，求得总的方法数. 【详解】 56 65 − 3, ,4 πα β π ∈   3 ,22 πα β π + ∈   ( ) ( )2 4cos = 1 sin 5 α β α β+ − + = 3,4 2 4 π π πβ  − ∈   12sin ,4 13 πβ − =   2 5cos( )= 1 sin ( )4 4 13 π πβ β− − − − = − cos( ) cos[( ) ( )]4 4 π πα α β β+ = + − − cos( )cos( ) sin ( )sin( )4 4 π πα β β α β β= + − + + − 4 5 3 12 56( ) ( )5 13 5 13 65 = × − + − × = − 56 65 −第 12 页 共 26 页 （1）先贴如图这块瓷砖， 然后再贴剩下的部分，按如下分类： 5 个 ： ， 3 个 ，2 个 ： ， 1 个 ，4 个 ： ， （2）左侧两列如图贴砖， 然后贴剩下的部分： 3 个 ： ， 1 个 ，2 个 ： ， 综上，一共有 （种）. 故答案为：11. 【点睛】 本题考查了分类计数原理，排列问题，其中涉及到相同元素的排列，用到了“缩倍法”的 思想.属于中档题. 15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、 艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（" "表示一根阳线，" "表示一根阴线）， 5! 15! = 4! 43! = 3! 32! = 3! 13! = 2! 2= 1 4 3 1 2 11+ + + + =第 13 页 共 26 页 从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______. 【答案】 【解析】观察八卦中阴线和阳线的情况为3 线全为阳线或全为阴线各一个，还有 6 个是 1 阴 2 阳和 1 阳 2 阴各 3 个。抽取的两卦中共 2 阳 4 阴的所有可能情况是一卦全阴、另 一卦 2 阳 1 阴，或两卦全是 1 阳 2 阴。 【详解】 八卦中阴线和阳线的情况为 3 线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1 阴 2 阳的 3 个， 1 阳 2 阴的 3 个。抽取的两卦中共 2 阳 4 阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦 2 阳 1 阴，或两卦全是 1 阳 2 阴。 ∴从 8 个卦中任取 2 卦，共有 种可能，两卦中共 2 阳 4 阴的情况有 ，所求概率为 。 故答案为： 。 【点睛】 本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们关心 的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数。 四、双空题 3 14 2 8 28C = 1 2 3 3 6C C+ = 6 3 28 14P = = 3 14第 14 页 共 26 页 16．过点 的直线 与直线 垂直，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ，若点 满足 ， 则双曲线 的渐近线方程为_______，离心率为_______. 【答案】 ， 【解析】先求出直线 的方程，将其与双曲线的渐近线方程联立，求得 两点的坐标， 进而求得 的中点 的坐标.利用点 满足 ，可知点 在线段 的中垂线上，即 ， ，从而可求得 ，再根据 ， 求出 ，即可写出渐近线方程和离心率. 【详解】 过点 的直线 与直线 垂直， 直线 的方程为 ， 双曲线 的两条渐近线方程为 ， 将两个方程联立，可得 ， ， 的中点坐标为 ， 点 满足 ， 点 在线段 的中垂线上，即 ， ， 则 ， ， 渐近线方程为 ，离心率为 . 故答案为： ， . 【点睛】 本题考查了双曲线的渐近线和离心率的求法，求直线的方程，两直线的交点坐标，中点 坐标公式.其中将 转化为点 在中垂线上是关键.属于综合性较强的题. ( ,0)( 0)M m m− ≠ l 3 3 0x y+ − = l 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ,A B ( ,0)P m | | | |PA PB= C 1 2y x= ± 5 2 l ,A B AB N ( ,0)P m | | | |PA PB= ( ,0)P m AB PN AB⊥ 3PNk = − 1 2 b a = 2 2 2 1be a = + e  ( ,0)( 0)M m m− ≠ l 3 3 0x y+ − = ∴ l 3 0x y m− + = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > by xa = ± ( , )3 3 ma mbA b a b a− − ( , )3 3 ma mbB b a b a − + + AB∴ 2 2 2 2 2 2 3( , )9 9 ma mbN b a b a− −  ( ,0)P m PA PB= ∴ ( ,0)P m AB PN AB⊥ 2 2 2 2 2 2 3 09 3 9 mb b a ma mb a −−∴ = − −− 2a b∴ = 1 2 b a = 2 2 2 2 51 2 c be a a = = + = ∴ 1 2y x= ± 5 2 1 2y x= ± 5 2 | | | |PA PB= ( ,0)P m第 15 页 共 26 页 五、解答题 17．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下 面问题中，并解答. 已知等差数列 的公差为 ，等差数列 的公差为 .设 分别是数 列 的前 项和，且 ， ， （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】方案一：（1）根据等差数列的通项公式及前 n 项和公式列方程组，求出 和 ， 从而写出数列 的通项公式； （2）由第（1）题的结论，写出数列 的通项 ，采用 分组求和、等比求和公式以及裂项相消法，求出数列 的前 项和 . 其余两个方案与方案一的解法相近似. 【详解】 解：方案一： （1）∵数列 都是等差数列，且 ， ，解得 ， 综上 （2）由（1）得： 5 3A B= 1 2 2 1 1 4 a a B − = 5 35B = { }na ( 0)d d > { }nb 2d ,n nA B { } { },n na b n 1 23, 3b A= = { } { },n na b 1 32 na n n n c b b + = + { }nc n nS , 2 1n na n b n= = + 1 3( 2)2 2 3 n n n + +− + 1a d { } { },n na b { }nc 3 1 12 2 2 1 2 3 n nc n n  = + − + +  { }nc n nS { } { }n na b， 2 5 33,A A B= = 1 1 2 3 5 10 9 6 a d a d d + =∴ + = + 1 1 1 a d =  = 1 ( 1)na a n d n∴ = + − = 1 ( 1)2 2 1nb b n d n= + − = + , 2 1n na n b n= = + 3 3 1 12 2(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3 n n nc n n n n  = + = + − + + + + 第 16 页 共 26 页 方案二： （1）∵数列 都是等差数列，且 ， 解得 ， . 综上， （2）同方案一 方案三： （1）∵数列 都是等差数列，且 . ，解得 ， ， . 综上， （2）同方案一 【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式的应用，考查了分组求和、等比求和及 裂项相消法求数列的前 n 项和，属于中档题. 18．在 中，内角 的对边分别为 ，且 （1）求 ； （2）若 ，且 面积的最大值为 ，求 周长的取值范围. 2 3 1 1 1 1 1 1(2 2 2 ) [( ) ( ) ( )]2 3 5 5 7 2 1 2 3 n nS n n ∴ = + + + + − + − + + −+ +  ( )2 1 2 3 1 1 1 2 2 3 2 3 n n −  = + − − +  1 3( 2)2 2 3 n n n + += − + { } { }n na b， 2 1 2 2 1 1 43,A a a B = − = ( )1 1 1 2 3 4 (6 2 ) a d a a d d d + =∴ + = + 1 1 1 a d =  = 1 ( 1)na a n d n∴ = + − = 1 ( 1)2 2 1nb b n d n= + − = + , 2 1n na n b n= = + { } { }n na b， 52 3, 35A B= = 12 3 5 43 5 2 352 a d d + =∴ ×× + × = 1 1 1 a d =  = ( 1)n ta a n d n∴ = + − = 1 ( 1)2 2 1nb b n d n= + − = + 1 2 1n na n b n= = + ABC , ,A B C , ,a b c 28cos 2cos2 32 B C A + − = A 2a = ABC 3 ABC第 17 页 共 26 页 【答案】（1） （2） 【解析】（1）利用二倍角公式及三角形内角和定理，将 化 简为 ，求出 的值，结合 ，求出 A 的值； （2）写出三角形的面积公式，由其最大值为 求出 .由余弦定理，结合 ， ，求出 的范围，注意 .进而求出周长的范围. 【详解】 解：（1） 整理得 解得 或 (舍去) 又 ； （2）由题意知 ， 又 ， ， 又 周长的取值范围是 【点睛】 本题考查了二倍角余弦公式，三角形面积公式，余弦定理的应用，求三角形的周长的范 围问题.属于中档题. 19．在四边形 中， ， ；如图，将 沿 边折起，连结 ，使 ，求证： 3A π= (4,6] 28cos 2cos2 32 B C A + − = 24cos 4cos 3 0A A+ − = cos A (0, )A π∈ 3 4bc 2a = 3A π= b c+ 2b c a+ > = 28cos 2cos2 32 B C A + − = 4(1 cos( )) 2cos2 3B C A∴ + + − = 24cos 4cos 3 0A A+ − = 1cos 2A = 3cos 2A = − (0, )A π∈ 3A π∴ = ABC 1 3sin 32 4S bc A bc∆ = = ≤ 4bc∴  2 2 2 2 cos , 2b c a bc A a+ − = = 2 2 4b c bc∴ + = + 2( ) 4 3 16b c bc∴ + = +  2b c+ > 2 4b c∴ < + < 4 6a b c∴ < + +  ABC∴ (4,6] ABCP 2, 3AB BC P π= = ∠ = 2PA PC= = PAC AC PB PB PA=第 18 页 共 26 页 （1）平面 平面 ； （2）若 为棱 上一点，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的大小. 【答案】（1）证明见详解；（2） 【解析】（1）由题可知，等腰直角三角形 与等边三角形 ，在其公共边 AC 上 取中点 O，连接 、 ，可得 ，可求出 .在 中，由勾股定理可证得 ，结合 ，可证明 平面 .再根 据面面垂直的判定定理，可证平面 平面 . （2）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，由点 F 在线段 上，设 ，得出 的坐标，进而求出平面 的一个法向量 .用向量法表示出 与平面 所成角的正弦值，由其等于 ，解得 .再结合 为平面 的一个法向量，用向量法即可求出 与 的夹角，结合图形，写出 二面角 的大小. 【详解】 证明：（1）在 中， 为正三角形，且 在 中， 为等腰直角三角形，且 取 的中点 ，连接 ， ， ABC ⊥ PAC F AB AP PCF 3 4 F PC A− − 6 π ABC PAC OB OP ,OB AC OP AC⊥ ⊥ 3OP = OPB△ OP OB⊥ OP AC O∩ = OB ⊥ PAC ABC ⊥ PAC O O xyz− AB (0 1)AF mAB m= < 1 2,F F :l y kx m= + C ,P Q l C A 2F 1F PQ∆ 4 2 l C 4 3第 22 页 共 26 页 （1）求椭圆 的方程； （2）点 为 内一点， 为坐标原点，满足 ，若点 恰 好在圆 上，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 或 【解析】（1）由椭圆的定义可知，焦点三角形的周长为 ，从而求出 . 写出直线 的方程，与椭圆方程联立，根据交点横坐标为 ，求出 和 ，从而写 出椭圆的方程； （2）设出 P、Q 两点坐标，由 可知点 为 的重心，根据 重心坐标公式可将点 用 P、Q 两点坐标来表示.由点 在圆 O 上，知点 M 的坐标满 足圆 O 的方程，得 式. 为直线 l 与椭圆 的两个交点，用韦达定理表示 ， 将其代入方程 ，再利用 求得 的范围，最终求出实数 的取值范围. 【详解】 解：（1）由题意知 . ， 直线 的方程为 ∵直线 与椭圆 的另一个交点的横坐标为 解得 或 (舍去) ， ∴椭圆 的方程为 （2）设 . ∴点 为 的重心， C M POQ△ O MP MO MQ+ + = 0   M 2 2 4 9O x y+ =： m 2 2 12 x y+ = 1m > 1m < − 4 4 2a = 2a = 2AF 4 3 c 2b MP MO MQ+ + = 0   M POQ△ M M ( )∗ ,P Q C 1 2x x+ ( )∗ > 0∆ k m 4 4 2a = 2a∴ = 2AF ( )by x cc = − 2AF C 4 3 2 2 2 4 3 4 3 12 by cc y b   = −   ∴    + = 1c = 2c = 2 1b∴ = C 2 2 12 x y+ = ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y MP MO MQ+ + = 0    M POQ△第 23 页 共 26 页 ∵点 在圆 上， 由 得 ， 代入方程 ，得 ， 即 由 得 解得 . 或 【点睛】 本题考查了椭圆的焦点三角形的周长，标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，其中 重心坐标公式、韦达定理的应用是关键.考查了学生的运算能力，属于较难的题. 22．已知函数 （1）若函数 在 处取得极值 1，证明： （2）若 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）证明见详解；（2） 1 2 1 2,3 3 x x y yM + + ∴    M 2 2 4 9O x y+ =： ( ) ( )2 2 1 2 1 2 4 ( )x x y y∴ + + + = ∗ 2 2 12 y kx m x y = + + = ( )2 2 21 2 4 2 2 0k x kmx m+ + + − = 2 1 2 1 22 2 4 2 2,1 2 1 2 km mx x x xk k −∴ + = − =+ + ( )∗ 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 4 4( ) ( ) ( ) [ ( ) 2 ] 41 2 1 2 km kmx x y y k mk k + + + = − + − + =+ + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 22 16 1 16 4 41 21 2 k k m k m mkk + − + =++ > 0∆ 2 21 2k m+ > ( )22 2 2 1 2 1 2 4 1 k k k + ∴ + > + 0k ≠ ( )22 2 2 2 2 2 2 1 2 4 41 1 14 14 1 4 1 k km k k k k + ∴ = = + = + >+ + + 1m∴ > 1m < − ln( ) ,x x axf x a Re += ∈ ( )y f x= ( )0 0ln 2 ln3x x x= < < 1 12 3ln 2 ln3a− < < − 1( ) xf x x e − a ( ,1]−∞第 24 页 共 26 页 【解析】（1）求出函数 的导函数 ，由 在 处取得极值 1，可 得 且 .解出 ，构造函数 ，分析其 单调性，结合 ，即可得到 的范围，命题得证； （2）由 分离参数，得到 恒成立，构造函数 ，求导函数 ，再构造函数 ， 进行二次求导 .由 知 ，则 在 上单调 递增.根据零点存在定理可知 有唯一零点 ，且 .由此判断出 时， 单调递减， 时， 单调递增，则 ，即 .由 得 ，再次构造函数 ， 求导分析单调性，从而得 ，即 ，最终求得 ，则 . 【详解】 解：（1）由题知， ∵函数 在 ，处取得极值 1， ，且 ， ， ， 令 ，则 为增函数， ( )y f x= ( )f x′ ( )f x 0x x= 0( ) 0f x′ = 0( ) 1f x = 0 0 1xa e x = − 1( ) ( 0)xr x e xx = − > 0ln 2 ln3x< < a 1( ) xf x x e − ln 1x xa e x x − − ln 1( ) x xg x e x x = − − 2 2 ln( ) xx e xg x x ′ += 2( ) lnxh x x e x= + ( )2 1( ) 2 xh x x x e x ′ = + + 0x > ( ) 0h x′ > ( )h x (0, )+∞ ( )h x 1x 1 1 12 x< < ( )10,x x∈ ( )g x ( )1,x x∈ +∞ ( )g x ( )min 1( )g x g x= 1 1 1 1 ln 1x xa e x x − − ( )1 0h x = 1 1 1 1 lnx xx e x = − ( ) ( 0)xk x xe x= > 1 1lnx x= − 1 1 1xe x = ( )1 1g x = 1a 1 (ln ) ( ) x a x axxf x e ′ + − + = ( )y f x= 0x x= ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 ln 0x a x axxf x e + − + ′∴ = = ( ) 0 0 0 0 ln 1x axf x e += = 0 00 0 1 ln xa x ax ex ∴ + = + = 0 0 1xa e x ∴ = − 1( ) ( 0)xr x e xx = − > 2 1( ) 0xr x e x ′ = + > ( )r x∴ 00 ln 2 ln3x< < ( ) 0h x′∴ > ( )h x∴ (0, )+∞ 1(1) 0, ln 2 02 4 eh e h = > = − ( ) 0g x′ > ( )g x ( )min 1( )g x g x∴ = 1 1 1 1 ln 1x xa e x x ∴ − − ( )1 0h x = 1 1 1 1 lnx xx e x = − 1 1 12 x< ( ) ( 0)xk x xe x= > 1 1 1 1 lnx xx e x = − ( ) ( )1 1lnk x k x= − ( ) ( 1) xk x x e′ = + (0, )+∞ ( )k x∴ (0, )+∞ ( ) ( )1 1lnk x k x= − 1 1lnx x∴ = − 1 1 1xe x ∴ =第 26 页 共 26 页 ， ∴实数 的取值范围为 . 【点睛】 本题考查了函数的极值，利用导函数判断函数的单调性，函数的零点存在定理，证明不 等式，解决不等式恒成立问题.其中多次构造函数，是解题的关键，属于综合性很强的 难题. ( ) ( ) 1 11 1 1 1 1 1 1 ln 1 1 1 1x xxg x e x x x x x −∴ = − − = − − = 1a∴  a ( ,1]−∞