2020届上海市高考模拟数学试题（一解析版）

第 1 页 共 18 页 2020 届上海市高考模拟（一）数学试题 一、单选题 1．“ ”是“ ”的（ ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】判断两个命题： 和 的真假即可 得． 【详解】 由于 ，且 ，得到 ，故充分性不成立；当 时， ，故必要性成立. 故选：B. 【点睛】 本题考查充分必要条件的判断，解题方法是根据充分必要条件的定义．即判断两个命题 和 的真假． 2．下列命题正确的是（ ） A．若直线 平面 ，直线 平面 ，则 B．若直线 上有两个点到平面 的距离相等，则 C．直线 l 与平面 所成角 的取值范围是 D．若直线 平面 ，直线 平面 ，则 【答案】D 【解析】根据线面平行垂直的性质与判定判断即可. 【详解】 对 A, 若直线 平面 ,直线 平面 ,不一定有 ,故 A 错误. 对 B,当 平面 时也满足直线 上有两个点到平面 的距离相等.故 B 错误. 对 C, 直线 l 与平面 所成角 的取值范围是 ,故 C 错误. 对 D, 若直线 平面 ,直线 平面 ,则 成立.故 D 正确. 故选：D sin 0α = cos 1α = sin 0α = ⇒ cos 1α = cos 1α = ⇒ sin 0α = 2 2sin cos 1α α+ = sin 0α = cos 1α = ± cos 1α = sin 0α = p q⇒ q p⇒ 1l ∥ α 2l ∥ α 1 2l l l α l α α θ 0 90θ° °< < 1l ⊥ α 2l ⊥ α 1 2l l 1l ∥ α 2l ∥ α 1 2l l l ⊥ α l α α θ 0 90θ° °≤ ≤ 1l ⊥ α 2l ⊥ α 1 2l l第 2 页 共 18 页 【点睛】 本题主要考查了线面平行垂直关系的判定,属于基础题型. 3．已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ， 则 的最大值是（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用数量积计算出 ，及 ，设 与 的夹角为 ， 可得 ，从而可得结论． 【详解】 由于 且 ，那么 ，设 与 的夹角为 ，所以 ， 即 ， 由于 ，所以 的最大值为 . 故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积，考查向量的模与数量积的关系，掌握数量积的定义是解题关 键． 4．已知函数 ，若存在实数 ， ， ， 满足 ，其中 ，则 取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先画出函数 的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数 的对称性，利用数形结合，即可求出其范围． 【详解】 函数 的图象如下图所示： a b c ( )( ) 0c a c b− − =   c 1 2 2 2 2 | | 2a b+ =  ( )( )c a c b− −    c a b+  α | | 2 cosc α= a b⊥  | | | | 1a b= =  | | 2a b+ =  c a b+  α 2 2( )( ) ( ) | | | || | cos 0c a c b c a b c a b c c a b a bα− − = − + ⋅ + ⋅ = − + + ⋅ =                | | 2 cosc α= 1 cos 1α− ≤ ≤ c 2 ( ) 3log ,0 3 sin ,3 156 x x f x x x π  < < =    ≤ ≤    1x 2x 3x 4x ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x= = = 1 2 3 4x x x x< < < 1 2 3 4x x x x ( )60,96 ( )45,72 ( )30,48 ( )15,24 ( )f x ( )f x第 3 页 共 18 页 若满足 ，其中 ， 则 ， ， 则 ，即 ， 则 ， 同时 ， ， ∵ ， 关于 对称，∴ ， 则 ，则 ， 则 ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查分段函数的应用，灵活掌握数形结合的方法，以及转化与化归的思想即可， 属于常考题型． 二、填空题 5．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 ________. 【答案】1 【解析】利用复数的四则运算求出 ，再求其模． 【详解】 因为 ，所以 ，则 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x= = = 1 2 3 4x x x x< < < 10 1x< < 21 3x< < 3 1 3 2log logx x= − 3 1 3 2 3 1 2log log log 0x x x x+ = = 1 2 1=x x ( )3 3,6x ∈ ( )4 12,15x ∈ 3x 4x 9x = 3 4 92 x x+ = 3 4 18x x+ = 4 318x x= − ( )1 2 3 4 3 4 3 318x x x x x x x x= = − ( )22 3 3 318 9 81x x x= − + = − − + ( )3 3,6x ∈ ( )3 4 45,72x x ∈ ( )1 2 3 4 45,72x x x x ∈ i z 1 1 z iz − =+ z z 1 1 z iz − =+ 21 (1 )1 (1 ) 1 (1 )(1 ) i iz z i z ii i i − −− = + ⇒ = = = −+ + −第 4 页 共 18 页 . 故答案为：1. 【点睛】 本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题． 6．设 且 ，若函数 的反函数的图象经过定点 ，则点 的坐 标是__． 【答案】 【解析】由于函数 经过定点 ，再利用反函数的性质即可得出． 【详解】 ∵函数 经过定点 ， ∴函数 的反函数的图象经过定点 ， 故答案为： ． 【点睛】 本题主要考查函数恒过定点的问题，以及反函数的问题，熟记指数函数的性质，以及反 函数的概念即可，属于基础题型． 7．在平面直角坐标系内，直线 ： ，将 与两坐标轴围成的封闭图形绕 轴旋转一周，所得几何体的体积为__． 【答案】 【解析】由题意可得绕 轴旋转，形成的是以 1 为半径，2 为高的圆锥，根据圆锥的体 积公式，即可求得所得几何体的体积． 【详解】 由题意可知绕 轴旋转，形成的是以 1 为半径，2 为高的圆锥， 则 ， 故答案为: ． 2 2| | 0 ( 1) 1z = + − = 0a > 1a ≠ ( ) 1 2xf x a −= + P P ( )3,1 ( ) 1 2xf x a −= + ( )1,3 ( ) 1 2xf x a −= + ( )1,3 ( )f x ( )3,1P ( )3,1 l 2 2 0x y+ − = l y 2 3 π y y 21 21 23 3V ππ= ⋅ × × = 2 3 π第 5 页 共 18 页 【点睛】 本题主要考查求旋转体的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于常考题型． 8．已知 ， ，则 ______. 【答案】 . 【解析】由已知等式化简可得 ，结合范围 ，解得 ，利用同角三角函数基本关系式可求 ，利用二倍角的正切函数公式可 求 的值. 【详解】 ， ， ， ，解得 ， ， 故答案为： . 【点睛】 本题主要考查的是三角恒等变换、二倍角的正弦、正切公式，同角三角函数关系的应用， 考查学生的计算能力. 9．设定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则不等式 sin 2 sin 0θ θ+ = ,2 πθ π ∈   tan 2θ = 3 sin (2cos 1) 0θ θ + = ,2 πθ π ∈   1cos 2 θ = − tanθ tan 2θ sin 2 sin 0θ θ+ = 2sin cos sin 0θ θ θ⇒ + = sin (2cos 1) 0θ θ⇒ + = , , sin 02 πθ π θ ∈ ≠   2cos 1 0θ∴ + = 1cos 2 θ = − 2 1tan 1 3cos θ θ∴ = − − = − 2 2tantan 2 31 tan θθ θ∴ = =− 3 R ( )y f x= 0x > ( ) 2 4xf x = − ( ) 0f x ≤第 6 页 共 18 页 的解集是______. 【答案】 【解析】先由解析式求出 在 时的解集，再由奇函数的定义得 ，以 及 时的不等式的解集．综合后可得所求解集． 【详解】 当 时，因为 ，所以 ，又因为 是定义 在 上的奇函数，所以 ， 在 上单调递增，并且 ， 所以 ，综上，不等式 的解集为 ， 故答案为： . 【点睛】 本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式．属于中档题． 10．在平面直角坐标系 中，有一定点 ，若 的垂直平分线过抛物线 ： 的焦点，则抛物线 的方程为__． 【答案】 【解析】先求出线段 的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所 求方程中，进而可求得 的值，即可得到抛物线方程． 【详解】 ∵点 ， 依题意我们容易求得直线的方程为 ， 把焦点坐标 代入可求得焦参数 ， 从而得到抛物线 的方程为： ． 故答案为： ． 【点睛】 本题主要考查求抛物线的方程，只需由题意求出焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标即可 得出抛物线方程，熟记抛物线标准方程即可，属于常考题型． ( , 2] [0,2]−∞ −  ( )f x 0x > (0) 0f = 0x < 0x > ( ) 2 4 0xf x = − ≤ 0 2x< ≤ ( )y f x= R ( )0 0f = ( )y f x= ( ,0)−∞ ( 2) (2) 0f f− = − = ( ) 0 2f x x≤ ⇒ ≤ − ( ) 0f x ≤ ( , 2] [0,2]−∞ −  ( , 2] [0,2]−∞ −  xOy ( )1,1A OA C ( )2 2 0y px p= > C 2 4y x= OA p ( )1,1A 1 0x y+ − = ,02 p     2p = C 2 4y x= 2 4y x=第 7 页 共 18 页 11．记 的展开式中第 项的系数为 ，若 ，则 _______. 【答案】5 【解析】根据题意，结合二项式定理可得， ，解可得答案． 【详解】 解：根据二项式定理，可得 ， 根据题意，可得 ， 解得 ， 故答案为 5． 【点睛】 本题考查二项式定理，要区分二项式系数与系数两个不同的概念． 12．从棱长为 的正方体的 个顶点中任取 个点，则以这三点为顶点的三角形的面积 等于 的概率是______________． 【答案】 【解析】先求得“从棱长为 的正方体的 个顶点中任取 个点”基本事件的总数，然后 求得“以这三点为顶点的三角形的面积等于 ”的事件所包含的基本事件数，最后根据古 典概型概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】 “从棱长为 的正方体的 个顶点中任取 个点”基本事件的总数有 种. 由于从正 方体每个面上的四个点选出三个点，围成的三角形的面积为 ，其它情况都超过 .所 以“以这三点为顶点的三角形的面积等于 ”的事件所包含的基本事件数为 种.由古典概型概率计算公式可知，所求概率为 故答案为： 【点睛】 本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，属于基础题. 13．若无穷数列 的所有项都是正数，且满足 ，则 12 n x x  +   m mb 3 42b b= n = 2 2 3 32 2 2n n n nC− −= ×  2 1 1(2 ) ( ) 2r n r r n r r n r r n nT C x C xx − − − + = =   2 2 3 32 2 2n n n nC− −= ×  5n = 1 8 3 1 2 3 7 1 8 3 1 2 1 8 3 3 8 56C = 1 2 1 2 1 2 3 46 24C× = 24 3 56 7 = 3 7 { }na ( )2 1 2 3na a na n n ∗+ +⋅⋅⋅+ + ∈= N 1 2 2 1lim 2 3 1 n n aa a n n→∞  + +⋅⋅⋅+ = + 第 8 页 共 18 页 ______． 【答案】 【解析】先由作差法求出数列 的通项公式为 ，即可计算出 ，然后利用常用数列的极限即可计算出 的值. 【详解】 当 时， ，可得 ； 当 时，由 ， 可得 ， 上式 下式得 ，得 ， 也适合 ，则 ， . 所以， . 因此， . 故答案为： . 【点睛】 本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了数列极限的计算，考查计算能力，属于 中等题. 14．甲､乙两人同时参加一次数学测试,共有 20 道选择题,每题均有 4 个选项,答对得 3 分, 答错或不答得 0 分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有 2 道题的选项不同,如 果甲最终的得分为 54 分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为________. 【答案】 【解析】甲最终的得分为 54 分，可得：甲答对了 20 道题目中的 18 道，由于甲和乙都 解答了所有的试题，甲必然有 2 道题目答错了，又甲和乙有 2 道题的选项不同，则乙可 能这两道题答对，答错，乙也可能这 2 道题与甲一样，在甲正确的题目中乙可能有两道 答错了，即可得到结论. 【详解】 2 { }na ( )24 1na n= + 1 2 2 3 1 naa a n + + + + 1 2 2 1lim 2 3 1 n n aa a n n→∞  + +⋅⋅⋅+ +  1n = 1 4a = 1 16a = 2n ≥ 2 1 2 1 3n na a a a n n−+ +⋅⋅⋅+ + = + ( ) ( )2 2 1 2 1 1 3 1 2na a a n n n n−+ +⋅⋅⋅+ = − + − = + − − ( )2 1na n= + ( )24 1na n= + 1 16a = ( )24 1na n= + ( ) ( )24 1na Nn n ∗= + ∈ ( )4 11 na nn ∴ = ++ ( ) ( ) ( )1 2 8 4 48 12 4 1 2 32 3 1 2 n n naa a n n nn + ++ + + = + + + + = = ++  ( )1 2 2 2 2 31 3lim lim lim 2 1 22 3 1 n n n n n naa a n n n n→∞ →∞ →∞ +     + +⋅⋅⋅+ = = + =    +      2 {48,51,54,57,60}第 9 页 共 18 页 因为 20 道选择题每题 3 分,甲最终的得分为 54 分,所以甲答错了 2 道题,又因为甲和乙 有两道题的选项不同,则他们最少有 16 道题的答案相同,设剩下的 4 道题正确答案为 ,甲的答案为 ,因为甲和乙有两道题的选项不同,所以乙可能的答案为 , , , , 等,所以乙的所有可能的得分值组成的集合为 ,故答案为 . 【点睛】 本题考查了集合的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 15．对于函数 ,其中 ,若 的定义域与值域相同,则非零实数 a 的值为______________. 【答案】-4 【解析】根据函数的定义域与值域相同，可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由 两者相同，比较二区间的端点得出参数满足的方程，解方程求参数即可. 【详解】 函数 ，其中 若 ，由于 ，即 ， ∴对于正数 b， 的定义域为: ， 但 的值域 ，故 ，不合要求. 若 ，对于正数 b， 的定义域为 . 由于此时 ，故函数的值域 . 由题意，有 ，由于 ，所以 . 故答案为：﹣4 【点睛】 本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力. 16．已知 ，函数 的图像的两个端点分别为 、 ，设 是函数 图像上任意一点，过 作垂直于 轴的直线 ，且 与线段 交于点 ， 若 恒成立，则 的最大值是______. AAAA BBAA BBCC BCBA CCAA CAAA AAAA {48,51,54,57,60} {48,51,54,57,60} 2( )f x ax bx= + 0b > ( )f x 2( )f x ax bx= + 0b > 0a > 2 0ax bx+ ≥ ( ) 0x ax b+ ≥ ( )f x , [0, )bD a  = −∞ − +∞    ( )f x [ )0,A ⊆ +∞ D A≠ 0a < ( )f x D 0, a b = −   max[ ( )] 2 2 b bf x f a a  = − =  −  0, 2 bA a  =  −  2 b b a a − = − 0b > 4a =﹣ 0a > ( ) ( [1,2])af x x xx = − ∈ A B M ( )f x M x l l AB N 1MN ≤ a第 10 页 共 18 页 【答案】 . 【解析】由 的坐标可以将直线 的方程找到，通过 点的坐标可以得到 的坐标， 将其纵坐标作差可以得到关于 的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等 式可以得到 的最大值. 【详解】 因为 ， ， 所以 ， 所以直线 的方程为 ， 设 ，所以 ， 因为 恒成立， 所以 恒成立， 所以 ， 因为 在 时小于等于 0 恒成立， 所以 ， ①当 或 时， 显然成立； ②当 时， ， 所以由基本不等式得 ， 此时 ， 所以 的最大值为 ， 故答案是： . 【点睛】 该题考查的是有关根据恒成立求对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，主意对 题中条件的转化，应用基本不等式求最值，属于较难题目. 6 4 2+ ,A B l M N a a ( ) ( [1,2])af x x xx = − ∈ 0a > (1,1 ), (2,2 )2 aA a B− − l (1 )( 1) 12 ay x a= + − + − ( , )aM t t t − ( ,(1 )( 1) 1 )2 aN t t a+ − + − 1MN ≤ (1 )( 1) 1 ( ) 12 a at a t t + − + − − − ≤ 2 3 2 12 t ta t − + ≤ 2( ) 3 2g t t t= − + [1,2]t ∈ 2 3 2 12 t ta t − +− ≤ 1t = 2t = 0 1≤ (1,2)t ∈ 2 2 2 23 2 3 ta t t t t − −≤ =− + + − 2 4 2 6 2 2 3 a −≤ = + − 2t = a 6 4 2+ 6 4 2+第 11 页 共 18 页 三、解答题 17．如图，在直三棱柱 中， 是等腰直角三角形， ， 为侧棱 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的大小（结果用反三角函数值表示） 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）推导出 ， ，由此能证明 平面 ． （2）以 为原点，直线 ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，利用 向量法能求出二面角 的大小． 【详解】 （1）∵底面 是等腰直角三角形，且 ， ∴ ， ∵ 平面 ， ∴ ， ∵ ， ∴ 平面 ． （2）以 为原点，直线 ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， 由（1）得 是平面 的一个法向量， ， ， 设平面 的一个法向量 ， 1 1 1ABC A B C− ABC 1 2AC BC AA= = = D 1AA BC ⊥ 1 1ACC A 1 1B CD C− − 2arccos 3 AC BC⊥ 1CC BC⊥ BC ⊥ 1 1ACC A C CA CB 1CC x y z 1 1B CD C− − ABC AC BC= AC BC⊥ 1CC ⊥ 1 1 1A B C 1CC BC⊥ 1AC CC C= BC ⊥ 1 1ACC A C CA CB 1CC x y z ( )0,0,0C ( )2,0,0A ( )0,2,0B ( )1 0,0,2C ( )1 0,2,2B ( )2,0,1D ( )0,2,0CB = 1 1ACC A ( )1 0,2,2CB = ( )2,0,1CD = 1B CD ( ), ,n x y z=第 12 页 共 18 页 则 ， 取 ，得 ， 设二面角 的平面角为 ， 则 ， 由图形知二面角 的大小是锐角， ∴二面角 的大小为 ． 【点睛】 本题主要考查线面垂直的证明，以及求二面角的平面角，熟记线面垂直的判定定理，以 及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型． 18．已知函数 ， ， 且函数的最小正周期为 . （1）求函数 的解析式； （2）在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，若 ， ，且 ，试求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）利用两角和与差的余弦公式展开，再由辅助角公式化简，由周期公式求得 ，则 的解析式可求； （2）把 代入函数解析式，求得 ，展开数量积 ，求得 的值， 结合 ，利用余弦定理求得 的值． 1 2 2 0 2 0 n CB y z n CD x z  ⋅ = + =  ⋅ = + =   1x = ( )1,2, 2n = − 1 1B CD C− − θ 4 2cos 2 3 3 CB n CB n θ ⋅ = = =×⋅     1 1B CD C− − 1 1B CD C− − 2arccos 3 ( ) ( )3sin cos cos 1 03 3x xf x x π πω ω ω ω   = + + + − − >       x∈R π ( )f x ABC A B C a b c ( ) 0f B = 3 2BA BC⋅ =  4a c+ = b ( ) 2sin 2 16f x x π = − −   7b = ω ( )f x ( ) 0f B = B 3 2BA BC⋅ =  ac 4a c+ = b第 13 页 共 18 页 【详解】 （1） ． ∵ ，∴ ． 则 ； （2）由 ，得 ． ∴ 或 ， ． ∵ 是三角形内角，∴ ． 而 ，∴ ． 又 ，∴ ． ∴ ． 则 ． 【点睛】 本题主要考查由三角函数的周期求参数，以及余弦定理解三角形，熟记三角函数的性质， 以及余弦定理即可，属于常考题型． 19．定义在 上的函数 ，若满足:对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称 是 上的有界函数，其中 称为函数 的上界 （1）设 ，判断 在 上是否是有界函数，若是，说明理由， 并写出 所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由. （2）若函数 在 上是以 为上界的有界函数，求实数 的 取值范围. ( ) 3sin cos cos 13 3x x xf x π πω ω ω   = + + + − −       3sin cos cos sin sin cos cos sin sin 13 3 3 3x x x x x π π π πω ω ω ω ω= + − + + − 3sin cos 1 2sin 16x x x πω ω ω = + − = + −   2T π πω= = 2ω = ( ) 2sin 2 16f x x π = − −   ( ) 2sin 2 1 06Bf B π = + − =   1sin 2 6 2B π + =   2 26 6B k π ππ+ = + 52 26 6B k π ππ+ = + k Z∈ B 3B π= 3cos 2BA BC ac B⋅ = ⋅ =  3ac = 4a c+ = ( )22 2 2 16 2 3 10a c a c ac+ = + − = − × = 2 2 2 2 cos 7b a c ac B= + − ⋅ = 7b = D ( )f x x D∈ 0M > ( )f x M≤ ( )f x D M ( )f x ( ) 1 = + xf x x ( )f x 1 1,2 2  −   ( )f x ( ) 1 2 4x xg x a= + + ⋅ [ ]0,2x∈ 3 a第 14 页 共 18 页 【答案】（1）是有界函数; （2） 【解析】（1）分离常数后,可得函数 的单调性,在区间 内求得最大值与最 小值,即可根据有界函数的定义求得 的取值范围. （2）根据有界函数定义,可得 的值域.代入解析式可分离得 的不等式组.利用换元 法转化为二次不等式形式,结合恒成立条件,即可求得 的取值范围. 【详解】 （1） 则 在 上单调递增 所以 对任意 满足 而 所以 若 恒成立,则 即 所有上界的值的集合为 （2）函数 在 上是以 为上界的有界函数 根据有界函数定义,可知 在 上恒成立 所以 即 化简变形可得 令 则 在 上恒成立 即满足 [ )1,+∞ 1 1,2 8  − −   ( )f x 1 1,2 2  −   M ( )g x a a ( ) 111 1 xf x x x = = −+ + ( )f x 1 1,2 2  −   ( )f x 1 1,2 2x  ∈ −   ( )1 1 2 2f f x f   − ≤ ≤       1 1,2 1 1 2 3ff   =    − = −   ( ) 11 3f x− ≤ ≤ ( )f x M≤ 1M ≥ ( )f x [ )1,+∞ ( ) 1 2 4x xg x a= + + ⋅ [ ]0,2x∈ 3 ( ) 3≤g x [ ]0,2x∈ ( )3 3g x− ≤ ≤ 3 1 2 4 3x xa− ≤ + + ⋅ ≤ 4 1 2 1 4 2 4 2x x x xa− − ≤ ≤ − 1 1, ,142xt t  = ∈   2 24 2t t a t t− − ≤ ≤ − 1 ,14      ( ) ( )2 2 max min 4 2t t a t t− − ≤ ≤ −第 15 页 共 18 页 由二次函数性质可知, ,当 时, ,所以当 时, 即 , 故 的取值范围为 【点睛】 本题考查了函数新定义的内容,对函数单调性与值域的综合应用,换元法的应用,恒成立 问题的解法,属于中档题. 20．如图，设 是椭圆 的下焦点，直线 与椭圆相交于 、 两点，与 轴交于点 . （1）若 ，求 的值； （2）求证： ； （3）求面积 的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）联立 ，得 ，由此利用韦达定理、 2 2 1 1 14 4 8 16y t t t = − − = − + +   1 4t = ( ) 2 1 max 1 1 14 4 4 2y  = − × − = −   2 2 2 1 12 2 4 8y t t t = − = − −   1 4t = ( ) 2 2 min 1 1 1 12 4 4 8 8y  = × − − = −   1 1 2 8a− ≤ ≤ − a 1 1,2 8  − −   F 2 2 13 4 x y+ = ( )4 0y kx k= − > A B y P PA AB=  k AFP BFO∠ = ∠ ABF 6 5 5k = 3 3 4 2 2 13 4 4 x y y kx  + =  = − ( )2 23 4 24 36 0k x kx+ − + =第 16 页 共 18 页 根的判别式、向量相等，结合已知条件能求出 ． （2）证明 ，等价于证明等价于 ，由此能证明 ． （3） ．令 ，利用基 本不等式性质能求出 面积的最大值． 【详解】 （1）联立 ，得 ， ∵直线 与椭圆相交于 、 两点，∴ ，即 或 ， 设 ， ，则 ， ， ∵ ，∴ ， 代入上式，解得 ． （2）由图形得要证明 ，等价于证明直线 与直线 的倾斜角互补， 即等价于 ， ， ∴ ． （3）∵ 或 ， ∴ ． 令 ，则 ， ， k AFP BFO∠ = ∠ 0AF BFk k+ = AFP BFO∠ = ∠ 1 2 1 2ABF PBF PAFS S S PF x x= − = ⋅ −    2 2 18 4 3 4 k k −= + 2 4t k= − ABF 2 2 13 4 4 x y y kx  + =  = − ( )2 23 4 24 36 0k x kx+ − + = ( )4 0y kx k= − > A B ( )2144 4 0k∆ = − > 2k > 2k < − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2 24 3 4 kx x k + = + 1 2 2 36 3 4x x k = + PA AB=  2 12x x= 6 5 5k = AFP BFO∠ = ∠ AF BF 0AF BFk k+ = 1 2 1 2 1 1 AF BF yk x xk y+ +++ = 1 2 1 2 3 3kx kx x x − −= + 1 2 1 2 2 3 x x x xk  += −     2 2 243 3 42 36 3 4 k kk k ⋅ += − + 2 2 0k k= − = AFP BFO∠ = ∠ 2k > 2k < − 1 2 1 2ABF PBF PAFS S S PF x x= − = ⋅ −    ( )2 1 2 1 2 1 3 42 x x x x= × × + − 2 2 18 4 3 4 k k −= + 2 4t k= − 0t > 2 23 4 3 16k t+ = +第 17 页 共 18 页 ∴ ， 当且仅当 ，即 ， 取等号， ∴ 面积的最大值为 ． 【点睛】 本题主要考查椭圆的简单性质的应用，通常需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理， 弦长公式等求解，属于常考题型． 21．已知正项数列 ， 满足：对任意正整数 ，都有 ， ， 成等差数列， ， ， 成等比数列，且 ， ． （Ⅰ）求证：数列 是等差数列； （Ⅱ）求数列 ， 的通项公式； （Ⅲ）设 = + +…+ ，如果对任意的正整数 ，不等式 恒成立， 求实数 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ， ；（Ⅲ）a≤1 【解析】【详解】 （Ⅰ）由已知得 ， 即 ， 由 2b1=a1+a2=25，得 b1= ， 由 a22=b1b2，得 b2=18， ∴{ }是以 为首项， 为公差的等差数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ∴ ， 因为 ， ， 成等比数列 2 2 2 18 4 18 18 18 163 4 3 16 2 3 163 ABF t k tS t k t −= = = ≤+ + ⋅+ 3 3 4 = 163t t = 2 16 3t = 2 21 3k = ABF 3 3 4 { }na { }nb n na nb 1na + nb 1na + 1nb + 1 10a = 2 15a = { }nb { }na { }nb nS n 2 2 n n n baS a < − a ( )24 2n nb += 25 2 ( )24 2n nb += nb 1na + 1nb +第 18 页 共 18 页 所以 . （Ⅲ）由（Ⅱ）知 ， 原式化为 ， 即 f（n）= 恒成立， 当 a–1＞0 即 a＞1 时，不合题意； 当 a–1=0 即 a=1 时，满足题意； 当 a–1＜0 即 a＜1 时，f（n）的对称轴为 ，f（n）单调递减， ∴只需 f（1）=4a–15＜0，可得 a＜ ，∴a＜1； 综上，a≤1.