2020届上海市高三高考模拟数学试题（二解析版）

第 1 页 共 18 页 2020 届上海市高三高考模拟（二）数学试题 一、单选题 1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为 1 的半圆，高为 2，因此表面积为 ,选 D. 2．过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交于 、 两点，且这两点的横坐 标之和为 ，则满足条件的直线（ ） A．有且只有一条 B．有两条 C．有无穷多条 D．必不存在 【答案】B 【解析】设出 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个 数． 【详解】 解：抛物线的焦点坐标为 ， 若 无斜率，则 方程为 ，显然不符合题意． 若 有斜率，设直线 的方程为： ，设 ， ， ， ， 联立方程组 ，消元得： ， ， ． 故选： ． 【点睛】 2 8y x= A B 9 AB (2,0) l l 2x = l l ( 2)y k x= − 1(A x 1)y 2(B x 2 )y 2 8 ( 2) y x y k x  =  = − 2 2 2 2(4 8) 4 0k x k x k− + + = ∴ 2 1 2 2 4 8 9kx x k ++ = = ∴ 2 10 5k = ± B第 2 页 共 18 页 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题． 3．若 ，则“ ”是“ ”成立的（ ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非 必要 【答案】B 【解析】设 ，由 ， ，可得 ，充分性不成立；反之成 立． 【详解】 解：设 ，由 ， ，则 ，故充分性不成立； 由 ，则 ，所以 ， ，即必要性成立． 所以“ ”是“ ”必要不充分条件. 故选： ． 【点睛】 本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题． 4．对于正实数 ,记 是满足下列条件的函数 构成的集合:对于任意的实数 且 ,都有 成立.下列结论中 正确的是( ) A．若 , ,则 B．若 , 且 ,则 C．若 , ,则 D．若 , 且 ,则 【答案】C 【解析】由题意知 ，从而求得． 【详解】 解：对于 , z C∈ Re 1, 1z Imz≤ ≤ | | 1z ≤ z x yi= + | | 1x  | | 1y  | | 2z  z x yi= + | | 1x  | | 1y  2 2| | 2z x y= +  2 2| | 1z x y= +  2 2 1x y+  | | 1x  | | 1y  Re 1, 1z Imz≤ ≤ | | 1z ≤ B α Mα ( )f x 1 2,x x R∈ 1 2x x< ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1x x f x f x x xα α− − < − < − ( ) 1 f x Mα∈ ( ) 2 g x Mα∈ ( ) ( ) 1 2 f x g x Mα α⋅⋅ ∈ ( ) 1 f x Mα∈ ( ) 2 g x Mα∈ ( ) 0g x ≠ ( ) ( ) 1 2 Mf x g x M α α ∈ ( ) 1 f x Mα∈ ( ) 2 g x Mα∈ ( ) ( ) 1 2 f x g x Mα α++ ∈ ( ) 1 f x Mα∈ ( ) 2 g x Mα∈ ( ) 2g x Mα∈ 1 2 α α> ( ) ( ) 1 2 f x g x Mα α−− ∈ 2 1 2 1 ( ) ( )f x f x x x α α−− < { }| 1x x > ( ) ( )3 0f x x x= ≥ ( ) ( )3 0y f x x x= = ≥ 3x y= x y ( )1 3f x x− = 0x ≥ ( ) ( )1f x f x− > 3 3x x> 9x x> 8 1x > 1x > ( ) ( )1f x f x− > { }| 1x x > { }| 1x x > ( )f x R ( ,0]−∞ (1) 0f = ( ) 0f x < x ( 1,1)− ( )f x ( )0, ∞+ ( 1) (1) 0f f− = = ( )f x R ( ,0]−∞第 6 页 共 18 页 所以函数 在 上单调递增； 又 ，所以 ， 所以当 时，由 得： ； 当 时，因为函数单调递减，由 可得： ； 综上，使得 的实数 的取值范围是 . 故答案为： 【点睛】 本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常 考题型. 10．已知 在 单调递增，则实数 的最大值为______ 【答案】 【解析】根据正弦函数的单调区间,结合函数在 单调递增,即可求得 的最大值. 【详解】 设 , 因为 且在 单调递增, 在 上单调递增 所以 即 所以 的最大值为 故答案为: 【点睛】 本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题. ( )f x ( )0, ∞+ (1) 0f = ( 1) (1) 0f f− = = 0x > ( ) 0f x < 0 1x< < 0x ≤ ( ) 0f x < 1 0x− < ≤ ( ) 0f x < x ( 1,1)− ( 1,1)− ( ) 2sin ( 0)f x xω ω= > 0, 3 π     ω 3 2 0, 3 π     ω ( ) sing x x= ( ) 2sin ( 0)f x xω ω= > (0) 2sin0 0f = = ( )f x 0, 3 π     ( ) sing x x= 0, 2 π     3 2 π πω ⋅ ≤ 3 2 ω ≤ ω 3 2 3 2第 7 页 共 18 页 11．设 P 是曲线 为参数）上的一动点， 为坐标原点，M 为线段 的中点，则点 M 的轨迹的普通方程为_____． 【答案】 【解析】由 sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为 2x2﹣y2＝1，设 P（x0，y0），M（x， y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程． 【详解】 曲线（θ 为参数），即有 ， 由 sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为 2x2﹣y2＝1， 设 P（x0，y0），M（x，y）， 可得 ，代入曲线方程，可得 2x02﹣y02＝1，即为 2（2x）2﹣（2y）2＝1， 即为 8x2﹣4y2＝1． 故答案为：8x2﹣4y2＝1． 【点睛】 本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普 通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题． 12．如图,已知正方体 ,若在其 12 条棱中随机地取 3 条,则这三条棱两 两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示) 【答案】 【解析】12 条棱随机取出 3 条，利用组合数确定基本事件总数，再求出三条棱两两是 异面直线包含的基本事件个数，利用古典概型求解. 2 sec (2 tan x y θ θ θ  =  = O OP 2 28 4 1x y− = sec 2 tan x y θ θ  = = 0 0 2 2 x x y y =  = 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 55第 8 页 共 18 页 【详解】 正方体 ,在其 12 条棱中随机地取 3 条, 基本事件总数 , 这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数 , ∴这三条棱两两是异面直线的概率是 . 故答案为: . 【点睛】 本题主要考查了正方体的结构特点，异面直线，古典概型，属于中档题. 13．若函数 最大值记为 ,则函数 的最小 值为______. 【答案】 【解析】化简 ，利用对勾函数求值域，分类讨论 与值域中点的大 小，即可写出最大值 . 【详解】 ∵ , ∵ , ∴ , ∴ , ∴ , ∴ , ∴当 时,函数 有最小值为 ; 故答案为 . 【点睛】 1 1 1 1ABCD A B C D− 3 12 220n C= = 8m = 8 2 220 55 mp n = = = 2 55 ( ) ( )2sin ,3 sinf x x t x t Rx = + + ∈+ ( )g t ( )g t 3 4 2sin 3 siny x x = + + t ( )g t 2 2sin sin 3 33 sin 3 sinx xx x + = + + −+ + 1 sin 1x− ≤ ≤ 2 sin 3 4x≤ + ≤ 2 93 sin 3 3 sin 2x x ≤ + + ≤+ 2 30 sin 3 33 sin 2x x ≤ + + − ≤+ ( ) ( )max 3, 4 3 3,2 4 t t g t f x t t  ≥= =   − 1a ≠ 2 1 ( ) 2 1 xa x f x x x x  A 0.2 %x A 1000 B A 40% A a 500 (0,5.1] 10(1000 )(1 0.2 %) 10 1000x x− + ≥ × x 310( 500 xa − ) 10(1000 )(1 0.2 %)x x x≤ − + 2 1000 1500 xa x ≤ + + x 400x = x B 10(1000 )(1 0.2 %) 10 1000x x− + ≥ × 2 500 0x x− ≤ 0x > 0 500x< ≤ 0 400x< ≤ 310( )500 xa x− 110(1000 )(1 )500x x− + 310( 500 xa − ) 10(1000 )(1 0.2 %)x x x≤ − + 23 11000 2500 500 xax x x− ≤ + − − 2x 22 1000500 xax x≤ + +第 14 页 共 18 页 即 恒成立， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 又 ，所以 ， 即 的取值范围为 ． 【点睛】 考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最 值． 20．教材曾有介绍：圆 上的点 处的切线方程为 ．我 们将其结论推广：椭圆 上的点 处的切线方程为 ，在解本题时可以直接应用．已知，直线 与椭圆 有且只有一个公共点. （1）求 的值； （2）设 为坐标原点，过椭圆 上的两点 、 分别作该椭圆的两条切线 、 ，且 与 交于点 ．当 变化时，求 面积的最大值； （3）在（2）的条件下，经过点 作直线 与该椭圆 交于 、 两点，在线 段 上存在点 ，使 成立，试问：点 是否在直线 上，请说明理 由. 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】（1）将直线 y＝x 代入椭圆方程，得到 x 的方程，由直线和椭圆相切的条 2 1000 1500 xa x ≤ + + 0 400x< ≤ 2 1000 2 400 10001 1 5.1500 500 400 x x ×+ + ≥ + + = 5.1a ≤ 0a > 0 5.1a< ≤ a (0,5.1] 2 2 2x y r+ = ( )0 0,x y 2 0 0x x y y r+ = ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )0 0,x y 0 0 2 2 1x x y y a b + = 3 0x y− + = ( )2 2 2: 1 1xE y aa + = > a O E A B 1l 2l 1l 2l ( )2,M m m OAB∆ ( )2,M m l E C D CD N CN MC ND MD = N AB 2a = 2 2 3+第 15 页 共 18 页 件：判别式为 0，解方程可得 a 的值；（2）设切点 A（x1，y1），B（x2，y2），可得切线 , , ，再将 M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切 点弦方程，AB 的方程为 x+my＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点 在直线 上， 因为 设 、 、 ，且 ，于是 ，向量坐标化，得 、 、 、 ，将 代入椭圆方程，结合 、 在椭圆上，整理化简得 ，即 在直线 上. 【详解】 （1）联立 ，整理得 依题意 ，即 （2）设 、 ,于是直线 、 的方程分别为 、 将 代入 、 的方程得 且 所以直线 的方程为 联立 显然 ，由 ， 是该方程的两个实根，有 ， 面积 1l 2 2 x x y y 12 + = CN MC ND MD = N AB ( )C CC x , y ( )D DD x , y ( )0 0N x , y ( )CN λND λ 0,λ 1= > ≠  CM λMD = − C D 0 x λx x1 λ + =+ C D 0 y λy y1 λ + =+ C Dx λx 21 λ − =− C Dy λy m1 λ − =− 0 0x my 1 0+ − = ( )CN λND λ 0,λ 1= > ≠  ( )D DD x , y ( )0 0N x , y 2 2 2 3 x y 1a y x = + + = N AB 2 2 1 1 x 2 3x 2 0( 1)a a + + + = >   ( )2 2 12 3 4 1 2 0 a 2a  − ⋅ + ⋅ = ⇒ =   Δ 0= ( )1 1A x , y ( )2 2B x , y 1 1 x x y y 12 + = 1l 2l ( )M 2,m CN MC ND MD = 1 1x my 1 0+ − = 1l 2l 2 2x my 1 0+ − = x my 1 0+ − = AB ( )2 22 2 1 0 m 2 y 2my 1 0x y 12 x my+ − = ⇒ + − − = + = 1 2 2 1y y m 2 = − + Δ 0> 1y 2y 1 2 2 2my y m 2 + = + ΔOAB 1 2 1S y y2 = −第 16 页 共 18 页 即 当且仅当 时，“=”成立， 取得最大值 （3）点 在直线 上，因为 设 、 、 ，且 于是 ，即 、 、 、 又 ， ， ，即 在直线 上. 【点睛】 本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为 0，以 及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运 用基本不等式，属于中档题． 21．已知各项不为零的数列 的前 项和为 ，且 ， （ ） （1）求证：数列 是等差数列； （2）设数列 满足： ，且 ， 求正整数 的值； （3）若 、 均为正整数，且 ， ，在数列 中， ， ， 求 . 【答案】（1）见解析（2）2（3） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 1 2 1 2 22 2 2 2 m 11 2 1S y y 4y y 14 2m 2 m 1 2m 1 + = + − = = ≤  + + + ++ 2 2C C x y 12 + = m 0= S 2 2 N AB ( )C CC x , y ( )D DD x , y ( )0 0N x , y ( )CN λND λ 0,λ 1= > ≠  CM λMD = − C D 0 x λx x1 λ + =+ C D 0 y λy y1 λ + =+ C Dx λx 21 λ − =− C Dy λy m1 λ − =− 0 0x my 1 0+ − = 22 2 2 2 2 2 2CD D D C D xx xy 1 y λ y 1 λ2 2 2  + = ⇒ + − + = −    C D C D C D C Dx λx x λx y λy y λy1 12 1+λ 1 λ 1+λ 1 λ + − + −⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ =− − 0 0 0 0 1 x 2 y m 1 x my 1 02 ⇒ ⋅ ⋅ + = ⇒ + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f 2, j f 1, j f 1, j 1 2f 1, j 4 8j 4 j 1,2, ,n 1= + + = + = + = − N AB { }na n nS 1 1a = 1 1 2n n nS a a += ⋅ *n N∈ { }na { }nb 122 n na a nb +−= ( )1 1 2 1 1lim 384k k k k n nn b b b b b b+ + + +→∞ + + + = k m k 2m ≥ k m< { }kc 1 1c = 1 1 k k k c k m c a + + −= 1 2 mc c c+ + + 1 m第 17 页 共 18 页 【解析】（1）通过 ，利用 整理得 ，进而可知数 列 是首项、公差均为 1 的等差数列； （2）通过（1）可知 ，进而可知 ，进而利用等比数列的求和公式 计算、取极限即得结论； （3）通过 及 分别计算出 、 、 、 的表达式，进而累乘化 简，利用二项式定理计算即得结论． 【详解】 （1）证明： ， ， 整理得： ， 又 ， ， 数列 的通项公式 ， 即数列 是首项、公差均为 1 的等差数列； （2）解：由（1）可知 ， ， ， 又 ，即 ， 解得： ； （3）解： ， ， ， ， ， ， 1 1 2n n nS a a += 1 1n n na S S+ += − 2 2n na a+ − = { }na 2 1 2n nb += 1 5 1 1 2 4n n nb b + =  1 1 k k k c k m c a + + −= na n= 2 1 c c 3 2 c c 4 3 c c 1 n n c c − 1 1 2n n nS a a += 1 1 1 2 1 1 1 2 2n n n n n n na S S a a a a+ + + + +∴ = − = − 2 2n na a+ − = 1 1a = 1 2 1 2 2Sa a = = ∴ { }na na n= { }na 12 2( 1) 2 12 2 2 n na a n n n nb +− − + += = = 1 2 3 5 1 1 1 1 2 2 2 4n n n n nb b + + +∴ = ⋅ = ⋅ 1 1 2 1 5 1 1 1 1 1( )2 4 4 4k k k k n n k k nb b b b b b+ + + + +∴ + +…+ = + +…+ 1 5 111 1 4 12 4 1 4 n k k − +− = ⋅ ⋅ − 3 2 1 1 1 1(1 )3 2 4k n k+ + −= ⋅ −  1 1 2 1 1lim( ) 384k k k k n nn b b b b b b+ + + +→∞ + +…+ = 3 2 1 1 1 3 2 384k+⋅ = 2k = 1 1c = 1 1 k k k c k m c a + + −= na n= ∴ 1 1 k k c k m c k + −= + 1 ( 1)( 1) ( , 2)k k c m k m k mc k− − −= − ⋅ >  2 2 1 1( 1) 2 c mc c −∴ = = −第 18 页 共 18 页 ， ， ， 显然当 时满足上式 ． 【点睛】 本题考查数列的通项及前 项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积 累，属于中档题． 23 2 3 2 1 ( 2)( 1)( 1) 3 2 c c m mc c c − −= ⋅ = − × 3 3 434 2 4 3 2 1 ( 1)( 2)( 3) 1( 1) ( 1)4 3 2 1 m cc c m m mc Cc c c m − − −= ⋅ ⋅ = − ⋅ = − ⋅ ⋅× × × … 1 1( 1)k k k mc Cm −= − ⋅ ⋅ 1m = 1 2 mc c c∴ + +…+ 1 2 11 ( 1)m m m m mC C Cm − = − +…+ − ⋅  0 2 31 4 ( 1) 11 1 m m m m m m m mC C C C C C m  +…+ − −=  − + −  − +  ⋅ 1 (1 1) 1 1 m m − −= ⋅ − 1 m = n