- 1 -
咸阳市 2020 年高考模拟检测（二）
数学（理科）试题
注意事项：
1．本试卷共 4 页满分 150 分，时间 120 分钟；
2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；
3．第Ⅰ卷选择题必须使用 2B 铅笔填涂,第Ⅱ卷非选择题必须使用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工
整、清晰；
4．考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要
求的．
1．已知全集 ， ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
2．已知复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ）．
A．2 B． C． D．
3．已知向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影等于（ ）．
A． B．9 C． D．
4．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如
1，3，6，10，15， ，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一
形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层 1 个球，下一层 3 个球，再下一层 6 个球， ）
若一“落一形”三角锥垛有 10 层，则该堆第 10 层球的个数为（ ）．
A．66 B．55 C．45 D．38
5．已知一组数据的茎叶图如图所示下列说法错误的是（ ）．
U R= { | 0}A x x= > { | 1}B x x= > − ( )U A B∩ =
( 1,0]− ( 1,1)− ( 1, )− +∞ [0,1)
4
1z i
= + i z
2i 2− 2i−
(1,3)a =r (3,2)b =r
ar b
r
9 10
10
3− 9 13
13- 2 -
A．该组数据的极差为 12 B．该组数据的中位数为 21
C．该组数据的平均数为 21 D．该组数据的方差为 11
6．已知 ，则下列不等式不成立的是（ ）．
A． B． C． D．
7．已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且 ， ，则“ ”是
“ ”的（ ）．
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8． 的展开式中 项的系数为（ ）．
A．24 B．18 C．12 D．4
9．若 ，且 ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
10．抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则
的值为（ ）．
A． B． C． D．
11．将函数 的图像向右平移 个单位长度后得函数 图像，若
为偶函数，则（ ）．
A． 在区间 上单调递减 B． 在区间 上单调递增
C． 在区间 上单调递减 D． 在区间 上单调递增
12．已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）．
A．6 B．7 C．9 D．10
0 1a b< < <
1 1
2 2
a b > ln lna b> 1 1
a b
> 1 1
ln lna b
>
a b α β a β bα β∩ = a α∥
a b∥
3(2 1)( 2)x x− + 2x
0, 2
πα ∈ 2cos2 sin 4
πα α = + sin 2α
1
8
3
8
1
2
7
8
2 2 ( 0)x py p= >
2 2
116 9
x y− = p
40
3
5
2
20
3
8 7
3
cos(2 ) 2 2y x
π πϕ ϕ = + − <
( ( ))f f x- 3 -
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的最大值为________．
14．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 ________．
15 ． 在 中 内 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， ， 若 ， ，
，则 的面积为________．
16．已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球 的表面上，若球 的表面积为 ，则该三棱柱的体
积为________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
已知等差数列 满足 ， ，其前 项和为 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式 及 ；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 ．
18．（本小题满分 12 分）
已 知 四 棱 锥 中 ， 底 面 为 直 角 梯 形 ， 平 面 ， 且 ，
， ．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值．
19．（本小题满分 12 分）
已知某校 6 个学生的数学和物理成绩如下表：
x y
2 0
3 3 0
3 0
x y
x y
x
− ≥
+ − ≥
− ≤
2z x y= −
R ( )f x 3( ) 2f x f x = − + ( 2) 3f − = (2020)f =
ABCV A B C a b c 1a = 2b =
2sin sin cos sinA B C C= ABCV
O O 56π
{ }na 2 3a = 4 7 20a a+ = n nS
{ }na na nS
2
n
n n
ab = { }nb n nT
P ABCD− ABCD PD ⊥ ABCD AB CD∥
2 2CD AB AD= = AD CD⊥
PBC ⊥ PBD
PB ABCD 45° B PC D− −- 4 -
学生的编号 1 2 3 4 5 6
数学 89 87 79 81 78 90
物理 79 75 77 73 72 74
（Ⅰ）若在本次考试中规定数学在 80 分以上（包括 80 分）且物理在 75 分以上（包括 75 分）的学生为理
科小能手．从这 6 个学生中抽出 2 个学生，设 表示理科小能手的人数，求 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是
正确的前提下，用 表示数学成绩，用 表示物理成绩，求 与 的回归方程．
参考公式： ，其中 ， ．
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 过点 ，且其离心率为 ，过坐标原点 作两条互相垂直的射线
与椭圆 分别相交于 ， 两点．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的定圆与直线 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 （ 且 ）．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）对任意 ， 恒成立，求 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分，考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时
用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 曲 线 的 参 数 方 程 为 （ 为 参 数 ）， 曲 线
．
（Ⅰ）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 ， 的极坐标方程；
i
ix
iy
X X
x y y x
ˆ ˆy bx a= +
( )( )
( )
1 1
2 2 2
1 1
ˆ
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b
x x x nx
= =
= =
− − −
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
ˆˆa y bx= −
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 31, 2
1
2
O
C M N
C
MN
( ) 1axf x e ax= − − a R∈ 0a ≠
( )f x
1 2, [ 1,1]x x ∈ − ( ) ( ) 2
1 2 3f x f x e= ≤ − a
xOy 1C 1
1 cos: sin
xC y
α
α
= +
=
α
2
2
2 12:C x y+ =
O x 1C 2C- 5 -
（Ⅱ）若射线 与 相交于异于极点的交点为 ，与 的交点为 ，求 ．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知关于 的不等式 有解，记实数 的最大值为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）正数 ， ， 满足 ，求证 ．
咸阳市 2020 年高考模拟检测（二）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．A 2．C 3．D 4．B 5．D 6．B 7．A 8．B 9．D 10．A 11．D 12．B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．6 14．3 15． 16．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，则 ，
解得： ， （4 分）
∴ ， ， （6 分）
（Ⅱ）（错位相减法）
，①
①式两边同时乘 ，得 ，②
可得， ， （8 分）
，
( 0)6
πθ ρ= ≥ 1C A 2C B | |AB
x | 2 | | 3| | 1|x x m− − + ≥ + m M
M
a b c 2a b c M+ + = 1 1 1a b b c
+ ≥+ +
1
2
36 2
{ }na d 1
1
3
2 9 20
a d
a d
+ =
+ =
1 1a = 2d =
2 1na n= − 2
nS n=
2 3
1 3 5 2 1
2 2 2 2n n
nT
−= + + + +…
1
2 2 3 4 1
1 1 3 5 2 1
2 2 2 2 2n n
nT +
−= + + +…
−① ② 2 3 1
1 1 1 1 1 2 122 2 2 2 2 2n n n
nT +
− = + + + + − …
2 3 1
1 1 1 1 1 1 2 122 2 2 2 2 2 2n n n
nT +
− = + + + − − …- 6 -
， （10 分）
． （12 分）
18．解：（Ⅰ）证明：取 的中点 ，连接 ， ， ．
∵ ，∴ ．
又∵ ， ，∴四边形 为正方形，则 ．
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ．
∵ ，∴ 平面 ． （4 分）
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，∴ 平面 ．
又 平面 ，∴平面 平面 ． （6 分）
（Ⅱ）∵ 平面 ，∴ 为 与平面 所成的角，
即 ，则 ．
设 ，则 ， ， ．
以点 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ．
∵ 平面 ，∴平面 的一个法向量 ． （8 分）
设平面 的法向量 ，
∵ ， ，
则 ，取 ，则 ． （10 分）
设二面角 的平面角为 ，
∴ ．
1
1 1 1 2 12 12 2 2 2n n n
nT +
− = − − −
2 33 2n n
nT
+= −
CD E AE BE BD
2CD AB= AB DE=
AB AD= AD DC⊥ ABED AE BD⊥
PD ⊥ ABCD AE ABCD PD AE⊥
PD BD D∩ = PE ⊥ PBD
AB EC= AB EC∥
ABCE BC AE∥ BC ⊥ PBD
BC PBC PBC ⊥ PBD
PD ⊥ ABCD PBD∠ PB ABCD
45PBD∠ = ° PD BD=
1AD = 1AB = 2CD = 2PD BD= =
D DA DC DP x y z
(0,0,0)D (1,0,0)A (0,0, 2)P (1,1,0)B (0,2,0)C
DA ⊥ PDC PDC (1,0,0)DA =uuur
PBC ( , , )m x y z=r
(1,1, 2)PB = −uuur
( 1,1,0)BC = −uuur
2 0
0
PB m x y z
BC m x y
⋅ = + − =
⋅ = − + =
uuur r
uuur r 1x = (1,1, 2)m =r
D PC B− − θ
| | 1 1cos 2| | | | 2 1 1
m DA
m DA
θ ⋅= = =
⋅ + +
uuurr
uuurr- 7 -
由图可知二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 ． （12 分）
19．解：（Ⅰ）由题意得 的可能取值为 0，1，2，
6 个学生中理科小能手有 2 人，
，
， （4 分）
． （4 分）
∴ 的分布列为
0 1 2
． （6 分）
（Ⅱ） ，
， （8 分）
（9 分）
∴回归方程为： ． （12 分）
20．解：（Ⅰ）椭圆 经过点 ，∴ ，又∵ （2 分）
解之得 ， ．所以椭圆 的方程为 （4 分）
（Ⅱ）当直线 的斜率不存在时，由对称性，设 ， ．
∵ ， 在椭圆 上，
∴ ，
D PC B− − D PC B− − 1
2
X
2
4
2
6
2( 0) 5
CP x C
= = =
1 1
2 4
2
6
8( 1) 15
C CP x C
= = =
2
2
2
6
1( 2) 15
CP x C
= = =
X
X
P 2
5
8
15
1
15
2 8 1 2( ) 0 1 25 15 15 3E X = × + × + × =
1 (89 87 79 81 78 90) 846x = × + + + + + =
1 (79 75 77 73 72 74) 756y = × + + + + + =
( )( )
( )
1 1
2 2 2
1 1
1ˆ
5
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b
x x x nx
= =
= =
− − −
= = =
− −
∑ ∑
∑ ∑
1 291ˆˆ 75 845 5a y bx= − = − × =
1 291
5 5y x= +
C 31, 2
2 2
1 9 14a b
+ = 1
2
c
a
=
2 4a = 2 3b = C
2 2
14 3
x y+ =
MN ( )0 0,M x x ( )0 0,N x x−
M N C
2 2
0 0 14 3
x x+ =- 8 -
∴ ．
∴ 到直线 的距离为 ， ． （6 分）
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，
由 得 ．
设 ， ，则 ， ． （8 分）
∵ ，∴
∴ ．
∴ ，即 ． （10 分）
∴ 到直线 的距离为 ，
故存在定圆 与直线 总相切． （12 分）
21．解：（Ⅰ）由 ． （1 分）
当 时， 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增． （2 分）
当 时， 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增． （3 分）
综上所述， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增． （4 分）
（Ⅱ）由题意知对任意 ，
恒成立，
又由（Ⅰ）知， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．所以只需：
（8 分）
2
0
12
7x =
O MN 0
2 21
7d x= = 2 2 12
7x y+ =
MN MN y kx m= +
2 2
14 3
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 2
8
3 4
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
4 12
3 4
mx x k
−= +
OM ON⊥ 1 2 1 2 0x x y y+ =
( )( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 21 0x x kx m kx m k x x km x x m+ + + = + + + + =
( ) 2 2 2
2 2
2 2
4 12 81 03 4 3 4
m k mk mk k
−+ ⋅ − + =+ + ( )2 27 12 1m k= +
O MN 2
| | 12 2 21
7 71
md
k
= = =
+
2 2 12
7x y+ = MN
( )( ) 1ax axf x ae a a e′ = − = −
0a < ( ,0)x∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )f x
(0, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
0a > ( ,0)x∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )f x
(0, )x∈ +∞ ( ) 0 f x′ > ( )f x
( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞
1 2, [ 1,1]x x −
( ) ( ) 2
1 2 3f x f x e− ≤ − 2
max min( ) ( ) 3f x f x e⇔ − ≤ −
( )f x [ 1,0]− [0,1]
2 2 2
2 2 2
(1) (0) 3 1 3 2 0.(1)
( 1) (0) 3 1 3 2 0.(2)
a a
a a
f f e e a e e a e
f f e e a e e a e− −
− ≤ − − − ≤ − − − + ≤ ⇔ ⇔ − − ≤ − + − ≤ − + − + ≤ - 9 -
设 ．
∵ ，∴ 在区间 上单调递增；在区间 上单调递减．
注意到 ，所以，当 不等式（1）成立；当 时不等式（1）不成立．
又 ，∴当 不等式（1）也成立，
所以， 时不等式（1）成立．此时 ，不等式（2）也成立，而当 时，
，由函数 的性质知，不等式（2）不成立．
综上所述，不等式组的解为 ． （11 分）
又∵ ，∴实数 的取值范围为 ． （12 分）
（二）选考题：共 10 分，考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的笫一题计分．作答时
用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．
22．解：（Ⅰ）曲线 （ 为参数）可化为普通方程： ， （2
分）
由 可得曲线 的极坐标方程为 ， （3 分）
曲线 的极坐标方程为 ． （5 分）
（Ⅱ）射线 与曲线 的交点 的极径为 ， （6 分）
射线 与曲线 的交点 的极径满足 ，解得 ， （8 分）
∴ ． （10 分）
23．解：（Ⅰ） ， （2 分）
若不等式 有解，则满足 ， （3 分）
解得 ．∴ ． （5 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知正数 ， ， 满足 ，
∴ ， （7 分）
2( ) 2ah a e a e= − − +
( ) 1ah a e′ = − ( )h a (0, )+∞ ( ,0)−∞
(2) 0h = 0 2a≤ ≤ 2a >
2 2 2 2( 2) 2 2 4 0h e e e e− −− = + − + = + − < 2 0a− ≤ <
2 2a− ≤ ≤ 2 2a− ≤ ≤ 2a < −
2a− > ( )h a
2 2a− ≤ ≤
0a ≠ a [ 2,0) (0,2]− ∪
1
1 cos: sin
xC y
α
α
= +
=
α 2 2( 1) 1x y− + =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= 1C 2cosρ θ=
2C ( )2 21 sin 2ρ θ+ =
( 0)6
πθ ρ= ≥ 1C A 1 2cos 36
πρ = =
( 0)6
πθ ρ= ≥ 2C B 2 2
2 1 sin 26
πρ + = 2
2 10
5
ρ =
1 2
2 10| | 3 5AB ρ ρ= − = −
| 2 | | 3| | ( 2) ( 3) | 5x x x x− − + ≤ − − + =
| 2 | | 3| | 1|x x m− − + ≥ + | 1| 5m + ≤
6 4m− ≤ ≤ 4M =
a b c 2 4a b c+ + =
1 1 1 1 1[( ) ( )]4 a b b ca b b c a b b c
+ = + + + + + + + + - 10 -
． （9 分）
当且仅当 ， 时，取等号． （10 分）
1 12 (2 2 ) 14 4
b c a b b c a b
a b b c a b b c
+ + + + = + + ≥ + ⋅ = + + + +
a c= 2a b+ =
微信/支付宝扫码支付