2020届山东省淄博市高三第一次模拟考试数学试题 （4月word版带答案及评分标准）

- 1 - 2020 届山东省淄博市高三第一次模拟考试（4 月） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 60 分） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合 A． B． C． D． 2. 命题“ ”的否定是 A． B． C． D． 3．设 ，则 A． B． C． D． 4．二项式 的展开式中 的系数为 15，则 A． B． C． D． 5．已知 是边长为 1 的等边三角形，点 分别是边 的中点，连接 并延长到点 ，使 得 ，则 的值为 A． B． C． D． 6．直线 分别与 轴， 轴交于 两点，点 在圆 上，则 面积的取 值范围是 A． B． C． D． 7．已知函数 ．若 存在 个零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． {1,2,3,4,5,6}U = { }2,3,5A = {1,3,4,6}B = UA B = {3} {1,4,6} {2,5} {2,3,5} 0 0 0(0, ),ln 1x x x∃ ∈ +∞ = − (0, ),ln 1x x x∀ ∈ +∞ ≠ − (0, ),ln 1x x x∀ ∉ +∞ = − 0 0 0(0, ),ln 1x x x∃ ∈ +∞ ≠ − 0 0 0(0, ),ln 1x x x∃ ∉ +∞ = − 1 i 2i1 iz −= ++ | |z = 0 1 2 2 1 ( 1) ( )nx n N++ ∈ 2x n = 7 6 5 4 ABC∆ ,D E ,AB BC DE F 2DE EF= AF BC⋅  5 8 − 1 8 1 4 11 8 2 0x y+ + = x y ,A B P 2 2( 2) 2x y− + = ABP∆ [2,6] [4,8] [ 2,3 2] [2 2,3 2] 0( ) ln 0 xe xf x x x  ≤=  > ， ， ， ， ( ) ( )g x f x x a= + + ( )g x 2 a [ 1,0)− [ 1, )− +∞ [0, )+∞ [1, )+∞- 2 - 8．已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， ， 是边长为 的正三角形， 分别 的中点， ，则球 的体积为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2017 年 1 月至 2019 年 12 月期 间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是 A．年接待游客量逐年增加 B．各年的月接待游客量高峰期大致在 8 月 C．2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 10. 如图，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动 点 E、F，且 ，则下列结论中正确的是 A． B． C． D．三棱锥 的体积为定值 11.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ，则 A. 当 时， 的面积为 B. 不存在 使 为直角三角形 P ABC− O PA PB PC= = ABC∆ 2 ,E F ,PA PB 90CEF∠ = ° O 6 6π 4 6π 2 6π 6π 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B D 1 2EF = AC BE⊥ //EF ABCD平面 AEF BEF∆ ∆的面积与 的面积相等 A BEF− 2 2 14 3 x y+ = F E、 x m= ）（ 11 ： 2 2 2 2 1x yN m n − =： N M M N M ( ) 2sin sin 2f x x x= + ( )f x { }na 1 1a = 1 4 3 1n na a n+ = + − n nb a n= + { }nb { }na n ,A B ,CM CN C 2 3MCN π∠ = ABC∆- 4 - 所对的边分别是 . （1）若 依次成等差数列，且公差为 2．求 的值； （2）若 ， ，试用 表示 的周长，并求周长的最大值. 19．（12 分）如图，边长为 2 的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点． (1) 证明：平面 平面 ； (2) 当三棱锥 体积最大时， 求面 与面 所成二面角的正弦值． 20．（12 分）如图，已知抛物线 ．点 ， ，抛物线上的点 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ． （1）求直线 斜率的取值范围； （2）求 的最大值． 21．（12 分）下图是我国 2013 年至 2019 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图． , ,A B C , ,a b c , ,a b c c 3c = ABC θ∠ = θ ABC∆ ABCD CD M CD C D AMD ⊥ BMC M ABC− MAB MCD 2x y= 1 1( , )2 4A − 3 9( , )2 4B ( , )P x y 1 3( )2 2x− < < B AP Q AP | | | |PA PQ⋅ M D C BA y x QA B P O- 5 - 注：年份代码 1~7 分别对应年份 2013~2019． （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立 关于 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2021 年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据： ， ， ， ． 参考公式： ， ， 线性相关系数 ． 22．（12 分） 已知函数 ，函数 ，其中 ， 是 的一个极值点，且 ． （1）讨论 的单调性； （2）求实数 和 a 的值； （3）证明 . y t y t 7 1 9.32i i y = =∑ 7 1 40.17i i i t y = =∑ 7 2 1 ( ) 0.55i i y y = − =∑ 7 2.646≈ 1 2 1 ( ) ( ) ˆ ( ) n i i i n i i x x y y b x x = = − ⋅ − = − ∑ ∑ ˆˆa y b x= − ⋅ 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y = = = − ⋅ − = − − ∑ ∑ ∑ 2( ) 2 ln= −f x x x x 2( ) (ln )= + −ag x x xx a R∈ 0x ( )g x ( )0 2g x = ( )f x 0x ( )* 21 1 1 ln(2 1)24 1= > + ∈ − ∑n k n n N k- 6 - 高三数学试题参考答案 1.C. 2.A. 3.D. 4.B. 5.B. 6.A. 7.B. 8.D 9.ABD. 10.ABD. 11.AC. 12.AB. 13. 16 . 14. . 15. ， 2 16. . 17.解：（1）证明：∵ ，∴ .……………………1 分 又∵ ， ∴ .………………4 分 又∵ ，……………………5 分 ∴数列 是首项为 2，公比为 4 的等比数列.……………………6 分 （2）由（1）知， ， ……………………7 分 ∴ ， ……………………8 分 ∴ .……………………10 分. 18. 解：（1） 依次成等差数列，且公差为 2， ∴ ， …………………1 分 又因 ， 即， ,可得 , ………………………3 分 恒等变形得： ，解得 。 又 ， ……………………5 分 （2）在△ABC 中，由正弦定理可得 ， …………7 分 ∴△ABC 的周长 1 4 3 1− 3 3 2 − n nb a n= + 1 1 1n nb a n+ += + + 1 4 3 1n na a n+ = + − ( )1 1 4 3 1 11 nn n n n n a n nb a n b a n a n + + + − + ++ += =+ + ( )4 4n n a n a n += =+ 1 1 1 1 1 2b a= + = + = { }nb 12 4n nb −= × 12 4n n na b n n−= − = × − 2 1 1 2 2(1 4 4 4 ) (1 2 3 )n n nS a a a n−= + +…+ = + + + + − + + + +  ( ) ( )2 1 4 1 1 4 2 n n n− += −− ( ) 22 1 14 13 2 2 n n n= − − −  , ,a b c 4, 2a c b c= − = − 2 3MCN π∠ = 1cos 2C = − 2 2 2 1 2 2 a b c ab + − = − 2 9 14 0c c− + = 7, 2c c= =或  4c > ∴ 7.c = sin sin sin AC BC AB ABC BAC ACB = =∠ ∠ ∠ 3 , 2sin , 2sin( )2sin 3sin( ) sin3 3 AC BC AC BC πθ θπ πθ θ ∴ = = = = − − 即 ( ) | AC | | BC | | AB| 2sin 2sin( ) 33f πθ θ θ= + + = + − +- 7 - , ………………………9 分 又 , ………………………10 分 当 ,即 时， 取得最大值 . ……………………………12 分 19．解：(1)由题设知，平面 ⊥平面 面 面 ． 因为 ⊥ ， 平面 ，所以 ⊥平面 ， 故 ⊥ ． ……………………………………2 分 因为 为 上异于 ， 的点，且 为直径，所以 ⊥ 又 = ， 面 ， 面 ， 所以 ⊥平面 ． ……………………………4 分 而 平面 ，故平面 ⊥平面 ．………………………5 分 (2)以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ． 当三棱锥 体积最大时， 为 的中点． 由题设得 ， ， ， ， ， ， ， …… …………7 分 设 是平面 的法向量，则 即 可取 ． ………………………………9 分 是平面 的法向量，所以 ， ………………………………11 分 ， ( )f θ 2 3+ CMD ABCD CMD  =ABCD CD BC CD BC ⊂ ABCD BC CMD BC DM M CD C D DC DM CM BC  CM C BC ⊂ BCM CM ⊂ BCM DM BMC DM ⊂ AMD AMD BMC D DA x D xyz− M ABC− M CD (0,0,0)D (2,0,0)A (2,2,0)B (0,2,0)C (0,1,1)M ( 2,1,1)AM = − (0,2,0)AB = (2,0,0)DA = ( , , )x y z=n MAB 0, 0. AM AB  ⋅ = ⋅ =   n n 2 0, 2 0. x y z y − + + =  = (1,0,2)=n DA MCD 5cos , 5| || | DADA DA ⋅= =   nn n 2 5sin , 5DA =n z y x A B CD M- 8 - 所以面 与面 所成二面角的正弦值是 ．……………12 分 20．解：（1）设直线 AP 的斜率为 ， ， …………………………………………2 分 因为 ， 所以直线 AP 斜率的取值范围是 ． …………………………4 分 （2）联立直线 AP 与 BQ 的方程 解得点 Q 的横坐标为 , ……………………5 分 联立直线 AP 与抛物线方程，由韦达定理得点 横坐标为 …………………………………………6 分 故 = = = = ， …………………8 分 所以 = ……………………………9 分 令 ， 因为 ， ……………………………10 分 所以 在区间 上单调递增， 上单调递减， 因此当 时， 取得最大值 ．………………………12 分 21.解：（1）由折线图中数据和附注中参考数据得： ， ， …………………1 分 ， MAB MCD 2 5 5 k 2 1 14 1 2 2 x k x x − = = − + 1 3 2 2x− < < ( 1,1)− 1 1 0,2 4 9 3 0,4 2 kx y k x ky k  − + + =  + − − = 2 2 4 3 2( 1)Q k kx k − + += + P 1 2Px k= + | |PA 2 11 ( )2Pk x+ + 21 ( 1)k k+ + | |PQ 21 ( )Q Pk x x+ − 2 2 ( 1)( 1) 1 k k k − +− + | || |PA PQ 3( 1)( 1)k k− − + ( )f k = 3( 1)( 1)k k− − + 2( ) (4 2)( 1)f k k k′ = − − + ( )f k 1( 1, )2 − 1( ,1)2 1 2k = | || |PA PQ 27 16 4t = 7 2 1 ( ) 28i i t t = − =∑ 7 2 1 ( ) 0.55i i y y = − =∑- 9 - ，…………………3 分 ． …………………5 分 因为 与 的相关系数近似为 0.99，说明 与 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合 与 的 关系． …………………6 分 （2）由 及（1）得 ， …………………8 分 ． …………………9 分 所以， 关于 的回归方程为： ． ……………11 分 将 2021 年对应的 代入回归方程得： ． 所以预测 2021 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨． …………………12 分 22．解：（1）由已知可得函数 的定义域为 ， 且 ，…………………………………1 分 令 ，则有 ，由 ，可得 ， 可知当 x 变化时， 的变化情况如下表： 1 - 0 + 极小值 …………………………………2 分 ，即 ，可得 在区间 单调递增； …………………………………3 分 （2）由已知可得函数 的定义域为 ，且 ， …………………………………4 分 7 7 7 1 1 1 ( )( ) 40.17 4 9.32 2.89i i i i i i i i t t y y t y t y = = = − − = − = − × =∑ ∑ ∑ 2.89 0.990.55 2 2.646r ≈ ≈× × y t y t y t 9.32 1.3317y = = 1 2 1 ( ) ( ) 2.89ˆ 0.10328( ) n i i i n i i t t y y b t t = = − ⋅ − = = ≈ − ∑ ∑ ˆˆ 1.331 0.103 4 0.92a y b t= − ⋅ = − × ≈ y t ˆ 0.92 0.10y t= + 9t = ˆ 0.92 0.10 9 1.82y = + × = ( )f x ( )0,+∞ ( ) 2 2ln 2f x x x′ = − − ( ) ( )'h x f x= ( )2 1'( ) xh x x −= ( )' 0h x = 1x = ( ) ( )' ,h x h x x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )'h x ( )h x   ( ) ( )1 0h x h∴ ≥ = ( )' 0f x ≥ ( )f x ( )0, ∞+ ( )g x ( )0,+∞ 2 2ln( ) 1 a xg x x x ′ = − −- 10 - 由已知得 ，即 ，① 由 可得， ，② 联立①②，消去 a，可得 ，③ …………………………………6 分 令 ， 则 ， 由（1）知， ，故 ， 在区间 单调递增， 注意到 ，所以方程③有唯一解 ，代入①，可得 ， ； …………………………………8 分 （3）证明：由（1）知 在区间 单调递增， 故当 时， ， ， 可得 在区间 单调递增，…………………………………9 分 因此，当 时， ， 即 ，亦即 ， 这时 ，故可得 ，……………………10 分 取 ，可得 ， …………………………………10 分 而 ，…………………………………11 分 故 ( )' 0g x = 2 0 0 02 ln 0x x x a− − = ( )0 2g x = ( )22 0 0 0 0ln 2 0x x x x a− − + = ( )2 0 0 02 ln 2ln 2 0x x x− − − = 2( ) 2 (ln ) 2ln 2t x x x x= − − − 2ln 2 2( ln 1)'( ) 2 x x xt x x x x − −= − − = ln 1 0x x− − ≥ ( )' 0t x ≥ ( )t x∴ ( )0, ∞+ ( )1 0t = 0 1x = 1a = 0 1, 1x a∴ = = ( ) 2 2 lnf x x x x= − ( )0,+∞ ( )1,x∈ +∞ ( ) ( )1 1f x f> = 2 2 2 2 ln 1 ( ) 1( ) 0x x x f xg x x x ′ − − −= = > ( )g x ( )1,+∞ 1x > ( ) ( )1 2g x g> = 21 (ln ) 2x xx + − > 2 21 (ln )x x x  − >   1 0,ln 0x x x − > > 1 lnx x x − > *2 1,2 1 kx k Nk += ∈− 2 1 2 1 ln(2 1) ln(2 1)2 1 2 1 k k k kk k + −− > + − −− + 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 4 1 k k k k k + −− =− + − 21 1 2 (ln(2 1) ln(2 1)) ln(2 1) 4 1 n k n k k k n k == > + − − = + − ∑ ∑- 11 - ．…………………………………12 分 21 1 1 ln(2 1)( )24 1 n i n n N k ∗ = ∴ > + ∈ − ∑