2020 年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东、辽宁
省实验中学）高三第二次联合模拟
数学试题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A、B 均为集合 U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁UA）∩B＝{3}，（∁UB）∩
A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合 B＝（ ）
A．{1，2，3} B．{1，2，6} C．{1，2} D．{1，2，3，4，5}
2．若 a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i 为虚数单位），则复数 a﹣bi 在复平面内对应的点
所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若实数 x、y 满足 ，则 y﹣x 的最大值为（ ）
A．3 B．0 C．﹣3 D．﹣9
4．已知 α，β 是两个不同的平面，直线 m⊂α，下列命题中正确的是（ ）
A．若 α⊥β，则 m∥β B．若 α⊥β，则 m⊥β
C．若 m∥β，则 α∥β D．若 m⊥β，则 α⊥β
5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁 4 位同学的作业完成情况，
甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作
业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？
（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．已知正项等比数列{an}，若向量 ，则 log2a1+log2a2+…
+log2a9＝（ ）
A．12 B．8+log25 C．5 D．18
7．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经
验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国
古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的
四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．已知两个不相等的非零向量 ，满足 ，且 与 的夹角为 45°，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C．（0，2] D．
9．已知 ，则 sin（60°+α）的值为（ ）
A． B． C． D．
10．设函数 f（x）＝sinx+cosx+sinxcosx+1，则下列说法中正确的是（ ）
A．f（x）关于（0，1）中心对称
B．f（x）的极小值为
C．f（x）的最小正周期为 π
D．f（x）图象的一条对称轴为
11．已知双曲线 上存在一点 M，过点 M 向圆 x2+y2＝1 做两条切线 MA、
MB，若 ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 f（x）＝9（lnx） 2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x 2 有三个不同的零点 x1，x2，
x3，且 x1＜1＜x2＜x3，则 的值为（ ）
A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题纸相应位置上．
13．我校高一、高二、高三共有学生 1800 名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计
划采用分层抽样的方法，从这 1800 名学生中抽取一个容量为 36 的样本．若从高一、高
二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数
为 ．
14．已知实数 a、c 满足 c＜1＜a，关于 x 的不等式 的解集为 ．
15．直线 l 经过抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，与直线
交于点 M，若 ，且 ，则抛物线的方程为 ．
16．设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则
B ＝ ； 若 边 AC 上 的 点 D 满 足 BD ＝ CD ＝ 2AD ＝ 2 ， 则 △ ABC 的 面 积 S
＝ ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共 60
分．
17．已知数列 是公差不为 0 的等差数列，且 a1＝1，a2•a3＝a8．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn．
18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 ABCD⊥平面 PAD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠
APD＝∠BAD＝90°．
（Ⅰ）求证：PD⊥PB；
（Ⅱ）当 PA＝PD 时，求三棱锥 P﹣BCD 的体积．
19．2022 年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进
行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，
将对奥运冠军发起冲击．
（Ⅰ）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和
美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名
参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽
取 10 名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？
（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国
队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概
率．
20．已知函数 ．
（Ⅰ）求 f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当 x∈（0，+∞）时，若函数 f（x）与 g（x）图象交于 P（x 1，y1）、Q（x2，y2）
（x2＞x1）两点，求实数 a 的取值范围
21．已知椭圆 ，动直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A（x1，y1），B（x2，y2），
且△AOB 的面积为 1，其中 O 为坐标原点．
（Ⅰ） 为定值；
（Ⅱ）设线段 AB 的中点为 M，求|OM|•|AB|的最大值．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修 4-4：坐标系
与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程是 y＝2，曲线 C 的参数方程是 （φ 为
参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；
（ Ⅱ ） 若 A （ ρ1 ， α ） 是 曲 线 C 上 一 点 ， 是 直 线 l 上 一 点 ， 求
的最大值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 a、b、c∈R+，且 a+b+c＝6．
（Ⅰ）当 c＝5 时，求 的最小值；
（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A、B 均为集合 U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁UA）∩B＝{3}，（∁UB）∩
A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合 B＝（ ）
A．{1，2，3} B．{1，2，6} C．{1，2} D．{1，2，3，4，5}
根据两个集合的交集，看出两个集合中都含有这两个元素，根据 A 的补集与 B 的交集的
元素，看出 B 中不含有元素 6，得到结果．
因为集合 A、B 均为集合 U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁UA）∩B＝{3}，（∁UB）∩
A＝{6}，A∩B＝{1，2}，
所以：3∈B，6∉B，1，2∈B，4，5∉B，4，5∉A；
故集合 B＝{1，2，3}．
故选：A．
本题考查子集与交集，并集的转换，是一个基础题，本题典型的解法是利用文恩图看出
集合 B 中的元素．
2．若 a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i 为虚数单位），则复数 a﹣bi 在复平面内对应的点
所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得 a，b 的值，则答案可
求．
因为 a+2i＝（1﹣i）（1+bi）＝（1+b）+（b﹣1）i，
∴a＝1+b 且 2＝b﹣1；
所以：a＝4，b＝3；
∴复数 a﹣bi 在复平面内对应的点（4，﹣3）所在的象限为第四象限．
故选：D．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其
几何意义，是基础题．
3．若实数 x、y 满足 ，则 y﹣x 的最大值为（ ）
A．3 B．0 C．﹣3 D．﹣9
画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至 B 时纵截距最大，z 最
大．
画出 的可行域如图：
⇒B（6，6）．
令 z＝y﹣x 变形为 y＝x+z 作直线 y＝x 将其平移至 B（6，6）时，直线的纵截距最大，最
大为：0．
故选：B．
本题主要考查利用线性规划求函数的最值，关键是将目标函数赋予几何意义．
4．已知 α，β 是两个不同的平面，直线 m⊂α，下列命题中正确的是（ ）
A．若 α⊥β，则 m∥β B．若 α⊥β，则 m⊥β
C．若 m∥β，则 α∥β D．若 m⊥β，则 α⊥β
直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．
对于选项 A：若 α⊥β，则 m∥β 也可能 m⊥β，故错误．
对于选项 B：若 α⊥β，则 m⊥β 也可能 m∥β，故错误．
对于选项 C：若 m∥β，则 α∥β 也可能 α 与 β 相交，故错误．
对于选项 D，直线 m⊂α，m⊥β，则 α⊥β 是面面垂直的判定，故正确．
故选：D．
本题考查的知识要点：线面垂直和平行的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力
和转换能力及思维能力，属于基础题型．
5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁 4 位同学的作业完成情况，
甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作
业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？
（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
根据题意判断其中两人说话矛盾，有人说话，其他人说真话，可推出．
由乙说：“丁未完成作业，与丁说：“我完成作业了”，
则乙丁有一人说谎，
则甲丙说的真话，可知丙完成作业了，丁未完成作业，
进而可以判断丁说了假话．
故选：D．
本题考查简单的合情推理，属于基础题．
6．已知正项等比数列{an}，若向量 ，则 log2a1+log2a2+…
+log2a9＝（ ）
A．12 B．8+log25 C．5 D．18
本题先根据平行向量的坐标运算可得 a2•a8＝16，再根据等比中项的知识，可计算出 a5＝
4，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项．
由题意，向量 ，
则 8•2﹣a2•a8＝0，即 a2•a8＝16，
根据等比中项的知识，可得 a2•a8 16，
∵a5＞0，∴a5＝4，
∴log2a1+log2a2+…+log2a9
＝log2（a1a2…a9）
＝log2[（a1a9）•（a2a8）•（a3a7）•（a4a6）•a5]
＝log2a59
＝9log24
＝18．
故选：D．
本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题．考查了转化与化归思
想，平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．
7．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经
验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国
古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的
四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，底面 ABCD 为矩形，AB＝2，AD＝3，
侧棱 PA⊥底面 ABCD，且 PA＝1．再由棱锥体积公式求解．
由三视图还原原几何体如图，
可知该几何体为四棱锥，底面 ABCD 为矩形，AB＝2，AD＝3，
侧棱 PA⊥底面 ABCD，且 PA＝1．
∴该几何体的体积 V ．
故选：C．
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
8．已知两个不相等的非零向量 ，满足 ，且 与 的夹角为 45°，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C．（0，2] D．
如图所示，设 ， ，∠CAB＝45°，由图可知，当 BC⊥AC 时，| |
的取值最小，求出最小值，没有最大值，即可得到结果．
如图所示，设 ， ，∠CAB＝45°，由图可知，当 BC⊥AC 时，| |
的取值最小，此时，则| | ，
而| |没有最大值，
故则 的取值范围为[ ，+∞），
故选：D．
本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．
9．已知 ，则 sin（60°+α）的值为（ ）
A． B． C． D．
由已知结合同角平方关系，诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．
∵ ，
则 sin（60°+α）＝sin（90°﹣30°+α）＝cos（α﹣30°）＝cos（30°﹣α），
＝1﹣2sin2（15°﹣α）＝1 ．
故选：A．
本题 主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．
10．设函数 f（x）＝sinx+cosx+sinxcosx+1，则下列说法中正确的是（ ）
A．f（x）关于（0，1）中心对称
B．f（x）的极小值为
C．f（x）的最小正周期为 π
D．f（x）图象的一条对称轴为
借助于三角函数的性质逐项进行判断，选出正确选项．
对于 A 选项，f（x）关于（0，1）中心对称，首先表达错误，应该说 f（x）的图象关于
某个点中心对称，
其次 f（x）+f（﹣x）＝2cosx+2 不恒等于 2，所以 A 错误；
对于 B 选项，∵f（x）＝sinx+cosx+sinxcosx+1∴f′（x）＝cosx﹣sinx+cos2x，令 f′（x）＝
0 有 sinx＝cosx 或 sinx+cosx＝﹣1．
当 sinx＝cosx＝± 时，有 f（x）＝± ，
当 sinx+cosx＝﹣1 时，两边平方可得 1+2sinxcosx＝1，sinxcosx＝0，此时 f（x）＝
sinx+cosx+sinxcosx+1＝0，
所以 f（x）的极小值不可能为 ，所以 B 错误；
对于 C 选项，f（x+π）＝﹣sinx﹣cosx+sinxcosx+1≠f（x），所以 π 不是 f（x）的最小正
周期，所以 C 错误；
对于 D 选项，∵f（ ）＝sin（ ）+cos（ ）+sin（ ）cos
（ ）+1＝cosx+sinx+sinxcosx+1＝f（x），
∴f（ ）＝f（x），所以 f（x）图象的一条对称轴为 x ，故 D 正确．
故选：D．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
11．已知双曲线 上存在一点 M，过点 M 向圆 x2+y2＝1 做两条切线 MA、
MB，若 ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
利用已知条件，推出 a 的关系式，即可求解结果．
双曲线 上存在一点 M，过点 M 向圆 x2+y2＝1 做两条切线 MA、
MB，若 ，
可知 MAOB 是正方形，MO ，所以双曲线的实半轴长的最大值为 ，
所以 a∈ ．
故选：B．
本题考查双曲线的简单性质，圆的切线性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是
中档题．
12．已知函数 f（x）＝9（lnx） 2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x 2 有三个不同的零点 x1，x2，
x3，且 x1＜1＜x2＜x3，则 的值为（ ）
A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9
把 f（x）的零点转化为 a﹣3 的零点，令 t＝3 ，t∈（0，+
∞），可得方程 9t2﹣（51+a）t+81＝0 有两实根 t1，t2，由判别式大于 0 解得 a 的范围，
再由根与系数的关系可得 6，t1t2＝9，进一步得到 t1＞3，
3，结合 x1＜1＜x2＜x3，可得 3， 3，3
3 ， 则 可 知 t1 ， 3 t2 ， 则
．
f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2＝0
⇒（a﹣3）（xlnx﹣3x2）＝﹣9（lnx）2
⇒a﹣3 ，
令 t＝3 ，则 ，t∈[3 ，+∞），
⇒a﹣3
⇒9t2﹣（51+a）t+81＝0．
设关于 t 的一元二次方程有两实根 t1，t2，
∴△＝（51+a）2﹣4×9×81＞0，可得 a＞3 或 a＜﹣105．
∴ 6，t1t2＝9．
又∵t1+t2 ，当且仅当 t1＝t2＝3 时等号成立，
由于 t1+t2≠6，∴t1＞3， 3（不妨设 t1＞t2）．
∵x1＜1＜x2＜x3，∴ 3， 3，3 3．
则可知 t1， 3 t2．
∴ ．
故选：A．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查一元二次方程根的分
布，属难题．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题纸相应位置上．
13．我校高一、高二、高三共有学生 1800 名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计
划采用分层抽样的方法，从这 1800 名学生中抽取一个容量为 36 的样本．若从高一、高
二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为
700 ．
设从高三年级抽取的学生人数为 2x 人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出 x 的值，
可得高三年级的学生人数．
设从高三年级抽取的学生人数为 2x 人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为 2x﹣2，2x
﹣4．
由题意可得 2x+（2x﹣2）+（2x﹣4）＝36，∴x＝7．
设我校高三年级的学生人数为 N，再根据 ，求得 N＝700，
故答案为：700．
本题主要考查分层抽样，属于基础题．
14．已知实数 a、c 满足 c＜1＜a，关于 x 的不等式 的解集为 {x|x≥a 或
x≤c} ．
由已知可转化为二次不等式即可求解．
由题意可得（x﹣a）（x﹣c）≥0 且 x≠1，
因为 c＜1＜a，
所以 x≥a 或 x≤c，
故不等式的解集为{x|x≥a 或 x≤c}．
故答案为：{x|x≥a 或 x≤c}．
本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用．
15．直线 l 经过抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，与直线
交于点 M，若 ，且 ，则抛物线的方程为 y2＝4x ．
由抛物线的方程可得焦点 F 的坐标，由向量的关系可得 F 为 AM 的中点，可得 A 的横坐
标，代入抛物线的方程可得 A 的纵坐标，进而求出直线 AB 的方程与抛物线联立求出两
根之和，再由抛物线的性质可得 AB 的值，由题意可得 p 的值，进而求出抛物线的方
程．
由题意如图所示，因为 ，F 为 AM 的中点，所以 AF＝AA'＝NF＝2p，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），所以 2p＝x1 ，所以 x1 ，代入抛物线的方程可
得 y1 p
即 A（ ， p）所以 kAB ，
所以直线 AB 的方程为：y （x ），
直线与抛物线的方程联立可得： ，整理可得：3x2﹣5px 0，
x1+x2 ，
由抛物线的性质可得 AB＝x1+x2+p p ，解得 p＝2，
所以抛物线的方程为：y2＝4x，
故答案为：y2＝4x．
本题考查向量与点的位置关系，以及抛物线的性质，属于中档题．
16．设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则
B＝ ；若边 AC 上的点 D 满足 BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC 的面积 S＝ ．
（l）利用余弦定理容易求出 B 的大小；
（2）引入角 α＝∠DBC，根据 BD＝DC 得 α＝C，再利用内角和定理将 A 用 α 表示出来，
最后在△ABD 中利用正弦定理可求出 α，问题迎刃而解．
（1）根据题意（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，
化简得 a2+c2﹣b2＝ac，所以 cosB ，∵B∈（0，π），∴B ；
（2）做出图形如下：
由题意不妨设∠DBC＝α，则∠ABD α，∠C＝α，所以 A α，
在△ABD 中由正弦定理得 ，
将 AD＝1，BD＝2 代入化简得 ，∴ ．
∴A ，C ，易得 AB ．
∴ ．
故答案为： ．
本题考查三角形中的几何计算问题，涉及内角和定理、正余弦定理的应用，属于中档
题．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共 60
分．
17．已知数列 是公差不为 0 的等差数列，且 a1＝1，a2•a3＝a8．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn．
本题第（Ⅰ）题先根据数列 是公差不为 0 的等差数列可知 1，再列出
、 、 关于 d 的表达式，根据 a2•a3＝a8 有 • ，代入
表达式可得关于 d 的方程，解出 d 的值，即可得到等差数列 的通项公式，进一步
可得数列{an}的通项公式；
第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用裂项相消法
计算前 n 项和 Sn．
（Ⅰ）由题意，可知 1，
1+d， 1+2d， 1+7d，
∵a2•a3＝a8，
∴ • ，即（1+d）（1+2d）＝（1+7d），
整理，得 d2﹣2d＝0，
解得 d＝0（舍去），或 d＝2．
∴ 1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
∴an＝（2n﹣1）2，n∈N*．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
[ ]，
∴Sn＝b1+b2+…+bn
（1 ） （ ） [ ]
[1 ]
[1 ]
．
本题主要考查数列求通项公式的计算，以及运用裂项相消法计算前 n 项和．考查了转化
与化归思想，方程思想，裂项相消法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题
属中档题．
18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 ABCD⊥平面 PAD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠
APD＝∠BAD＝90°．
（Ⅰ）求证：PD⊥PB；
（Ⅱ）当 PA＝PD 时，求三棱锥 P﹣BCD 的体积．
（Ⅰ）推导出 BA⊥AD，BA⊥PD，AP⊥PD，从而 PD⊥平面 PAB，由此能证明 PD⊥
PB；
（Ⅱ）取 AD 中点 O，连接 PO，则 PO⊥AD，证明 PO⊥平面 ABCD，再由棱锥体积公式
求解．
证明：（Ⅰ）∵∠BAD＝90°，∴BA⊥AD，
∵平面 ABCD⊥平面 PAD，交线为 AD，
∴BA⊥平面 PAD，从而 BA⊥PD，
∵∠APD＝90°，∴AP⊥PD，
∵BA∩AP＝A，∴PD⊥平面 PAB，
∵PB⊂平面 PAB，∴PD⊥PB；
解：（Ⅱ）∵PA＝PD，取 AD 中点 O，连接 PO，则 PO⊥AD，
由平面 ABCD⊥平面 PAD，交线为 AD，得 PO⊥平面 ABCD．
又∠APD＝90°，AD＝2，得 PO＝1，
∴ ．
即三棱锥 P﹣BCD 的体积为 ．
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维
能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．
19．2022 年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进
行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，
将对奥运冠军发起冲击．
（Ⅰ）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和
美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名
参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽
取 10 名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？
（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国
队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概
率．
（Ⅰ）利用分层抽样法求出从亚洲、美洲、欧洲运动员中抽取的人数；
（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
（Ⅰ）利用分层抽样法从亚洲运动员中抽取 10 3（人），
从美洲运动员中抽取 10 2（人），
从欧洲运动员中抽取 10 5（人）；
（Ⅱ）从“加拿大队、瑞士队、英国队、瑞典队和中国队”中任选两队，
基本事件是{加拿大队，瑞士队}，{加拿大队，英国队}，{加拿大队，瑞典队}，{加拿大
队，中国队}，
{瑞士队，英国队}，{瑞士队，瑞典队}，{瑞士队，中国队}，
{英国队，瑞典队}，{英国队，中国队}，{瑞典队，中国队}共有 10 种不同取法；
其中中国队被选中的基本事件有 4 种，故所求的概率为 P ．
本题考查了分层抽样方法与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．
20．已知函数 ．
（Ⅰ）求 f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当 x∈（0，+∞）时，若函数 f（x）与 g（x）图象交于 P（x 1，y1）、Q（x2，y2）
（x2＞x1）两点，求实数 a 的取值范围
（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调区间；
（2）由已知分离参数可得 a 在（0，+∞）上有 2 个不同的零点，构造
函数 h（x） ，x∈（0，+∞），然后结合导数及函数的性质可求．
（I） ，
当 x＞1 时，f′（x）＜0，函数单调递减，当 x＜1 时，f′（x）＞0，函数单调递增，
故 f（x）的单调递增区间（﹣∞，1），单调递减区间（1，+∞）；
（II）由题意可得 在（0，+∞）上有 2 个不同的零点，
即 a 在（0，+∞）上有 2 个不同的零点，
令 h （ x ） ， x∈ （ 0 ， + ∞ ） ， 则
，
当 0＜x＜1 时，h′（x）＞0，函数单调递增，当 x＞1 时，h′（x）＜0，函数单调递减，
且 h（0）＝﹣1，x→+∞时，h（x）＜0，h（x）max＝h（1） ，
故﹣1 ．
本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间及函数的零点个数的求解，体现了转化思
想的应用．
21．已知椭圆 ，动直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A（x1，y1），B（x2，y2），
且△AOB 的面积为 1，其中 O 为坐标原点．
（Ⅰ） 为定值；
（Ⅱ）设线段 AB 的中点为 M，求|OM|•|AB|的最大值．
（Ⅰ）当直线 l 的斜率不存在时，设 l：x＝m，代入椭圆方程求解|AB|，结合△AOB 的面
积为 1 求得 m 值，可得 为定值 4，当直线 l 的斜率存在时，设 y＝kx+t，联立椭
圆方程，可得 A，B 横坐标的和与积，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求
得|OM|，结合△AOB 的面积为 1，可得 1+4k 2＝2t2，则 的值可求，从而说明
为定值；
（Ⅱ）设 M（x0，y0），当直线的斜率不存在时，|OM| ，|AB| ，则|OM|•|AB|
＝2；当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）可得 M 的坐标，求得|OM|，写出|OM|•|AB|，结合 1+4k2
＝2t2 转化为关于 的二次函数求最值．
（Ⅰ）当直线 l 的斜率不存在，设 l：x＝m，代入椭圆方程可得 y2＝1 ，
由 △ AOB 的 面 积 为 1 ， 可 得 |m| • 2 1 ， 解 得 m ＝ ± ， 则
；
当直线 l 的斜率存在，设 y＝kx+t，联立椭圆方程可得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），可得 x1+x2 ，x1x2 ，
|AB| • •
• ，
由△AOB 的面积为 1，可得 • •|AB|＝1，
化简可得 1+4k2＝2t2，
则 （ ） 2 ﹣ 2 •
4，
而 4，
综上可得， 为定值 4；
（Ⅱ）设 M（x0，y0），当直线的斜率不存在时，|OM| ，|AB| ，则|OM|•|AB|
＝2；
当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）可得 x0 ，y0＝kx0+t ，
则|OM| ，
可得|OM|•|AB| • ．
∵ ，∴0 ．
可知|OM|•|AB|＜2．
综上，|OM|•|AB|的最大值为 2．
本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用二次函数求最值，考查化简运算能力
和推理能力，属于中档题．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修 4-4：坐标系
与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程是 y＝2，曲线 C 的参数方程是 （φ 为
参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；
（ Ⅱ ） 若 A （ ρ1 ， α ） 是 曲 线 C 上 一 点 ， 是 直 线 l 上 一 点 ， 求
的最大值．
（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转
换．
（Ⅱ）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
（Ⅰ）直线 l 的方程是 y＝2，转换为极坐标方程为 ρsinθ＝2，
曲 线 C 的 参 数 方 程 是 （ φ 为 参 数 ）．转 换 为 直 角 坐 标 方 程 为
，转换为极坐标方程为 ．
（Ⅱ）点 A（ρ1，α）是曲线 C 上一点，
所以： ，所以 ，
点 是直线 l 上一点，
所以 ，所以 ，
，当 时，最大
值为 ．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系
式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 a、b、c∈R+，且 a+b+c＝6．
（Ⅰ）当 c＝5 时，求 的最小值；
（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2．
（Ⅰ）依题意，a+b＝1，将目标式化简可得 ，再利用基本不等式求最值即可；
（Ⅱ）将不等式左边化简可得 a2+b2﹣2b+c2﹣4c＝a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2﹣5，运用柯
西不等式即可得证．
（Ⅰ）当 c＝5 时，a+b＝1，
∴ ，
又 （当且仅当 a＝b 时取等号），则 ，
∴ ，即 的最小值为 9；
（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c＝a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2﹣5，
由柯西不等式有，[a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2]•（1+1+1）≥（a+b﹣1+c﹣2）2（当且仅当
a＝b﹣1＝c﹣2 时取等号），
∴ ，
又 a+b+c＝6，
∴a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2≥3，即 a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2（当且仅当 a＝1，b＝2，c＝
3 时取等号）．
本题考查利用基本不等式求最值，以及柯西不等式的运用，考查不等式的证明，考查推
理能力，属于基础题．
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