- 1 -
绝密★启用前
长郡中学 2020 届高三适应性考试（四）
数学（理科）试卷
本试题卷共 8 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟．
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡
上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上
的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对
应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．要完成下列三项调查：①某商城从 10 台同款平板电脑中抽取 4 台作为商城促销的奖品；②某酒厂从某
白酒生产线上抽取 40 瓶进行塑化剂检测：③某市从老、中、青三代市民中抽取 100 人调查他们网络购物的
情况．适合采用的抽样方法依次为（ ）
A．①用简单随机抽样：②③均用系统抽样
B．①用抽签法；②③均用系统抽样
C．①用抽签法：②用分层抽样：③用系统抽样
D．①用随机数表法；②用系统抽样；③用分层抽样
3．已知 是虚数单位，复数 ，给出下列命题： ； 的虚部为 ；
在复平面内对应的点位于第四象限； 是纯虚数．其中是假命题的为（ ）
A． B． C． D．
4．皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学界做出了重大贡献，
{ }2| 2 0A x x x= − ≤ { }|1 3 81xB x= < < { | 2 , }C x x n n= = ∈N ( )A B C∪ ∩ = {0,2,4} {2,4} {0,2} {2} i 1 22 , 2z i z i= + = − 2 1 1 2 1:p z z z⋅ = 1 2 2 : zp z 4 5 i 1 3 2 : zp z 1 4 2 3: 5 zp z − 2 4,p p 1 2 3, ,p p p 3 4,p p 2 3,p p
- 2 -
其中在 1636 年发现了：若 是质数，且 互质，那么 的 次方除以 的余数恒等于 1，后来人们
称该定理为费马小定理．依此定理若在数集 中任取两个数，其中一个作为 ，另一个作为 ，则
所取两个数不符合费马小定理的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知某几何体的正视图和侧视图如图 1 所示，其俯视图水平放置的直观图如图 2 中粗线部分所示，其中
其中四边形 为平行四边形， ，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例
（百分比）为“衰分比”．如：已知 三人分配奖金的衰分比为 20%，若 分得奖金 1000 元，则
所分得奖金分别为 800 元、640 元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励 68780
元，若甲、乙、丙、丁按照一定的衰分比分配奖金，且甲与丙共获得奖金 36200 元，则衰分比与丁所获得
的奖金分别为（ ）
A．20%，14580 元 B．10%，14580 元 C．20%，10800 元 D．10%，10800 元
7．在二项式 的展开式中，所有项的系数之和记为 ，第 项的系数记为 ，若 ，则 的
值为（ ）
A．2 或-4 B．2 C．2 或-2 D．-4
8．已知 两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于 ，当 时，
函数 取得最小值，将 的图象向左平移 个单位得到一个奇函数，则 的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
9．设函数 和 ，若两函数在区间 上的单调性相同，则把区间 叫做 的
“稳定区间”．已知区间 为函数 的“稳定区间”，则实数 的取值范围是（ ）
p ,a p a ( 1)p − p
{ }2,3,4,5,6 p a
11
20
3
5
9
20
2
5
A B C D′ ′ ′ ′ 2 4 4B C A B O A′ ′ ′ ′ ′ ′= = =
16 8π+ 8 16π+ 16 16π+ 8 8π+
, ,A B C A ,B C
8bax
x
+ S r rP 8
9
3S
P
= a
b
( ) cos( ) 0,| | ,2f x x x
πω ϕ ω ϕ = + > < ∈ R 2 π 2 3x π= ( )f x ( )f x m m 12 π 2 π 3 π 5 12 π ( )y f x= ( )y f x= − [ , ]m n [ , ]m n ( )y f x= [1,2019] 1 2 x y a = + a
- 3 -
A． B． C． D．
10．已知双曲线 的离心率为 ，抛物线 的焦点与双曲线的右焦点
重合，其准线与双曲线交于点 ，点 在 轴上．若 最大，则点 的坐
标为（ ）
A． B． C． D．
11．若 ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，正方体 的棱长为 分别是棱 ， 的中点，过点 的平面分别与棱
， 交于点 ，设 ．
给出以下四个命题：
①平面 与平面 所成角的最大值为 45°；
②四边形 的面积的最小值为 ；
③四棱锥 的体积为；
④点 到平面 的距离的最大值为 ．
其中命题正确的序号为（ ）
A．②③④ B．②③ C．①②④ D．③④
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量 ， ，且 与向量 的夹角为 90°，则向量 在向量 方向上的投影为
________.
[ 2, 1]− − 1 ,22
12, 2
− − [1,2]
2
2
2 1 ( 0)x y aa
− = > 2 3
3
2 2 ( 0)y px p= > F
( ), 0 , 2MM N y MF FQ> = R x | | | |RN RQ− R
(6,0) (8,0) (9,0) (10,0)
0 1x< < 2 2ln3 1 1 1, ,3 xx x x ee + + + 2 2 1 ln3 1 1 3 xx x x ee + + +> > 2
2 1 1 ln3 1
3xx
x x
ee
+ + +> >
2
2ln3 1 1 1
3 x x
x x
e e
+ + +> > 2
2ln3 1 1 1
3 xx
x x
ee
+ + +> >
1 1 1 1ABCD A B C D− , ,a E F 1AA 1CC ,E F
1BB 1DD ,G H , [0, ]BG x x a= ∈
EGFH ABCD
EGFH 2a
1C EGFH−
1B EGFH 6
3
a
(1,2)a = ( ,1)b k= 2a b+ a a b
- 4 -
14．设 ； ，若 是 的必要不充分条件，则 的取
值范围为________.
15．正整数数列 满足 ，已知 ， 的前 6 项和的最大值为 ，把 的
所有可能取值从小到大排成一个新数列 ， 所有项和为 ，则 ________.
16．母线长为 ，底面半径为 的圆锥内有一球 ，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小
球与圆锥底面、侧面、球 都相切，这样的小球最多可放入_______个．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列 是各项均为正数的等比数列， ， ，数列 满足 ，且 与
的等差中项是 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ， 的前 项和为 ，求 ．
18．以昆明、玉溪为中心的滇中地区，冬无严寒、夏无酷暑，世界上主要的鲜切花品种在这里都能实现周
年规模化生产．某鲜花批发店每天早晨以每支 2 元的价格从鲜切花生产基地购入某种玫瑰，经过保鲜加工
后全部装箱（每箱 500 支，平均每支玫瑰的保鲜加工成本为 1 元），然后以每箱 2000 元的价格整箱出售．由
于鲜花的保鲜特点，制定了如下促销策略：若每天下午 3 点以前所购进的玫瑰没有售完，则对未售出的玫
瑰以每箱 1200 元的价格降价处理．根据经验，降价后能够把剩余玫瑰全部处理完毕，且当天不再购进该种
玫瑰，由于库房限制每天最多加工 6 箱．
（Ⅰ）若某天该鲜花批发店购入并加工了 6 箱该种玫瑰，在下午 3 点以前售出 4 箱，且被 6 位不同的顾客
购买．现从这 6 位顾客中随机选取 2 人赠送优惠卡，则恰好一位是以 2000 元价格购买的顾客，另一位是以
1200 元价格购买的顾客的概率是多少？
（Ⅱ）该鲜花批发店统计了 100 天内该种玫瑰在每天下午 3 点以前的销售量 （单位：箱），统计结果如下
表所示（视频率为概率）：
/箱 4 5 6
频数 30
①估计接下来的一个月（30 天）内该种玫瑰每天下午 3 点以前的销售量不少于 5 箱的天数是多少？
②若批发店每天在购进 5 箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大（不考虑其他成本），求 的取值范围．
2 2 2: ( , , 0)p x y r x y r+ ≤ ∈ >R
1
: 4 0 ( , )
0
x
q x y x y
x y
≥
+ − ≤ ∈
− ≤
R p q r
{ }na 1
1 ,2
3 1,
n n
n
n n
a aa
a a
+
=
+
是偶函数
是奇函数
6 4a = { }na S 1a
{ }nb { }nb T S T− =
2 3 3 O
O
{ }na 3
1
16a = 1 2
1
8a a− = { }nb 1 3b = − 1 1nb+ +
1 nb− na
{ }nb
( 1)n
n nc b= − { }nc n nS 2nS
t
t
x y
x
- 5 -
19．如图 1 所示，在矩形 中， ， ， 为 中点，将 沿 折起，使点
到点 处，且平面 平面 ，如图 2 所示．
（Ⅰ）求证： ：
（Ⅱ）在棱 上取点 ，使平面 平面 ，求平面 与 所成锐二面角的余弦值．
20．已知椭圆 的右焦点为 ， ， ， 是椭圆上任意三点， 、 关于原
点对称且满足 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若斜率为 的直线与圆： 相切，与椭圆 相交于不同的两点 ，求 时， 的
取值范围．
21．已知函数 ．
（Ⅰ）若函数 ，试研究函数 的极值情况；
（Ⅱ）记函数 在区间 内的零点为 ，记 ，若 在区
间 内有两个不等实根 ，证明： ．
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用 2B 铅笔在答题卡上
把所选题号涂黑．
22．选修 4-4：坐标累与参数方程
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），将直线 上所有点
的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标缩短到原来的 倍得到直线 ．
（Ⅰ）求直线 的普通方程；
ABCD 2 2AB = 2BC = M CD DAM△ AM D
P PAM ⊥ ABCM
PB AM⊥
PB N AMN ⊥ PAB CMN AMN
2 2
2 2: 1 ( 0)x yE a ba b
+ = > > (1,0)F A B C A B
1
2AC BCk k⋅ = −
E
k 2 2 1x y+ = E ,P Q 4 3| | 5PQ k
( ) lnf x x x=
2( ) ( ) ( 2) ( 0)g x f x ax a x a′= + − + > ( )g x
( ) ( ) x
xF x f x e
= − (1,2) 0x ( ) min ( ), x
xm x f x e
= ( ) ( )m x n n= ∈R
(1, )+∞ ( )1 2 1 2,x x x x< 1 2 02x x x+ >
xOy C 2 3cos
2sin
x
y
α
α
= =
α 6 21=0x y− −
1
3 l′
l′
- 6 -
（Ⅱ）设 为曲线 上的动点，求点 到直线 的距离的最小值及此时点 的坐标．
23．选修 4—5：不等式选讲
已知函数 ．
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）若函数 的最小值为 ，求证： ， 恒成立．
长郡中学 2020 届高三适应性考试（四）
理科数学参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D D A A B A D C D B A
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． 14． 15．62 16．10
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解：（Ⅰ）数列的通项公式为 ；（Ⅱ） .
18．解：（Ⅰ） ；（Ⅱ）①21 天：② 的取值范围为 ．
19．解：（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）余弦值为 ．
20．解（Ⅰ）椭圆 的标准方程为 ；（Ⅱ） 的取值范围为 ．
21．解：（Ⅰ）当 时， 在 处取极大值 ，在 处取极小值 ；
当 时，不存在极值；
当 时， 在 处取极大值 ，
在 处取极小值 ．
（Ⅱ）证明略．
22．解：（Ⅰ）直线 的普通方程为 ；
（Ⅱ）点 到直线 的距离的最小值为 ，此时点 的坐标为 ．
P C P l′ P
( ) | 2 1| | 5|f x x x= − + +
( ) 7f x >
( )f x 3
2m + , (0, )p q∀ ∈ +∞ 1 1 m
p q p q
+ ≥ +
2 145
29
−
[ 10, )+∞
11 22
n
nb n
− = − − 2
2 11 23 4
n
nS n
= − −
1 1
4 2
2
6
C C 8( ) C 15P A = = x *[33,70], x∈N
3 485
97
E
2
2 12
x y+ = k ( , 2] [ 2, )−∞ − ∪ +∞
0 2a< < ( )g x 1 2x = ln 24 a− − 1x a = 1 ln aa − − 2a = 2a > ( )g x 1x a
= 1 ln aa
− −
1
2x = ln 24
a− −
l′ 0x y =-
P l′ 3 2
2 P (3, 1)−
- 7 -
23．解：（Ⅰ）不等式 的解集为 或 ：（Ⅱ）证明略．( ) 7f x > { | 1x x < − 1}x >
微信/支付宝扫码支付