宁德市 2019-2020 学年度第一学期期末高二质量检测
数 学 试 题
本试卷有第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，考试时间 120 分钟 ，满分
150 分.
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真
核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第 II 卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上
书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、单项选择题: 本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的.
1. 等差数列 的前 项和为 ，若
A．51 B．50 C．49
D．48
2. “ 且 ”是“ ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要
条件
3. 已知双曲线的渐近线方程为 ，实轴长为 ，则该双曲线的方程为
A． B． 或
C． D． 或
4. 已知正方体 点 是上底面 的中心, 若 ,
则 等于
A. B. C.
D.
{ }na n nS 2 6 73, 11,a a S= = =则
1x > 2y > 3x y+ >
2
2y x= ± 4
2 2
14 2
x y− =
2 2
14 2
x y− =
2 2
14 8
y x− =
2 2
116 8
x y− =
2 2
116 8
x y− =
2 2
116 32
y x− =
1 1 1 1,ABCD ABC D− E 1 1AC 1AE AA xAB yAD= + +uuur uuur uuur uuur
x y+
1
3
1
2 1
2第 10 题图
5. 如果实数 , 满足条件
则 的最大值为
A. B． C．
D．
6. 设 ，若 是 与 的等差中项，则 的最小值为
A. B ．
C． D．
7. 已知数列 满足 ， , 则数列 的前 2019 项和等于
A. B. C.
D.
8. 如图，在直三棱柱 中， ，
， ，则异面直线 与
所成角的大小为
A．
B． 或
C．
D． 或
9. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作双曲线 的一
条渐近线的垂线 ，垂足为 ，直线 与双曲线 的左支交于 点 ，且 恰为线段
的中点，则双曲线 的离心率为
A． B． C．
D．
10. “垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、
元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛
等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层 1 件，以后
每一层比上一层多 1 件，最后一层是 n 件，已知第一层货物
x y
1,
2 2 0,
1 0.
y
x y
x y
≤
− − ≤
+ − ≥
2z x y= +
1 2 4
5
0, 0a b> > 1 2a b 2 1
a b
+
5 9
2
4 3
{ }na 1 1a = 1 ( 2)n na a n n−− = ≥ 1
na
2019
1010
4040
2021
2019
2020
4036
2019
1 1 1ABC A B C− 120ABC∠ = °
2AB = 1,BC =
1 2CC = 1AB 1BC
60°
60° 120°
45°
135° 45°
:C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1 2,F F 2F C
l H l C E H 2EF
C
2 5 1
2
+
3
5
B
C
A
第 8 题图单价 1 万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的 .
若这堆货物总价是 万元，则 n 的值为
A．7 B．8 C．9
D．10
二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题 5 分， 共 10 分. 在每小题给出的选项中有多项符
合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分
11. 若 ，则下列不等式中正确的是
A. B. C.
D.
12. 如图所示，棱长为 1 的正方体 中，P 为线段
上的动点（不含端点），则下列结论正确的是
A. 平面 平面 B. 不是定值
C. 的体积为定值 D.
第 II 卷（非选择题共 90 分）
三、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在答题卡的相应位置
13. 命题“ ”的否定是：________________
14. 已知直线 与椭圆 交于 两点, 若 的中点坐标为 , 则直线 的方
程是________________
15. 设不等式 的解集为 , 关于 的不等式 （ 为常数）的解
集为 ， 若 ，则 的取值范围是________________
16. 顶点在坐标原点，焦点为 的抛物线上有一动点 ，圆 上有一
动点 ，则 的最小值等于__________ ， 此时 等于__________
4
5
425 65 5
n −
0a b> >
1 1
a b
> 1 1
a b a
+ +
2 2a b>
1 1 1 1ABCD A B C D−
1A B
1 1D A P ⊥ 1A AP 1AP DC⋅uuur uuuur
1 1B D PC−三棱锥 1 1DC D P⊥
2, 1 3x R x x∀ ∈ + ≤
l
2 2
18 4
x y+ = ,A B AB ( 1, 1)− l
2 2 0x x− − ≤ A x 2 2 0x x a− + ≤ a
B A B⊆ a
(0,1)F A 2 2( 1) ( 4) 1x y+ + − =
M | | | |AM AF+ | |
| |
AF
AM (本小题第一个空 3 分，第二个空 2 分)
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分 10 分）
已知命题 : ， ； 命题 : 函数 在区间
上单调递减．
（Ⅰ） 若命题 为真命题， 求 的取值范围；
（Ⅱ）若命题 为假命题，求 的取值范围．
18. （本小题满分 12 分）
已知数列 的前 项和为 , ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
19. （本小题满分 12 分）
在四棱锥 中，平面 平面 ，四边形 为直角梯形，
∥ ， ， ， ， ， 为 的 中
点．
（Ⅰ）求证: ∥平面 ；
（Ⅱ）若点 在线段 上, 满足 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
p x R∀ ∈ ( )2 1 1 0x a x− + + > q 2( ) 2f x x ax= −
( ), 0−∞
p a
p q∨ a
{ }na n nS 1 2a = 1 2n na S+ = +
{ }na
{ }nb 2 2 1logn n nb a a −= + { }nb n nT
P ABCD− PAD ⊥ ABCD ABCD
BC AD 90oADC∠ = 1BC CD= = 2AD = 5PA PD= = E PA
BE PCD
F PC 2
3
PF
PC
= PA ADF
（背面还有试题）20. （本小题满分 12 分）
设抛物线 ： 上一点 到焦点 的距离为 5．
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）过点 的直线 与抛物线 交于 两点, 过点 作直线 的垂线，
垂足为 判断: 三点是否共线，并说明理由．
21. (本小题满分 12 分)
随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条
地铁线路运行时，发车时间间隔 t（单位：分钟）满足： ，平均每趟
地铁的载客人数 （单位：人）与发车时间间隔 近似地满足下列函数关系：
，其中 ．
（Ⅰ）若平均每趟地铁的载客人数不超过 1000 人，试求发车时间间隔 t 的值；
（Ⅱ）若平均每趟地铁每分钟的净收益为
（单位：元），问当发车时间间隔 t 为多少分钟时，平均每趟地铁每分钟的净收益
最大？ 并求出最大净收益．
22.（本小题满分 12 分）
已知椭圆 ： 的焦距为 ，且椭圆过点 ，直线 与
圆 : 相切，且与椭圆 相交于 两点．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）求三角形 面积的取值范围．
Γ 2 2 ( 0)y px p= > (4, )P m F
Γ
(2, 0)Q 1l Γ ,A B A 2 : 2l x = −
A′ ， A O B′ 、 、
4 15,t t N≤ ≤ ∈
( )f t t
( ) ( )21250 10 9 , 4 9
1250, 9 15
t tf t
t
− − ≤ > 2 5 4( 5, )3P l
O 2 2 1x y+ = C ,A B
C
OAB稿 纸宁德市 2019-2020 学年度第一学期期末高二质量检测
数学试题参考答案及评分标准
说明:
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程
度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答
有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、单项选择题: 本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的.
1. C 2. A 3．B 4. C 5. C 6. B 7. A 8．C 9. D 10. B
二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题 5 分， 共 10 分。在每小题给出的选项中有多项
符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分）
11.CD 12. ACD
三、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置)
13. 14. 15. 16. 4;
备注：第 15 题答案写 不扣分, 第 16 题答案第一个空做对得 3 分,第二个空做对得 2 分。
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）若 为真命题，则
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
即
的取值范围为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
（Ⅱ）若 为假，则 假且 假 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
若 为真命题，则 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
, 即 的取值范围为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
2, 1 3x R x x∃ ∈ + > 2 3 0x y− + = ( ], 3−∞ −
5
11
3a ≤ −
p
2( 1) 4 0a∆ = + − <
( 3)( 1) 0a a∴ + − < 3 1a− < <
∴ a ( 3,1)−
p q∨ p q
q 0a ≥
3 1
0
a a
a
≤ − ≥
∴ 2p =
∴ Γ 2 4y x=
1l 1l Γ
1l (2,2 2), (2, 2 2)A B − ∴ ( 2,2 2)A′ −
∴ 2 2 22OAK ′ = = −−
2 2 22OBK
−= = −
∴ OA OBK K′ =
∴ , ,A O B′
1l 1 : ( 2)l y k x= −
2
( 2)
4
y k x
y x
= −
= y 2 2 2 2(4 4) 4 0k x k x k− + + =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ∴ 1( 2, )A y′ − 232 16 0.k∆ = + >
2
1 2 1 22
4 4 , 4.kx x x xk
++ = =
1 2
2
,2OA OB
y yK K x′ = =−, ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
三点共线.
综上(1) (2)知 三点共线∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
（备注：本题有判断三点共线得 1 分）
（Ⅱ）解法 2: 易知直线 的斜率为 0 时. 直线 与抛物线 交于一点,不合题意.
可设直线 .
由 ,得 . …………………………………………………………6 分
设 ，则
则 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
又 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
, ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
三点共线∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
（Ⅱ）解法 3: 易知直线 的斜率为 0 时. 直线 与抛物线 交于一点,不合题意.
可设直线 .
由 ,得 . …………………………………………………………6 分
设 ，则
则 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
….…………….……………………………………………….8 分
∴ 2 1 2 2 1 2 2 1
2 2 2
2 2 ( 2) ( 2)
2 2 2OB OA
y y y x y k x x k xK K x x x′
+ − + −− = + = = 1 2
2 2
4 4 4 0.2 2
k kx x k k
x x
− + − += = =
∴
OA OBK K′ =
∴ , ,A O B′
, ,A O B′
1l 1l Γ
1 : 2l x my− =
2
2
4
x my
y x
− =
=
2 4 8 0y my− − =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1( 2, )A y′ −
216 32 0m∆ = + > 1 2 1 24 , 8.y y m y y+ = = −
1 2
2 2
4,2OA OB
y yK K x y′ = = =−
1 1 2
2 2
84 0.2 2OB OA
y y yK K y y′
+∴ − = − − = − =
∴
OA OBK K′ =
∴ , ,A O B′
1 2
2
8
4
2 2OA OB OA OB
y yK K K Ky′ ′
−
= = = = =− −备注：另外，用 证明 也可以参照以上解法给分。
1l 1l Γ
1 : 2l x my− =
2
2
4
x my
y x
− =
=
2 4 8 0y my− − =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1( 2, )A y′ −
216 32 0m∆ = + > 1 2 1 24 , 8.y y m y y+ = = −
1 2 2( 2, ), ( , ).OA y OB x y′ = − = ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
又 有公共点 ,
三点共线∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
21.(本小题满分 12 分)
解：（Ⅰ）由已知得，当 时， ，不合题意舍去…………………..1 分
当 时，
， 或 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
或
又 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（Ⅱ）由题意得
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
当 时， （元），
当且仅当 取等；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
当 时， （元）∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
当 ， . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
答： (1)若平均每趟地铁的载客人数不超过 1000 人，发车时间间隔为 4min.
(2)当发车时间间隔为 7min 时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为 240 元.
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
22.（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）解法 1: ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
椭圆方程 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
（Ⅰ）解法 2: 由已知得 ,则焦点坐标为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
2 2
2 2 1 2 1 22 2 2 ( 8) 0.4 4
y yy x y y y y− − = − − = − − − =
∴ .OA OB′⁄⁄ ,OA OB′
O
∴ , ,A O B′
9 15t≤ ≤ 1250 1000>
4 9t≤ < 21250 10(9 ) 1000t− − ≤
2(9 ) 25t∴ − ≥ 9 5t∴ − ≥ 9 5t − ≤ −
4t∴ ≤ 14t ≥
4 9,t t N≤ < ∈ 4t∴ =
4960( ) 1080, 4 9,
( ) 1920 , 9 15,
t t t Ntg t
t t Nt
− + + ≤ < ∈=
≤ ≤ ∈
4 9t≤ < 49( ) 60( ) 1080 60 2 49 1080 240g t t t
= − + + ≤ − ⋅ + =
7t =
9 15t≤ ≤ 1920 640( ) (9) 9 3g t g≤ = =
640240 3
>
∴ 7t = max( ) 240g t =
2 2 5c = 5c =
2 2
2 2
5
16
5 9 1
a b
a b
= +
+ =
2 29, 4a b∴ = =
∴
2 2
19 4
x y+ =
5c = 1 2( 5,0), ( 5, 0)F F− ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
,
椭圆方程 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
（Ⅱ）解法 1 ：(i) 当直线 斜率不存在时， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
(ii)当直线 斜率存在时，设直线 方程为 ，联立 得：
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
，
又 直线 与圆 相切， ，即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
令 ，则 ，
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
令 ，则
设 , ,则
, 在 递增，
, 即
； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
综上，由(i)和(ii)知，三角形 面积的取值范围为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
2 2 2 2
1 2
4 42 (2 5) ( ) 0 ( ) 63 3a PF PF∴ = + = + + + =
3a∴ = 2 2 2 4b a c∴ = − =
∴
2 2
19 4
x y+ =
l 4 2
3OABS∆ =
l l y kx m= + 2 2
19 4
y kx m
x y
= + + =
2 2 2(4 9 ) 18 9 36 0k x kmx m+ + + − =
2
1 2 1 22 2
18 9 36,4 9 4 9
km mx x x xk k
−∴ + = − =+ +
2 2144(9 4) 0k m∆ = − + >
l O 2
1
1
m
k
∴ =
+
2 21m k= +
∴ 2 2 2
2
12 1 9 4
4 9
k k mAB k
+ − += +
2 2
2
12 1 8 3
4 9
k k
k
+ += +
∴ 2 2
2
1 6 1 8 312 4 9OAB
k kS AB k∆
+ += ⋅ = +
24 9t k= + 2 4
9
tk
−= 4t ≥
2
2 2
5 8 56 2 8 35 25 2 1 19 9 25 35 83 3OAB
t t
t tS t t t t∆
+ −
+ −= = = − ⋅ + ⋅ + 4t ≥（ ）
1u t
= 22 125 35 8, (0, ]3 4OABS u u u∆ = − + + ∈
2( ) 25 35 8g u u u= − + + 1(0, ]4u ∈ 2 ( )3OABS g u∆ =
2 27 81( ) 25 35 8 25( )10 4g u u u u= − + + = − − + 1(0, ]4u ∈
1(0) ( ) ( )4g g u g∴ < ≤ 2438 ( ) 16g u< ≤
4 3( 2, 3]3 2OABS∆∴ ∈
OAB 4 3[ 2, 3]3 2解法 2：(i)当直线 斜率不存在时， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
(ii)当直线 斜率存在时，设直线 方程为 ，联立 得：
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
，
又 直线 与圆 相切， ,即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
令 ，则 ， ，
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
综上，由(i)和(ii)知，三角形 面积的取值范围为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
(备注：若直接写出正确答案,没有详细解答步骤的给 2 分)
l 4 2
3OABS∆ =
l l y kx m= + 2 2
19 4
y kx m
x y
= + + =
2 2 2(4 9 ) 18 9 36 0k x kmx m+ + + − =
2
1 2 1 22 2
18 9 36,4 9 4 9
km mx x x xk k
−∴ + = − =+ +
2 2144(9 4) 0k m∆ = − + >
l O 2
1
1
m
k
∴ =
+
2 21m k= +
∴ 2 2 2
2
12 1 9 4
4 9
k k mAB k
+ − += +
2 2
2
12 1 8 3
4 9
k k
k
+ += +
∴ 2 2
2
1 6 1 8 312 4 9OAB
k kS AB k∆
+ += ⋅ = +
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 6 1 8 3 6 1 8 312 4 9 ( 1 ) ( 8 3)OAB
k k k kS AB k k k
∆
+ + + += ⋅ = =+ + + + 2 2
2 2
6
1 8 3
8 3 1
k k
k k
=
+ ++
+ +
2
2
8 3
1
ku
k
+=
+ 2
58 1u k
= − + [ 3,2 2)u ∈ 1 4 3 9 2[ , )3 4u u
+ ∈
6 4 3( 2, 3]1 3 2OABS
u u
∆ = ∈
+
OAB 4 3[ 2, 3]3 2
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