江苏省南京师大附中2019-2020高一数学下学期期中试题（Word版带答案）

南京师大附中 2019-2020 学年度第二学期 高一年级期中考试数学试卷 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 直线 的倾斜角是（ ）. A. B. C. D. 2. 若 ，则 （ ）. A. B. C. D. 3. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. 已知 .则边 b 的长为 （ ）. A. B. C. D. 4. 已知 ， 均为锐角，则 （ ）. A. B. C. D. 5. 在△ABC 中， .则△ABC 的形状一定是（ ）. A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 6. 过点 向圆 引圆的两条切线 PA，PB，则弦 AB 的长为（ ）. A. B. C. D. 7. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. 若满足 的三角形有两个，则 边长 a 的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 8. 直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围 是（ ）. A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的四个选项中， 有不止一项是符合题目要求的. 全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，错选或不答的得 0 分. 9. 若圆 与圆 相切，则 m 的值可以是 （ ）. A. B. C. D. 3 1 0x y− − = 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π 3cos( )4 5 π α− = sin 2α = 7 25 1 5 1 5 − 7 25 − 25, 2,cos 3a c A= = = 2 3 2 3 2 5 1cos ,tan( )5 3 α α β= − = − ,α β β = 5 12 π 3 π 4 π 6 π 2cos sin sinB A C= ( 3,4)P − 2 2 1x y+ = 2 6 5 4 6 5 2 5 5 4 5 5 2, 30b A= = ° 0 1a< < 1a = 1 2a< < 2a ≥ ( 2) 4y k x= − + 23 2 0x y y+ + − = 5 3( , ]12 4 5 1( , ]12 2 1 3( , ]2 4 1[ , )2 +∞ 2 2 1 :( 1) 1C x y− + = 2 2 2 : 8 8 0C x y x y m+ − + + = 16 7 4− 7−10. 下列命题中正确的有（ ）. A. 空间内三点确定一个平面 B. 棱柱的侧面一定是平行四边形 C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 11. 两直线 ， 与 x 轴相交且能构成三角形，则 m 不能取到的值 有（ ）. A. B. C. D. 12. 已知圆 上存在两个点到点 的距离为 ，则 m 的可能的值为（ ）. A. B. C. D. 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知直线 和 ，直线 m 分别与 交于 A，B 两点，则线 段 AB 长度的最小值为 . 14. 函数 的最大值为 . 15. 已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点 D 为 AB 延长线上一点，BD=2，连接 CD，则△BDC 的面积是 ， . 16. 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 的直线 与圆 交于 A，B 两点，且 ，则直线 的方程为 . 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 17. （本小题满分 10 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 . （1）求 的值； （2）若 ，△ABC 的面积为 ，求边长 b 的值. ( 2) 0m x y m+ − + = 0x y+ = 3− 2− 1− 0 2 2 2: 2 2( 1) 2 2 3 0( )C x y mx m y m m m R+ + − + + + − = ∈ (0, 1)A − 4 1 1− 3− 5− 1 : 4 2 7 0l x y+ − = 2 : 2 1 0l x y+ − = 1 2,l l ( ) 2cos sin( )3f x x x π= ⋅ + cos BDC∠ = (0, 3)M − l 2 2 3x y+ = 2MB MA=  l cos cos 3 cosc B b C a B+ = cos B 2c = 2 218. （本小题满分 10 分） （1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线 在平面 内； ②直线 不在平面 内； ③直线 与平面 交于点 ； ④直线 不经过点 . （2）如图，在长方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的三等分点， 画出由 三点所确定的平面 与平面 的交线.（保留作图痕迹） 19. （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知两直线 和 ，定点 . （1）若 与 相交于点 P，求直线 AP 的方程； （2）若 恰好是△ABC 的角平分线 BD 所在的直线， 是中线 CM 所在的直线，求△ABC 的边 BC 所在直线的方程. 20. （本小题满分 12 分） （1）已知 ，求 的值； （2）记函数 ，求 的值域. l α m α m α A l A 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1BB F 1CC 1, ,D E F β ABCD 1 : 3 3 0l x y− − = 2 : 1 0l x y+ + = (1,2)A 1l 2l 1l 2l 1sin cos 5 θ θ+ = sin 2θ ( ) sin 2 sin cosf x x x x= + + ( )f x21. （本小题满分 12 分） 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边 形 ABCD. 其中 百米， 百米，且△BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形. 拟修建两条小路 AC，BD（路的宽度忽略不计），设 ， . （1）当 时，求小路 AC 的长度； （2）当草坪 ABCD 的面积最大时，求此小路 BD 的长度. 22. （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在 轴上的圆 经过两点 和 ，直线 的 方程为 . （1）求圆 的方程； （2）当 时， 为直线 上的定点，若圆 上存在唯一一点 满足 ，求定点 的坐标； （3）设点 A，B 为圆 上任意两个不同的点，若以 AB 为直径的圆与直线 都没有公共点， 求实数 的取值范围. 3AB = 5AD = BAD θ∠ = ( , )2 πθ π∈ 5cos 5 θ = − y C (0,2)M (1,3)N l y kx= C 1k = Q l C P 2PO PQ= Q C l k南京师大附中 2019-2020 学年度第二学期 高一年级期中考试数学试卷 · 解析 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 直线 的倾斜角是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【考点】直线的斜率与倾斜角 2. 若 ，则 （ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【考点】二倍角公式；诱导公式 3. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. 已知 .则边 b 的长为 （ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】在△ABC 中，由余弦定理 ,带入数据，解得 或 （舍）. 【考点】余弦定理解三角形 4. 已知 ， 均为锐角，则 （ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 为锐角，且 ,所以 ， ， 于是 ，又 为锐角，所以 . 3 1 0x y− − = 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π 3 tan ,0 3k πα α π α= = ≤ < ⇒ = 3cos( )4 5 π α− = sin 2α = 7 25 1 5 1 5 − 7 25 − 2 7sin 2 cos( 2 ) 2cos ( ) 12 4 25 π πα α α= − = − − = − 25, 2,cos 3a c A= = = 2 3 2 3 2 2 22 cosbc A b c a= + − 3b = 1 3 2 5 1cos ,tan( )5 3 α α β= − = − ,α β β = 5 12 π 3 π 4 π 6 π α 2 5cos 5 α = 2 5sin 1 cos 5 α α= − = sin 1tan cos 2 αα α= = 1 1( )tan tan( ) 2 3tan tan[ ( )] 11 11 tan tan( ) 1 ( )2 3 α α ββ α α β α α β − −− −= − − = = =+ − + − β 4 πβ =【考点】同角三角函数关系；两角和与差的三角函数 5. 在△ABC 中， .则△ABC 的形状一定是（ ）. A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，即 ，即 ， 于是 ，所以 ，△ABC 为等腰三角形. 【考点】两角和与差的三角函数；诱导公式 6. 过点 向圆 引圆的两条切线 PA，PB，则弦 AB 的长为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为 ，半径 ，所以 ， 由面积法可知， 【考点】圆的切线问题；与圆有关的几何问题 7. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. 若满足 的三角形有两个，则 边长 a 的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图， ，垂线段 ，所以 时，三角形有两解. 【考点】判断三角形解的个数 8. 直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围 是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】曲线可化简为 .于是过点（2，0）的直线与该半圆有两个交点， 数形结合，解得 . 2cos sin sinB A C= sin sin( )C A B= + 2cos sin sin( )B A A B= + 2cos sin sin cos cos sinB A A B A B= + cos sin sin cosB A A B= tan tanA B= A B= ( 3,4)P − 2 2 1x y+ = 2 6 5 4 6 5 2 5 5 4 5 5 2 2( 3) 4 5OP = − + = 1OA = 2 25 1 2 6PA PB= = − = 2 2 2 6 1 4 6 5 5 PA OAAB OP ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = 2, 30b A= = ° 0 1a< < 1a = 1 2a< < 2a ≥ 2, 30b A= = ° 1 1CB = 1 2a< < ( 2) 4y k x= − + 23 2 0x y y+ + − = 5 3( , ]12 4 5 1( , ]12 2 1 3( , ]2 4 1[ , )2 +∞ 2 2( 1) 4( 0)x y x+ − = ≤ 5 1 12 2k< ≤【考点】直线与圆的位置关系 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的四个选项中， 有不止一项是符合题目要求的. 全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，错选或不答的得 0 分. 9. 若圆 与圆 相切，则 m 的值可以是 （ ）. A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】圆 可化简为 . 于是 ，解得 或 . 【考点】圆的方程；圆与圆的位置关系 10. 下列命题中正确的有（ ）. A. 空间内三点确定一个平面 B. 棱柱的侧面一定是平行四边形 C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 【答案】BC 【解析】对于 A 选项，要强调该三点不在同一直线上，故 A 错误； 对于 B 选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故 B 正确； 对于 C 选项，可用反证法证明，故 C 正确； 对于 D 选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故 D 错误. 【考点】点、线、面的位置关系 11. 两直线 ， 与 x 轴相交且能构成三角形，则 m 不能取到的值 有（ ）. A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】由题知，三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点. 于是: ① ；② ；③ .综上， 且 且 . 【考点】平面内两直线的位置关系 12. 已知圆 上存在两个点到点 的距离为 ，则 m 的可能的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】由题知，圆 与圆 相交. 故 ，即 ， 解得 ，选 ACD 2 2 1 :( 1) 1C x y− + = 2 2 2 : 8 8 0C x y x y m+ − + + = 16 7 4− 7− 2C 2 2( 4) ( 4) 32 ( 32)x y m m− + + = − < 2 2 1 (1 4) (0 ( 4)) 5 1 32CC m= − + − − = = ± − 16m = 4− ( 2) 0m x y m+ − + = 0x y+ = 3− 2− 1− 0 2 0m + ≠ 2 1m + ≠ − ( 2) 0 0 0m m+ ⋅ − + ≠ 2m ≠ − 3m ≠ − 0m ≠ 2 2 2: 2 2( 1) 2 2 3 0( )C x y mx m y m m m R+ + − + + + − = ∈ (0, 1)A − 4 1 1− 3− 5− 2 2 2:( ) [ ( 1)] 2C x m y m+ + − + = 2 2 2: ( 1) 4A x y+ + = 4 2 4 2CA− < < + 2 22 [( 1) ( 1)] 6m m< + + − − < ( 17 1, 2) (0, 17 1)m∈ − − − −【考点】点与圆的位置关系；圆与圆的位置关系 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知直线 和 ，直线 m 分别与 交于 A，B 两点，则线 段 AB 长度的最小值为 . 【答案】 【解析】由题知， ，两直线间的距离 【考点】平行线之间的距离公式 14. 函数 的最大值为 . 【答案】 【解析】 ， 最大值 【考点】三角恒等变换；辅助角公式；三角函数的图像和性质 15. 已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点 D 为 AB 延长线上一点，BD=2，连接 CD，则△BDC 的面积是 ， . 【答案】 ； 【解析】△BDC 的面积为△ABC 面积的一半， △ABC 中，BC 边上的高为 ，△ABC 的面积为 ， 所以△BDC 的面积为 . ， 解得 ，显然 为锐角，所以 【考点】三角形面积公式；正余弦定理解三角形 16. 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 的直线 与圆 交于 A，B 两点，且 ，则直线 的方程为 . 【答案】 【解析】由题知，点 A 为 MB 的中点，设直线 ，将直线带入圆的方程，结合 ， 解得 ， 1 : 4 2 7 0l x y+ − = 2 : 2 1 0l x y+ − = 1 2,l l 5 2 2 : 4 2 2 0l x y+ − = 2 2 5 5 24 ( 2) d = = + − ( ) 2cos sin( )3f x x x π= ⋅ + 31 2 + 1 3 1 3 3( ) 2cos ( sin cos ) sin 2 (1 cos2 ) sin(2 )2 2 2 2 2 3f x x x x x x x π= + = + + = + + 31 2 + cos BDC∠ = 15 2 10 4 2 24 1 15− = 1 2 15 152 ⋅ ⋅ = 15 2 2 1cos cos2 2cos 1 4ABC BDC BDC∠ = ∠ = ∠ − = 10cos 4BDC∠ = ± BDC∠ 10cos 4BDC∠ = (0, 3)M − l 2 2 3x y+ = 2MB MA=  l 3 3y x= ± − : 3l y kx= − 1 22x x= 3k = ± 3 3y x= ± −【考点】直线和圆的位置关系，韦达定理 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 17. （本小题满分 10 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 . （1）求 的值； （2）若 ，△ABC 的面积为 ，求边长 b 的值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）在△ABC 中，由正弦定理 ，设 ， 则 ，带入 ，化简得 ，因为 ，所以 ； （2）由（1）可知， ， ，又 ， 所以 ，解得 . 在△ABC 中，由余弦定理 ，所以 ，解得 . 【考点】解三角形；三角恒等变换 18. （本小题满分 10 分） （1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线 在平面 内； ②直线 不在平面 内； ③直线 与平面 交于点 ； ④直线 不经过点 . （2）如图，在长方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的三等分点， 画出由 三点所确定的平面 与平面 的交线.（保留作图痕迹） cos cos 3 cosc B b C a B+ = cos B 2c = 2 2 1cos 3B = 3b = sin sin sin a b c A B C = = sin a kA = sin , sin , sina k A b k B c k C= = = cos cos 3 cosc B b C a B+ = sin 3sin cosA A B= , (0, ),sin 0,sin 0A B A Bπ∈ > > 1cos 3B = sin 0B > 2 2 2sin 1 cos 3B B= − = 1 sin2ABCS ac B∆ = 1 2 22 2 22 3a ⋅ ⋅ = 3a = 2 2 22 cosac B a c b= + − 2 2 212 3 2 3 23 b⋅ ⋅ ⋅ = + − 3b = l α m α m α A l A 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1BB F 1CC 1, ,D E F β ABCD【答案】（1） ； ； ； ；示意图如下： （2）如图，直线 IL 即为所求. 【考点】空间点、线、面之间的位置关系 19. （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知两直线 和 ，定点 . （1）若 与 相交于点 P，求直线 AP 的方程； （2）若 恰好是△ABC 的角平分线 BD 所在的直线， 是中线 CM 所在的直线，求△ABC 的边 BC 所在直线的方程. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）联立两直线，解得 P（0，-1），所以直线 AP 的斜率 k=3，AP：y=3x-1. （2）设点 B 的坐标为 ，则点 ，所以 ， 解得 ，即 ，所以 . 由到角公式得， ,即 ，解得 ， 所以 BC 所在直线方程为 化简得 l α⊂ m α⊄ m Aα = A l∉ 1 : 3 3 0l x y− − = 2 : 1 0l x y+ + = (1,2)A 1l 2l 1l 2l : 3 1AP y x= − 7 11 0x y− − = (3 3, )t t+ 3 4 2( , )2 2 t tM + + 3 4 2 1 02 2 t t+ ++ + = 2t = − ( 3, 2)B − − 2 2 13 1ABk − −= =− − 1 1 1 11 1 BC AB BC AB k k k k k k k k − −=+ + 1 113 3 1 11 13 3 BC BC k k − − = + + 1 7BCk = 12 ( 3)7y x+ = + 7 11 0x y− − =【考点】直线方程；两直线的位置关系；到角公式 20. （本小题满分 12 分） （1）已知 ，求 的值； （2）记函数 ，求 的值域. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）因为 ，所以 即 ，所以 （2）记 ，显然 ，所以 . 将 两边平方，得 故 所以 ， 所以 的值域为 【考点】同角三角函数关系式；三角函数的图像和性质 21. （本小题满分 12 分） 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边 形 ABCD. 其中 百米， 百米，且△BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形. 拟修建两条小路 AC，BD（路的宽度忽略不计），设 ， . （1）当 时，求小路 AC 的长度； （2）当草坪 ABCD 的面积最大时，求此小路 BD 的长度. 【答案】（1） 百米；（2） 百米. 1sin cos 5 θ θ+ = sin 2θ ( ) sin 2 sin cosf x x x x= + + ( )f x 24sin 2 25 θ = − 5[ ,1 2]4 − + 1sin cos 5 θ θ+ = 2 2 1sin cos 2sin cos 25 θ θ θ θ+ + = 11 sin 2 25 θ+ = 24sin 2 25 θ = − sin cos tθ θ+ = 2 sin( )4t x π= + [ 2, 2]t ∈ − sin cos tθ θ+ = 2sin 2 1tθ = − 2 21 5( ) ( ) 1 ( ) , [ 2, 2]2 4f x g t t t t t= = + − = + − ∈ − min 1 5( ) ( )2 4f x g= − = − max( ) ( 2) 1 2f x g= = + ( )f x 5[ ,1 2]4 − + 3AB = 5AD = BAD θ∠ = ( , )2 πθ π∈ 5cos 5 θ = − 37AC = 26BD =【解析】（1）当 时，在△ABD 中，由余弦定理得 ， 因为 为钝角，所以 在△ADC 中，由余弦定理得， （2）在△ABD 中，由余弦定理得 所以 于是 .所以， 当 时，S 最大，此时 ， 又因为 ，所以 ，解得 所以此时 答：（1） 百米，（2）当四边形面积最大时，小路 百米. 【考点】解三角形的应用 22. （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在 轴上的圆 经过两点 和 ，直线 的 方程为 . （1）求圆 的方程； （2）当 时， 为直线 上的定点，若圆 上存在唯一一点 满足 ，求定点 的坐标； （3）设点 A，B 为圆 上任意两个不同的点，若以 AB 为直径的圆与直线 都没有公共点， 求实数 的取值范围. 【答案】（1） ； （2） 或 ； 5cos 5 θ = − 2 2 2 cos 9 5 6 2 5BD AB AD AB AD θ= + − ⋅ ⋅ = + + = 2 2 2 5 20 9 16 4cos sin2 20 52 5 2 5 AD BD ABADB ADCAD BD + − + −∠ = = = = = ∠⋅ ⋅ ADC∠ 2 3cos 1 sin 5ADC ADC∠ = − − ∠ = − 2 2 2 cos 20 5 12 37AC DC AD DC AD ADC= + − ⋅ ⋅ ∠ = + + = 2 2 2 cos 14 6 5 cosBD AB AD AB AD θ θ= + − ⋅ ⋅ = − 21 1 3 5sin sin 7 3 5 cos , (0, )2 2 2S AB AD BDθ θ θ θ π= ⋅ ⋅ + = + − ∈ 157 sin( ), tan 2, ( ,0)2 2S πθ ϕ ϕ ϕ= + + = − ∈ −其中 2 πθ ϕ+ = 1 1 sintan tan 2 cos θθ ϕ θ= = − = (0, )θ π∈ ( , )2 πθ π∈ 2 5cos 5 θ = − 2 514 6 5 cos 14 6 5 265BD θ= − = + ⋅ = 37AC = 26BD = y C (0,2)M (1,3)N l y kx= C 1k = Q l C P 2PO PQ= Q C l k 2 2( 3) 1x y+ − = (2 2,2 2)Q + + (2 2,2 2)− −（3） . 【解析】（1）设圆的方程为 ，将 M,N 坐标带入，得： ，解得 ，所以圆的方程为 . （2）设 ， ，则 ， 化简得 ，此圆与圆 C 相切，所以有 ，解得 ，所以 或 （3）记以 AB 为直径的圆为圆 M，设圆 M 上有一动点 ， 设 .则圆 M 的半径 .于是 ， 其中 为 的夹角， . 因为 ，所以 . 故点 在以 为圆心， 为半径的圆的内部（含边界）， 所以点 C 到直线 l 的距离 ，即 ，解得 . 【考点】圆与方程；阿波罗尼斯圆；隐圆问题 14 14( , )2 2k ∈ − 2 2 2( ) ( 0)x y b r r+ − = > 2 2 2 2 2 2 0 (2 ) 1 (3 ) b r b r  + − = + − = 3 1 b r =  = 2 2( 3) 1x y+ − = ( , )Q t t ( , )P x y 2 2 2 22 ( ) ( )x y x t y t+ = ⋅ − + − 2 2 2( 2 ) ( 2 ) 4x t y t t− + − = 2 2(0 2 ) (3 2 ) 2 1t t t− + − = ± 2 2t = ± (2 2,2 2)Q + + (2 2,2 2)− − 0 0 0( , )P x y (0 1)CM d d= < ≤ 21 12Mr AB d= = − 2 2 2 0 0 0 0( ) (1 ) 2 1 2 cosCP CM MP d d CM MP CM MP θ= + = + − + ⋅ = + ⋅ ⋅       θ 0CM MP ， [0, ]θ π∈ 2 2 2 0 11 (1 ) [0, ]2CM MP d d d d⋅ = − = − ∈  0 [0, 2]CP ∈ 0P (0,3)C 2 2d > 2 3 2 1 k > + 14 14( , )2 2k ∈ −