重庆市渝中区、九龙坡区等主城区2020届高三数学（文）第二次调研试题（Word版带答案）

高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 1 页 （共 13 页） 高 2020 届高三学业质量调研抽测（第二次） 文科数学试题卷 文科数学试题卷共 6 页，考试时间 120 分钟，满分 150 分. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡相应的位置上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷、答题卡一并收回. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合 ，则 A． B． C． D. 2. 欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指 数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里 非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知， 表示的复数位于复平面中的 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 在停课不停学期间，某学校组织高三年级学生参加网络数学测试，测试成绩的频率 分布直方图如下图，测试成绩的分组为 若低于 70 分的人数是 175 人，则该校高三年级的学生人数是 A． B． C． D． 4．已知点 在幂函数 的图象上，设 ， ， ， 则 ， ， 的大小关系为 A． B． C． D． 2 2{ | 2 3 0}, { | log 1}A x x x B x x= − − ≤ = > =BA (2 )+ ∞， ]3,2( ]3,1[− ),1[ +∞− i cos isinxe x x= + i 7πi5e [10,30),[30,50),[50,70),[70,90),[90,110), [110,130),[130,150], 350 500 600 1000 1(2, )8 ( ) nf x x= 3( )3a f= (ln π)b f= 2( )2c f= a b c b a c< < a b c< < b c a< < a c b< < [机密]2020 年 4 月 25 日前 (第 3 题图)高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 2 页 （共 13 页） 5. 已知点 落在角 的终边上，且 ，则 的值为 A． B． C． D． 6. 已知 ， ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 7. 某街道招募了志愿者 5 人，其中 人来自社区 A，2 人来自社区 B，2 人来自社区 C．现从 中随机选取 2 个志愿者参加抗击新型冠状病毒活动，则这 2 人来自不同社区的概率为 A． B． C． D． 8. 已知函数 , , ,且 最 小值为 ,若将 的图象沿 轴向左平移 个单位，所得图象关于原点对 称，则实数 的最小值为 A. B. C. D. 9. 设实数 、 满足 ，则 的最大值为 A． B． C． D． 10. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点，直线 与抛物线 交 于 ， 两点，若 ，则 A． B． C． D． 11. 已知 对任意 ， 且 ，都有 ，那么实数 的取值范围是 A． B． C． D． 12. 两球 和 在棱长为 的正方体 的内部，且互相外切，若球 与 过点 的正方体的三个面相切，球 与过点 的正方体的三个面相切，则球 和 的表面积之和的最小值为 A． B． C． D． 2 2(sin ,cos )3 3P π π θ 0 2θ π∈（ ， ） θ 3 π 2 3 π 5 3 π 11 6 π :p x k≥ 2: 11q x 1( ) 2f x = 2( ) 2f x = − 1 2| |x x− 2 π ( )y f x= x ϕ ( 0)ϕ > ϕ 12 π 6 π 3 π 7 12 π x y 24 2y x x= − − − 5 4 y x + − 1 2 − 2− 1 2 2 2: 4C y x= F l P l PF C M N 4PF MF=  | |MN = 3 2 3 9 2 9 (3 4) 2 , 1( ) log , 1a a x a xf x x x − − − a (1, )+∞ (0,1) 4( ,2]3 4( ,4]3 1O 2O 2 1 1 1 1ABCD A B C D− 1O A 2O 1C 1O 2O 3(2 3)π− 4(2 3)π− 6(2 3)π− 12(2 3)π−高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 3 页 （共 13 页） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填在答题卡相应的位置 上． 13. 设非零向量 满足 ，且 ，则向量 与 的夹角为________． 14. 在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度 (单位： ）与起跳后的时间 （单位： ） 存 在 函 数 关 系 式 ， 则 该 运 动 员 在 时 的 瞬 时 速 度 是 ． 15. 设 的内角 的对边分别为 ，若 ， 则 外接圆的面积是 ． 16. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，一条渐近线为 ，过点 且与 平行的直线交双曲线 于点 ,若 ,则双曲线 的 离心率为 ． 三、解答题：共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题 卡相应的位置上．第 17 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22 题 第 23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17.（本小题满分为 12 分） 一奶茶店制作了一款新奶茶，为了进行合理定价先进行试销售，其单价 （元）与销量 （杯）的相关数据如下表： 单价 （元） 8.5 9 9.5 10 10.5 销量 （杯） 120 110 90 70 60 （Ⅰ）已知销量 与单价 具有线性相关关系，求 关于 的线性回归方程； （Ⅱ）若该款新奶茶每杯的成本为 元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归 方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数） 参考公式：线性回归方程 中斜率和截距最小二乘法估计计算公式： x y y x y x 7.7 ,a b  ( )a a b⊥ −   | | 2 | |b a=  a b h m t s 24.9 6.5 10h t t= − + + 2t = ( / )m s ABC△ , ,A B C , ,a b c 2cos sin cos sina B C b A C c+ = ABC△ C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2,F F l 2F l C M 1 2| | 2 | |MF MF= C   x y ˆ ˆy bx a= +高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 4 页 （共 13 页） ， ，参考数据： ， ． 18．（本小题满分为 12 分） 已知数列 的前 项和为 ， ， ． （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ． 19.（本小题满分为 12 分） 如图，平面 平面 ，其中 为矩形， 为直角梯形， ， ， ． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）若三棱锥 的体积为 ， 求点 到面 的距离． （第 19 题图） 20.（本小题满分为 12 分） 已知函数 ， ．( 为自然对数的底数) （Ⅰ）若对于任意实数 ， 恒成立，试确定 的取值范围； 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑  a y bx= −  5 2 1 453.75i i x = =∑ ABCD ⊥ ADEF ABCD ADEF AF DE∥ AF FE⊥ 2 2 2AF EF DE= = = ( ) ( )xf x e ax a= + ∈R ( ) lnxg x e x= e 0x ≥ ( ) 0f x > a 5 1 4195i i i x y = =∑ { }na n nS 1 1a = 1 2 1n na S+ = + { }na 3 1log ( )n n nb a a += ⋅ { }nb n nT 1 2 1 1 1... 2 nT T T + + + < FD ⊥ ABCD B ADF− 1 3 A BDF高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 5 页 （共 13 页） （Ⅱ）当 时，函数 在 上是否存在极值?若存在，请求出 这个极值；若不存在，请说明理由． 21.（本小题满分 12 分） 已知圆 与定点 ，动圆 过 点且与圆 相切， 记动圆圆心 的轨迹为曲线 ． （Ⅰ）求曲线 的方程； （Ⅱ）斜率为 的直线 过点 ,且与曲线 交于 两点， 为直线 上的一点， 若 为等边三角形，求直线 的方程. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题 计分. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标 原 点 为 极 点 ， 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ． （Ⅰ）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （ Ⅱ ） 已 知 点 的 直 角 坐 标 为 ， 直 线 和 曲 线 交 于 、 两 点 ， 求 1a = − ( ) ( ) ( )M x g x f x= − [1, ]e xOy l t O x C l C M l C A B 2 2:( 2) 24C x y+ + = (2,0)M I M C I E E k l M E ,A B P 3x = ABP∆ l 22 2 2 2 x t y t  = +  = 2sin 8cosρ θ θ= (2,0)高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 6 页 （共 13 页） 的值． 23.【选修 4-5：不等式选讲】(本小题满分 10 分） 已知 . （Ⅰ）当 时，求不等式 的解集； （Ⅱ）若对于任意实数 ，不等式 成立，求实数 的取值范围. 1 1 | | | |MA MB + 2( ) 2f x x a= + 2a = ( ) 1 5f x x+ − ≥ x 2 3 ( ) 2x f x a+ − < a高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 7 页 （共 13 页） 高 2020 届高三学业质量调研抽测（第二次） 文科数学参考答案及评分意见 一、选择题： ． 二、填空题：13. 14． 15． 16． ． 三、解答题： 17．解：（Ⅰ）由表中数据，计算 ， ，...............2 分 则 ， ， 所 以 关 于 的 线 性 相 关 方 程 为 ．..........................................6 分 （ Ⅱ ） 设 定 价 为 元 ， 则 利 润 函 数 为 ， 其 中 ，................8 分 则 ， 所 以 （元），.........................11 分 3 π 1 (8.5 9 9.5 10 10.5) 9.55x = × + + + + = y x x 7.7x ≥ 1 5: ;6 10: ;11 12:DCBCD BDAAC DD   13.1− π 4 5 1 (120 110 90 70 60) 905y = + + + + = 5 1 5 222 1 4195 5 9.5 90 32453.75 5 9.5 i i i i i x y nxy b x nx = = − − × ×= = = −− ×− ∑ ∑   90 32 9.5 394a y bx= − = + × =  32 394y x= − + ( 32 394)( 7.7)y x x= − + − 232 640.4 3033.8y x x= − + − 640.4 102 ( 32)x = − ≈× −高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 8 页 （共 13 页） 为 使 得 销 售 的 利 润 最 大 ， 确 定 单 价 应 该 定 为 元．........................................12 分 18．解：（Ⅰ）因为 ，所以 ， ，.............................2 分 两式相减化简得 ，.....................................................4 分 又 ，所以 ， 符合上式， 所以 是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列，所以 ．..........................6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以 ，.....8 分 所以 ....................... 10 分 ．....................................... ....12 分 19．解：（Ⅰ）证明：作 于 ， ∵ ， ， ∴ ，∴ ，...............2 分 ∵ ，∴ ，∴ ， 10 AF FE⊥ 2 2 2AF EF DE= = = 1HF DH= = 45HDF∠ = ° 2AF = 1AH = 45ADH∠ = ° 1 2 1n na S+ = + 2n ≥ 12 1n na S −= + 1 3n na a+ = ( 2)n ≥ 1 1a = 2 3a = 2 13a a= { }na 13n na −= 3 1log ( )n n nb a a +=  1 3log 3 3 2 1n n n−= × = − 2(1 2 1) 2n n nT n + −= = 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1... ... 1 ...1 2 1 2 2 3 ( 1)nT T T n n n + + + = + + + < + + + +⋅ ⋅ − 1 1 1 1 1 11 1 ... 2 22 2 3 1n n n = + − + − + + − = − 0x = a ( ) 0xf x e= > 0x > ( ) 0xf x e ax= + > xea x > − 0x > ( ) xeQ x x = − 2 2 (1 )( ) x x xxe e x eQ x x x − − ⋅′ = − = (0,1)x∈ ( ) 0Q x′ > ( )Q x (0,1) (1, )x∈ +∞ ( ) 0Q x′ < ( )Q x (1, )+∞ 1x = ( )Q x max( ) (1)Q x Q e= = − 2AD DF= = 6 2BDFS =  A BDF h 1 1 6 3 3 2 h= × × 6 3h =高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 10 页 （共 13 页） 所以 的取值范围为 ， 综 上 ， 对 于 任 意 实 数 ， 恒 成 立 的 实 数 的 取 值 范 围 为 ．................5 分 （Ⅱ）依题意， ， 所 以 ，................................... .6 分 设 ， 则 ，.........................................8 分 当 ， ，故 在 上单调增函数， 因 此 在 上 的 最 小 值 为 ， 即 ，...................10 分 又 ，所以在 上， ， 所 以 在 上 是 增 函 数 ， 即 在 上 不 存 在 极 值．.............12 分 21．解：（Ⅰ）设圆 的半径为 ，题意可知，点 满足： ， ， 所以， ， a ( , )e− +∞ 0x ≥ ( ) 0f x > a ( , )e− +∞ ( ) lnx xM x e x e x= − + 1( ) ln 1 ( ln 1) 1 x x x xeM x e x e x ex x ′ = + − + = + − ⋅ + 1( ) ln 1h x xx = + − 2 2 1 1 1( ) xh x x x x −′ = − + = [1, ]x e∈ ( ) 0h x′ ≥ ( )h x [1, ]e ( )h x [1, ]e (1) 0h = 1( ) ln 1 (1) 0h x x hx = + − ≥ = 0xe > [1, ]e 1( ) ( ln 1) 1 0xM x x ex ′ = + − ⋅ + > ( )M x [1, ]e ( ) ( ) ( )M x g x f x= − [1, ]e I r I | | 2 6IC r= − | |IM r= | | | | 2 6IC IM+ =高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 11 页 （共 13 页） 由椭圆定义知点 的轨迹是以 为焦点的椭 圆，.................................3 分 所以 ， 故轨迹 方程为： ． .................................................5 分 （Ⅱ）直线 的方程为 ， 联立 消去 得 . 直线 恒过定点 ，在椭圆内部，所以 恒成立，设 ， ，则有 ， .................. 7 分 设 的中点为 ，则 ， ， 直线 的斜率为 （由题意知 ），又 为直线 上的一点，所以 , ......................................9 分 当 为等边三角形时， , I ,C M 6, 2a c= = 2b = E 2 2 16 2 x y+ = l ( 2)y k x= − 2 2 12 ( 6 2) x y y k x  + =  = − y ( )2 2 2 23 1 6 012 12k x k x k+ −− + = ( 2)y k x= − (2,0) 0∆ > 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 1 2 2 12 3 1 kx x k + = + 2 1 2 2 12 6 3 1 k kx x −⋅ = + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 6( 1)| | (1 ) | | (1 )[( ) 4 ] 3 1 kAB k x x k x x x x k += + − = + + − = + AB 0 0( , )Q x y 2 0 2 6 3 1 kx k = + 0 2 2 3 1 ky k = − + PQ 1 k − 3x = 3Px = 2 2 02 2 2 1 1 3( 1)| | (1 ) | | 3 1P k kPQ x xk k k + += + − = ⋅ + ABP∆ 3| | | |2PQ AB= 0k ≠ P高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 12 页 （共 13 页） 即 解得 ，即直线 的方程为 或 ．.......................12 分 22 ． 解 ： （ Ⅰ ） 将 中 参 数 消 去 得 ，............................2 分 将 代入 ，得 ， ∴ 直 线 和 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 分 别 为 和 ．........................5 分 （ii）将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程，得 ， 设 、 两 点 对 应 的 参 数 为 、 ， 则 ， ， 且 ， ， ∴ ，.............................. ..........8 分 ∴ ．..............................10 分 23.解:（Ⅰ）当 时， ， 2 2 2 2 2 2 1 3( 1) 3 2 6( 1) 3 1 2 3 1 k k k k k k + + +⋅ = ⋅+ + 1k = ± l 2 0x y− − = 2 0x y+ − = t cos sin x y ρ θ ρ θ =  = l C l C A B 1t 2t 1| | | |MA t= 2| | | |MB t= 2 1 2 1 2 1 2 1 2| | | | | | ( ) 4 8t t t t t t t t+ = − = + − = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 | | | | | |1 1 1 1 1| | | | | | | | | | | | t t t t MA MB t t t t t t + −+ = + = = = 2a = 22 2 2 2 x t y t  = +  = 2 0x y− − = 2sin 8cosρ θ θ= 2 8y x= 2 0x y− − = 2 8y x= 2 8 2 32 0t t− − = 1 2 8 2t t+ = 1 2 32t t = − 16= 1 2 = ( ) | 1| | 2 4 | | 1| 5f x x x x+ − = + + − ≥高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 13 页 （共 13 页） 则 得 ； .................................................2 分 得 ； ..................................................3 分 得 ， ....................................................4 分 所以 的解集为 ....................................5 分 （Ⅱ）对于任意实数 ，不等式 成立， 即 恒成立， 又因为 ，................................7 分 要使原不等式恒成立，则只需 ， 由 得 所以实数 的取值范围是 . ...................................................10 分 2 2 4 1 5 x x x < − − − − + ≥ 8 3x ≤ − 2 1 2 4 1 5 x x x − ≤ ≤  + − + ≥ 0 1x≤ ≤ 1 2 4 1 5 x x x >  + + − ≥ 1x > ( ) 1 5f x x+ − ≥ 8( , ] [0, )3 −∞ − +∞ x 2 3 ( ) 2x f x a+ − < 22 3 2 2x x a a+ − + < 2 2 22 3 2 2 3 2 3x x a x x a a+ − + ≤ + − − = − 2 3 2a a− < 22 3 2a a a− < − < 1 3a< < a (1,3)